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Ecole Nationale d’Ing´
enieurs de Tunis

AUTOMATIQUE
Support de cours

`ge
Joseph Hagge
Maˆıtre de Conf´erences `
a l’ENIT

2012

ii

ENIT

cours d’automatique

`
J. HAGGEGE
- 2012

Table des mati`
eres
1 Introduction `
a l’automatique
1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mod`eles d’un syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Notion de syst`eme asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses
2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Repr´esentation harmonique des syst`emes lin´eaires continus .
2.3 Etude de processus ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Sch´emas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1
1
1
2

5
. 5
. 6
. 8
. 24

3 Stabilit´
e et pr´
ecision des syst`
emes continus lin´
eaires
27
3.1 Condition de stabilit´e des syst`emes continus lin´eaires . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Crit`eres de stabilit´e des syst`emes continus lin´eaires . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Pr´ecision des syst`emes en boucle ferm´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Correction des syst`
emes asservis lin´
eaires continus
4.1 But de la correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Correction par avance de phase . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Correction par retard de phase . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Correction combin´ee par avance et retard de phase . . . . .
4.5 Synth`ese des asservissements lin´eaires avec l’abaque de Black
4.6 R´egulation PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie

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J. HAGGEGE
- 2012

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39
39
41
44
47
47
52
55

cours d’automatique

ENIT

iv

ENIT

Table des mati`
eres

cours d’automatique

`
J. HAGGEGE
- 2012

Chapitre 1
Introduction `
a l’automatique
1.1


en´
eralit´
es

L’automatique constitue un ensemble de techniques et de m´ethodes permettant de d´eterminer les d´ecisions a` appliquer `a un syst`eme pour obtenir des performances impos´ees. Les
d´ecisions consistent en des signaux de commande appliqu´es au syst`eme.
Un syst`eme (ou processus) est un ensemble d’´el´ements interconnect´es suivant une structure
d´etermin´ee, dont le but est d’obtenir un r´esultat donn´e.
On repr´esente un syst`eme au moyen d’un sch´ema-blocs ou sch´ema fonctionnel :

e
entrée

entrées

e1
e2
en

.
.
.

système
monovariable

système
multivariable

s
sortie

.
.
.

s1
s2

sorties

sp

Les m´ethodes utilis´ees en automatique peuvent s’appliquer a` des syst`emes tr`es vari´es :
• processus industriels de production ;
• syst`emes m´ecaniques et ´electrom´ecaniques ;
• ´economie, chimie, biologie, . . .

1.2

Mod`
eles d’un syst`
eme

Pour ´etudier et commander un syst`eme, on a besoin d’un mod`ele de ce syst`eme. Un mod`ele
est une repr´esentation math´ematique d’un syst`eme. Un mod`ele peut ˆetre obtenu `a partir
des ´equations qui r´egissent les ph´enom`enes physiques impliqu´es dans le processus : un tel
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- 2012

cours d’automatique

ENIT

2

Chapitre 1 - Introduction `
a l’automatique

mod`ele est appel´e mod`ele de connaissance. Il est souvent trop complexe pour pouvoir ˆetre
utilis´e dans la d´etermination de la commande (nombre de param`etres trop important,
´equations difficiles a` r´esoudre, . . .)
En automatique, on pr´ef`ere utiliser un mod`ele de commande : c’est une repr´esentation
´equivalente du processus, c’est-`a-dire que pour une entr´ee donn´ee, la sortie du mod`ele est
proche de celle du syst`eme avec un certain degr´e d’approximation. Un tel mod`ele peut
ˆetre obtenu a` partir de mesures sur le syst`eme (identification). Les param`etres physiques
du processus n’aparaissent donc pas directement dans le mod`ele de commande (d’o`
u le
nom de mod`ele « boˆıte noire »).
En fonction de l’´etude a` effectuer sur le processus, on peut donc choisir un mod`ele plus ou
moins complexe. Il y a donc diff´erents mod`eles qui peuvent repr´esenter un syst`eme donn´e.
Exemple : soit le circuit RLC suivant :
i

u

R

L

uR

uL

u

i

système

uC
C

Equations du syst`eme :
u = uR + uL + uC
avec :


 uR = R i
di
uL = L dt
R

1
uC = C i dt

Les param`etres du syst`eme sont la r´esistance R, l’inductance L et la capacit´e C.
Un mod`ele simple de ce syst`eme est obtenu en consid´erant que les param`etres du syst`eme
sont constants. Un tel mod`ele est utilis´e si on s’int´eresse a` l’´evolution du courant i en
fonction de la tension u.
Un mod`ele plus complexe peut ˆetre obtenu en tenant compte :
• de l’effet de la temp´erature sur la r´esistance : R = R(T ) ;
• de ph´enom`enes magn´etiques dans l’inductance : L = L(i) ;
• de ph´enom`enes ´electrostatiques dans le condensateur : C = C(u).
Ce mod`ele peut ˆetre utilis´e si on veut ´etudier l’influence de la temp´erature ou des ph´enom`enes magn´etiques et ´electrostatiques sur le courant.

1.3

Notion de syst`
eme asservi

Pour obtenir une sortie s0 donn´ee du syt`eme, on peut calculer l’entr´ee e0 a` appliquer et
la maintenir constante :
e0

système

s0

C’est une commande en boucle ouverte.
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cours d’automatique

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- 2012

1.3 - Notion de syst`
eme asservi

3

Exemple : on veut maintenir le cap d’un bateau :
N
cap

O

E

S

Pour cela, on peut bloquer le gouvernail sur un angle donn´e et laisser avancer le bateau.
Cependant, celui-ci est soumis a` des perturbations ext´erieures qui ne sont en g´en´eral
pas pr´evisibles : houle, vents, courants, . . . et qui vont faire d´evier le bateau. Il est donc
n´ecessaire d’avoir une information sur la sortie r´eelle du syst`eme pour pouvoir la comparer
avec la sortie d´esir´ee afin de g´en´erer le signal de commande ad´equat : il s’agit dans ce cas
d’une commande en boucle ferm´ee ou par feedback. On obtient ainsi un syst`eme asservi
ou asservissement.
Sch´ema fonctionnel d’un asservissement :
perturbations
commande

comparateur
entrée de
référence
(ou consigne)

+



organe de
écart
commande
(erreur) (ou régulateur)

Processus

sortie
asservie

chaîne directe (ou chaîne d'action)

mesure

capteur
chaîne de retour (ou contre-réaction)

L’un des objectifs de l’automatique consiste en la conception d’organes de commande (ou
r´egulateurs) permettant d’annuler l’erreur d’asservissement (ou du moins la maintenir
aussi faible que possible).
Remarque : lorsque la consigne est constante, on parle de r´egulation et lorsqu’elle doit
suivre une r´ef´erence variable dans le temps, on parle d’asservissement ou de poursuite.
Les r´egulateurs peuvent ˆetre r´ealis´es selon diff´erentes technologies : ´electronique, ´electrique, m´ecanique, pneumatique, hydraulique, . . . Ils peuvent ˆetre continus (composants
analogiques) ou num´eriques (commande par calculateur).
L’organe de commande peut ´egalement r´ealiser une amplification de puissance, comme
par exemple dans le cas de la direction assist´ee d’une automobile :

écart

volant

circuit
hydraulique
d'amplification

direction de
l'automobile

trajectoire

organe de commande
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cours d’automatique

ENIT

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ENIT

Chapitre 1 - Introduction `
a l’automatique

cours d’automatique

`
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- 2012

Chapitre 2
Syst`
emes continus lin´
eaires :
repr´
esentations et r´
eponses
2.1


efinitions

Un syst`eme continu lin´eaire est un syst`eme r´egi par une ´equation diff´erentielle lin´eaire a`
coefficients constants reliant la sortie y(t) du syst`eme a` son entr´ee u(t) :
y(t)

u(t)
système

entrée

n
X
i=0

ai y

(i)

=

sortie

m
X

bj u(j)

j=0

avec n > m, n ´etant l’ordre du syst`eme. Cette ´equation diff´erentielle constitue une repr´esentation temporelle du syst`eme.
On peut ´egalement repr´esenter un syst`eme continu lin´eaire par sa fonction de transfert en
utilisant la transform´ee de Laplace. Celle-ci est d´efinie, pour une fonction f (t) telle que
f (t) = 0 pour t < 0, par :
Z+∞
L [f (t)] = F (p) =
f (t)e−pt dt
0

La transform´ee de Laplace poss`ede, entre autres, la propri´et´e suivante :
L [f 0 (t)]
L [f 00 (t)]
..
.

