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Physique

ELECTROMAGNETISME DU VIDE
COURS
qint = ∫∫∫ ρ ( P)dτ
P∈V
!
Rq2 : l’analogie formelle entre le champ de gravitation g et le champ électrique permet d’établir
Rq1 : dans le cas d’une distribution volumique, on a :

un « théorème de Gauss » pour la gravitation, soit :

$
∫∫

S

! !
g ⋅ dS = −4π Gmint

(où G est la constante universelle de la gravitation et

mint la masse contenue dans le volume V ;

le signe « moins » vient du fait que 2 charges de même nature se repoussent alors que 2 masses
de même signe s’attirent).

V.2. EXEMPLES D’APPLICATION DU THEOREME
V.2.1.

Sphère chargée uniformément en volume

!
dS
M

ρ = cste

r

O
a

(S)

Soit une sphère de rayon a, uniformément
chargée en volume; nous allons calculer le
champ électrostatique créé par cette sphère,
à l'intérieur et à l'extérieur de celle-ci

• Topologie du champ :
♦ Invariances : la distribution est invariante par rotation selon

θ et ϕ ⇒ le champ ne

dépend que de r (coordonnées sphériques).
♦ Symétries : tout plan contenant la droite OM est plan de symétrie ; le champ devant
appartenir à l’intersection de tous ces plans est donc porté par

!
!
!
er ; en résumé : E = E (r )er

• Théorème de Gauss : de manière générale, il faut trouver une « bonne » surface de Gauss,

!

!

c’est-à-dire une surface sur laquelle le produit scalaire E ⋅ dS est simple à calculer ; en
choisissant une sphère de centre O et de rayon r, le produit scalaire se ramène à un produit

!
E sera constant, ce qui nous autorisera à le sortir de l’intégrale ; d’où :
! ρr !
! !
qint ρ 4 3
2
E
=
er
♦ r ≤a: $
E

dS
=
E
(
r
)
×
dS
=
E
(
r
)
×
dS
=
E
(
r
)4
π
r
=
=
×
π
r

$
$
∫∫ S
∫∫ S
∫∫ S
3ε 0
ε0 ε0 3

simple et le module de



r ≥ a : 4π r 2 E ( r ) =

! ρ a3 !
ρ 4 3
er
× πa ⇒ E =
3ε 0 r 2
ε0 3

Rq : on constate que le champ électrique est continu en r=a (où il vaut

ρa
) ; cette continuité
3ε 0

du champ électrique (et du potentiel) est une propriété générale des distributions volumiques.

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Christian MAIRE

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