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Sommaire
Chapitre 1.

Calcul numérique – Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chapitre 2.

Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Chapitre 3.

Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Chapitre 4.

Calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Chapitre 5.

Équations et inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Chapitre 6.

Systèmes d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Chapitre 7.

Notion de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Chapitre 8.

Fonctions linéaires – Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Chapitre 9.

Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

Chapitre 10.

Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

Chapitre 11.

Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

Chapitre 12.

Trigonométrie - Angles - Polygones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

Chapitre 13.

Géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

2

Calcul numérique –
Puissances

Chapitre

1

I. Programme de la classe de troisième
Connaissances

Capacités

Commentaires
Dans le cadre du socle commun, l’addition,
la soustraction et la multiplication « à la main »
de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire,
sont exigibles seulement dans des cas simples ; pour
l’addition et la soustraction, il s’agit uniquement
des cas où un calcul mental est possible.
Dans les autres cas, la calculatrice est utilisée.

Opérations sur les
nombres relatifs en
écriture fractionnaire.
[Reprise du
programme du cycle
central]
2.3. Écritures
littérales
Puissances.
[Thèmes
de convergence]

– Utiliser sur des exemples les égalités :
am. an = am+n ;
am/an = am– n
(am)n = amn
(ab)n = anbn
(a/b)n = an/bn
où a et b sont des nombres non nuls et m et n
des entiers relatifs.

Comme en classe de quatrième, ces résultats
sont construits et retrouvés, si besoin est, en
s’appuyant sur la signification de la notation
puissance qui reste l’objectif prioritaire.
La mémorisation de ces égalités est favorisée par
l’entraînement à leur utilisation en calcul mental.

II. Contexte du chapitre
Ce chapitre permet d’asseoir et de développer les compétences des élèves en calcul numérique. Les activités, les exercices et les problèmes proposés dans ce chapitre utilisent à
la fois les opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire et les opérations sur les nombres écrits avec des
puissances.
Le chapitre insiste en particulier sur ce deuxième champ car
la notation des nombres écrits avec des puissances doit permettre aux élèves d’écrire des nombres sous une autre forme.
En classes de 6e et de 5e, les élèves ont déjà rencontré la notation « au carré » et « au cube » au travers d’exemples numériques et d’unités de mesures d’aires et de volumes.

En classe de 4e, la puissance d’exposant n d’un nombre a doit
être définie pour tout entier n supérieur ou égal à 2 comme
étant le produit de n nombres tous égaux à a. Ensuite, pour les
opérations utilisant les puissances, plutôt que de les mémoriser, les élèves doivent être capables de les reconstruire en
revenant à la définition de la puissance d’un nombre et aux
propriétés de la multiplication.
Pour montrer l’intérêt et les usages des écritures utilisant les
puissances, notamment pour les travaux scientifiques, il nous
est apparu opportun de réserver une part importante des
activités et des exercices à des problèmes scientifiques utilisant les puissances.

III. Ressources disponibles sur le site compagnon et le manuel numérique Premium
Savoir faire

Animation : Calculer avec des nombres relatifs, des écritures fractionnaires et des puissances
Animation : Calculer avec des puissances

Travaux pratiques
avec un ordinateur

Pour aider à la correction en vidéo-projection :
• Tableur de l’activité 1
• Tableur de l’activité 2
Fichier « boite_noire_1 »
PDF : Fiches réponses élèves imprimables des trois activités

Du côté du site compagnon

PDF : Une question de puissance

IV. Intentions pédagogiques
des activités
A. Activités d’introduction

Activité 1 : Calculer avec des nombres relatifs
Cette activité permet de reprendre des compétences travaillées
au cycle central en réactivant les opérations sur les nombres
relatifs et les priorités opératoires.

Activité 2 : Calculer avec des écritures fractionnaires
Cette activité permet de revoir les calculs utilisant les nombres
en écriture fractionnaire. Le programme rappelle que dans le

cadre du socle commun, pour les opérations sur les fractions,
en particulier pour l’addition et la soustraction, seuls les cas
où un calcul mental est possible est exigible.

Activité 3 : Étudier le produit et le quotient
de deux puissances d’un même nombre
Cette activité permet de découvrir ou de redécouvrir les formules de calcul du produit de puissances d’un même nombre
et du quotient de puissances d’un même nombre.
En classe de 4e, les élèves ont déjà rencontré ces formules pour
les puissances de 10 et utilisé sur des exemples numériques et
pour des exposants très simples des égalités similaires pour

3

d’autres puissances. Mais comme le suggère le programme,
plutôt que de mémoriser ces formules, les élèves doivent être
capables de les reconstruire en revenant à la définition de la
puissance d’un nombre et aux propriétés de la multiplication.

Activité 4 : Étudier la puissance d’une puissance
d’un nombre
Cette activité permet de découvrir ou de redécouvrir les formules de calcul de la puissance d’une puissance d’un nombre.
En classe de 4e, les élèves ont déjà rencontré cette formule pour
les puissances de 10 et utilisé sur des exemples numériques
et pour des exposants très simples une égalité similaire pour
d’autres puissances. Mais comme le suggère le programme,
plutôt que de mémoriser des formules, les élèves doivent être
capables de les reconstruire en revenant à la définition de la
puissance d’un nombre et aux propriétés de la multiplication.

Activité 5 : Étudier le produit et le quotient
de deux nombres à la même puissance
Cette activité permet de découvrir les formules de calcul du
produit et du quotient de deux nombres à la même puissance.
Pour ces formules, rarement rencontrées en classe de 4e, on
s’attache à faire découvrir aux élèves comment les reconstruire en revenant à la définition de la puissance d’un nombre
et aux propriétés de la multiplication.

Activité 6 : Utiliser la notation scientifique
d’un nombre
Cette activité autour de différentes écritures d’un même
nombre décimal ambitionne à la fois de faire redécouvrir aux
élèves qu’un nombre peut s’écrire de plusieurs façons en utilisant les puissances de 10 (l’une des écritures étant la notation
scientifique), mais aussi de leur montrer sur deux exemples
simples pourquoi les scientifiques (en astronomie, en biologie)
ont besoin de ces écritures pour les nombres qu’ils étudient.

B. Activités Tice

Activité 1 : Achat d’appartement

• Considérations didactiques : Cette activité utilisant un
tableur propose d’étudier un problème de crédit bancaire
pour acheter un appartement. Différentes notions mathématiques sont en jeu ici : pourcentages, puissances, durée…
Plusieurs compétences « tableur » du programme de collège sont également développées dans cette activité (saisir
et recopier une formule ou une fonction dans une feuille de
calcul). La plus-value apportée par le tableur est de pouvoir
réaliser des calculs complexes, d’automatiser ces calculs et
de permettre d’étudier rapidement plusieurs offres de crédit.

Activité 3 : La boîte noire du chapitre 1
Dans cette boite noire, le calcul effectué est « =10^C8 ». C’està-dire que l’on calcule une puissance de 10 et plus précisément « 10 puissance C8 ». Les élèves devront, par leurs essais
successifs, trouver cette formule.

V. Corrigés des exercices
Savoir faire
1

a. A = – 13

b. B = 1 857

c. C = 222

d. D = 464

2

a. E = 33

b. F = 634

c. G = – 8

d. H = 63

3

a. S = 22,3 et D = 11,7
c. S = – 23 et D = 5

b. S = 13 et D = – 77

4

a. P = 35 et Q = 1,4
c. P = 76 et Q = 4,75

b. P = – 43,2 et Q = – 30

5

a.

25
18

b. 0

6

a.

77
72

b. –

7

a.

16
21

b.

21
40

8

a.

−66
25

b.

2
5

9

a.

−16
15

b.

−17
10

10

A=

11

a. 57

b. (– 7)11

c. 102

d. 88

12

a. 7

b. (– 6)

c. 10

d. 322

13

a. 7– 5

b. (– 5)6

c. 10– 17

d. 413

14

a. 7

b. (– 7)

c. 10

d. 922

15

a. 221

b. (– 5)12

c. 1081

d. 11– 8

16

a. 36

b. (– 5)56

c. 5– 10

d. 10 12

17

a. 35

b. (– 35)

c. 71

d. 25,6– 3

18

a. 8,412

b. (– 210)8

c. 2– 9

d. 3021

19

a. 5
d. 9– 28

b. 10
e. 211

c. 8
f. 61

20

Réponse c

33
10

c.

1
72

c.