= pF (p) − f (0)
= p2 F (p) − pf (0) − f 0 (0)

L [f (i) (t)] = pi F (p) − pi−1 f (0) − . . . f (i−1) (0)
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cours d’automatique

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Chapitre 2 - Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses

Ainsi, en prenant la transform´ee de Laplace de l’´equation diff´erentielle repr´esentant le
syst`eme, les conditions initiales ´etant suppos´ees identiquement nulles, il vient :
n
X

ai pi Y (p) =

i=0

m
X

bj pj U (p)

j=0

On en d´eduit la fonction de transfert H(p) du syst`eme comme ´etant, par d´efinition,
le rapport des transform´ees de Laplace de la sortie et de l’entr´ee du syst`eme avec des
conditions initiales nulles :
m
P
b j pj
Y (p)
j=0
H(p) =
= P
n
U (p)
ai p i
i=0

Remarque : la transform´ee de Laplace de la sortie du syst`eme est telle que :
Y (p) = H(p)U (p)
d’o`
u, en prenant la transform´ee de Laplace inverse de cette expression, la sortie y(t) du
syst`eme s’´ecrit comme un produit de convolution :
y(t) = h(t) ∗ u(t)
Si U (p) = 1, alors Y (p) = H(p), or le signal dont la transform´ee de Laplace est ´egale a`
1 est l’impulsion de Dirac δ(t). Donc la fonction de transfert H(p) est la transform´ee de
Laplace de la sortie lorsque l’entr´ee est une impulsion de Dirac (r´eponse impulsionnelle) :
H(p) = L [h(t)]

2.2

Repr´
esentation harmonique des syst`
emes lin´
eaires
continus

La fonction de transfert harmonique d’un syst`eme lin´eaire continu est obtenue en appliquant au syst`eme une entr´ee sinuso¨ıdale u(t) = Um sin ωt. En r´egime permanent, la sortie
est y(t) = Ym sin(ωt + ϕ) ; la fonction de transfert harmonique du syst`eme est le nombre
complexe H(jω) tel que :
|H(jω)| =

Ym
Um

et

arg H(jω) = ϕ

Remarques :
• la fonction de transfert H(jω) est ´egalement appel´ee fonction de transfert isochrone
tandis que H(p) est la fonction de transfert isomorphe ;
• la fonction de transfert H(jω) peut ´egalement ˆetre obtenue a` partir de H(p) en
prenant p = jω.
ENIT

cours d’automatique

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- 2012

2.2 - Repr´
esentation harmonique des syst`
emes lin´
eaires continus

7

Repr´
esentations de la fonction de transfert harmonique :
• Lieu de Nyquist : c’est l’ensemble des points d’affixe H(jω) dans le plan complexe
lorsque ω varie de 0 a` +∞. Le lieu de Nyquist est gradu´e en ω et orient´e dans le
sens des ω croissants.
Im

uuuur
OM = H ( jω )

ϕ = arg H ( jω )
ω=0
O

ϕ

ω1

M
ω4

Re

ω2

ω3

• Lieux de Bode : c’est la repr´esentation de |H(jω)|dB et ∠H(jω)˚ en fonction de ω.
H ( jω ) dB

100

101

ω

103

102

(échelle logarithmique)
H ( jω )

100

o

101

ω

103

102

• Lieu de Black : c’est la repr´esentation de |H(jω)|dB en fonction de ∠H(jω)˚. Le lieu
de Black est gradu´e en ω et orient´e dans le sens des ω croissants.
H ( jω ) dB

ω3
ω2

ω4

ω1
ω=0
H ( jω )

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cours d’automatique

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Chapitre 2 - Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses

2.3

Etude de processus ´
el´
ementaires

Syst`
eme du 1er ordre :
C’est un syst`eme d´efini par une ´equation diff´erentielle d’ordre 1, de la forme :
τ

dy
+ y(t) = K u(t)
dt

o`
u τ est la constante de temps du syst`eme et K son gain statique. La fonction de transfert du syst`eme est obtenue en prenant la transform´ee de Laplace des deux membres de
l’´equation diff´erentielle, les conditions initiales ´etant suppos´ees nulles :
τ pY (p) + Y (p) = K U (p)
d’o`
u:
H(p) =

K
Y (p)
=
U (p)
1 + τp

Etude temporelle :
La r´eponse a` un ´echelon de position, ou r´eponse indicielle, est obtenue en r´esolvant l’´equation diff´erentielle pour une entr´ee u(t) telle que :

0 pour t < 0
u(t) = Γ(t) =
1 pour t ≥ 0
Γ(t)
1

t

0

Ainsi, il vient :


− τt

y(t) = K 1 − e



y(t)
K
0,63K

0

t

τ

La constante de temps τ apparaˆıt comme le temps n´ecessaire pour que la sortie atteigne
63 % de sa valeur finale. Le temps de r´eponse a` 5 %, c’est-`a-dire le temps n´ecessaire pour
que la sortie atteigne 95 % de sa valeur finale, est ´egal a` 3τ .
La r´eponse a` un ´echelon de vitesse est obtenue en r´esolvant l’´equation diff´erentielle pour
une entr´ee u(t) telle que :

0 pour t < 0
u(t) =
kt pour t ≥ 0
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cours d’automatique

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J. HAGGEGE
- 2012

2.3 - Etude de processus ´
el´
ementaires

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u(t)

k
1
t

0

L’´equation diff´erentielle `a r´esoudre pour d´eterminer la r´eponse du syst`eme a` cette entr´ee
est :
dy
τ
+ y(t) = Kkt = at (avec a = Kk)
dt
La solution de cette ´equation diff´erentielle s’´ecrit comme la somme d’une solution particuli`ere y1 (t) et de la solution y2 (t) de l’´equation diff´erentielle sans second membre :
y(t) = y1 (t) + y2 (t)
La solution y1 (t) est de la forme :
y1 (t) = αt + β
En portant cette solution dans l’´equation diff´erentielle, il vient :
τ α + αt + β = at
d’o`
u, par identification :


α=a
β = −τ α = −τ a

et ainsi :
y1 (t) = a(t − τ )
D’autre part :
t

y2 (t) = γe− τ
d’o`
u:

t

y(t) = a(t − τ ) + γe− τ
Comme y(0) = 0, il vient :
−aτ + γ = 0
d’o`
u:
γ = aτ
Finalement :

t

y(t) = a(t − τ ) + aτ e− τ
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- 2012

cours d’automatique

ENIT

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Chapitre 2 - Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses

y(t)

erreur
de traînage

u(t)

t

0
−aτ

asymptote y1 ( t ) = a ( t - τ )
t

u:
En r´egime permanent, c’est-`a-dire pour t  τ , e− τ → 0, d’o`
y(t) ≈ a(t − τ ) = Kk(t − τ ) = Ku(t − τ )
Donc la sortie du syst`eme en r´egime permanent est proportionnelle au signal d’entr´ee,
retard´e de la constante de temps τ .
L’erreur de traˆınage en r´egime permanent est donn´ee par :
ε(t) = u(t) − y(t) ≈ kt − Kk(t − τ ) = k(1 − K)t + Kkτ
Deux cas se pr´esentent selon la valeur du gain statique K du syst`eme :
• si K = 1, alors l’erreur de traˆınage en r´egime permanent est constante, ´egale a` kτ ;
• si K 6= 1, alors l’erreur de traˆınage en r´egime permanent est infinie.
Etude fr´
equentielle :
Le lieu de Nyquist du syst`eme est obtenu en ´ecrivant la fonction de transfert harmonique
H(jω) sous la forme :
H(jω) = X(ω) + jY (ω)
avec :



X(ω) = Re(H(jω))
Y (ω) = Im(H(jω))

Dans le cas du syst`eme du premier ordre, on a :
H(jω) =
donc :

K
K(1 − jωτ )
=
1 + jωτ
1 + ω2τ 2


K



 X(ω) = 1 + ω 2 τ 2 > 0


Kωτ

 Y (ω) = −
≤0
1 + ω2τ 2

En remarquant que :
Y (ω)
= −ωτ
X(ω)
ENIT

cours d’automatique

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- 2012

2.3 - Etude de processus ´
el´
ementaires
il vient :
X(ω) =
1+

K


Y (ω)
X(ω)

2 =

11

KX(ω)2
X(ω)2 + Y (ω)2

On obtient ainsi l’´equation du lieu de Nyquist :
X(ω)2 + Y (ω)2 − K X(ω) = 0
qui peut ´egalement s’´ecrire :
2

K
K2
X(ω) −
+ Y (ω)2 =
2
4

C’est l’´equation d’un cercle de centre K2 , 0 et de rayon K2 . Comme X(ω) > 0 et Y (ω) ≤ 0,
le lieu de Nyquist du syst`eme est la moiti´e de ce cercle, situ´ee en dessous de l’axe r´eel.
Im

ω →∞



K
2

K
2

K
ω =0

Re

1
τ
Le lieu de Bode est obtenu en exprimant le gain en d´ecibels et la phase en degr´es du
syst`eme :


K

= 20 log K − 10 log 1 + ω 2 τ 2
|H(jω)|dB = 20 log √
1 + ω2τ 2
 ∠H(jω)˚= − arctan ωτ

ω=

Pour ω → 0, on a :


|H(jω)|dB ≈ 20 log K
∠H(jω)˚≈ 0˚

Ces approximations d´efinissent le lieu de Bode asymptotique H1 (jω) du syst`eme pour les
faibles pulsations. De mˆeme, on peut obtenir le lieu de Bode asymptotique aux hautes
pulsations H2 (jω) en ´ecrivant, pour ω → +∞ :
(

|H(jω)|dB ≈ 20 log
∠H(jω)˚≈ −90˚

K
− 20 log ω
τ

Ainsi, aux basses pulsations, le syst`eme pr´esente un gain pratiquement constant et n’introduit pas de d´ephasage tandis qu’aux hautes pulsations, le gain d´ecroit avec une pente
de −20 dB/d´ecade et le d´ephasage atteint la valeur maximale de 90˚.
`
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- 2012

cours d’automatique

ENIT

12

Chapitre 2 - Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses

Les lieux de Bode asymptotiques H1 (jω) et H2 (jω) prennent la mˆeme valeur en module
pour ω = τ1 . Cette valeur de la pulsation, not´ee ωc , est appel´ee pulsation de cassure. Pour
cette pulsation, le gain du syst`eme est :
|H(jωc )|dB = 20 log K − 10 log 2 = |H(0)|dB − 3 dB
C’est pour cela que la pulsation de cassure est ´egalement appel´ee pulsation de coupure `
a
−3 dB car, a` cette pulsation, le gain du syst`eme est diminu´e de 3 dB par rapport au gain
statique.
H ( jω ) dB
20 log K
0
−2
a
éc
/d

dB

20 log K − 3dB

de

ω
(échelle
logarithmique)

