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Département de Mathématiques

V
V.1

Probabilités de base

Guelma: 2012-2013

Indépendance
Indépendance d’événements

Définition 1.5.1.Deux événements A et B(∈ F) sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Attention ! Ne pas confondre : A et B sont disjoints si A ∩ B = φ(=⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)).
Notation : Si A est indépendant de B, on note A ⊥ B (de même pour les tribus et les v.a. ; voir plus bas).
Conséquence :

P(Ac ∩ B) = P(B\(A ∩ B)) = P(B) − P(A ∩ B)
= P(B) − P(A)P(B) = (1 − P(A)) P(B) = P(Ac )P(B).
De même, on a P(A ∩ B c ) = P(A)P(B c ) et P(Ac ∩ B c ) = P(Ac )P(B c ).
Définition 1.5.2. n événements A1 , ..., An ∈ F sont indépendants si

P (A∗1 ∩ ... ∩ A∗n ) =ni=1 P (A∗i ) ,

où A∗i = soit Ai ,

soit Aci .

Proposition 1.5.3. n événements A1 , ..., An ∈ F sont indépendants si

P (i∈I Ai ) =i∈I P (Ai ) ,

∀I ⊂ {1, ..., n} .

Remarque 1.5.4. - Pour n > 2, la condition P(A1 ∩ ...An ) = P(A1 )...P(An ) ne suffit pas !
- L’indépendance de n événements telle que définie ci-dessus est plus forte que l’indépendance deux à deux
(Ai ⊥ Aj , ∀i 6= j).

V.2

Indépendance de tribus

Définition 1.5.5. Une famille (F1 ...Fn ) de sous-tribus de F est indépendante si

P(A1 ∩ ... ∩ An ) = P(A1 )...P(An ), ∀A1 ∈ F1 , ..., An ∈ Fn .
Proposition 1.5.6. (σ(A1 ), ..., σ(An )) est une famille de sous-tribus indépendantes ssi les événements
(A1 , ..., An ) sont indépendants.

(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications

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