5
2

15
28
18

16

3

6

4

–5

–7

3

6

7

2

38

Exercices d’entraînement

• En pratique : Cette activité est assez complexe et nécessite
une certaine habitude dans la saisie des formules tableur.
Elle s’adresse à des collégiens ayant déjà manipulé cet outil
logiciel mais sa mise en œuvre peut être facilitée par l’utilisation des fiches méthodes permettant un travail autonome
de l’élève (fiches tableur 1 et 2).

21

a. 30
d. 20

b. – 38
e. – 12

c. – 10

22

a. – 52

b. – 4,5

c. 40

23

a.

Activité 2 : La vitesse des planètes

24

11
7
a. 2

5
7
b. 60

24
49
c. 8

8
3
d. 120

25

a. – 214

b. 1 200

c. 14

d. 660

26

17
a.
8

11
b.
8

21
c.
32

d.

14
3

27

a.

44
15

b.

4
15

c.

32
75

d.

6
7

28

a.

13
24

b.

−35
36

c. – 12

d.

−3
2

e.

−54
25

f.

29

a.

8
3

b. −

1
10

c.

30

a. −

b. −

5
27

c. −

• Considérations didactiques : Cette activité utilisant un
tableur propose d’étudier sur un problème d’astronomie les
écritures de nombres en notation scientifique. En mathématiques, elle permet de travailler et de développer la maitrise de
cette écriture. Plusieurs compétences « tableur » du programme
de collège sont développées dans cette activité (saisir une formule, utiliser le format des cellules dans une feuille de calcul).
• En pratique : Cette activité est assez facile et ne nécessite pas une connaissance approfondie du tableur. Sa mise
en œuvre est possible pour des élèves débutants en tableur.
Elle est facilitée par l’utilisation des fiches méthodes permettant un travail autonome de l’élève (fiches tableur 1, 2 et 8).
Elle permet également de montrer aux élèves que l’écriture
des nombres en notation scientifique donnée par le tableur
est un peu particulière.

4

16
15

b.

c.

27
40
7
40
75
28

d.

25
31
b.
42
3
32 1. Samir a eu le ballon le plus longtemps.
31
1 1 1
31
2. + +  =  , donc à eux trois, ils ont eu le ballon
80
8 5 16 80
du temps total de jeu.
3. 90 minutes est égal à 5 400 secondes. Or Karim a eu le ballon 1/8 du temps de jeu.
5 400 : 8 = 675, donc Karim a eu le ballon 675 secondes, soit
11 minutes et 15 secondes.
3
33 En 3e A : 15/25 = 60 % ; en 3e B,
= 75 % ; en 3e C, 70 %
4
des élèves ont obtenu la moyenne donc c’est en 3e B que la
proportion des élèves ayant eu la moyenne en mathématiques est la plus forte.
1
7
2
8
34 1. C’est Kate. William :  = 
; Kate :  =  .
4 28
7 28
7 8
13
2. 1− −  =  .
28 28 28
3. 42 : 28 × 13 = 19,5, donc ils sont séparés par 19,500 km.
31

a.

35

3 4 3
×  =  .
4 5 5

36

(7 : 20) : 2 = 0,175 soit 17,5 % .

37

a. 49
e. 0,25

38

a. 1 024
d. 0,003 906 25
g. – 2 097 152

b. 32
f. 0,125

c. 25
g. 0,000 1

b. 14 641
e. 0,000 976 562
h. 4 826 809

c. 4 913
f. 59 049

a. 103

b. 104

40

a. A = 30

b. B = 107,01 c. C = – 68

41

a. D = 320

b. E = 1 000 000

42

a. G = 30

b. H = 8,125

c. I = 7 000

43

a. 23

b. 100

c. 16

44

b. 2 622
c. 729

b. – 1 017
d. 4 826 809

45

a. 109
d. 103

b. 104
e. 10– 3

c. 10– 4
f. 100

46

a. 105
d. 1016

b. 109
e. 10– 4

c. 10– 11
f. 1012

47

a. 1015
d. 10– 18

b. 1020
e. 10– 8

c. 1045
f. 1020

48

a. 1014
d. 10– 2

b. 10– 14
e. 101

c. 10– 2
f. 1025

49

a. 59

b. 82

c. 66

50

a. 3

b. 4

c. 17

51

a. 9– 2

b. 116

c. 2,116

d. 60– 4

e. 49

f. 4,342

52

a. 69

b. 2,3– 2

c. 37

d. 7– 19

e. 531

f. 119

53

a. 29

b. 49

c. 362

d. 3– 3

54

a. 1,7 × 105

b. 3,45 × 108

c. 5 × 10– 3

d. 1,8 × 10– 5

55

a. 2,5 × 107

b. 3,7 × 10– 5

c. 6,5 × 105

d. 2 × 10– 7

56

a. 5,25 × 109 b. 5,2224 × 101 c. 1,615 × 106 d. 6,38 × 10– 4

57

a. 6,315 × 109 b. – 1,36 × 109 c. 6,72 × 10– 3 d. 8,26 × 1012

58

a. A = 3,2 × 107

59

a. C = 1,25 × 10

60

a. E = 1,4 × 1010

4

c. 10– 3

15

d. 10– 7

d. 216

b. (– 7) + (+7) + (– 7) = – 7
d. (– 7) + (– 7) + (+7) = – 7

66
67

a.

c. 6 × (– 8) = – 48

−72
72
−72
72
= – 9 b.
= – 9 c. −
= – 9 d.
=9
8
−8
−8
8
a. 56
b. 53
c. On ne peut pas.
e. 5– 5
f. 513
d. 59
g. 56
h. 59
i. 54.

69

a. 106
e. 10– 6
h. 102

b. 10– 4
f. 103
i. 106

c. 105
d. On ne peut pas.
g. 10– 6
j. On ne peut pas.

70

a. Faux b. Vrai c. Faux

d. Faux e. Vrai f. Faux

Vu au brevet

d. 107

e. 56

d. 4,8

e. 2,4

–4

71

1. Réponse a

72

Réponse b

f. 725

73

1. Réponse c

2. Réponse c

f. 11

74

1. Réponse c
3. Réponse b

2. Réponse b
4. Réponse a

75

1. • A =

–12

5
4

•B=

2. Réponse a

3
2

2. C = 3.

b. D = – 1,2 × 107
b. F = – 6,4 × 1010

a. 3 × 105 × 60 = 18 000 000 = 1,8 × 107 km.
b. 40 000 : (3 × 105) ≈ 0,13 donc la lumière met environ
0,13 seconde pour faire le tour de la Terre.
61

a. (– 7) + (– 7) + (– 7) = – 21
c. (– 7) + (+7) + (+7) = +7

6 −6
−6
6
6
=
et
=
=− .
7 −7
7
−7
7
a. (– 6) × (– 8) = 48 b. (– 6) × 8 = – 48

68

b. B = – 2,4 × 10– 6
–8

64

65

c. F = 2,25

6

63 1. Automne 2012 : 7 × 109 × 1,01 = 7,07 × 109.
Automne 2013 : 7 × 109 × 1,012 = 7,1407 × 109.
Automne 2014 : 7 × 109 × 1,013 ≈ 7,212 × 109.
2. Automne 2020 : 7 × 109 × 1,019 ≈ 7,656 × 109.
3. En 2047.

d. 1 000 000
h. 0,000 01

39

3

62 1. 12 : 1,99 265 × 10– 23 ≈ 6,02 × 1023 donc le nombre
d’atomes contenus dans une mole est d’environ 6,02 × 1023.
2. 6,02 × 1023 × 3,45 × 10– 25 ≈ 0,207 kg donc la masse,
en gramme, d’une mole de plomb est d’environ 207.

13
3
13
; B=
et C =
.
20
20
3
2. D = 26 ; E = 125 ; F = 59.
76

1. A =

1 1 3
1 1 1
1. 1− − ×  = 1− −  =  , donc il lui reste la moitié
4 3 4
4 4 2
de sa propriété.
2. La superficie actuelle de sa propriété est de 20 hectares.
77

78

1. A =

8+3× 4
20
 =   =  5 .
1+ 2 × 1, 5
4

2. Il n’a pas respecté les priorités de calcul. Il aurait dû utiliser les
parenthèses pour calculer le numérateur et le dénominateur.

Chapitre 1 • Calcul numérique – Puissances

5

79

80

1. A = 2 + 101 + 10– 1 + 2 × 102 = 212,1.
2. A = 2,121 × 102.
3. A = 2 121 × 10– 1.
1
4. A = 212 +
10
1,5 × 10– 2

b. 2 +

117

81 1. d = v × t = 300 000 × 1/75 = 4 000.
2. d = v × t = 300 000 × 510 = 153 000 000, la distance est
d’environ 1,53 × 106 km.

