Td 09 Somme et produit .pdf

---

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par TeX / MiKTeX pdfTeX-1.21a, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 22/09/2012 à 10:29, depuis l'adresse IP 77.195.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 705 fois.
Taille du document: 64 Ko (4 pages).
Confidentialité: fichier public

Aperçu du document

---

Jean-Fran¸cois Hachelouf

1

T.D. : SOMME ET PRODUIT.
Exercice 1
D´eterminer les couples (x, y) de nombres r´eels de somme S et de produit P , dans chacun des cas
suivants. Discuter, ´eventuellement, suivant les valeurs du param`etre r´eel m.
S = 9 ; P = 18.

S = 6 ; P = 135.

S = 2 ; P = 2.

S = 2 ; P = 1.

S = −12 ; P = 35.
2m + 3
2
; P =
.
m+1
m+1
S = 2m ; P = m2 − 4.
S=

8m + 1
16m + 4
; P =
.
m
m
4m
S=
; P = 1.
1 − 2m
S=

Exercice 2
Etudier l’existence et le signe des racines r´eelles des ´equations en x suivantes ; discuter, ´eventuellement,
par rapport aux valeur du nombre r´eel m.
7x2 − 5x + 3 = 0.

−x2 − x + 6 = 0.

(m − 1)x2 − 2(m − 2)x + m + 1 = 0.

(m − 2)x2 + (2m + 3)x + m + 2 = 0.

(2m − 1)x2 + mx − 6 = 0.

mx2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0.

mx2 − 2(m + 8)x + m + 3 = 0.

(m − 2)x2 − 2(m − 5)x + m + 3 = 0.

Exercice 3
On d´esigne par a et b les racines de l’´equation 2x2 − 14x + 15 = 0.
1 1
Calculer : a2 + b2 ; (2a − 1)(2b − 1) ; + .
a b
Mˆemes questions pour l’´equation 4x2 + x − 1 = 0.
Exercice 4
On d´esigne par x et y les racines de l’´equation ax2 + bx + c = 0.
Exprimer `a l’aide des coefficients r´eels a, b, c la valeur des expressions :
(3x − 2y)(2x − 3y).

(x − 2)2 + (y − 2)2 .

x3 + y 3 .

x4 + y 4 .

1
1
+
.
x−2 y−2
1
1
x2 + + y 2 + .
x
y

x−1 y−1
+
.
y−1 x−1
1
1
+
.
x − y2
y − x2

Exercice 5
Peut-on d´eterminer le nombre r´eel m de fa¸con que les ´equations en x suivantes aient des racines r´eelles
x0 et x00 satisfaisant `
a la condition indiqu´ee ?

Jean-Fran¸cois Hachelouf

2

mx2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0

avec x0 − x00 = 1.

(m − 1)x2 − 2(m + 1)x + m + 2 = 0

avec une racine quintuple de l’autre.
avec (4x0 + 1)(4x00 + 1) = 18.

2

mx − 2(m + 1)x + m − 4 = 0

(m − 2)x2 − 2(m + 1)x + m + 4 = 0

1
1
+
= 1.
x0 − 2 x00 − 2
avec x00 − 3x0 = 5.

(m − 1)x2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0

avec x00 − 2x0 = 1.

(m − 5)x2 − 2mx + m = 0

avec x02 = 2x00 .

(m − 2)x2 − 2mx + m + 1 = 0

avec x0 = 5x00 .

(m − 4)x2 − 2(m − 1)x + m + 2 = 0

avec x00 − 3x0 = 5.

(m − 1)x2 − 2(m + 1)x + m + 2 = 0

avec

— EXERCICES FACULTATIFS —

Exercice 6
1. Former une ´equation du second degr´e dont les racines r´eelles x0 et x00 v´erifient les relations :