ω = ωc

H ( jω ) °

ω

−45°

−90°

Le lieu de Black se d´eduit des lieux de Bode en ´eliminant la pulsation ω entre l’expression
du module et celle du d´ephasage.
H ( jω ) dB

ω = ωc

ω = 0 20 log K
20 log K − 3dB
H ( jω ) °

−45°

−90°



ω →∞

Syst`
eme int´
egrateur :
C’est un syst`eme d´efini par l’´equation diff´erentielle suivante :
dy
= Ku(t)
dt
En prenant la transform´ee de Laplace des deux membres de cette ´equation diff´erentielle,
on obtient la fonction de transfert de l’int´egrateur :
H(p) =
ENIT

Y (p)
K
=
U (p)
p

cours d’automatique

`
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2.3 - Etude de processus ´
el´
ementaires

13

La fonction de transfert harmonique s’´ecrit :
H(jω) =

K
K
= −j

ω

On en d´eduit le lieu de Nyquist de l’int´egrateur :

Im

ω →∞

Re

ω =0
Les lieux de Bode de l’int´egrateur sont tels que :
(
K
|H(jω)|dB = 20 log
= 20 log K − 20 log ω
ω
∠H(jω)˚= −90˚
H ( jω ) dB

−20
d

B/d
écad

e

ω =Κ

ω
(échelle
logarithmique)

H ( jω ) °

ω


−90°

On constate que les lieux de Bode de l’int´egrateur sont identiques aux lieux de Bode
asymptotiques du syst`eme du premier ordre aux hautes pulsations. Un syst`eme du premier
ordre se comporte donc comme un int´egrateur pour les pulsations ´elev´ees.
`
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- 2012

cours d’automatique

ENIT

14

Chapitre 2 - Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses

Le lieu de Black de l’int´egrateur est le suivant :
H ( jω ) dB

ω =0

ω =Κ

0 dB


−90°

H ( jω ) °

ω →∞

Syst`
eme `
a retard pur :
Contrairement aux autres syst`emes lin´eaires ´etudi´es jusque l`a, un syst`eme a` retard n’est
pas d´efini par une ´equation diff´erentielle mais par une ´equation fonctionnelle liant l’entr´ee
et la sortie de ce syst`eme :
y(t) = u(t − T )
o`
u T est le retard pur introduit par un tel syst`eme. La sortie du syst`eme est ´egale `a
l’entr´ee retard´ee de T :
y(t)
u(t)

t

0
T
La fonction de transfert du syst`eme `a retard est :
H(p) =

Y (p)
= e−T p
U (p)

La fonction de transfert harmonique est :
H(jω) = e−jωT = cos ωT − j sin ωT
Le lieu de Nyquist du syst`eme a` retard est le suivant :

Im

1
ω =0

ENIT

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Re

`
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2.3 - Etude de processus ´
el´
ementaires
Les lieux de Bode sont d´efinis par :


15

|H(jω)|dB = 0
∠H(jω)˚= −ωT

H ( jω ) dB

ω
(échelle
logarithmique)

0 dB

H ( jω ) °


ω

Le lieu de Black est le suivant :
H ( jω ) dB

ω →∞

ω = 0 0 dB


H ( jω ) °

Syst`
eme du 2nd ordre :
Un syst`eme du second ordre est d´efini par une ´equation diff´erentielle pouvant s’´ecrire sous
la forme standard suivante :
d2 y
dy
+ 2ξω0
+ ω02 y = Kω02 u(t)
2
dt
dt
dans laquelle ω0 d´esigne la pulsation naturelle du syst`eme, ξ son coefficient d’amortissement et K son gain statique. La fonction de transfert de ce syst`eme, obtenue `a partir de
l’´equation diff´erentielle, est la suivante :
Y (p)
Kω02
H(p) =
= 2
U (p)
p + 2ξω0 p + ω02
On peut classer les syst`emes du second ordre d’apr`es leur coefficient d’amortissement ξ.
En effet, l’´equation caract´eristique d’un tel syst`eme s’´ecrit :
λ2 + 2ξω0 λ + ω02 = 0
`
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ENIT

16

Chapitre 2 - Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses

Le discriminant r´eduit de cette ´equation est :
∆0 = ω02 (ξ 2 − 1)
Ainsi, trois cas se pr´esentent :
• ξ > 1, l’´equation caract´eristique poss`ede deux racines r´eelles distinctes :
λ1,2 = ω0 (−ξ ±

p
1
ξ 2 − 1) = −
τ1,2

Dans ce cas, la solution de l’´equation diff´erentielle en r´egime libre, c’est-`a-dire pour
u(t) = 0, est de la forme :
− t
− t
y(t) = c1 e τ1 + c2 e τ2
Cette r´eponse est ap´eriodique.
• ξ = 1, l’´equation caract´eristique poss`ede une racine double :
λ0 = −ξω0 = −ω0 = −

1
τ

La solution de l’´equation diff´erentielle en r´egime libre est alors de la forme :
t

y(t) = (αt + β)e− τ
Cette r´eponse est critique.

• ξ < 1, l’´equation caract´eristique poss`ede deux racines complexes conjugu´ees :
p
λ1,2 = ω0 (−ξ ± j 1 − ξ 2 )
L’´equation diff´erentielle en r´egime libre admet dans ce cas une solution de la forme :
p
y(t) = c e−ξω0 t sin(ω0 1 − ξ 2 t + γ)
Cette
p r´eponse pr´esente un comportement oscillatoire amorti et la pulsation ωp =
ω0 1 − ξ 2 est appel´ee pseudo-pulsation.
Etude temporelle :
La r´eponse indicielle d’un syst`eme du second ordre est obtenue en r´esolvant l’´equation
diff´erentielle du syst`eme pour une entr´ee u(t) telle que :

0 pour t < 0
u(t) =
1 pour t ≥ 0
Dans ce cas, une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle est donn´ee par :
y1 (t) = K
La solution g´en´erale est la somme de cette solution particuli`ere et de la solution en r´egime
libre, les condition initiales ´etant identiquement nulles (y(0) = y(0)
˙
= 0).
Ainsi, pour les trois cas distingu´es pr´ec´edemment, il vient :
ENIT

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2.3 - Etude de processus ´
el´
ementaires

17

t

• si ξ = 1, alors y(t) = K + (αt + β)e− τ avec α et β tels que :


y(0) = 0

y(0)
˙
=0



β+K =0

α − βτ = 0



β = −K
α = − Kτ

d’o`
u l’expression de la r´eponse indicielle :




t
− τt
y(t) = K 1 − 1 +
e
τ
y(t)
K

ξ =1

t

• si ξ > 1, alors y(t) = K + c1 e


− τt

1

y(0) = 0

y(0)
˙
=0



+ c2 e

− τt

2

avec c1 et c2 tels que :

c1 + c2 = −K

c1
+ τc22 = 0
τ1



1
c1 = − τKτ
1 −τ2
Kτ2
c2 = τ1 −τ2

d’o`
u l’expression de la r´eponse indicielle :


τ2
τ1
− t
− t
y(t) = K 1 −
e τ1 +
e τ2
τ1 − τ2
τ1 − τ2



y(t)
K
ξ

=1

ξ=

1, 9

ξ ≥1

t

`
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18

Chapitre 2 - Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses
• si ξ < 1, alors y(t) = K + c e−ξω0 t sin(ω0

p

1 − ξ 2 t + γ) avec c et γ tels que :
(


c = − √K 2
c sin γ = −K
y(0) = 0
1−ξ
p


y(0)
˙
=0
−ξ sin γ + 1 − ξ 2 cos γ = 0
γ = arccos ξ

d’o`
u l’expression de la r´eponse indicielle :
y(t) = K

1− p

1
1 − ξ2




p
e−ξω0 t sin ω0 1 − ξ 2 t + arccos ξ

!