L’égalité 105 + 10– 5 = 100 est fausse mais l’égalité
10 × 10– 5 = 100 est vraie.
82

Parcours autonome
A

85

C

86

C

87

B

88

C

89

B

90

A

91

C

92

C

93

B

94

a. – 41 b. – 114 c. +107

d. – 20

95

a. 18

b. 106

c. – 21

d. – 19,5

96

a. 8

b. 14

c. – 6

d. 54

97

a. – 261,3

b. 321,975

98

a. 24,44

b. – 13,87

99
100

21
a.
10
2
a.
5

22
b.
48
7
b.
8

8
15
3
c.
14

d.

A = 61 ; C = 1,125 ; D = 4 800.

102

a.

103
104

−39
4
20
b.
33
–19
b.
6

−25
7
8
9
−7
4

36
= 12 d.
3
−2
c.
d.
7
26
c.
d.
75

b.

f. – 4,5

48
15
3
d.
14

c.

101

23
3
47
a.
12
−19
a.
15

e. +72

c.

e.

−1
15

a. 32
b. 0,25
f. 1 000 000 000

f.

−35
11

c. 125
d. 81
e. 1 000 000
g. 0,001 h. 0,000 01

106

a. A = – 19 b. B = – 6,99999

107

a. E = 2 290,60
c. G = 14,14

108

a. 1114
f. 10,56

109

a. 719

110

a. Fausse

111

a. 5,8 × 10
d. 3,05 × 106

112

a. 7,65 × 106 b. 9 × 10– 6
c. 5,4 × 1012
–3
4
d. 6,72 × 10
e. – 7,25 × 10 f. 8,5 × 1012

113

a. G = 3,5 × 10– 3

c. C = 800 000

d. D = 0

b. F = 614,06
d. H = 38,68
c. 710
h. 10– 9

d. 921
i. 5– 3.

e. 245

b. 11,3– 5 c. 86
b. Fausse
5

c. Vraie

b. 1,1 × 10
e. 4,2 × 10– 4
4

d. Vraie

c. 7,8 × 10– 4
f. 8,3 × 105

b. H = – 1,2 × 106

114 Vénus : 105 × 10 = 1,05 × 108 km ;
Mars : 2 250 × 105 = 2,25 × 108 km ;
Terre : 1,5 × 108 = 1,5 × 108 km.
Donc parmi ces trois planètes, Mars est celle qui est la plus
éloignée du Soleil.
6

Exercices d’approfondissement
115 a. 12 345 679 × 45 = 555 555 555.
b. 12 345 679 × 5 427 = 12 345 679 × 9 × 603
= 111 111 111 × 603 = 66 999 99 933.
116

a. 1+

6

1
1+

 = 1+

1
1+

1
1

1
1
1+
2

 = 1+

1 5
 = 
3
3
2

1
2

1
2+
5
2

 =  2 +

1
2
2+
5

 =  2 +

1
29
 = 
12 12
5

a. 34 = 81, donc il y aura 81 feuilles le cinquième jour.
b. 39 = 19 683, donc il y aura 19 683 feuilles le dixième

jour.
118

a. 3 × 105 × 365,25 × 24 × 60 × 60 = 9,47 × 1012 km.
b. 2,4 × 1013 km de nous.

120 a. Entre 1990 et 2000, il y a 2 années bissextiles donc :
300 × (10 × 365 + 2) = 1 095 600, la surface de forêt disparue entre 1990 et 2000 est de 1 095 600 km², soit environ
1,1 × 106 km².
b. 1,1 × 106 : (6,3 × 105) ≈1,74 donc cette surface est presque
égale à deux fois la superficie de la France.
c. Calcul au 1er janvier 2013 :
200 × (10 × 365 + 4) = 730 800.
Donc depuis 2000 (13 ans), 730 800 (soit environ 7,3 × 105) km²
de forêt ont disparu.
d. 41 × 106 – 1,1 × 106 – 200 × (100 × 365,25) ≈ 32,6 × 106 donc
si le rythme actuel de déforestation se poursuit, en 2100, il ne
restera que 32 à 33 millions de km² de forêt.
121 1. a. 18 000 × 8 000 = 1,44 × 108.
b. 10– 6 : (1,44 × 108) ≈ 7 × 10– 15 donc l’ordre de grandeur de
la surface d’un caractère écrit sur cet objet est de 10– 15 m².
2. a. 1 mm² = 10– 6 m². 0,5 × 10– 6 : 308 428 = 1,6 × 10– 12 donc
l’ordre de grandeur de la surface (en m2) est de 10– 12.
b. Cet ordre de grandeur est 1 000 fois plus grand que le projet de Feynman.

1. a. 3 500 × (2 × 106) = 7 × 109, donc la puissance est de
7 gigawatts.
b. 6 × 109 : (5 × 106) = 1,2 × 103 donc la France doit installer
1 200 éoliennes offshores.
2. a. 720 × 106 : (2 × 106) = 360 donc il faut 360 éoliennes terrestres pour produire la même puissance qu’une centrale thermique à flamme.
b. 20 × 106 : (2 × 106) = 10 donc il faut 10 éoliennes terrestres
pour produire la même puissance qu’une centrale solaire
photovoltaïque.
c. 350 × 106 : (2 × 106) = 175 donc il faut 175 éoliennes terrestres pour produire la même puissance qu’une centrale
solaire thermodynamique.
d. 3 000 × 106 : (2 × 106) = 1 500 donc il faut 1 500 éoliennes
terrestres pour produire la même puissance qu’une centrale
hydro-électrique.
e. 900 × 106 : (2 × 106) = 450 donc il faut 450 éoliennes terrestres pour produire la même puissance qu’un réacteur
nucléaire.
122

105

b. 10– 5
g. 94

2+

1

116 : 26 ≈ 1,81 et 116 : 27 ≈ 0,91 à partir du 7e rebond,
la balle ne remontera plus au-dessus d’1,60 m.

Réponse a .

84

2+

 =  2 +

1

119

5

83

1

123 1. a. 5,1 × 108 – 3,61 × 108 = 1,49 × 108 donc la superficie est de 1,49 × 108 km2.
b. 3,61 × 108 : (5,1 × 108) = 0,708 donc la superficie des océans
représente environ 71 % de la superficie totale de notre
planète.
c. Océan Atlantique : 106 100 000 = 1,061 × 108 km2.
Océan Indien : 74 900 000 = 7,49 × 107 km2.
Océan Pacifique : 179 700 000 = 1,797 × 108 km2.
2. a. 2 500 000 : (3,61 × 108) = 0,0069 donc le niveau de l’eau
pourrait monter d’environ 0,007 km, c’est-à-dire environ 7 m.
b. Le volume de glace contenu dans l’Antarctique est d’environ 30 000 000 km².
30 000 000 : (3,61 × 108) = 0,083 donc le niveau de l’eau pourrait monter d’environ 0,083 km, c’est-à-dire environ 83 m.

124

8 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9

126

1. 7 car les puissances de 7 donnent les unités suivantes :
793179317…
2. 1 car les puissances de 13 donnent les unités suivantes :
3 9 7 1 3 9 7 1 3 …
127

c = 2 ; a = 12 et b = 18.

128

125 Si les quatre fontaines fonctionnent en même temps pendant quatre heures, on peut remplir 10 bassins car 1 + 2 + 3
+ 4 = 10.
Donc elles peuvent remplir un bassin en 4 h, soit minutes,
10
240 c’est-à-dire 24 minutes.
10
133

129 a. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 personnes.
b. 37 = 2 × 18 + 1 donc il s’agit de la mère du n° 18.
Or 18 = 2 × 9 donc c’est le père du n° 9 ;
9 = 2 × 4 + 1 donc c’est la mère du n° 4.
Ainsi 37 est la mère du père de la mère du père de mon père.
130

1. 54 alumettes

131

2. 3 630 allumettes.

L’écriture entière du nombre 225 × 519 possède 21 chiffres.

132

Pour quatre entiers x : – 1, 0, 1 et 3.

0

1. F0 = 22 + 1  =  21 + 1  =  3 .
1

2

2. a. F1 = 22 + 1  =  22 + 1  =  5 et F2 = 22 + 1  =  2 4 + 1  = 17 .
3

b. F3 = 22 + 1  =  2 8 + 1  =  257 ;

4

5

F4 = 22 + 1  =  216 + 1  =  65  537 ; F5 = 22 + 1 =  232 + 1 = 4 294 967 297.

