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Département de Mathématiques



où 

n
k

Probabilités de base

Guelma: 2012-2013


n!
=
k!(n−k)! .

B) Loi gaussienne N (µ, σ 2 ), µ ∈ R, σ > 0 :

(x − µ)2
fX (x) = √
exp −
2σ 2
2πσ 2
1

densité :

!

,

x ∈ R.

Terminologie : - Si X suit une loi gaussienne (p.ex.), on écrit X ∼ N (µ, σ 2 ).
- Si X et Y suivent une même loi, on dit que X et Y sont identiquement distribuées (i.d.) et on note X ∼ Y.

IV

Espérance d’une variable aléatoire

Construction de l’espérance (= intégrale de Lebesgue !)
On procède en trois étapes :
1. Soit X(ω) =
suit :

E(X) =

P∞

i=0 xi 1Ai


X

(ω) , xi ≥ 0, Ai ∈ F. On définit l’espérance de telles v.a. (dites simples) comme

xi P (Ai ) ∈ [0, +∞] .

i=0

Attention ! E(X) peut prendre la ”valeur" +∞.
Exemples : - Si X = 1A , P(A) = p, alors E(X) = P(A) = p.
- Si X = c1Ω = cte sur Ω, alors E(X) = c.
2. Soit X une v.a. F-mesurable telle que X(ω) ≥ 0 , ∀ω ∈ Ω. On pose

Xn (ω) =


X
i
i=1

1 i
i+1 (ω) .
2n { 2n ≤X< 2n }

Alors (Xn ) est une suite croissante de v.a. qui tend vers X. On définit

E(X) = lim E(Xn ) = lim
n→∞

n→∞


X
i
i=1

2n



P

i
i+1
≤X< n
n
2
2



∈ [0, +∞] .

3. Soit X une v.a. F-mesurable quelconque. On pose

 X + (ω) = max (0, X(ω)) ≥ 0,
X(ω) = X + (ω) − X − (ω) avec
 X − (ω) = max (0, −X(ω)) ≥ 0.

On a alors |X(ω)| = X + (ω) + X − (ω) ≥ 0.
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications

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