ξ=

0, 4

y(t)

K
ξ

=1

ξ ≤1

t

Dans le dernier cas (ξ < 1), on peut d´eterminer les param`etres caract´eristiques K, ξ et ω0
du syst`eme, a` partir d’une r´eponse indicielle pouvant ˆetre obtenue exp´erimentalement, en
mesurant l’instant et la valeur du premier d´epassement, ainsi que la valeur de la r´eponse
en r´egime permanent.
Le gain statique K, pour une entr´ee ´echelon unitaire, est donn´e par :
K = lim y(t)
t→+∞

Le premier d´epassement a lieu a` l’instant tp , appel´e temps de pic, tel que :
tp =

π
p
ω0 1 − ξ 2

Le temps de pic permet de caract´eriser la rapidit´e du syst`eme. Ainsi, pour un coefficient
d’amortissement ξ donn´e, le syst`eme est d’autant plus rapide que sa pulsation naturelle
ω0 est ´elev´ee.
La valeur D1 du premier d´epassement est donn´ee par :
− √ πξ

D1 = Ke

1−ξ2

Plus le coefficient d’amortissement est faible, plus l’amplitude du premier d´epassement
est ´elev´ee, et ce, ind´ependamment de la pulsation naturelle. La valeur maximale de ce
ENIT

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2.3 - Etude de processus ´
el´
ementaires

19

d´epassement est ´egale a` K, valeur atteinte lorsque l’amortissement tend vers z´ero (dans
ce cas, la r´eponse indicielle du syst`eme n’est plus amortie et devient une sinuso¨ıde pure).
y(t)

D1

K

tp

t

En notant δ = D1 /K le d´epassement relatif, il vient :
ln δ
ξ = −p
π 2 + (ln δ)2
et :
ω0 =

π
p
tp 1 − ξ 2

Ainsi, la dynamique d’un syst`eme du second ordre dont le coefficient d’amortissement est
inf´erieur a` 1 peut ˆetre caract´eris´e, de mani`ere ´equivalente, soit par le couple (ξ, ω0 ), soit
par le couple (D1 , tp ).
Etude fr´
equentielle :
La fonction de transfert harmonique d’un syst`eme du second ordre est :
H(jω) =

Kω02
(ω02 − ω 2 ) + 2jξω0 ω

Le module et l’argument de cette fonction de transfert sont, respectivement :
|H(jω)| = p

Kω02
(ω02 − ω 2 )2 + 4ξ 2 ω02 ω 2

et :
∠H(jω) = − arctan

2ξω0 ω
ω02 − ω 2

Le module en dB de la fonction de transfert est :


|H(jω)|dB = 20 log(Kω02 ) − 10 log (ω02 − ω 2 )2 + 4ξ 2 ω02 ω 2
`
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20

Chapitre 2 - Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses

On en d´eduit les lieux de Bode asymptotiques H1 (jω) pour ω → 0 :

|H(jω)|dB ≈ 20 log K
∠H(jω)˚≈ 0˚
et H2 (jω) pour ω → +∞ :


|H(jω)|dB ≈ 20 log(Kω02 ) − 40 log ω
∠H(jω)˚≈ −180˚

Le module de la fonction de transfert aux hautes pulsations d´ecroˆıt ainsi avec une pente
de −40 dB/d´ecade et les modules de H1 (jω) et H2 (jω) prennent la mˆeme valeur pour
ω = ω0 .
On d´efinit le facteur de r´esonance Q du syst`eme comme ´etant la valeur maximale de son
gain rapport´ee au gain statique :
|H(jω)|max
H(0)

Q=

Le gain du syst`eme atteint son maximum lorsque le d´enominateur du module de la fonction de transfert harmonique est minimal. La d´etermination de ce maximum se fait donc
en cherchant la pulsation ωr , appel´ee pulsation de r´esonance, pour laquelle la quantit´e
(ω02 − ω 2 )2 + 4ξ 2 ω02 ω 2 est minimale. En d´erivant cette expression par rapport a` ω, il vient :
ωr = ω0

p
1 − 2ξ 2

Cette expression montre que la pulsation de r´esonance n’existe que si ξ <
Dans ce cas, on a :
K
|H(jω)|max = |H(jωr )| = p
2ξ 1 − ξ 2



2/2 ≈ 0,7.

Comme le gain statique est :
H(0) = K
il vient l’expression du facteur de r´esonance :
Q=

1
p
2ξ 1 − ξ 2

Lorsque le syst`eme est tr`es peu amorti, c’est-`a-dire lorsque ξ  1, alors la pulsation de
r´esonance ωr se confond avec la pulsation naturelle ω0 , et le facteur de r´esonance devient :
Q≈

1


On en d´eduit l’allure des lieux de Bode, de Black et de Nyquist, selon la valeur du coefficient d’amortissement :
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2.3 - Etude de processus ´
el´
ementaires

21

H ( jω ) dB

ξ < 0,7

20 log K

ξ ≥ 0,7
0 dB

ω0
−4
0

log ω

dB

/dé
cad

e

∠H ( jω ) °
ξ=



0,1

log ω

ξ=
0,9

−90°

−180°

H ( jω ) dB

,1
ξ =0

20 log K
0,9
ξ=

0 dB
−180°

`
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−90°

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∠H ( jω ) °

ENIT

22

Chapitre 2 - Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses
ℑm ( H ( jω ) )
20 log K
ℜe ( H ( jω ) )

ξ = 0,9

ξ

=

0,3

Lieux de Bode asymptotiques d’un syst`
eme lin´
eaire complexe :
Un syst`eme lin´eaire complexe est un syst`eme dont la fonction de transfert H(p) peut se
mettre sous la forme d’un produit de fonctions de transferts de syst`emes ´el´ementaires :
H(p) = H1 (p)H2 (p) . . . Hn (p)
o`
u H1 (p), H2 (p), . . .Hn (p) repr´esentent des syst`emes du 1er ordre, du 2nd ordre, int´egrateur,
d´erivateur, ou a` retard pur.
Le module et l’argument de la fonction de transfert harmonique du syst`eme complexe
sont la somme, respectivement, des modules et des arguments des fonctions de transferts
des syst`emes ´el´ementaires :
|H(jω)|dB = |H1 (jω)|dB + |H2 (jω)|dB + . . . + |Hn (jω)|dB
∠H(jω)˚= ∠H1 (jω)˚+ ∠H2 (jω)˚+ . . . + ∠Hn (jω)˚
Cette propri´et´e permet d’obtenir ais´ement les lieux de Bode asymptotiques d’un syst`eme
complexe : on d´ecompose sa fonction de transfert en fonctions de tranfert ´el´ementaires
dont on additionne graphiquement les lieux de Bode asymptotiques.
Exemple : soit `a d´eterminer les lieux de Bode asymptotiques du syst`eme d´ecrit par la
fonction de transfert suivante :
H(p) =
avec :

ENIT

Kω02 (1 + τ1 p)
p(1 + τ2 p)(p2 + 2ξω0 p + ω02 )

1
1
<
< ω0 < 1 et ξ < 1
τ2
τ1
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2.3 - Etude de processus ´
el´
ementaires

23

On a :
H(p) =

Kω02
1
1
(1 + τ1 p)
p | {z } 1 + τ p p2 + 2ξω0 p + ω02
|{z} H2 (p) | {z 2 } |
{z
}
H3 (p)

H1 (p)

H4 (p)

d’o`
u les diagrammes de Bode asymptotiques :
−20

−4

0

H

1

( p)

dB

−20

H 2(

ω =1 τ2

p)

dB

ω =1
ω = 1 τ1

ω = ω0

log ω

H
4

( p)

0

3

−6

H

(p

)d

B

dB

∠H 2 ( p )



log ω
∠H 3 ( p )
∠H1 ( p )

−90°

∠H 4 ( p )

−180°

−270°

`
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ENIT

24

Chapitre 2 - Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses

2.4

Sch´
emas fonctionnels

Les sch´emas fonctionnels (ou sch´emas blocs) permettent de repr´esenter des syst`emes complexes par des interconnexions de syst`emes ´el´ementaires. Le sch´ema fonctionnel d’un syst`eme de fonction de transfert H(p), est le suivant :
U ( p)

Y ( p ) = H ( p )U ( p )

H ( p)

De tels blocs peuvent ˆetre interconnect´es de diff´erentes mani`eres :
• En s´erie (ou en cascade) :
U ( p)

H1 ( p )

Y ( p)

H2 ( p)



U ( p)

H1 ( p ) H 2 ( p )

Y ( p)

• En parall`ele :

H1 ( p )
U ( p)

+
+

Y ( p)



U ( p)

H1 ( p ) + H 2 ( p )

Y ( p)

H2 ( p)

• En contre-r´eaction :
Y c ( p)

ε ( p)

+


G ( p)

Y ( p)

H ( p)
Ce dernier cas repr´esente le sch´ema fonctionnel d’un syst`eme asservi (ou syst`eme boucl´e)
dans lequel G(p) et H(p) sont, respectivement, les fonctions de transfert de la chaˆıne
d’action et de la chaˆıne de retour, Y (p) repr´esente la grandeur a` asservir, Y c (p) l’entr´ee
de consigne et ε(p) le signal d’erreur.
Fonction de transfert d’un syst`eme asservi :

Y (p)
G(p)
Y (p) = G(p)ε(p)
⇒ c
=
c
ε(p) = Y (p) − H(p)Y (p)
Y (p)
1 + G(p)H(p)
Cette expression est appel´ee formule de Black.
On d´efinit ´egalement la fonction de transfert de l’erreur :
ε(p)
1
=
c
Y (p)
1 + G(p)H(p)
ENIT

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`
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2.4 - Sch´
emas fonctionnels

25

Les syst`emes a` retour unitaire constituent un cas particulier de syst`eme asservi :
Y c ( p)

Y ( p)

G ( p)

+


Si le retour n’est pas unitaire, on peut transformer le sch´ema fonctionnel pour faire apparaˆıtre un syst`eme `a retour unitaire :
Y c ( p)
Y ( p)
+
G ( p)
Y c ( p)
Y ( p)

1



H ( p)

G ( p)

+


H ( p)

H ( p)

Lorsque l’on s’int´eresse a` l’influence de perturbations affectant la sortie d’un syst`eme, on
peut repr´esenter ce dernier par le sch´ema fonctionnel suivant :
P (p )

entrée de
perturbation

H2 ( p)

U ( p)
entrée de
commande

+
+

H1 ( p )

P (p )
Y ( p)
sortie

U ( p)



+
+

H1 ( p )
H2 ( p)