3. a. F0 × F1 × F2 + 2 = 3 × 5 × 17 + 2 = 257 = F3.
b. F0 × F1 × F2 × F3 + 2 = 3 × 5 × 17 × 257 + 2 = 65 537 = F4.
c. F0 × F1 × F2 × F3 × F4 + 2 = 3 × 5 × 17 × 257 × 65 537 = 4 294 967 297 = F5.
4. 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417.
134

2.

1. d = π × 1,27 × 104 et t = 23 h 56 min = 23 + 56/60 h, v = d : t = π × 1,27 × 104 : (23+56/60) ≈ 1 667 km/h.

Nom

Diamètre équatorial
(en km)

Durée d’une rotation

Mercure

4,88 × 103

58 jours 15 h 38 min

Vénus

1,21 × 10

243 jours 00 h 14 min

Terre

1,27 × 104

23 h 56 min

Mars

6,80 × 103

24 h 37 min

867,82

Jupiter

1,43 × 105

09 h 53 min

45 455,08

Saturne

1,20 × 105

10 h 24 min

36 249,15

Uranus

5,10 × 104

15 h 30 min

10 336,85

Neptune

4,95 × 104

16 h 07 min

9 648,95

4

Vitesse à l’équateur
(en km/h)
10,89
6,52
1 667,06

Devoir à la maison

1

2

a.

Muliplication par

Préfixe

Symbole

10

déca

102

hecto

10

106
109

a.

Préfixe

Symbole

da

–1

10

déci

d

h

10– 2

centi

c

kilo

k

10

milli

m

méga

M

10– 6

micro

µ

giga

G

–9

10

nano

n

1012

téra

T

10– 12

pico

p

1015

péta

P

10– 15

femto

f

1

3

Muliplication par

–3

10

exa

E

10

atto

a

1021

zetta

Z

10– 21

zepto

z

10

yotta

Y

10

yocto

y

18

24

b. • 54 000 joules = 54 × 103 joules = 54 kilojoules. Cette unité
est utilisée pour la quantité d’énergie et la quantité de chaleur.
• 104 900 000 hertz = 104,9 × 106 hertz = 104,9 mégahertz.
Cette unité est utilisée pour la fréquence d’une onde.
• 17 000 000 000 watts = 17 × 109 watts = 17 gigawatts.
Cette unité est utilisée pour quantifier la puissance.

– 18

– 24

b. 31 pm = 3,1 × 10– 11 m,
298 pm = 2,98 × 10– 10 m.
c. d = v × t = 3 × 105 × 3 × 10– 3 = 900 donc la distance de Brest
à Strasbourg est de 900 km.

Chapitre 1 • Calcul numérique – Puissances

7

Chapitre

2

Arithmétique

I. Programme de la classe de troisième
Connaissances
2.1. Nombres entiers
et rationnels
Diviseurs communs
à deux entiers, PGCD.

Capacités

Commentaires

– Connaître et utiliser un algorithme
donnant le PGCD de deux entiers (algorithme
des soustractions, algorithme d’Euclide).
– Calculer le PGCD de deux entiers.
– Déterminer si deux entiers donnés sont premiers
entre eux.

Fractions irréductibles.

– Simplifier une fraction donnée pour la rendre
irréductible.

Plusieurs méthodes peuvent être envisagées.
La connaissance de relations arithmétiques entre
nombres – que la pratique du calcul mental
a permis de développer – permet d’identifier
des diviseurs communs de deux entiers.
Le recours à une décomposition en produits
de facteurs premiers est possible dans des cas
simples mais ne doit pas être systématisé.
Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul
formel sont exploités.
Dans le cadre du socle commun, les élèves
utilisent leur calculatrice pour rendre irréductible
une fraction donnée.

II. Contexte du chapitre
La notion de diviseur et de multiple d’un nombre entier est
étudiée depuis la classe de 6e. Elle est souvent retravaillée
au travers des activités mentales ou rapides au cycle central.
Ce chapitre permet d’asseoir les compétences des élèves sur
les calculs avec des nombres entiers mais aussi de découvrir

la notion de PGCD de deux nombres entiers et l’intérêt représenté par le PGCD dans les problèmes de partage et de simplification de fraction.
L’usage de la calculatrice et du tableur sera développé dans
ce chapitre.

III. Ressources disponibles sur le site compagnon et le manuel numérique Premium
Savoir faire

Animation : Déterminer le PGCD de deux nombres à l’aide de l’algorithme des soustractions
successives
Animation : Déterminer le PGCD de deux nombres à l’aide de l’algorithme des divisions successives
(Euclide)
Animation : Rendre une fraction irréductible

Travaux pratiques
avec un ordinateur

Pour aider à la correction en vidéo-projection :
• Tableur de l’activité 1
• Tableur de l’activité 2
Fichier « boite_noire_2 »
PDF : Fiches-réponses élèves imprimables des trois activités

Du côté du site compagnon

PDF : La cryptographie

IV. Intentions pédagogiques
des activités
A. Activités d’introduction

Activité 1 : Trouver les diviseurs communs
à deux nombres
Cette activité permet de retravailler la notion de diviseur et
met en avant une méthode pour trouver tous les diviseurs
d’un nombre. La notion de Plus Grand Diviseur Commun à
deux nombres apparait naturellement. Cette activité permet
aussi de découvrir une méthode de recherche de PGCD de
nombres entiers :
– recherche de tous les diviseurs des deux nombres ;
– identification des diviseurs communs ;
– choix du plus grand d’entre eux.

8

Activité 2 : Découvrir l’algorithme des soustractions
successives
Cette activité a pour objectif de faire découvrir aux élèves
une méthode simple permettant de calculer le PGCD de deux
nombres (plus grands que dans l’Activité 1). Mais cette activité permet aussi de démontrer les propriétés arithmétiques
sur lesquelles reposent les algorithmes étudiés en classe de 3e.

Activité 3 : Découvrir l’algorithme d’Euclide
Cette activité utilise l’algorithme des soustractions successives pour « construire » l’algorithme des divisions successives
(algorithme d’Euclide). Elle met en évidence le lien entre les
deux méthodes et permet de comprendre pourquoi le second
algorithme comporte toujours un nombre d’étapes inférieur
(ou égal) au premier algorithme.

Activité 4 : Rendre irréductible une fraction
Si la notion de « fraction irréductible » est souvent abordée
de façon naturelle avant la classe de 3e, cette activité permet
de faire découvrir aux élèves plusieurs méthodes permettant
de « rendre une fraction irréductible » :
– à l’aide des critères de divisibilité, en simplifiant (éventuellement plusieurs fois) la fraction par des diviseurs communs
au numérateur et au dénominateur ;
– à l’aide de la calculatrice, qui comporte souvent (dans les
modèles récents) des fonctions de simplification de fraction ;
– à l’aide du PGCD, en simplifiant la fraction par le plus grand
diviseur commun au numérateur et au dénominateur.

B. Travaux pratiques avec un ordinateur
Activité 1 : Algorithmes pour PGCD

• Considérations didactiques : Cette activité, utilisant un
tableur, propose de « programmer » les algorithmes des soustractions successives et des divisions successives.
Elle permet à la fois d’asseoir la maîtrise et la compréhension de ces algorithmes mais aussi de comparer à nouveau le
nombre d’étapes nécessaires à la détermination du PGCD de
deux nombres dans chacun de ces algorithmes.
Plusieurs compétences « tableur » du programme de collège
sont également développées dans cette activité (saisir et recopier une formule ou une fonction dans une feuille de calcul).
La plus-value apportée par le tableur est de pouvoir réaliser
rapidement des calculs, d’automatiser ces calculs et de permettre, une fois l’algorithme réalisé, le calcul rapide du PGCD
de plusieurs couples de nombres.

5

a. PGCD (255 ; 187) = 17
b. PGCD (375 ; 275) = 25
c. PGCD (11 534 ; 1 606) = 146

6

a. PGCD (532 ; 190) = 38
b. PGCD (987 ; 735) = 21
c. PGCD (37 440 ; 31 590) = 1 170

7

a. PGCD (364 ; 156) = 52
b. PGCD (2 012 ; 503) = 503
c. PGCD (5 625 ; 4 000) = 125

8

a. PGCD (560 ; 350) = 70
b. PGCD (2 028 ; 1 092) = 156
c. PGCD (52 632 ; 36 120) = 1 032

9 1. On peut déterminer le PGCD de 238 et 170 à l’aide de
l’algorithme d’Euclide :
238 = 170 × 1 + 68 et 170 = 68 × 2 + 34.
68 = 34 × 2 + 0 donc PGCD (238 ; 170) = 34.
170 170 : 34 5
2.
 = 
 = 
238 238 : 34 7
10

11

• En pratique : Cette activité est assez facile et ne nécessite
pas une connaissance approfondie du tableur. Sa mise en
œuvre est possible pour des élèves débutants dans l’usage
du tableur grâce à l’utilisation des fiches méthodes qui permettent un travail autonome de l’élève (fiches tableur 1 et 2).

