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probabilités statistiques2013(1) .pdf



Nom original: probabilités-statistiques2013(1).pdf

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1
1.1

Notions de base -Le cas équiprobable : dénombrement
Ensemble fondamental et événement

L’ensemble fondamental est l’ensemble qui contient tout les résultats possibles d’une expérience.
C’est un ensemble abstrait. On note par ! 2
ses éléments, les
événements fondamentaux.
Exemples
L’ensemble fondamental pour un jet de dés peut être représenté par
= f! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; ! 4 ; ! 5 ; ! 6 g où ! i représente l’événement "le dé montre
la face i".
On pourrait aussi le représenter par
= f1; 2; 3; 4; 5; 6g mais cela
provoque une confusion : le symbole 1 n’est pas un chi¤re, on ne peut
pas les additionner !
L’ensemble fondamental pour le jet de deux dés distinguables sera
donné par = f(i; j) : i; j = 1; :::; 6g :
Un événement est sous-ensemble de , comme A = f2; 4; 6g
=
f1; 2; 3; 4; 5; 6g l’événement "obtenir un chi¤re pair au dé".
C’est un ensemble, pas un élément ! L’événement "obtenir un 1" est
donc A = f1g pas A = 1
La probabilité de l’événement A dénote la "proportion théorique"
des fois où A se produit. Si on répétai la même expérience une in…nité
de fois, on aurai
nb. des fois où A se produit
! P(A)
nb. total d’essais
On peut aussi voir la probabilité comme une mesure de masse sur .
Elle a¤ecte un poid (ou une densité de masse) à chaque élément de
(événement fondamental).
La probabilité de A n’est alors que la somme des poids des éléments
de A.

1

1.2

Le cas équiprobable

Dans le cas où tout chaque événement fondamental a la même probabilité d’arriver, la probabilité d’un événement A est proportionnelle à son
cardinal jAj, son nombre d’éléments.
On a alors
jAj
j j
soit …ni !

P(A) =

Attention : Il faut que
Exemple: Jet d’un dé
Soit = f! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; ! 4 ; ! 5 ; ! 6 g. Si A est l’événement "obtenir 5 ou
plus", A = f! 5 ; ! 6 g et P(A) = 62 = 13 .
Exemple : Somme de deux dés
Soit = f! 1 ; ! 2 ; :::; ! 12 g :Si A est l’événement "obtenir 11 ou plus",
2
. En e¤et, nous ne sommes pas dans un
A = f! 11 ; ! 12 g mais P(A) 6= 12
cas équiprobable car s’il y a une seule façon d’obtenir 12 ((6; 6)) il y a
deux façons d’obtenir 11 ((6; 5) et (5; 6)).
Soit = f(i; j) : i; j = 1; :::; 6g. Si A est l’événement "obtenir une
3
= 14 . Nous
somme de 11 ou plus", A = f(6; 5); (5; 6); (6; 6)g et P(A) = 12
sommes bien ici dans un cas équiprobable.

1.3

Théorème de décomposition :

Soit une expérience se décompose en deux parties, que la première partie
a N1 résultats possibles et que, pour chaque résultat de la première
partie, la seconde partie à N2 résultats possibles, le nombre total de
résultats possibles de l’expérience est de N1 :N2 .
Si l’expérience se décompose en r parties telles que, pour chaque
combinaison de résultats des parties 1 à j 1; la partie j a Nj résultats
possibles, alors le nombre de résultats possibles de l’expérience est
N1 :N2 :::Nr :

1.4

Dénombrement

Factoriel : c’est le nombre de façon d’ordonner n objets.
n! = n (n

1) (n

2) :::3:2:1

Remarque : 0! = 1! = 1
Permutation : Pkn , c’est le nombre de rangement ordonnés de k
objets parmis n.
n!
(n

k)!

= n (n

1) (n
2

2) ::: (n

k + 1)

C’est aussi le nombre de k-uples ordonnés possibles avec n objets,
ou encore le nombre de façon d’ordonner les k premiers objets d’une
collection de n.

|

x1

x2

x3

"

"

"

n

n 1

......... xk
"

n 2

n k+1

{z

n(n 1)(n 2):::(n k+1)

.........
}|

{z

(n k)! possibilités

}

n
ou Cnk ; c’est le nomk
bre de rangements non ordonnés (paquets) de k objets sur n.
Combinaison ou coe¢ cient binomial :

n
k

=

Pkn
n!
=
k!
k! (n k)!

C’est aussi le nombre de groupes de k objets possibles parmis n, ou
encore le nombre de façon d’obtenir k objets d’une collection de n.
x1
x2
..
.

x2
x1
..
.

x3
x3
..
.

xk
xk
..
.

x3

x5

x1

xk

9
>
>
>
=

k! ordres possibles
..
. >
>
>
;

..
.

