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Département de Mathématiques

Guelma: 2012-2013

Probabilités de base

On note G ⊂ F.
Exemple 1.1.8. Reprenons l’exemple 1.1.2. On a F0 ⊂ F1 ⊂ F, F0 ⊂ F2 ⊂ F, mais pas F1 ⊂ F2 , ni
F2 ⊂ F1 .
Remarque importante :
Il est toujours vrai que A ∈ G et G ⊂ F =⇒ A ∈ F.
Mais il est faux de dire que A ⊂ B et B ∈ F =⇒ A ∈ F. Contre-exemple :
{1} ⊂ {1, 3, 5} , {1, 3, 5} ∈ F2 , mais {1} ∈
/ F2 .
Définition 1.1.9. Soit F une tribu sur Ω. Une (mesure de) probabilité sur (Ω, F) est une application
P : F → [0; 1] telle que

 i)
 ii)

P (φ) = 0 et P (Ω) = 1,

(An )∞
n=1 ⊂ F disjoints (i.e. An ∩ Am = φ, ∀n 6= m) =⇒ P (∪n=1 An ) =

P∞

n=1 P (An ) .

En particulier : A, B ∈ F et A ∩ B = φ =⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B). De plus :


 i) Si (A )∞ ⊂ F, A ⊂ A
n n=1
n
n+1 et ∪n=1 An = A, alors limn→∞ P (An ) = P (A) ,

 ii) Si (A )∞ ⊂ F, A ⊃ A
n n=1
n
n+1 et ∩n=1 An = A, alors limn→∞ P (An ) = P (A) .

Pour d’autres propriétés, cf. exercices.
Exemple 1.1.10.Soient Ω = {1, ..., 6}, F = P(Ω). On définit :
- P1 ({i}) =

1
6

∀i (mesure de probabilité associée à un dé équilibré).

Dans ce cas, on voit p. ex. que P1 ({1, 3, 5}) = P1 ({1}) + P1 ({3}) + P1 ({5}) =

1
6

+

1
6

+

1
6

= 12 .

- P2 ({i}) = 0 ∀i ≤ 5, P2 ({6}) = 1 (mesure de probabilité associée à un dé pipé).
Définition 1.1.11.Soient Ω = [0, 1] et F = B([0, 1]). On appelle mesure de Lebesgue sur [0, 1] la mesure de
probabilité définie par

P(]a; b[) = b − a,

∀0 ≤ a < b ≤ 1.

P n’est définie a priori que sur les intervalles, mais est uniquement extensible à tout ensemble borélien
B ∈ B([0, 1]). Elle est notée P(B) = |B| , B ∈ B([0, 1]).
En utilisant la propriété (ii) ci-dessus, on déduit que pour tout x ∈ [0, 1] :



1
1
2

|{x}| = lim x − , x +
= lim = 0.

n→∞
n→∞
n
n
n

Généralisation à n dimensions : Soit Ω = [0, 1]n .
- Tribu borélienne : B(Ω) = σ(A), où A = {]a1 , b1 [ × ]a2 , b2 [ × ... × ]an , bn [ , 0 ≤ ai < bi ≤ 1} .
A est la famille des ”rectangles" dans Ω.
- Mesure de Lebesgue : P (]a1 , b1 [ × ]a2 , b2 [ × ... × ]an , bn [) = (b1 − a1 ) (b2 − a2 ) · · · (bn − an ) .
Comme dans le cas uni-dimensionnel, P n’est définie a priori que sur certains ensembles (les rectangles),
mais est uniquement extensible à tout B ∈ B(Ω) (p.ex. B = disque, ovale...).
Notation : P(B) = |B| , pour B ∈ B(Ω).
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications

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