Activité 2 : Multiples de 6

• Considérations didactiques : Cette activité courte et simple
permet de découvrir d’une façon originale les nombres premiers inférieurs à 100.
Plusieurs compétences « tableur » du programme de collège
sont développées dans cette activité (saisir une formule, utiliser le format des cellules dans une feuille de calcul).
• En pratique : Cette activité est assez facile et ne nécessite
pas une connaissance approfondie du tableur. Sa mise en
œuvre est possible pour des élèves débutants dans l’usage
du tableur grâce à l’utilisation des fiches méthodes qui permettent un travail autonome de l’élève (fiches tableur 1 et 2).

Activité 3 : La boîte noire du chapitre 2
Dans cette boîte noire, le calcul effectué est « =2^C8 ». C’està-dire que l’on calcule une puissance de 2 et plus précisément
« 2 puissance C8 ». Les élèves devront, par leurs essais successifs, trouver ce calcul.

12

13

14

15

2

a. PGCD (425 ; 325) = 25
b. PGCD (4 551 ; 3 649) = 41
c. PGCD (55 640 ; 29 380) = 260

3

4

a. PGCD (133 ; 95) = 19
b. PGCD (264 ; 192) = 24
c. PGCD (405 ; 285) = 15
a. PGCD (255 ; 187) = 17
b. PGCD (375 ; 275) = 25
c. PGCD (11 534 ; 1 606) = 146

b.

629 629 : 37 17
=
=
444 444 : 37 12

c.

6   290 6   290 : 10 629 629 : 37 17
=
=
=
=
4   440 4   440 : 10 444 444 : 37 12

a.

765
765 : 85
9
=
=
1105
 
1105
 
: 85 13

b.

1105
 
1105
 
: 85 13
=
=
765
765 : 85
9

c.

9
76   500
76   500 : 100
765
=
=
=
110   500 110   500 : 100 1 105 13

a.

72 12
=
42
7

b.

120 4
=
210 7

c.

900
3
=
1  200 4

d.

255 17
=
285 19

a.

532 19
=
476 17

b.

540
4
=
1  485 11

c.

8   897
7
=
15  252 12

d.

14   874 111
=
14   606 109

a. PGCD (2 125 ; 2 040) = 85

16

17

2  125 2  125 : 85 25
=
=
2   040 2   040 : 85 24

a. PGCD (18 810 ; 11 286) = 3 762
b.

Savoir faire
a. PGCD (145 ; 75) = 5
b. PGCD (3 973 ; 2 871) = 29
c. PGCD (5 733 ; 5 265) = 117

444 444 : 37 12
 = 
 = 
629 629 : 37 17

b.

V. Corrigés des exercices
1

a.

11  286 11  286 : 3 762 3
=
=
18   810 11  286 : 3 762 5

a. PGCD (69 930 ; 32 130) = 1 890
b.

69   930 69   930 : 1  890 37
=
=
32  130 32  130 : 1  890 17

a.

36   000 3
=
54   000 2

b.

144 36
=
188 47

c.

9   588 17
=
8   460 15

d.

1111
 
11
=
1  212 12

18 126 = 84 × 1 + 42, 84 = 42 × 2 + 0
donc PGCD (126 ; 84) = 42.

D’où

84
84 : 42
2
=
=
126 126 : 42 3

1. 4 114 et 7 650 sont divisibles par 2, donc on peut
4  114
simplifier la fraction
.
7   650
19

Chapitre 2 • Arithmétique

9

2. 7 650 = 4114 × 1 + 3 536 ; 4 114 = 3 536 × 1 + 578,
578 = 68 × 8 + 34, 68 = 34 × 2 + 0 donc PGCD (4 114 ; 7 650)
= 34.
4  114 4  114 : 34 121
3.
=
=
7   650 7   650 : 34 225

39 Les diviseurs de 48 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 et 48
donc Olivia pourra ranger ses BD par paquet de 1, 2, 3, 4, 6, 8,
12, 16, 24 ou 48.

Exercices d’entrainement

41 a. Les diviseurs de 28 sont 1, 2, 4, 7, 14 et 28. Ceux de 42
sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42.
b. Le PGCD de 28 et 42 est donc 14.

20

21

12 est divisible par 2 et par 4.
14 est divisible par 2.
15 est divisible par 5.
24 est divisible par 2 et par 4.
60 est divisible par 2, par 4 et par 5.
110 est divisible par 2 et par 5.
32 n’est pas divisible par 3, ni par 9.
39 est divisible par 3.
45 est divisible par 3 et par 9.
72 est divisible par 3 et par 9.
74 n’est pas divisible par 3, ni par 9.
129 est divisible par 3.

42, 102 et 138 sont divisibles par 2 et par 3, mais pas
par 4 ni par 9.
22

23

a. Le dividende est 319.
b. Le diviseur est 27.
c. Le quotient est 11.
d. Le reste est 22.

24 L’égalité 404 = 15 × 26 + 14 traduit la division euclidienne
de 404 par 15 ou celle de 404 par 26.
L’égalité 214 = 8 × 24 + 22 traduit la division euclidienne de
214 par 24.
25 L’égalité 1 256 = 44 × 28 + 24 traduit la division euclidienne de 1 256 par 44 ou celle de 1 256 par 28.
L’égalité 7 586 = 114 × 66 + 62 traduit la division euclidienne
de 7 586 par 114 ou celle de 7 586 par 66.
26

178 = 14 × 12 + 10

27

275 = 18 × 15 + 5

28

4 219 = 248 × 17 + 3

a. 752 = 18 × 40 + 32 donc il faut 19 caisses pour transporter tous les DVD.
b. La caisse non pleine contiendra 32 DVD.
a. 8 est un diviseur de 72.
b. 16 est un multiple de 8.
c. 45 est un multiple de 9.
d. 45 est un diviseur de 90.
e. On ne peut rien écrire.
f. 28 est un diviseur et un multiple de 28.

31 6 850 = 22 × 300 + 250, donc chaque homme reçoit
22 pièces d’or et Barbe-noire en reçoit 250.
32

a. VRAI b. VRAI c. VRAI d. FAUX e. FAUX f. FAUX

a. 1, 2, 5 et 10 ;
c. 1, 2, 4, 8 et 16 ;

b. 1, 2, 3, 4, 6 et 12 ;
d. 1, 5 et 25.

34 a. 1, 2, 4, 5, 10 et 20 ;
c. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36 ;

b. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24 ;
d. 1, 3, 5, 9, 15 et 45.

33

a. 1, 2, 5, 10, 25 et 50 ;
b. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60 ;
c. 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 et 70 ;
d. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 et 80 ;
e. 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 et 90 ;
f. 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 et 100.
35

36 a. 120, 124, 128, 132, 136 et 140.
b. 1 518, 1 524, 1 530, 1 536, 1 542 et 1 548.
37

Je suis 1 518.

38 Les diviseurs de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20,
30 et 60.
Donc Hugo pourra inviter 1, 2, 3, 4, 5, 9, 11, 14, 19, 29 ou 59 amis.

10

a. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. b. 1, 3, 5, 9, 15 et 45.
c. 1, 3, 5 et 15.
d. 15.

42 a. Les diviseurs communs à 18 et 54 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18.
b. Le PGCD de 18 et 54 est donc 18.
43 a. Les diviseurs communs à 78 et 130 sont 1, 2, 13 et 26.
b. Le PGCD de 78 et 130 est donc 26.
44 Le PGCD de 42 et 24 est 6, donc il peut prévoir au maximum 6 vases.
45 Le PGCD de 350 et 150 est 50, donc il pourra faire au
maximum 50 paquets.
46 a. 1 250 et 3 780 ne sont pas premiers entre eux car ils
sont tous les deux divisibles par 10.
b. 744 et 568 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous
les deux divisibles par 2.
c. 126 et 345 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous
les deux divisibles par 3.
47 a. 745 et 855 ne sont pas premiers entre eux car ils sont
tous les deux divisibles par 5.
b. 444 et 777 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous
les deux divisibles par 111.
c. 810 et 207 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous
les deux divisibles par 9.
48

a. PGCD (285 ; 152) = 19.

b. PGCD (1 107 ; 861) = 123.