H2 ( p)

Y ( p)

Ces diff´erentes transformations permettent de simplifier les sch´emas fonctionnels afin de
d´eterminer la fonction de transfert de syst`emes complexes.
Exemple :
H3 ( p)

Y c ( p)

H1 ( p)

+


H3 ( p)

+
+−

H2 ( p)

Y ( p)

Y c ( p)



+


+
+

H1 ( p)

H4 ( p)

+


Y ( p)

H5 ( p)

H3 ( p )
H1 ( p )

Y c ( p)

H2 ( p)

H4 ( p)

H5 ( p)



+−

H3 ( p )
H1 ( p )

+
+

H1 ( p)

H2 ( p)
1+ H2 ( p) H4 ( p)

Y ( p)



Y c ( p)

H5 ( p)

`
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+
+


H1 ( p ) H 2 ( p )
1+ H2 ( p) H4 ( p)

Y ( p)

H5 ( p)

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26

Chapitre 2 - Syst`
emes continus lin´
eaires : repr´
esentations et r´
eponses
H3 ( p )
H1 ( p )



Y c ( p)

+
+

H1 ( p ) H 2 ( p )
1+ H2 ( p) H4 ( p)

+


Y ( p)



Y c ( p)

H1 ( p ) H 2 ( p )
1+ H2 ( p) H4 ( p)
H ( p ) H 2 ( p ) H5 ( p )
1+ 1
1+ H2 ( p) H4 ( p)

H ( p)
1+ 3
H1 ( p )

Y ( p)

H5 ( p)



Y c ( p) H p + H p
1( )
3( )
H1 ( p )

H1 ( p ) H 2 ( p )
1 + H 2 ( p ) H 4 ( p ) + H1 ( p ) H 2 ( p ) H 5 ( p )

Y ( p)



Y c ( p)

H 2 ( p ) ( H1 ( p ) + H 3 ( p ) )

Y ( p)

1 + H 2 ( p ) H 4 ( p ) + H1 ( p ) H 2 ( p ) H 5 ( p )

Ce r´esultat peut ˆetre v´erifi´e en ´ecrivant les ´equations du syst`eme :
H3 ( p)

Y c ( p)

ε1 ( p )

+


H1 ( p)

+ ε2 ( p) H ( p)
+−
2

Y ( p)

H4 ( p)
H5 ( p)


 ε1 (p) = Y c (p) − H5 (p)Y (p)
ε2 (p) = H3 (p)Y c (p) + H1 (p)ε1 (p) − H4 (p)Y (p)

Y (p) = H2 (p)ε2 (p)
⇒ Y (p) = H2 (p) {H3 (p)Y c (p) + H1 (p) [Y c (p) − H5 (p)Y (p)]}
⇒ [1 + H2 (p)H4 (p) + H1 (p)H2 (p)H5 (p)] Y (p) = H2 (p) [H1 (p) + H3 (p)] Y c (p)
Y (p)
H2 (p) (H1 (p) + H3 (p))
⇒ c
=
Y (p)
1 + H2 (p)H4 (p) + H1 (p)H2 (p)H5 (p)

ENIT

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`
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- 2012

Chapitre 3
Stabilit´
e et pr´
ecision des syst`
emes
continus lin´
eaires
3.1

Condition de stabilit´
e des syst`
emes continus lin´
eaires


efinition : un syst`eme est stable si, lorsqu’on l’´ecarte d’une position d’´equilibre, il tend
a` y revenir. Il est instable lorsqu’il tend `a s’en ´eloigner davantage.
On peut ainsi juger de la stabilit´e d’un syst`eme d’apr`es le comportement de sa r´eponse
impulsionnelle h(t). En effet, si le syst`eme est stable, cette derni`ere doit tendre vers z´ero
lorsque t → +∞ (on parle dans ce cas de stabilit´e asymptotique). Au contraire, si la
r´eponse impulsionnelle diverge vers ±∞, ou encore oscille ind´efiniment entre deux valeurs
extrˆemes (ph´enom`ene de pompage), alors le syst`eme est instable. Dans le cas particulier
o`
u la r´eponse impulsionnelle tend vers une valeur finie mais non nulle, le syst`eme est dit
marginalement stable.
Dans le cas des syst`emes lin´eaires, il est possible de d´eduire une condition de stabilit´e portant sur certaines propri´et´es de la fonction de transfert puisque celle-ci est la transform´ee
de Laplace de la r´eponse impulsionnelle.
En effet, la fonction de transfert d’un syst`eme lin´eaire peut ˆetre d´ecompos´ee en ´el´ements
simples sous la forme suivante :
H(p) =

N (p) X αi
=
D(p)
p − pi
i

dans laquelle les pi sont les pˆoles (suppos´es tous simples) de la fonction de transfert,
c’est-`a-dire les z´eros de l’´equation (ou polynˆome) caract´eristique :
D(p) = 0
La r´eponse impulsionnelle ´etant la transform´ee de Laplace inverse de la fonction de transfert, il vient :
X
X
h(t) =
α i ep i t =
αi e(σi +jωi )t
i
`
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i

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28

Chapitre 3 - Stabilit´
e et pr´
ecision des syst`
emes continus lin´
eaires

o`
u σi et ωi sont respectivement les parties r´eelle et imaginaire de pi .
La r´eponse impulsionnelle ´etant une somme d’exponentielles, pour que limt→+∞ h(t) = 0,
il faut et il suffit que chacun des termes de cette somme tende vers z´ero, ce qui est le cas
si, et seulement si :
∀i, Re(pi ) < 0
On en d´eduit ainsi la condition n´ecessaire et suffisante de stabilit´e recherch´ee :
Un syst`
eme lin´
eaire continu est asymptotiquement stable si, et seulement si,
tout ses pˆ
oles sont `
a partie r´
eelle strictement n´
egative.
En d’autres termes, les racines du polynˆome caract´eristique doivent ˆetre situ´ees dans le
demi-plan gauche du plan complexe.

3.2

Crit`
eres de stabilit´
e des syst`
emes continus lin´
eaires

L’´etude de la stabilit´e d’un syst`eme continu lin´eaire d’ordre n revient `a ´etudier les racines
d’un polynˆome de degr´e n (polynˆome caract´eristique). Cependant, le calcul de ces racines
devient difficile d`es que n ≥ 3. Il est donc n´ecessaire d’introduire des crit`eres de stabilit´e
permettant de faire cette ´etude sans avoir `a calculer explicitement ces racines. Parmi les
crit`eres de stabilit´e, on utilise souvent le crit`ere de Routh qui est un crit`ere alg´ebrique, et
le crit`ere de Nyquist bas´e sur la repr´esentation harmonique des syst`emes lin´eaires.
Crit`
ere de Routh : les racines d’un polynˆome
D(p) = an pn + an−1 pn−1 + an−2 pn−2 + . . . + a1 p + a0
sont toutes a` partie r´eelle n´egative si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont
v´erifi´ees :
• tous les ai sont de mˆeme signe (et donc non nuls) ;
• tous les termes de la premi`ere colonne du tableau de Routh sont de mˆeme signe.
Construction du tableau de Routh :
an
an−1

an−2
an−3

an−4
an−5

...
...

b1 =

b2 =

b3 =

...

an−1 an−2 − an an−3
an−1
b1 an−3 − b2 an−1
c1 =
b1
..
.

an−1 an−4 − an an−5
an−1
b1 an−5 − b3 an−1
c2 =
b1
..
.

an−1 an−6 − an an−7
an−1
b1 an−7 − b4 an−1
c3 =
b1
..
.

...
..
.

Remarques :
• Le tableau de Routh poss`ede n + 1 lignes.
ENIT

cours d’automatique

`
J. HAGGEGE
- 2012

3.2 - Crit`
eres de stabilit´
e des syst`
emes continus lin´
eaires

29

• Le nombre de pˆoles `a partie r´eelle positive est ´egal au nombre de changements de
signe dans la premi`ere colonne, d’autre part.
• Si une ligne du tableau est nulle, alors D(p) poss`ede des racines imaginaires pures.
Exemple : D(p) = 3p5 + 5p4 + 7p3 + p2 + 4p + 2
3
5
6,4
−1,1875
13,578
2

7
1
2,8
2
0

4
2
0

Il y a deux changements de signe dans la premi`ere colonne, donc le polynˆome poss`ede
deux racines a` partie r´eelle positive.
Application a` l’´etude de la stabilit´e des syst`emes du 2nd et du 3`eme ordre :
• 2nd ordre : D(p) = a2 p2 + a1 p + a0
Tableau de Routh :
a2
a1
a0

a0

Pour qu’un syst`eme du 2nd ordre soit stable, il faut et il suffit que tous les coefficients
de son polynˆome caract´eristique soient de mˆeme signe.
• 3`eme ordre : D(p) = a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0
Tableau de Routh :
a3
a2
a1 a2 − a0 a3
a2
a0

a1
a0
0

On en d´eduit une condition n´ecessaire et suffisante de stabilit´e pour les syst`emes du
3`eme ordre :

a3 > 0



a2 > 0
a1 a2 > a0 a3



a0 > 0
Application a` l’´etude de la stabilit´e d’un syst`eme asservi :
`
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ENIT

30

Chapitre 3 - Stabilit´
e et pr´
ecision des syst`
emes continus lin´
eaires

On cherche une condition sur le gain K pour que le syst`eme en boucle ferm´ee soit stable.
La fonction de transfert en boucle ferm´ee est :
F (p) =

