COURS Proba de baSe.pdf


Aperçu du fichier PDF cours-proba-de-base.pdf - page 7/11

Page 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11



Aperçu texte


Département de Mathématiques

Probabilités de base

Guelma: 2012-2013

- Si E(|X|) < ∞, alors on définit E(X) = E(X + ) − E(X − ).
- Si E(|X|) = ∞, alors on dit que E(X) n’est pas définie.
Terminologie : - Si E(X) = 0, alors on dit que X est une v.a. centrée.
- Si E(|X|) < ∞, alors on dit que X est une v.a. intégrable.
- Si E(X 2 ) < ∞ alors on dit que X est une v.a. de carré intégrable.
- On dit que X est une v.a. bornée s’il existe une cte K > 0 telle que |X(ω)| ≤ K, ∀ω ∈ Ω.
Remarque 1.4.1. X bornée =⇒ E(X 2 ) < ∞ =⇒ E(|X|) < ∞.
Proposition 1.4.2. Soient X une v.a. et g : R → R une fonction borélienne telle que E(|g(X)|) < ∞. Alors
A) Si X est une v.a. discréte (à valeurs dans D dénombrable), alors

E(g (X)) =

X

g (x) P ({X = x}) .

x∈D

B) Si X est une v.a. continue (avec densité fX ), alors

Z

g (x) fX (x)dx.

E(g (X)) =
R

Ceci s’applique en particulier si g(x) = x.
Variance et covariance de variables aléatoires
Définition 1.4.3. Soient X, Y deux v.a. de carré intégrable. On pose









V ar (X) = E (X − E(X))2 = E X 2 − (E (X))2 ≥ 0
Cov (X, Y ) = E ((X − E(X)) (Y − E(Y ))) = E (XY ) − E (X) E (Y )
Terminologie : - Un événement A ∈ F est dit négligeable si P(A) = 0.
- Un événement A ∈ F est dit presque sûr (souvent abréegé p.s.) si P(A) = 1, i.e. si Ac est négligeable.
Exemple 1.4.4. Soit X une v.a. telle que P ({X = c}) = 1. Alors on dit que X = c presque sûrement
(”X = c p.s.")
Proposition 1.4.5. Si (An )∞
n=1 ⊂ F est une famille d’événements négligeables (i :e : P(An ) = 0 ∀n), alors

∪n=1 An est négligeable.
Démonstration. P (∪∞
n=1 An ) ≤

P∞

n=1 P (An )

= 0.

Exemple 1.4.6. L’ensemble A = [0; 1]∩Q est négligeable pour la mesure le Lebesgue, car Q est dénombrable
et |{x}| = 0 pour tout x ∈ [0, 1].
Propriétés de l’espérance
Soient X, Y deux v.a. intégrables.
- Linéarité : E(cX + Y ) = cE(X) + E(Y ), c ∈ R et X, Y v.a. intégrables.
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications

-7-