49

a. PGCD (7 095 ; 5 160) = 645. b. PGCD (476 ; 391) = 17.

50

a. PGCD (1 425 ; 1 197) = 57. b. PGCD (10 472 ; 7 684) = 68.

a. PGCD (49 ; 27) = 1 donc 49 et 27 sont premiers entre eux.
b. PGCD (39 ; 65) = 13 donc 39 et 65 ne sont pas premiers
entre eux.
c. PGCD (27 ; 34) = 1 donc 27 et 34 sont premiers entre eux.
51

29

30

40

52 a. PGCD (312 ; 125) = 1 donc 312 et 125 sont premiers
entre eux.
b. PGCD (154 ; 105) = 7 donc 154 et 105 ne sont pas premiers entre eux.
c. PGCD (542 ; 215) = 1 donc 542 et 215 sont premiers entre eux.
53 1. Lilou a commis une erreur : à la quatrième étape, elle
aurait dû écrire « 208 – 104 = ».
Raphaël n’a pas commis d’erreur dans son algorithme, mais
sa conclusion est fausse : 3 n’est pas le PGCD de 728 et 416
car 3 n’est pas le dernier reste non nul.
2. PGCD (728 ; 416) = 104.
54 a. FAUX car 3 est un diviseur commun à 24 et 33.
b. FAUX car PGCD (18 ; 108) = 18.
c. FAUX car PGCD (525 ; 425) = 25 et PGCD (625 ; 125) = 125.
55 1. PGCD (1 005 ; 871) = 67 donc Nicolas peut remplir
67 caissettes.
2. 1 005 : 67 = 15 et 871 : 67 = 13 donc dans chaque caissette,
il y aura 15 plants de tomates et 13 plants de pommes de terre.
56 1. PGCD (630 ; 270) = 90 donc la longueur des morceaux
de ruban obtenus est de 90 cm.
2. 630 : 90 = 7 et 270 : 90 = 3 donc il y aura 10 morceaux
découpés.
57 PGCD (60 ; 42) = 6 donc les parts seront des carrés de
6 cm de côté.
60 : 6 = 10 et 42 : 6 = 7, Mamie Vano fera 70 parts (10 × 7 = 70).
58

b., c. et d. sont irréductibles.

59

a.

15
est irréductible.
8

8
4
n’est pas irréductible et est égal à .
6
3
23
c.
est irréductible.
33
54
3
n’est pas irréductible et est égal à  .
d.
360
20

b.

60 a. Le PGCD de 58 et 87 est 29.
87
3
b. La forme irréductible de la fraction
est .
58
2
61 a. PGCD (3 828 ; 3 300) = 132.
3  828
29
b. La forme irréductible de la fraction
est
.
3  300
25

a. PGCD (17 485 ; 6 725) = 1 345.
6  725
5
b. La forme irréductible de la fraction
est
.
17   485
13
62

63 a. 396 et 378 sont deux nombres pairs donc divisibles
par 2. Ils ne sont pas premiers entre eux.
b. PGCD (396 ; 378) = 18.
−22
c.
21
64

65

0,18
18
9
3
;
=
=
=
4, 2
420 210 70
22 + 3 25
5
=
=
;
•B=
94 + 1 95 19
2,1× 10 8
2,1× 102
210 21 3
•C=
=
=
=
= .
6
490 × 10
490
490 49 7

•A=

•D=

7, 2
7, 2
720 90
;
=
=
=
0, 72 − 0,16 0, 56
56
7

66 1. 288 et 224 ne sont pas premiers entre eux car ils sont
tous les deux divisibles par 2.
2. PGCD (288 ; 224) = 32.
288 288 : 32 9
3.
=
= .
224 224 : 32 7

345 est divisible par 3, par 5 mais pas par 2, ni par 4,
ni par 9, ni par 10.
67

68

14, 21 et 28.

69

1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63 et 126.

70

1, 2, 5 et 10.

71

1, 3, 7, 9, 21 et 63.

72

Le reste de la division euclidienne de 25 par 3 est 1.

73

a. PGCD (45 ; 60) = 15.
b. PGCD (27 ; 36) = 9.
c. PGCD (105 ; 75) = 15.

74 a. FAUX, 1 est toujours diviseur d’un nombre.
b. FAUX, 4 possède trois diviseurs : 1, 2 et 4.
c. VRAI autrement dit si un nombre est multiple de 9, alors il
est aussi multiple de 3.
75

5 possibilités : 36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6.

76

a.

77

On peut prévoir 1, 2, 3 ou 6 corbeilles.

b. −

45
5
=− ;
36
4

c.

−36 18
= .
−22 11

Il faut 17 cartons pour transporter tous les livres et il y
aura 20 livres dans le carton non plein.
78

79

81

Réponse b

1  404 1  404 : 3
468
, cette fraction n’est pas irré=
=
3  465 3  465 : 3 1155
 
ductible car on peut encore la simplifier par 3.
82

83 1. PGCD (378 ; 270) = 54 avec un algorithme par exemple
(à vérifier sur le cahier de l’élève)
2. a. On peut faire 54 lots identiques.
b. 7 billes et 5 calots.
84

Je suis 330.

1. PGCD (1 394 ; 255) = 17.
2. a. Il peut réaliser au maximum 17 colliers en utilisant toutes
ses graines.
b. Chaque collier contient 82 graines d’açaï et 15 graines de
palmier-pêche.
85

86 1. PGCD (330 ; 270) = 30.
2. Les plaques isolantes sont des carrés de 30 cm de côtés.
Il y en a 99.
87 1. PGCD (186 ; 155) = 31.
2.  a. 31 colis. b. 6 pralines et 5 chocolats.
88 1. 1 848 et 2 040 sont divisibles par 2 donc la fraction
n’est pas irréductible.
2. PGCD (1 848 ; 2 040) = 24.
1  848
1  848 : 24 77
3. 
.
=
=
2   040 2   040 : 24 85
89 a. Le PGCD de 2 277 et 1 449 est 207.
b. La formule écrite dans la cellule C2 est « = A2-B2 ».

2 × 32 × 11 3
= ;
2 × 3 × 112 11
1
1
•F=
= .
2 × 5 10

•E=

15
5
;
=
36 12

80 a. FAUX, le PGCD de 8 et 12 est 4.
b. FAUX, 1 est diviseur de tous les nombres donc le PGCD de
deux nombres est au moins 1.
c. VRAI, car si les deux nombres sont pairs, alors ils sont divisibles par 2 et le PGCD est au moins 2.

117
n’est pas irréductible car on peut simplifier par 9.
531

90 1. PGCD(411 ; 685) = 137 .
2.  411 : 137 = 3 et 685 : 137 = 5, donc chaque tartelette
contiendra 3 framboises et 5 fraises.
91 1. PGCD (84 ; 147) = 21.
2.  84 : 21 = 4 et 147 : 21 = 7, donc chaque personne aura
4 sucettes et 7 bonbons.

Parcours autonome
92

B et C

93

 C

94

98

B et C

99

  C

100   A et C

 B

95

  B

96

  B

97

  C

101   C

102 • 15 est divisible par 3, par 5 mais pas par 2, ni par 4,
ni par 9, ni par 10.
• 34 est divisible par 2 mais pas par 3, ni par 4, ni par 5, ni par 9,
ni par 10.
• 42 est divisible par 2, par 3 mais pas par 4, ni par 5, ni par
9, ni par 10.
• 120 est divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 10 mais pas par 9.
• 541 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 4, ni par 5, ni par 9,
ni par 10.
• 11 541 est divisible par 3 mais ni par 2, ni par 4, ni par 5,
ni par 9, ni par 10.
• 5 400 est divisible à la fois par 2, par 3, par 4, par 5, par 9 et
par 10.
103 30 est un nombre divisible par 2, par 3 et par 5 mais pas
par 4, ni par 9.
104

312 = 18 × 17 + 6.

3 456 = 11 × 312 + 24, c’est la division euclidienne de
3 456 par 312.
105

106

a. 42 a pour diviseurs 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42.
b. 49 a pour diviseurs 1, 7 et 49.
c. 56 a pour diviseurs 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 et 56.
d. 64 a pour diviseurs 1, 2, 4, 8, 16 et 32.

Chapitre 2 • Arithmétique

11

107

Les diviseurs communs à 66 et 44 sont 1, 2, 11 et 22.

128

108

Les diviseurs communs à 52 et 78 sont 1, 2, 13 et 26.