 1 + 1 = 4m − 10
x0
x00
20m − 29
.
 0 00
0
00
x x − 5(x + x ) = 11
2. Pour quelles valeurs du nombre r´eel m cette ´equation a-t-elle des racines r´eelles ?
3. Peut-on d´eterminer m pour que ces racines soient toutes deux positives ?
4. Peut-on d´eterminer m pour que les racines x0 et x00 v´erifient la relation :
17
17
+ 00
= −4 ?
−3 x −3

x0

5. Sur un axe donn´e, on d´esigne par M 0 et M 00 les points d’abscisses respectives x0 et x00 .
Peut-on d´eterminer m pour que M 0 et M 00 soient sym´etriques par rapport `a l’origine de l’axe ?
6. Montrer que, lorsqu’ils existent, les points M 0 et M 00 varient en restant conjugu´es harmoniques
par rapport `
a deux points fixes que l’on d´eterminera.
Exercice 7
Les racines r´eelles d’une ´equation du second degr´e x0 et x00 v´erifient les relations :
(
2x0 x00 + 4 = 3(x0 + x00 )
.
2(m + 2)x0 x00 + 3(x0 + x00 ) = 2m + 2
1. Former cette ´equation.
2. Pour quelles valeurs du nombre r´eel m cette ´equation a-t-elle des racines r´eelles ?
3. Peut-on d´eterminer m pour que 2 soit l’une de ces racines ? Quelle est alors l’autre racine ?

Jean-Fran¸cois Hachelouf

3

4. Peut-on d´eterminer m pour que les deux racines x0 et x00 soient n´egatives ?
5. Former une ´equation du second deg‘r´e dont les racines sont (x0 − x00 ) et (x00 − x0 ). Pour quelles
valeurs de m cette ´equation a-t-elle des racines r´eelles ?
6. Sur un axe donn´e, on d´esigne par M 0 et M 00 les points d’abscisses respectives x0 et x00 .
Montrer que, lorsqu’ils existent, les points M 0 et M 00 varient en restant conjugu´es harmoniques
par rapport `
a deux points fixes que l’on d´eterminera.
Exercice 8
R´esoudre, dans IR2 , les syst`emes suivants :
( 2
x + y 2 = 41
.
xy = 20

1072

 x2 + y 2 =
27
.

 x2 − xy + y 2 = 67
9
( 3
3
x + y = 189
.
x+y =9
( 2
x + y 2 = 17
.
xy = 4

1

 x3 + y 3 =
3
.

 x2 − xy + y 2 = 1
3

(

x2 + y 2 = 17710
.

xy = 385

 1 +1 =5
x y
.

6xy = 1
( 3
x + y 3 = −189

.

x + y = −9
(

x2 + y 2 = 625
x + y = 35

(

.

xy 2 + x2 y = 2
x2 y 5 + x5 y 2 = 2

.

Exercice 9
Dans l’ensemble IR des r´eels, on consid`ere l’´equation en x :
√
√
√
x = a − x + b − x (1)
dans laquelle a et b sont deux nombres r´eels tels que a > b > 0.
1. Pour quelles valeurs de x les radicandes sont-ils positifs ou nuls ?
2. En ´elevant au carr´e les deux membres de l’´equation (1), on obtient une nouvelle ´equation.
a+b
.
Montrer que, si cette ´equation a des racines, celles-ci sont sup´erieures `a
3
En d´eduire que si a > 2b, l´equation (1) n’a pas de racines r´eelles.
3. On suppose que b < a < 2b.
D´emontrer que les solutions de l´equation (1) sont solutions de l’´equation :
5x2 − 2(a + b)x + (a − b)2 = 0 (2)
4. R´esoudre et discuter, suivant les valeurs de a en laissant b fixe, l´equation (2) ; puis l´equation
(1).

Jean-Fran¸cois Hachelouf

4

5. La condition d’existence ´etant satisfaite, on peut poser :
√
√
u2 = a + b + 5(a − b) et v 2 = a + b − 5(a − b)
– on supposera u > 0 et v > 0 –
Exprimer alors la racine α de l´equation (1), ainsi que a − α et b − α sous forme de carr´es de
binˆomes du premier degr´e en u et v.
Exercice 10
p
√
√
3
45 + 29 2 + 45 − 29 2 est un entier.
√
√
2. R´esoudre dans IR l’´equation : 4 41 − x + 4 41 + x = 4.
 3
x = 7x + 3y
2
3. R´esoudre dans IR le syst`eme :
.
y 3 = 7y + 3x

1. Montrer que

p
3



Sur le même sujet..

---