Y (p)
G(p)
5p + 1
=
=
Y c (p)
1 + G(p)H(p)
5p3 + 16p2 + 8p + 1 + K

Le polynˆome caract´eristique est :
D(p) = 5p3 + 16p2 + 8p + 1 + K
Le tableau de Routh est le suivant :
5
16
128−5(1+K)
16

8
1+K
0

1+K
La condition n´ecessaire et suffisante de stabilit´e est donc :

128 − 5(1 + K) > 0
⇔ −1 < K < 24,6
1+K >0
Crit`
ere de Nyquist : il permet d’´etudier la stabilit´e d’un syst`eme en boucle ferm´ee a`
partir de la fonction de transfert en boucle ouverte. Il est bas´e sur le lemme de Cauchy :
Si C est un contour entourant Z z´eros et P pˆoles d’une fonction F (p), parcouru dans le
sens des aiguilles d’une montre, alors le lieu des points d’affixe F (p) entoure l’origine
un nombre T = P − Z de fois dans le sens inverse des aiguilles d’une montre lorsque z
parcourt le contour C.
Im (F(p))

Im (p)
: zéros
: pôles
C

Re (p)

ENIT

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Re(F(p))

`
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3.2 - Crit`
eres de stabilit´
e des syst`
emes continus lin´
eaires

31

Application a` l’´etude de la stabilit´e d’un syst`eme en boucle ferm´ee :

e

+

G(p)

s


H(p)

La fonction de transfert en boucle ferm´ee est :
F (p) =

G(p)
1 + G(p)H(p)

Pour que le syst`eme soit stable en boucle ferm´ee, il faut que tous les pˆoles de la fonction de
transfert en boucle ferm´ee soient situ´es dans le demi-plan gauche du plan complexe. Les
pˆoles de la fonction de transfert en boucle ferm´ee sont les z´eros de l’´equation caract´eristique
du syst`eme en boucle ferm´ee :
1 + G(p)H(p) = 0
Les pˆoles de l’´equation caract´eristique du syst`eme en boucle ferm´ee sont les mˆeme que
ceux de la fonction de transfert en boucle ouverte G(p)H(p).
Pour d´eterminer le nombre de z´eros instables (c-`a-d situ´es a` droite de l’axe imaginaire)
de l’´equation caract´eristique, on d´efinit un contour d’exclusion (contour de Broomwich)
qui entoure le demi-plan droit :
Im (p)


Re (p)

On montre que l’argument de la fonction G(p)H(p) ne d´epend que des valeurs de p
appartenant `a l’axe imaginaire, c-`a-d telles que p = jω, avec −∞ ≤ ω ≤ +∞. Ainsi, le
lieu des points d’affixe 1 + G(p)H(p) lorsque p parcourt l’axe imaginaire (lieu de Nyquist
complet) entoure T = P − Z fois l’origine, avec P et Z respectivement le nombre de pˆoles
et de z´eros instables de 1 + G(p)H(p), c-`a-d situ´es a` l’int´erieur du contour d’exclusion.
Donc le nombre de z´eros instables de 1 + G(p)H(p) est Z = P − T .
En pratique, on compte le nombre de tours du lieu des point d’affixe G(jω)H(jω) autour
du point d’affixe (−1), appel´e point critique. Ainsi, pour que le syst`eme soit stable en
boucle ferm´ee, il faut que Z = 0, c-`a-d P = T .
`
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32

Chapitre 3 - Stabilit´
e et pr´
ecision des syst`
emes continus lin´
eaires

On en d´eduit le crit`ere de Nyquist :
Pour que le syst`eme en boucle ferm´ee dont l’´equation caract´eristique est : 1+G(p)H(p) = 0
soit stable, le lieu de Nyquist complet de G(p)H(p) doit d´ecrire autour du point (−1) un
nombre de tours ´egal au nombre de pˆoles instables de G(p)H(p) dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre.
Remarques :
• Le lieu de Nyquist complet est obtenu en compl´etant le lieu de Nyquist par sym´etrie
par rapport a` l’axe r´eel, car G(−jω)H(−jω) = G(jω)H(jω) = G(jω)H(jω).



0

• Si la fonction de transfert en boucle ouverte poss`ede des pˆoles `a partie r´eelle ´egale a`
0, c-`a-d situ´es sur l’axe imaginaire, on modifie le contour d’exclusion pour les ´eviter :
Im (p)



ε

Re (p)

• Si le syst`eme est stable en boucle ouverte (P = 0) alors pour qu’il soit stable en
boucle ferm´ee, il suffit que le lieu de Nyquist complet n’entoure pas le point critique
(T = P = 0). Ceci se traduit par le crit`ere de Nyquist simplifi´e ou crit`ere du revers :
Un syst`eme stable en boucle ouverte est stable en boucle ferm´ee si et seulement si
le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte laisse `a sa gauche le
point critique lorsque la pulsation ω varie de 0 `a +∞.

Im (p)
système instable
en boucle fermée

ω → +∞

ω =0

−1

Re (p)
système stable en
boucle fermée

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`
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3.2 - Crit`
eres de stabilit´
e des syst`
emes continus lin´
eaires

33

Exemple d’application : soit a` ´etudier la stabilit´e du syst`eme asservi suivant :

Yc

+

Y

K

( p − a) ( p + b)



avec b > a > 0 et K > 0.
La fonction de transfert de la chaˆıne d’action est :
G(p) =

K
(p − a)(p + b)

et le retour est unitaire, c’est-`a-dire :
H(p) = 1
Le syst`eme en boucle ouverte poss`ede un pˆole instable p = a, donc pour que le syst`eme
soit stable en boucle ferm´ee, il faut que le lieu de Nyquist du syst`eme de fonction de
transfert G(p)H(p) effectue un tour autour du point critique.
Im


K
ab

point critique

ω → 0−
ω → 0+

ω → −∞
ω → +∞

−1

Re

K
< −1, d’o`
u la condition de stabilit´e :
Pour cela, on doit avoir − ab

K > ab
Autre exemple : soit `a ´etudier la stabilit´e du syst`eme asservi suivant :

Yc

+



1
p ( p + 1)

Y

Dans ce cas, la fonction de transfert en boucle ouverte est :
G(p)H(p) =
`
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1
p(p + 1)

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34

Chapitre 3 - Stabilit´
e et pr´
ecision des syst`
emes continus lin´
eaires

Elle poss`ede un pˆole a` l’origine du plan complexe, et donc situ´e sur l’axe imaginaire. On
choisit alors un contour d’exclusion qui ´evite ce point :



0

Im (p)



ε

Re (p)

Ainsi, le nombre de pˆoles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte a` l’int´erieur
du contour d’exclusion est P = 0, donc pour que le syst`eme soit stable en boucle ferm´ee,
il faut et il suffit que le lieu de Nyquist complet du syst`eme en boucle ouverte n’entoure
pas le point critique.
La fonction de transfert harmonique du syst`eme en boucle ouverte est :
G(jω)H(jω) =

1
jω(1 + jω)

Lorsque ω → 0, le lieu de Nyquist complet de cette fonction de transfert poss`ede une
asymptote verticale, d’´equation Re(p) = −1. Pour pouvoir appliquer le crit`ere de Nyquist,
il faut d´eterminer comment le lieu de Nyquist complet se referme lorsque ω varie de 0− a`
0+ . Pour cela, il suffit de remarquer que, pour ω → 0 :
G(jω)H(jω) ≈

1


Ainsi, puisque ∠jω varie de −90˚ a` +90˚ lorsque ω varie de 0− a` 0+ , alors ∠1/jω varie
de +90˚ `a −90˚, ce qui signifie que les deux branches infinies du lieu de Nyquist complet
sont reli´ees par un demi-cercle de rayon infini, parcouru dans le sens des aiguilles d’une
montre.
Im (p)



ω → 0−

−1

ω → −∞
ω → +∞

Re (p)

ω → 0+

Il s’ensuit que le lieu de Nyquist complet n’entoure pas le point critique (−1) donc le
syst`eme est stable en boucle ferm´ee.
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3.2 - Crit`
eres de stabilit´
e des syst`
emes continus lin´
eaires

35

Marges de stabilit´
e : elles permettent, pour un syst`eme stable en boucle ouverte (et
donc pour lequel le crit`ere du revers est applicable), de quantifier le degr´e de stabilit´e du
syst`eme en boucle ferm´ee en mesurant la distance qui s´epare le lieu de Nyquist en boucle
ouverte du point critique.
On d´efinit deux marges de stabilit´e :
• la marge de phase : c’est le d´ephasage (en degr´es) que l’on peut ajouter au syst`eme
en boucle ouverte et qui ferait passer son lieu de Nyquist a` gauche du point critique ;
• la marge de gain : c’est le gain (en dB) que l’on peut ajouter au syst`eme en boucle
ouverte et qui rendrait instable le syst`eme en boucle ferm´ee.
Pour ´evaluer les valeurs des marges de stabilit´e, on d´efinit :
• la pulsation de coupure a` 0 dB, not´ee ωc : c’est la premi`ere pulsation pour laquelle
le module de la fonction de transfert en boucle ouverte est ´egal a` 0 dB ;
• la pulsation d’inversion, not´ee ωπ : c’est la premi`ere pulsation pour laquelle l’argument de la fonction de transfert en boucle ouverte vaut −180˚.
En notant G(jω)H(jω) la fonction de transfert harmonique du syst`eme en boucle ouverte,
on peut ´ecrire :
|G(jωπ )H(jωπ )|dB + M GdB = 0 dB
d’o`
u:
M GdB = −|G(jωπ )H(jωπ )|dB
De mˆeme :
∠G(jωc )H(jωc ) − M ϕ˚= −180˚
d’o`
u:
M ϕ˚= 180˚+ ∠G(jωc )H(jωc )
On en d´eduit la repr´esentation graphique des marges de stabilit´e sur le lieu de Nyquist
du syst`eme en boucle ouverte :