129

a. 53 = 8 × 6 + 5, donc il faut 7 étagères pour exposer
toute l’œuvre de Victor Hugo.
b. L’étagère incomplète contiendra 5 volumes.
109

110 a. VRAI (1, 2, 3, 4, 6 et 12).
c. FAUX (c’est 28).

b. VRAI (4 diviseurs).

111 a. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et 48. b. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24,
36 et 72. c. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. d. 24.
112

a. PGCD (336 ; 140) = 28 ; b. PGCD (4 641 ; 3 549) = 273.

a. PGCD (244 ; 87) = 1 donc ils sont premiers entre eux.
b. PGCD (493 ; 377) = 29 donc ils ne sont pas premiers entre eux.
113

114 a. 3 588 et 4 584 ne sont pas premiers entre eux car divisibles par 2.
b. 750 et 435 ne sont pas premiers entre eux car divisibles par 5.
c. 10 206 et 30 405 ne sont pas premiers entre eux car divisibles par 3.
115 1 540 et 693 sont divisibles par 7 donc ils ne sont pas premiers entre eux.
116 a. PGCD (210 ; 135) = 15 donc la longueur d’un côté de
carreau est de 15 cm.
b. 210 : 15 = 14 et 135 : 15 = 9 donc il faudra 126 carreaux
(14 × 9 = 126).

1. PGCD (144 ; 252) = 36.
2. a. Le nombre maximal d’équipes que cette association peut
former est de 36.
b. 144 : 36 = 4 et 252 : 36 = 7, 4 filles et 7 garçons.
117

a. PGCD (301 ; 172) = 43, donc le nombre maximal de
sachets réalisables est de 43.
b. 301 : 43 = 7 et 172 : 43 = 4, donc il y aura 7  caramels et
4 chocolats dans un sachet.
17
18 9
119 a.
est irréductible.
b.
= .
8
16 8
118

43
est irréductible.
33

d.

540 54 6 3
=
= = .
360 36 4 2

120

a. PGCD (128 ; 224) = 32.

b.

128 128 : 32 4
=
= .
224 224 : 32 7

121

a.

c.

845
845 : 65
13
12   350 1  235 : 65 19
=
= . b.
=
= .
1  235 1  235 : 65 19
8   450
845 : 65
13

1. PGCD (6 209 ; 4 435) = 887.
4   435
n’est pas irréductible car 4 435 et 6 209 ne sont pas
2.
6   209
premiers entre eux.
4   435 4   435 : 887 5
3.
=
= .
6   209 6   209 : 887 7
122

123

1. PGCD (2 108 ; 1 488) = 124.
1  488 1  488 : 124 12
.
2.
=
=
2  108 2  108 : 124 17

124 1. 1 215 et 1 035 ne sont pas premiers entre eux car
divisibles par 5.
2. PGCD (1 215 ; 1 035) = 45.
1  035 1  035 : 45 23
3.
.
=
=
1  215 1  215 : 45 27
125 1. PGCD (854 ; 1 610) = 14.
854
854 : 14
61
.
2.
=
=
1  610 1  610 : 14 115
126

1. PGCD (408 ; 578) = 34.
408 408 : 34 12
.
2.
=
=
578 578 : 34 17

Exercices d’approfondissement
127

Le dividende est 290 372 et le quotient 916.

12

Il y a deux solutions : 452 et 542.
49
218
1
1
a. 20 = 20 = 2 =
2
2
2
4
217 217
1
1
b. 7 = 21 = 4 =
8
2
2
16
397
397
1
1
c. 50  =  100  = 3 =
9
3
3
27

130 1. a. 36 = 2 × 18 et 36 = 6 × 6 donc 36 est un multiple
commun à 2 et 6.
b. 77 est un multiple commun à 7 et 11.
c. 330 = 3 × 110, 330 = 5 × 66 et 330 = 11 × 30 donc 330 est
un multiple commun à 3, 5 et 11.
d. 105 est un multiple commun à 3, 5 et 7.
2. a. PPCM (2 ; 9) = 18 b. PPCM (5 ; 10) = 10.
c. PPCM (2 ; 5 ; 7) = 70 d. PPCM (2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6) = 60.
131 1. PGCD (220 ; 176) = 44 donc la longueur du côté d’un
carré sera de 44 cm, c’est-à-dire 0,44 m.
2. 220 : 44 = 5 et 176 : 44 = 4 donc l’ouvrier peut faire 20 carrés
(4 × 5 = 20) dans une seule plaque.
3. 0,44 × 0,44 × 0,005 = 0,000968 donc le volume de chaque
plaque « carrée » sera de 0,000968 m3. 0,000968 × 2 700 kg
= 2,6136 donc la masse d’un carré obtenu sera d’environ 2,6 kg.
132

À vérifier sur le cahier de l’élève

Il a raison car 2n × 3n × 7n + 2n × 21n × 5 + 6n × 7n × 4
= 2n × 3n × 7n + 2n × 3n × 7n × 5 + 2n ×3n × 7n × 4
= 2n × 3n × 7n × (1 + 5 + 4) = 10 × 2n × 3n × 7n donc est divisible
par 10.
133

134 a = 26 × 52 × 35 = 2 × 52 × 3 × 25 × 34 et b = 2 × 52 × 3 × 52 × 73.
Donc le PGCD de a et b est 2 × 52 × 3 = 150.
135

Ophélie a raison.

136

Il y a 119 soldats.

1. On cherche le plus grand diviseur commun à 518, 448
et 350, c’est 14. Donc il y a 14 m entre chaque arbre.
518 + 448 + 350 = 1 316. Donc le périmètre du terrain est
de 1 316 m.
1 316 : 14 = 94 donc il faut au minimum 94 arbres.
2. 94 × 54 = 5 076 donc le coût de cet investissement sera de
5 076 €.
137

138 1. PGCD (7 300 ; 1 050) = 50 donc la longueur du côté de
la dalle carrée qu’il va choisir sera de 50 cm.
2. 7 300 : 50 = 146 et 1 050 : 50 = 21 donc il doit acheter
3 066 dalles car 146 × 21 = 3 066.
139 1. a. On cherche les diviseurs communs à 60, 36 et 24.
Il y a 6 longueurs possibles : 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 6 cm et
12 cm.
b. 1 cm de côté : il y en aura 51 840 car 60 × 36 × 24 = 51 840.
2 cm de côté : il y en aura 6 480 car 30 × 18 × 12 = 6 480.
3 cm de côté : il y en aura 1 920 car 20 × 18 × 8 = 1 920.
4 cm de côté : il y en aura 810 car 15 × 9 × 6 = 810.
6 cm de côté : il y en aura 240 car 10 × 6 × 4 = 240.
12 cm de côté : il y en aura 30 car 5 × 3 × 2 = 30.
2. a. On cherche le plus grand diviseur commun à 70, 56 et
42. Il s’agit de 14, donc l’arête du plus grand cube possible est
de 14 cm.
b. Il doit fabriquer 60 cubes pour remplir la boîte car
5 × 4 × 3 = 60.
140 Les dimensions de la boîte sont 45 cm, 60 cm et 90 cm.
Le volume est donc de 243 000 cm3.
141 1 215 et 945 ont 8 diviseurs communs donc il y a 8 possibilités. Elle donne :
1 € à chacun de ses 2 160 petits-enfants ;
3 € à chacun de ses 720 petits-enfants ;
5 € à chacun de ses 432 petits-enfants ;
9 € à chacun de ses 240 petits-enfants ;

15 € à chacun de ses 144 petits-enfants ;
27 € à chacun de ses 80 petits-enfants ;
45 € à chacun de ses 48 petits-enfants ;
ou 135 € à chacun de ses 16 petits-enfants.
142

Il y a 35 personnes autour de la table.

La date de naissance de son grand-père est le 22 février
1916.
143

2 002 = 1 × 2 × 7 × 11 × 13.
Donc 2 002 peut s’écrire de plusieurs façons comme produits
de quatre entiers en particulier :
2 002 = 2 × 7 × 11 × 13 = 1 × 11 × 13 × 14 = 1 × 7 × 13 × 22
= 1 × 7 × 11 × 26 (les autres combinaisons donnent des âges
d’enfants peu crédibles).
Seule Béa Teument sait si son mari a : 33 ou 39 ou 43 ou 45 ans.
144

145

16 est le plus petit nombre possédant cinq diviseurs.

146 100 000 000 000 095 est le plus petit nombre de 15 chiffres
(qui ne commence pas par 0), divisible par 15 et dont la somme
des chiffres est 15.
147

Il y avait 59 danseurs.

