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Jean-Fran¸cois Hachelouf

1

´
´
T.D. : EQUATIONS
DU SECOND DEGRE.
Exercice 1
R´esoudre dans IR les ´equations suivantes :
x2 − 7x + 39 = 0.

x2 − 13x − 48 = 0.

3x2 + 8x + 4 = 0.

2x2 − 11x + 12 = 0.

5x2 − 29x + 20 = 0.

3x2 + 23x + 14 = 0.

7x2 − 33x − 10 = 0.

x2 + x + 2 = 0.

16x2 − 24x + 9 = 0.

4x2 + 21x − 18 = 0.

10x2 − 49x + 51 = 0.

6x2 − 17x − 45 = 0.

3x2 − 5x + 2 = 0.


2x2 − 2 3x + 2 = 0.

−2x2 + 4x + 6 = 0.


x2 + ( 2 + 18)x + 6 = 0.

|x − 1| + x2 − 3x = 0.
Exercice 2
R´esoudre dans IR les ´equations suivantes :
(x − 2)(2x − 1) + 2(x − 3) = 4(x − 2)2 .

(2x + 3)(x − 4) − (x − 5)(x − 2) = (3x − 5)(x − 4)

12
5
1

=
.
2x − 5 x − 3
3(x + 1)

(4x − 7)(x − 5) + (x − 3)2 = (x + 2)2 .

(x2 − 5x + 4)(2x2 − 7x + 3) = 0.

(3x2 + 2x + 4)2 − x2 (x + 8)2 = 0.

(x3 + 3x2 − 1)2 − (x3 − 2x + 1)2 = 0.

(9x − 1)(x + 3) − (4x + 1)(x + 1) = (5x − 4)(3x − 2).

2

(x + 7)(x − 3) x2 + 1 (x + 2)(x − 3)
(x + 5)(x − 4)
(2x − 3)(x − 2) (x + 1)
+
=
.

=
.
7
4
2
3
2
6
(x + 1)(x + 2) (x − 1)(x − 2)
x2 − 9
(x + 2)(x − 1) x2 + 3
(3x + 1)(2x − 3)

=
.

=
.
4
3
5
3
7
21
(8x − 3)(3x + 2) − (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x − 1).
(3x + 1)(x − 1) (x − 3)(x + 5)
(4x + 1)(x + 3)

=
.
2
3
6
Exercice 3
R´esoudre dans IR les ´equations suivantes :
1
1
1
+
= .
x+4 x+1
x
7
6

= 2.
x−4 x−2
x−4 x−2
11
+
=
.
x−2 x−3
6

4
3

= −1.
x−1 x−2
1
1
1
+
= .
x − 8 x − 18
x
2x + 1 3(x − 1)

= 2.
x−1
x+1

Jean-Fran¸cois Hachelouf

2

x+4
2x − 3
+
= 2.
2x − 3
x+4
2x + 5
x

= 1.
2x
x+5
x−3
5
89
+
=
.
5
x−3
40

1
1
1
+
=
x−1 x−9
x
5
2
7

=
.
x + 8 2x + 1
9x

Exercice 4
Peut-on d´eterminer le nombre r´eel m tel que les ´equations en x suivantes admettent la racine indiqu´ee ?
Dans l’affirmative, r´esoudre l’´equation obtenue.
1. (m + 1)x2 + 2x + 2m − 4 = 0

admet une racine ´egale `a 3.

2. x2 − 2(m + 1)x + 2m2 − 2m + 4 = 0
3. (m − 1)x2 − 2(m + 3)x + m − 3

admet une racine ´egale `a 5.

admet une racine double.

Exercice 5
R´esoudre, dans l’ensemble des nombres r´eels, les ´equations suivantes :



2x + 5 − x + 3 = 2.
x + 1 − 4x − 15 = 4.




x + 5 + x + 3 = 5.
16x − 7 = 8 x − 4.






x + 3 + x − 12 = x + 12.
x + 12 + x − 14 = x − 4.
Exercice 6
Discuter, suivant les valeurs du nombre r´eel m, le nombre des racines des ´equations suivantes :
(m − 3)x2 + (2m − 1)x + m + 2 = 0.

(m + 1)x2 + (2m + 1)x + m − 2 = 0.

(m − 2)x2 + (2m + 3)x + m + 2 = 0.

(2m − 1)x2 + 4mx + 2m + 1 = 0.

(m − 4)x2 − 2(m − 2)x + m − 1 = 0.

mx2 − (8m + 1)x + 4(4m + 1) = 0.

Exercice 7
Simplifier les fractions suivantes – x ∈ IR – :
x2 − 6x + 9
.
x2 − 9
20x2 − 23x + 6
.
4x2 − 11x + 6
(2x2 − 5x + 3)(x2 + 4x − 12)
.
(x2 + 5x − 6)(−x2 + x + 2)

x2 − 49
.
− 2x − 63
10x2 − 17x + 3
.
5x2 + 14x − 3
(4x2 − 3x + 8)2 − (5x2 + 4x)2
.
2x2 + x − 3

(a + b)x − a + b
.
2
2
(a − b )x2 − 2(a2 + b2 )x + a2 − b2

(x2 − 5x + 6)2 − (x − 2)2
.
(x − 2)4 − (x − 2)2

x2

Exercice 8
Trouver, a priori, une racine des ´equations suivantes ; en d´eduire alors l’autre racine.

Jean-Fran¸cois Hachelouf

3

3x2 − 4x + 1 = 0.


x2 + (1 + 3)x + 3 = 0.

x2 + 19x + 18 = 0.

2abx2 + (a − b)2 x − (a2 + b2 ) = 0.

cx2 + (a + b)x + a + b − c = 0.

(m − 2)x2 + 5x + 7 − m = 0.

Exercice 9
R´esoudre dans IR les ´equations suivantes :

x − 4x − 19 = 4.
p
2(x + 4) + x(x + 6) = 16.


x + 3 + x + 1 = 5.


x − 9 + x − 24 = x.




2x + 3 −



x + 2 = 2.

2x + 7 + 3 = 3(x + 1).

16x + 9 = 8 x − 3.



x + 18 + x − 8 = x + 2.



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