Rattrapage Proba de baSe(2012) .pdf


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Département de Mathématiques

Probabilités de base

Guelma: 2012-2013

Examen de Rattrapage

Examen Probabilités de base
Exercice 1
On considère une variable aléatoire réelle X suivant la loi exponentielle de paramètre 1, la variable aléatoire
Y = e−X et, pour tout entier naturel non nul n, la variable aléatoire réelle Yn = e−X+1/n .
a) Montrer que Y est une variable aléatoire absolument continue dont on précisera la loi.
b) Prouver que
L

Yn → Y quand n → +∞.
Exercice 2
Soit X une variable aléatoire réelle de carré intégrable sur (Ω, A, P).
1. Soit g : R → R+ telle que g(x) ≥ b > 0 pour tout x ∈ I ⊂ R. Montrer que
P(X ∈ I) ≤ b−1 E(g(X)).
2. Retrouver à l’aide du résultat précédent les inégalités de Markov et Tchebychev.
3. En utilisant la fonction g(x) = (x + c)2 pour c > 0 montrer que si E(X) = 0 et V ar(X) = σ 2 alors pour
tout t > 0,
P(X > t) ≤

σ2
.
σ 2 +t2

Exercice 3
Partie I
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi N (0, 1).
1) Déterminer la loi du couple (X, Z) = (X, X 2 + Y 2 ).
2) En déduire la loi de X 2 + Y 2 puis la loi conditionnelle de X sachant X 2 + Y 2 .
3) Calculer E(|X| 2502X 2 + Y 2 ).
Partie II
1. Soit (Tn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que X, et soit la suite
définie par :
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications

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Département de Mathématiques

Probabilités de base

A0 = 0, An =

1
n

n
P
k=1

Guelma: 2012-2013

Tk2 eTk , n ≥ 1.

- Montrer qu’il existe une constante β > 0 telle que
An



n→+∞

β p.s.

2) Soit (Mn )n≥1 et (Kn )n≥1 des variables aléatoires de même loi uniforme sur [0, θ], θ > 0 et soit la
suite définie par :

B0 = 0, Bn =

1
n

n
P
k=1

I{Mk +Kk ≤1} , n ≥ 1.

- Montrer que
Bn

→ θ
n→+∞ 2

p.s.

3) Notons Sn = max(M1 , . . . , Mn ).
a) Déterminer la loi de Sn .
P

b) Montrer que Sn → θ quand n → +∞.

(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications

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