Propriétés :
n
k

=

n
n

k

;

n
X
n
k

= 2n ;

k=1

n
0

=1

n
; c’est le nombre de façon
n1 n2 :::nr
de regroupe n objets en r groupes de tailles respective n1 ; n2 ; :::; nr (avec
n1 + n2 + ::: + nr = n).
Coe¢ cient multinomial :

n
n1 n2 :::nr

=

n!
n1 !n2 !:::nr !

Remarque : le coe¢ cient binomial est un coe¢ cient multinomial avec
r = 2.
Exemple : Calculer le nombre de façon d’arranger les lettres du mots
MISSISSPPI.
Il y a 11 lettres : 4S, 4I, 2P et 1M.
11
Pour placer les S, il y a 11 places libres, donc il y a
possibilités.
4

3

Ensuite, pour placer les I, il reste 7 places de libres, donc il y a

7
4

possibilités.
Ensuite, pour placer les P, il reste 3 places de libres, donc il y a

3
2

possibilités.
En…n, pour placer le M, il reste 1 place de libre, donc il y a

1
1

possibilités.
En tout, il y a donc
11
4

2

7
4

3
2

1
1

11
4
=

7
4

3
2

1
1

possibilités, cíest-à-dire

11!
11! 7! 3! 1!
=
=
4!7! 4!3! 2!1! 1!0!
4!4!2!1!

11
:
4421

Interprétation ensembliste des événements - Axiomes des probabilités

Le diagramme de Venn est un moyen de représenter graphiquement
les événements.
On représente en général par un rectangle et les événements par
des formes rondes ou rectangulaire à l’intérieur.

2.1

Interprétation des relations ensemblistes en termes d’événements

Relation Interprétation ensembliste
A B
si ! 2 ; alors ! 2
A\B
f! 2 : ! 2 A et ! 2 Bg
A[B
f! 2 : ! 2 A ou ! 2 Bg
c
A; A
f! 2 : ! 2
=Ag
AnB
f! 2 : ! 2 A et ! 2
= Bg
A4B
(A [ B) n (A \ B)

4

Nomenclature
Evénement
A inclus dans B
si A, alors B (A =) B)
A inter B
A et B
A union B
A ou B (ou les deux)
A complémentaire
non A
A privé de B
A mais pas B
di¤érence symétrique A ou bien B mais pas les deux

2.2

Propriétés des événements
A [ Ac = ;
A n B = A \ Bc
(A [ B) [ C = A [ (B [ C) = A [ B [ C
(A \ B) \ C = A \ (B \ C) = A \ B \ C

Les lois de Morgan
(A [ B)c = Ac \ B c et (A \ B)c = Ac [ B c
(A [ B) \ C = (A \ C) [ (B \ C) et (A \ B) [ C = (A [ C) \ (B [ C)

Deux événements A et B sont incompatibles ou mutuellement
disjoints si leur intersection est vide (A \ B = ).
C’est-à-dire que A et B ne peuvent pas se produire en même temps.

2.3

Axiomes des probabilités

Soit F l’ensemble des parties de , c’est-à-dire la collection des sousensembles de :
Une probabilité sur est une fonction P : F ! [0; 1] telle que
(1) P( ) = 1
(2) 0

P(A)

1 pour tout A 2 F
5

(3) Pour toute suite d’événements incompatibles E1 ; E2 ; ::: on a

P

1
[

i=1

Propriétés :

Ei

!

=

1
X

P (Ei ) :

i=1

P( ) = 0; si A B alors P(A) P(B)
P(Ac ) = 1 P(A)
P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B)
Attention : P(A n B) = P(A)

3

P(A \ B) pas P(A)

P(B) !!

Probabilité conditionnelle -Probabilités totales Théorème de Bayse

3.1

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de A sachant B est

P (A j B) =

P (A \ B)
ou également P(A j B) = P(A \ B)P(B):
P (B)

En termes fréquentistes, c’est la proportion de fois où A se produit
quand B se produit aussi.

Intuitivement, comme on a de l’information sur B (sait que B c’est
produit), on recalcule la "chance" que A se soit produit aussi.
Puisqu’on sait que B s’est produit, l’ensemble
se réduit à B et
l’événement A se réduit à A \ B.
Exemple : La probabilité d’un événement est ici proportionelle à son
aire (d’un facteur K1 ).