Im (p)

−1 MGdB

ωπ

Re (p)

Mϕ°

ωc

`
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1

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36

Chapitre 3 - Stabilit´
e et pr´
ecision des syst`
emes continus lin´
eaires

Ainsi, le crit`ere du revers traduit le fait que pour assurer la stabilit´e du syst`eme en boucle
ferm´ee, il faut et il suffit que les marges de stabilit´e soit positives.
Les marges de stabilit´e repr´esentent des marges de s´ecurit´e par rapport `a l’´etat instable
du syst`eme en boucle ferm´ee :
• la marge de phase garantit la stabilit´e du syst`eme boucl´e en pr´esence de retards
parasites non pris en compte dans l’´etude de la stabilit´e ;
• la marge de gain garantit la stabilit´e en pr´esence de variations du gain de la boucle.
Ainsi, la stabilit´e du syst`eme asservi est d’autant meilleure que les marges de stabilit´e sont
grandes. En pratique, lors de la conception d’un asservissement, on impose des marges de
stabilit´e minimales, telles que, par exemple :

M ϕ ≥ 45˚
M G ≥ 10 dB
Repr´esentation des marges de stabilit´e sur les lieux de Bode et de Black :
GH

GH
dB

dB

ω = ωc
0 dB

log ω

MG > 0

−180°

Mϕ > 0

ω = ωc

∠GH °

−180°

3.3

∠GH °

MG > 0

ω = ωπ



0 dB

log ω

ω = ωπ

Mϕ > 0

Pr´
ecision des syst`
emes en boucle ferm´
ee

Soit le syst`eme asservi suivant :

e (t )

+

ε (t )

G(p)

s (t )


H(p)

Ce syst`eme est d’autant plus pr´ecis que l’erreur ε(t) est faible.
La fonction de transfert de l’erreur est :
ε(p)
1
=
E(p)
1 + G(p)H(p)
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`
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3.3 - Pr´
ecision des syst`
emes en boucle ferm´
ee

37

On d´efinit l’erreur statique :
ε(∞) = lim ε(t)
t→+∞

D’apr`es le th´eor`eme de la valeur finale :
lim ε(t) = lim pε(p)

t→+∞

p→0

d’o`
u:
pE(p)
p→0 1 + G(p)H(p)

ε(∞) = lim

Ainsi, l’erreur statique d´epend :
• du syst`eme ;
• du signal d’entr´ee.
Pour caract´eriser l’erreur statique en fonction du syst`eme, on d´efinit la classe de celui-ci
comme ´etant le nombre n d’int´egrateurs dans la fonction de transfert en boucle ouverte
G(p)H(p) qui peut ainsi ˆetre mise sous la forme suivante :
K 1 + a1 p + a2 p 2 + . . .
·
p n 1 + b1 p + b2 p 2 + . . .
o`
u K d´esigne le gain statique de la partie de la fonction de transfert en boucle ouverte ne
contenant pas les int´egrateurs.
On peut ainsi ´etudier l’erreur statique pour des entr´ees canoniques du type :
1
E(p) = m
p
Ainsi, pour m = 1, il s’agit d’une entr´ee ´echelon de position, pour m = 2, un ´echelon de
vitesse (ou rampe), pour m = 3, un ´echelon d’acc´el´eration, . . .
L’erreur statique s’´ecrit donc :
1
p· m
pn−m+1
p
ε(∞) = lim
=
lim
p→0
p→0 pn + K
K 1 + a1 p + a2 p 2 + . . .
1+ n ·
p 1 + b1 p + b2 p 2 + . . .
Quelques exemples d’erreurs statiques en fonction de la classe du syst`eme et du type
d’entr´ee sont donn´es par le tableau suivant :
G(p)H(p) =

XXX
XXX Syst`
eme
XXX
Entr´ee
XXX

´echelon de position

classe 0
ε(∞) =

1
1+K

classe 1

classe 2

ε(∞) = 0

ε(∞) = 0

1
K

ε(∞) = 0

´echelon de vitesse

ε(∞) = ∞

ε(∞) =

´echelon d’acc´el´eration

ε(∞) = ∞

ε(∞) = ∞

`
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ε(∞) =

1
K
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38

Chapitre 3 - Stabilit´
e et pr´
ecision des syst`
emes continus lin´
eaires

Remarques :
• un syst`eme asservi dont l’erreur statique est nulle pour une entr´ee donn´ee est dit
astatique pour cette entr´ee ;
• pour que l’erreur statique soit nulle, il faut que la fonction de transfert en boucle
ouverte pr´esente :
– un int´egrateur pour une entr´ee ´echelon de position ;
– deux int´egrateurs pour une entr´ee ´echelon de vitesse ;
– ...
• lorsque l’erreur est finie et non nulle, elle est d’autant plus faible que le gain en
boucle ouverte est important. Or, une augmentation de ce gain entraˆıne g´en´eralement une diminution des marges de stabilit´e du syst`eme asservi : c’est le dilemme
stabilit´
e/pr´
ecision ;
• on peut ´egalement d´efinir la pr´ecision dynamique du syst`eme asservi : c’est sa capacit´e a` suivre une entr´ee de consigne variable au cours du temps tout en garantissant
que l’erreur instantann´ee reste faible. La pr´ecision dynamique d´epend de la rapidit´e
(ou du temps de r´eponse) du syst`eme asservi. On peut montrer que celle-ci est d’autant plus grande que la pulsation de coupure (ou bande passante) du syst`eme en
boucle ouverte est ´elev´ee.

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`
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Chapitre 4
Correction des syst`
emes asservis
lin´
eaires continus
4.1

But de la correction

Soit le syst`eme asservi suivant :
e (t )

+

ε (t )

G(p)

s (t )


H(p)

Celui-ci doit satisfaire au moins deux conditions impos´ees par un cahier des charges :
• stabilit´e : marges de stabilit´e donn´ees ;
• pr´ecision : erreur impos´ee.
La pr´ecision d´epend du gain statique de la fonction de transfert en boucle ouverte G(p)H(p),
c’est-`a-dire le gain aux basses pulsations, tandis que la stabilit´e d´epend du gain et de
la phase de la fonction de transfert en boucle ouverte aux pulsations pour lesquelles
|G(jω)H(jω)|dB = 0 dB et ∠G(jω)H(jω)˚= −180˚, c’est-`a-dire aux hautes pulsations.
GH

dB

bande passante
gain
statique
(ω = 0 )

ω = ωc
0 dB

log ω
MG

∠GH °

ω = ωπ


log ω


−180°

`
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40

Chapitre 4 - Correction des syst`
emes asservis lin´
eaires continus

Consid´erons le syst`eme asservi a` retour unitaire suivant, poss´edant un gain variable K en
chaˆıne d’action :
e (t )

s (t )

+

G(p)

K



Une augmentation du gain K en vue d’am´eliorer la pr´ecision se traduit par une translation
du lieu de Bode du module de la fonction de transfert en boucle ouverte vers le haut, sans
affecter la phase, ce qui entraˆıne une augmentation de la pulsation de coupure a` 0 dB,
diminuant ainsi la marge de gain et la marge de phase.

KG ( jω ) dB

K = K 2 > K1

K = K1

log ω

ω = ωc′ > ωc
ω = ωc

0 dB

MG′ < MG

MG
∠KG ( jω ) °

ω = ωπ

log ω



−180°

Mϕ′ < Mϕ

On en conclut qu’une augmentation de la pr´ecision entraˆıne une d´egradation de la stabilit´e du syst`eme asservi. Un simple gain ne suffit donc pas pour obtenir simultan´ement
la pr´ecision et les marges de stabilit´e impos´ees par le cahier des charges (dilemme stabilit´e/pr´ecision), d’o`
u la n´ecessit´e d’introduire un correcteur ou r´egulateur dans la boucle
d’asservissement.
e (t )

s (t )

+



K

C(p)

G(p)

correcteur

Le correcteur a pour rˆole d’introduire un gain variable en fonction de la pulsation ω,
permettant de modifier localement les lieux de Bode du syst`eme en boucle ouverte afin
d’assurer, par exemple, un gain ´elev´e aux faibles pulsations et un gain plus faible aux
hautes pulsations afin de r´esoudre le dilemme stabilit´e/pr´ecision.
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`
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4.2 - Correction par avance de phase

41

La conception du correcteur est appel´ee synth`ese du syst`eme asservi. Celle-ci s’effectue
de la mani`ere suivante : on commence par d´eterminer la valeur du gain K qui assure
la pr´ecision souhait´ee, puis on calcule le correcteur qui permet d’obtenir les marges de
stabilit´e impos´ees.
Diff´erents types de correcteurs peuvent ˆetre utilis´es :
• correcteur `a avance de phase ;
• correcteur `a retard de phase ;
• correcteur `a avance/retard de phase ;
• r´egulateur Proportionnel Int´egral (PI) ;
• r´egulateur Proportionnel Int´egral D´eriv´e (PID).

