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Département de Mathématiques

Guelma: 2012-2013

Probabilités de base

- Positivité : si X ≥ 0 p.s., alors E(X) ≥ 0.
- Positivité stricte : si X ≥ 0 p.s. et E(X) = 0, alors X = 0 p.s.
- Monotonie : si X ≥ Y p.s., alors E(X) ≥ E(Y ).
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient X, Y deux v.a. de carré intégrable. Alors

 i)
 ii)

XY est intégrable ;
(E (|XY |))2 ≤ E X 2 E Y 2 .




En posant Y ≡ 1, on trouve que (E (|X|))2 ≤ E X 2 (donc E (|X|) < ∞ si E(X 2 ) < ∞ ; cf. remarque 1.4.1).


Inégalité triangulaire
Soient X, Y deux v.a. intégrables. Alors

E (|X + Y |) ≤ E (|X|) + E (|Y |)
Inégalité de Jensen
Soient X une v.a. et ϕ : R → R une fonction borélienne et convexe telle que E (|ϕ (X)|) < ∞.
Alors

ϕ (E (X)) ≤ E (ϕ (X)) .
En particulier, |E (X)| ≤ E (|X|) .
Démonstration. Vu que ϕ est convexe, on a ϕ (x) =

(ax + b) et donc :

sup
a,b:ay+b≤ϕ(y),∀y∈R

ϕ (E (X)) = sup (aE (x) + b) = sup (E (aX + b)) ≤ sup E (ϕ (X)) = E (ϕ (X)) .
a,b:...

a,b:...

a,b:...

Exemple 1.4.7. Si X = a ou b avec prob. 21 , 12 et ϕ est convexe, alors ϕ (E (X)) = ϕ
E (ϕ (X)) .



a+b
2





ϕ(a)+ϕ(b)
2

=

Inégalité de Chebychev (ou Markov)
Soient X une v.a. et ψ : R → R+ telle que ψ est borélienne et croissante sur R+ , ψ (a) > 0 pour tout a > 0
et E (ψ (X)) < ∞. Alors

P ({X ≥ a}) ≤

E (ψ (X))
,
ψ (a)

∀a > 0.

Démonstration. Du fait que ψ est croissante sur R+ , on a












E (ψ (X)) ≥ E ψ (X) 1{X≥a} ≥ E ψ (a) 1{X≥a} = ψ (a) E 1{X≥a} = ψ (a) P ({X ≥ a}) .
Comme ψ (a) > 0, ceci permet de conclure.
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications

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