6

Dans ce cas l’aire doublement hachurée (c’est-à-dire A \ B) correspond à 13 de l’aire de B et 21 de l’aire de A, donc P (A j B) = 13 et
P (B j A) = 12 .
; P(B) = 48
et P(A \ B) = 16
donc
Par calcul on trouve P(A) = 32
K
K
K
16

16

K
K
P (A j B) = 48
= 13 et P (B j A) = 32
= 12 .
K
K
Récurence du conditionnement :
La formule se généralise au cas de plusieurs événements

P(E1 \E2 \:::\En ) = P (E1 j E2 \ ::: \ En ) P(E2 j E3 \:::\En ):::P(En

3.2

1

j En )P (En )

Probabilités totales

Puisqu’on peut décomposer l’événement A suivant que l’événement B se
produise ou non (A = (A \ B) [ (A \ B c )), on a P(A) = P(A \ B) +
P(A \ B c ) ou également
P(A) = P (A j B) P(B) + P (A j B c ) P(B c ):

La formule des probabilités totales est une généralisation de cela
et s’écrit,
pour E1 ; :::; En des événements disjoints deux à deux (Ei \ Ej =
8i; j) tels que E1 [ ::: [ En = (une partition de ) on a
7

P(A) = P(A\E1 )+:::+P(A\En ) = P(A j E1 )P(E1 )+:::+P(A j En )P(En ):

On peut également la voir sous forme d’arbre, ici pour trois événements E1 ; E2 ; E3 ;

Exemple : On dispose de trois pièces de monnaie, une avec deux
faces, un avec deux piles et une régulière avec une face et un pile. On
choisit une pièce au hasard et on la lance. L’arbre de probabilité est

La probabilitÈ díobtenir un pile est donc P(P ) = P(P j F F )P(F F )+
P(P j P P )P(P P ) + P(P j P F )P(P F ) = 0: 13 + 1: 31 + 12 : 31 = 12 :

8

3.3

Algèbre

Les axiomes de probabilité restent vrais pour l’événement à gauche mais
pas pour celui à droite.
Cíest-à-dire qu’on peut faire des opérations sur les événements à
gauche de la barre de conditionnement "j" mais jamais à droite de
la barre !!
P (A j B) = 1

P (Ac j B) mais PAS 1

P (A j B c )

Cela marche aussi avec les probabilités conditionnelles
P(A j B) = P(A\C j B)+P(A\C c j B) = P(A j C\B)P(C j B)+P(A j C c \B)P(C c j B):

3.4

Théorème de Bayse

Ce résultat permet de "renverser le conditionnement" c’est-à-dire d’exprimer
P(A j B) en fonction de P(B j A).
P (A j B) =

P(B j A)P(A)
P (A \ B)
=
P (B)
P(B j A)P(A) + P(B j Ac )P(Ac )

Il se généralise, si E1 ; :::; En forment une partition de

4

, en

P(B j A)P(A)
:
P (A j B) = Pn
i=1 P(B j Ei )P(Ei )

Indépendance

Deux événements A et B (de probabilité non nulle) sont indépendants
si
P(A j B) = P(A) ou également si P(B j A) = P(B) ou encore si
P(A \ B) = P(A)P(B).
Intuitivement cela veut dire que l’information dont on dipose sur B
ne change rien à la "chance" que A se soit produit ou non.
L’événement A se produit donc sans lien avec l’événement B (souvent c’est parce que A et B sont basés sur deux choses sans lien entre
elles comme, pour une carte tirée au hasard d’un jeu, sa couleur et sa
hauteur).
Exemple : La probabilité d’un événement est ici proportionelle à son
aire.

9

Ici, P(A) = 1=4 et P(A j B) = 1=4 également, donc A et B sont
indépendents.
En e¤et, ici B dépends de la distance au centre, alors que A dépends
de l’angle au centre.
Propriété : Si A et B sont indépendents, alors A et B c , Ac et B,
ainsi que Ac et B c le sont aussi.
Plusieurs événements E1 ; :::; En sont indépendants si P(Eim ) =
P(Ei1 ):::P(Eim ) pour tout choix de Ei1 ; :::; Eim parmis E1 ; :::; En .
Attention : plusieurs événements peuvent être indépendents deux
à deux sans être indépendants.
Exemple : considérons le jet de deux pièces di¤érenciables et les
événements
A = "la première pièce tombe sur pile";
B = "la deuxième pièce tombe sur pile";
C = "les deux pièces ont un résultat di¤érent".
Alors
A est indépendant de B;
C est indépendant de B;
A est indépendant de C.
Donc A, B et C sont indépendans deux à deux mais ils ne sont pas
indépendants ensembles car, si l’on sait que C s’est produit, alors l’on
sait que A \ B ne s’est pas produit.

10


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