4.2

Correction par avance de phase

Le principe de la correction par avance de phase consiste en l’augmentation de la marge
de phase du syst`eme asservi, en ajoutant un d´ephasage positif au lieu de Bode de la phase
de la fonction de transfert en boucle ouverte, autour de la pulsation de coupure `a 0 dB.
Un correcteur a` avance de phase id´eal permettrait d’augmenter la phase autour de la
pulsation de coupure `a 0 dB sans modifier le lieu de Bode du module de la fonction de
transfert en boucle ouverte.
KG ( jω ) dB

précision
log ω

ω = ωc

0 dB
∠KG ( jω ) °

log ω
Mϕ′ > Mϕ




−180°

Fonction de transfert en
boucle ouverte corrigée

Fonction de transfert en
boucle ouverte non corrigée

En pratique, la fonction de transfert d’un correcteur a` avance de phase souvent utilis´e est
la suivante :
1 + aτ p
C(p) =
avec a > 1
1 + τp
o`
u a et τ sont les param`etres du correcteur `a d´eterminer.
`
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42

Chapitre 4 - Correction des syst`
emes asservis lin´
eaires continus

Les lieux de Bode d’un tel correcteur sont les suivants :
C ( jω ) dB
0 dB/décade

dB
/dé
ca

de

20 log a

20 log a

+2
0

10 log a

0 dB/décade
0 dB

ω=

1


ω=

log ω

1
τ

∠C ( jω ) °
+90°

ϕm
ϕm


ω = ωm

log ω

Ce correcteur peut ajouter un d´ephasage maximal ϕm tel que :
ϕm = arcsin

a−1
a+1

a` la pulsation ωm telle que :

1
ωm = √
τ a
Toutefois, ce correcteur ne fait pas qu’apporter une avance de phase, il procure ´egalement
un gain de 20 log a dB a` la fonction de transfert en boucle ouverte aux hautes pulsations,
ce qui a un effet d´estabilisant sur le syst`eme boucl´e si la valeur de a est trop importante.
Exemples de valeurs de ϕm en fonction de a :
a
ϕm (˚)

1,5
11,5

2
19,5

3
30

4
36,9

5
41,8

6
45,6

7
48,6

8
51

9
53,1

10
54,9

11
56,4

12
57,8

13
59

On remarque qu’au del`a de a = 10, l’avance de phase apport´ee par le correcteur n’augmente plus significativement. Ainsi, le fait de choisir des valeurs importantes de a n’am´eliorera pas la marge de phase, mais au contraire, d´estabilisera le syst`eme boucl´e du fait
de l’augmentation du gain en boucle ouverte aux hautes pulsations.
Afin de b´en´eficier de l’avance de phase apport´ee par le correcteur pour am´eliorer la marge
de phase du syst`eme boucl´e, il est n´ecessaire de faire co¨ıncider la pulsation ωm a` laquelle
l’avance de phase est maximale avec la pulsation de coupure de la fonction de tranfert en
boucle ouverte, et ce en choisissant convenablement le param`etre τ .
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4.2 - Correction par avance de phase

43

Cependant, comme le correcteur apporte ´egalement un gain aux hautes pulsations, la
pulsation de coupure de la fonction de transfert en boucle ouverte corrig´ee augmente. Il
est donc n´ecessaire de centrer la pulsation ωm sur la nouvelle pulsation de coupure ωc0
pr´esent´ee par la fonction de transfert en boucle ouverte corrig´ee.

KG ( jω ) dB

KC ( jω ) G ( jω ) dB

ω = ωc′ > ωc log ω
ω = ωc

0 dB

∠KG ( jω ) °

∠KC ( jω ) G ( jω ) °



ωm = ωc′

log ω

Mϕ′ > Mϕ


−180°

Toutefois, un probl`eme se pose : il n’est pas possible de pr´evoir, avant d’avoir effectu´e
la correction, la nouvelle pulsation de coupure puisque celle-ci d´epend elle-mˆeme du correcteur a` d´eterminer. Donc, pour calculer les param`etres a et τ du correcteur, on doit
proc´eder par essais successifs, en partant d’une estimation approximative de la nouvelle
pulsation de coupure.
On peut estimer ωm = ωc0 , sachant que pour ω = ωm , le correcteur ajoute un gain de
10 log a. Il suffit donc de chercher ωm tel que :
|KG(jωm )|dB + |C(jωm )|dB = 0 dB
| {z }
10 log a

c’est-`a-dire :
|KG(jωm )|dB = −10 log a
Ainsi, la proc´edure de d´etermination des param`etres d’un correcteur a` avance de phase
est la suivante :
1. D´eterminer la marge de phase sur la fonction de transfert en boucle ouverte non
corrig´ee. En d´eduire le d´ephasage ϕm a` ajouter pour obtenir une marge de phase
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Chapitre 4 - Correction des syst`
emes asservis lin´
eaires continus
de l’ordre de 40 a` 50˚, sachant que la marge de phase corrig´ee sera mesur´ee `a ωc0 =
ωm > ωc .
2. D´eterminer la valeur de a a` partir de la relation :
ϕm = arcsin

a−1
1 + sin ϕm
⇔a=
a+1
1 − sin ϕm

3. D´eterminer ωm tel que :
|KG(jωm )|dB = −10 log a
4. Mesurer la nouvelle marge de phase M ϕ0 . Si elle n’est pas comprise entre 40 et 50˚,
recommencer a` partir de l’´etape 1 avec une nouvelle valeur de a.
5. Si 40˚≤ M ϕ0 ≤ 50˚, calculer τ a` partir de la relation :
τ=

1


ωm a

6. Tracer avec pr´ecision le lieu de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte
corrig´ee KC(jω)G(jω) et v´erifier la marge de gain et la marge de phase obtenues.

4.3

Correction par retard de phase

Le principe de la correction par retard de phase consiste a` augmenter la marge de phase
en abaissant la pulsation de coupure a` 0 dB de la fonction de transfert en boucle ouverte
par une diminution du gain aux hautes pulsations.

KG ( jω ) dB
Fonction de transfert en
boucle ouverte non corrigée
précision

ω = ωc

ω = ωc′

0 dB
∠KG ( jω ) °

Fonction de transfert en
boucle ouverte corrigée


−180°

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log ω

log ω
Mϕ′ > Mϕ

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4.3 - Correction par retard de phase

45

Un correcteur `a retard de phase peut avoir la fonction de transfert suivante :
C(p) =

1 + τp
1 + bτ p

avec b > 1

o`
u b et τ sont les param`etres du correcteur `a d´eterminer.
Les lieux de Bode de ce correcteur sont les suivants :
C ( jω ) dB

ω=

1


ω=

1
τ

log ω

0 dB 0 dB/décade

0
−2
de

ca
/dé

dB

Am = −20 log b

0 dB/décade

∠C ( jω ) °


ω=

1

τ b
log ω

−90°

Ce correcteur peut introduire une diminution de gain maximale Am = −20 log b pour
ω  τ1 , cependant il apporte ´egalement une diminution de phase qui peut d´estabiliser le
syst`eme en boucle ferm´ee en diminuant la marge de phase. Cette diminution de phase est
importante pour les pulsations telles que :
1
1
≤ω≤

τ
Cet intervalle de pulsations doit donc ˆetre plac´e avant la nouvelle pulsation de coupure
ωc0 afin de ne pas affecter la marge de phase : on choisit ωc0  τ1 , par exemple ωc0 = 10 × τ1
d’o`
u le choix de τ :
10
τ= 0
ωc
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Chapitre 4 - Correction des syst`
emes asservis lin´
eaires continus

Pour ω = 10× τ1 , on a les valeurs suivantes du gain et de la phase du correcteur en fonction
du param`etre b :
b
∠C(jω)˚
|C(jω)|dB

1,5
−1, 9
−3, 5

2
−2, 8
−6

3
−3, 8
−9, 5

4
−4, 3
−12

5
−4, 6
−13, 9

10
−5, 1
−20

12
−5, 2
−21, 5

15
−5, 3
−23, 5

Ce tableau montre que pour ces valeurs de b et pour ω = 10 × τ1 , le d´ephasage maximal
apport´e par le correcteur est de l’ordre de −5˚ tandis que la diminution de gain est
approximativement de −20 log b.
Ainsi, pour imposer une marge de phase de 45˚, on choisit la nouvelle pulsation de coupure
ωc0 telle que ∠G(jωc0 )˚= −180˚+ 45˚+ 5˚= −130˚ de mani`ere a` ce que, apr`es correction,
la marge de phase soit M ϕ0 = 180˚− 130˚− 5˚= 45˚. On a alors :
|G(jωc0 )|dB + |C(jωc0 )|dB = 0 dB
| {z }
−20 log b

On choisit donc b tel que :
|G(jωc0 )|dB = 20 log b
Action du correcteur a` retard de phase sur la fonction de transfert en boucle ouverte :
KG ( jω ) dB
diminution de la
pulsation de coupure

ω = ωc

ω = ωc′

0 dB
∠KG ( jω ) °

diminution du gain
aux hautes pulsations


−180°

log ω

log ω
Mϕ′ > Mϕ



augmentation de la marge de phase
diminution de la phase avant
la nouvelle pulsation de coupure

Proc´edure de d´etermination des param`etres d’un correcteur a` retard de phase :
1. Relever sur les lieux de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte la pulsation
ωc0 telle que ∠G(jωc0 )˚= −130˚ et choisir τ tel que :
τ=

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10
ωc0

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