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Département de Mathématiques

II

Probabilités de base

Guelma: 2012-2013

Variable aléatoire

Définition 1.2.1. Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Une variable aléatoire (souvent abrégé v.a. par
la suite) est une application X : Ω → R telle que

{ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B} = {X ∈ B} ∈ F, ∀B ∈ B(R).
Proposition 1.2.2. X est une v.a. ssi {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ t} ∈ F, ∀t ∈ R.
Remarque 1.2.3. - X est aussi dite une fonction (ou v.a.) F-mesurable.
- Si F = P(Ω), alors X est toujours F-mesurable.
- Si Ω = R et F = B(R), alors X est dite une fonction borélienne.

 1
Définition 1.2.4. Pour A ⊂ Ω, on pose 1A (ω) =
 0

si ω ∈ A,
sinon.

On vérifie que la v.a. 1A est F-mesurable ssi A ∈ F.
Exemple 1.2.5.Soit (Ω, F, P) l’espace de probabilité du dé équilibré (cf. exemple 1.1.10).
X1 (ω) = ω : P ({ω ∈ Ω : X1 (ω) = i}) = P ({i}) = 61 .
X2 (ω) = 1{1,3,5} (ω) : P ({ω ∈ Ω : X2 (ω) = 1}) = P ({1, 3, 5}) = 12 .
Soit F = P(Ω). X1 et X2 sont toutes deux F-mesurables.
Soit F2 = {φ, {1, 3, 5} , {2, 4, 6} , Ω} . Seule X2 est F2 -mesurable ; X1 ne l’est pas. En effet :
{ω ∈ Ω : X2 (ω) = 1} = {1, 3, 5} ∈ F2 et {ω ∈ Ω : X2 (ω) = 0} = {2, 4, 6} ∈ F2
tandis que {ω ∈ Ω : X1 (ω) = 1} = {1} ∈
/ F2 .
Définition 1.2.6. La tribu engendrée par une famille de v.a. {Xi , i ∈ I} sur (Ω, F, P) est définie par

σ (Xi , i ∈ I) = σ ({Xi ∈ B} , i ∈ I, B ∈ B(R)) = σ ({Xi ≤ t} , i ∈ I, t ∈ R) .
Exemple 1.2.7. Reprenons l’exemple précédent : σ(X1 ) = F = P(Ω), σ(X2 ) = F2 = P(Ω).
Proposition 1.2.8. Si g : R → R est borélienne et X : Ω → R est une v.a., alors g(X) est une v.a.
Démonstration. Soit B ∈ B(R). On a

n

o

{ω ∈ Ω : g (X (ω)) ∈ B} = ω ∈ Ω : X (ω) ∈ g −1 (B) .
Or g −1 (B) = {x ∈ R : g(x)
∈ B} ∈ B(R), car g est borélienne. Comme X est une v.a., on en déduit que

−1
ω ∈ Ω : X (ω) ∈ g (B) ∈ F, et donc finalement que g(X) est une v.a.



Proposition 1.2.9. Toute fonction continue est borélienne (et pratiquement toute fonction discontinue l’est
aussi !).
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications

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