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Ensembles, applications, relations

Exercice 1.1.9
Pour toutes parties A et B d’un ensemble E, on pose A ∆ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
A ∆ B est appel´e diff´erence sym´etrique de A et de B.
1. Montrer qu’une d´efinition ´equivalente est : A ∆ B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).
¯
¯ = A ∆ B.
et A¯ ∆ B
2. V´erifier que A ∆ B = B ∆ A, A ∆ B = A¯ ∆ B = A ∆ B,
3. Calculer A ∆ ∅, A ∆ A et A ∆ E.
On d´esigne par A, B et C trois parties de E.
4. Montrer que A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C).
5. V´erifier ´egalement que A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C.
6. Quel signifie alors A1 ∆ A2 ∆ · · · ∆ An , si A1 , A2 , . . . , An sont n parties de E, avec n ≥ 2?
Exercice 1.1.10
Soit E un ensemble non vide. Soit F

 (a)
On dit que F est un filtre si : (b)

(c)

une partie non vide de P(E).
∀ X, Y ∈ F, X ∩ Y ∈ F
∀ X ∈ F, ∀ Y ⊃ X, Y ∈ F
∅∈
/F

1. Que pourrait-on dire d’une famille non vide F de P(E) ne v´erifiant que (a) et (b) ?
2. P(E) est-il un filtre sur E?
A quelle condition P(E) − {∅} est-il un filtre sur E ?
3. Montrer que si F est un filtre sur E, alors E ∈ F.
4. Soit A un partie non vide de E.
Montrer que que FA = {X ⊂ E, A ⊂ X} est un filtre sur E.

Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 21 septembre 2000

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