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Département de Mathématiques

III

Guelma: 2012-2013

Probabilités de base

Loi d’une variable aléatoire

Définition 1.3.1. La loi d’une v.a. X est l’application µX : B(R) → [0, 1] définie par

µX (B) = P ({X ∈ B}) ,

B ∈ B(R).

NB : (R, B(R), µX ) forme un nouvel espace de probabilité !
Exemple 1.3.2.-.Soit Ω = {1, ..., 6}, F = P(Ω), P ({i}) = 61 , ∀i.
X1 (ω) = ω, µX ({i}) = P ({X = i}) = P ({i}) = 61 .
-.Soit Ω = {1, ..., 6} × {1, ..., 6}, F = P(Ω), P ({(i, j)}) =

1
36 ,

∀i, j ∈ Ω.

X (ω) = X (ω1 , ω2 ) = ω1 + ω2 . On a alors, p.ex :
µX ({7}) = P ({X = 7}) = P ({(1, 6) , (2, 5) , (3, 4) , (4, 3) , (5, 2) , (6, 1)}) = 6 ×

1
36

= 16 .

Fonction de répartition d’une variable aléatoire
Définition 1.3.3. La fonction de répartition d’une v.a. X est l’application FX : R → [0; 1] définie par

FX (t) = P({X ≤ t}) = µX (] − ∞, t]),

t ∈ R.

Proposition 1.3.4. La donnée de FX équivaut à celle de µX .
Cette dernière proposition est à rapprocher de la proposition 1.2.2.
Deux types particuliers de variables aléatoires
A) Variable aléatoire discrète :
X prend ses valeurs dans un ensemble D dénombrable (X(ω) ∈ D; ∀ω ∈ Ω). Dans ce cas, on a : σ(X) =
P
σ({X = x} , x ∈ D), p(x) = P({X = x}) ≥ 0 et x∈D p(x) = P({x ∈ D}) = 1.
De plus, FX (t) =

P

x∈D:x≤t p(x).

B) Variable aléatoire continue :
P(X ∈ B) = 0 si |B| = 0 (en part. P(X = x) = 0 ∀x). Sous cette condition, le théorème de Radon-Nikodym
assure l’existence d’une fonction borélienne fX : R → R (appelée densité) telle que

fX (x) ≥ 0, ∀x ∈ R,

Z

fX (x)dx = 1

et

P ({X ∈ B}) =

R

De plus, FX (t) =

Rt

Z

fX (x)dx.
B

et FX8 (t) = fX (t).

−∞ fX (x)dx

Exemple 1.3.5.
A) Loi binomiale B(n; p), n ≥ 1, p ∈ [0, 1] :



p(k) = P {(X = k}) = 

n
k


 pk (1 − p)n−k ,

(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications

pour 0 ≤ k ≤ n,

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