1. a. 28 est parfait car 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
b. 64 est presque parfait car 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63.
c. Les nombres presque parfaits inférieurs à 20 sont 2, 4, 8 et 16.
148

2. 220 et 284 sont amicaux car :
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 + 220 =
1 + 2 + 4 + 71 + 142 + 284 = 504.
3. a. 10 080 est gentil car il est divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 et 10.
b. Le plus petit nombre gentil est 2 520 car 5 × 7 × 8 × 9 = 2 520.

4. a. Jean a raison.
b. 100x = 21,21212121……
donc 100x – x = 21,21212121 – 0,21212121 = 21.
99
c. x = .
21
5. a. Grâce au théorème de Thalès :
12
BM MN
4 MN
donc MN =
 = 
  donc    = 
BA
AC
3
3
7

b. À vérifier sur le cahier de l’élève.

Devoir à la maison

1

1. 2, 3, 5 et 7.

2. 21 et 36 ne sont pas des nombres premiers. 23 et 37 sont
des nombres premiers.

2 3. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.
3 Le prochain couple de nombres premiers jumeaux est
(41 ; 43).
4 1. La conjecture de Goldbach : tout nombre entier pair
strictement supérieur à 3 peut être écrit comme la somme de
deux nombres premiers (le même nombre premier pouvant
être utilisé deux fois).
2. 26 = 13 + 13 ; 58 = 17 + 41 et 138 = 67 + 71.

Chapitre 2 • Arithmétique

13

Chapitre

3

Racines carrées

I. Programme de la classe de troisième
Connaissances
2.2. Calculs
élémentaires
sur les radicaux
Racine carrée
d’un nombre positif.
Produit et quotient
de deux radicaux.

Capacités

Commentaires

– Savoir que, si a désigne un nombre positif,
a est le nombre positif dont le carré est a
et utiliser les égalités :

( a )= a ,
2

a2   =   a .

– Déterminer, sur des exemples numériques,
les nombres x tels que x 2 = a , où a est un nombre
positif.
– Sur des exemples numériques, où a et b sont
deux nombres positifs, utiliser les égalités :
a
a
ab = a . b ,
 = 
(b non nul).
b
b

Dans le cadre du socle commun, la seule capacité
exigible, relative à la racine carrée, concerne
le calcul à la calculatrice de la valeur exacte ou
approchée de la racine carrée d’un nombre positif.

Ces résultats permettent de transformer l’écriture
d’un nombre et de choisir la forme la mieux adaptée
à la résolution d’un problème posé.

II. Contexte du chapitre
Les élèves connaissent partiellement la notion de racine carrée à travers le travail sur l’égalité de Pythagore fait en 4e.
Il s’agit maintenant de définir ce qu’est la racine carrée d’un
nombre, d’en étudier les règles de calcul et de résoudre des
équations du type x 2 = a .

La mise en place du socle commun demande que les élèves en
fin de collège sachent ce qu’est la racine carrée d’un nombre
positif et soient capables d’en calculer. Ne sont pas au socle
commun les règles de calcul du produit et du quotient, ainsi
que la résolution d’équations de type x 2 = a .

III. Ressources disponibles sur le site compagnon et le manuel numérique Premium
Savoir faire

Animation : Calculer avec des racines carrées
Animation : Résoudre une équation de la forme x2 = a

Travaux pratiques
avec un ordinateur

Pour aider à la correction en video-projection :
• Figure dynamique de l’activité 1
• Feuille de calcul de l’activité 2
Fichier « boite_noire_03 »
PDF : Fiches-réponse élèves imprimables pour les quatre activités

Du côté du site compagnon

PDF : La star des racines

IV. Intentions pédagogiques
des activités
A. Activités d’introduction
Activité 1 : Définir la racine carrée d’un nombre
L’objectif de cette activité est d’amener les élèves à s’interroger
sur l’existence de nombres qui ne seraient pas rationnels, puis
de les solliciter pour proposer une définition de la racine carrée d’un nombre positif. La première partie de l’activité met en
évidence une difficulté à écrire le nombre dont le carré vaut 13.
La deuxième partie montre qu’un tel nombre existe puisqu’on
peut le construire. La troisième partie permet de découvrir que
ce nombre n’est ni entier, ni décimal, ni rationnel.

Activité 2 : Découvrir la règle de calcul du produit
L’objectif de cette activité est de faire découvrir la règle de
calcul du produit de deux racines carrées. La première partie
repose sur l’observation de résultats et la mise en lumière d’une
conjecture possible. La deuxième partie propose de démontrer la conjecture précédente. La troisième partie montre comment utiliser cette nouvelle propriété.

14

Activité 3 : Découvrir la règle de calcul du quotient
L’objectif de cette activité est de faire découvrir la règle de
calcul du quotient de deux racines carrées. La première partie repose sur l’observation de résultats et la mise en lumière
d’une conjecture possible. La deuxième partie propose de
démontrer la conjecture précédente. La troisième partie
montre comment utiliser cette nouvelle propriété.

Activité 4 : Déterminer des nombres dont on connaît
le carré
L’objectif de cette activité est de découvrir la résolution d’équations de type x 2 = a . Une situation illustrée suggère qu’il y a
un doute sur la valeur d’un nombre dont on connaît le carré.
Les élèves sont uniquement habitués à la recherche d’un
nombre positif dont on connaît le carré, à travers les activités
liées au théorème de Pythagore. Les questions 1, 2 et 3 amènent l’élève à modéliser la situation illustrée et à y répondre.
Ensuite, on étudie des équations pour suggérer qu’elles peuvent se répartir en différents types. Puis on termine par la formalisation du typage précédent.

Exercices d’entraînement

B. Activités TICE

Activité 1 : Construction géométrique d’une racine
carrée
• Considérations didactiques : Cette activité a pour objectif
d’apprendre à construire des racines carrées à travers l’usage
d’un logiciel de géométrie dynamique. GeoGebra a été choisi
parce qu’il dispose également d’un tableur.
Dans un premier temps, l’élève observe, s’interroge puis formule une conjecture : BD = BC   ou BD 2 = BC .
Dans un deuxième temps, on l’amène à démontrer la conjecture précédente. On a donc construit la racine carrée du
nombre fixant la longueur du segment [BC].
Quelques éléments de la démonstration :
2. a. Triangle inscrit dans un demi-cercle…
b. Égalité de Pythagore dans ADC…
c. AB + BC = AC  ; ( AB + BC)2 = AC2 ;
AB2 + BC2 + 2 × AB × BC = AC2  ; Or   AC2 = AD 2 + CD 2 …
d. On montre que les triangles ABD et BCD sont rectangles…
e. AB2 + BC2 + 2 × AB × BC = AD 2 + CD 2 = AB2 + BD 2 + BD 2 + BC2
donc 2 × AB × BC = 2BD 2   ;   d’où  :  BD 2 = AB × BC
f. AB = 1   donc   BD 2 == BC  ; BD > 0   et  BC > 0   donc  BD = BC .
• En pratique : Pas de difficultés techniques particulières mais
il faut savoir utiliser GeoGebra et son tableur.

Activité 2 : Approximation d’une racine carrée
• Considérations didactiques : Cette activité a pour objectif d’apprendre à utiliser un tableur pour exécuter un algorithme. Il s’agit, dans la situation proposée ici, d’appliquer
la méthode de Héron pour obtenir des approximations de
la valeur de racines carrées données. L’algorithme n’est pas
simple, il faut s’assurer qu‘il a été bien compris avant de passer à son exécution par le tableur.
• En pratique : Pas de difficultés techniques particulières.

Activité 3 : La boîte noire du chapitre 3

Dans cette boîte noire, le calcul effectué est « C8 − 1 ».
Dans le tableur, ce calcul s’écrit « RACINE(C8) − 1 ». Les élèves
devront, par leurs essais successifs, retrouver cette formule.

V. Corrigés des exercices

19

a. 9

b. 4

c. 25

d. − 5 et 5

20

a. 9

b. 5

c. 1

d. 0

e. 3

a

36

12

− 10

13

17

0,81

a

6

12

X

13

17

0,9

22

a. 12 ;

23

a.

0, 25 = 0, 5 ;

b.

0, 81 = 0, 9 ;

c.

0, 01 = 0,1 ;

d.

0, 49 = 0, 7 ;

e.

1, 44 = 1, 2 ;

f.

0, 0036 = 0, 06 .

24

a.

b. 20 ;

c. 100 ;

d. 70 ;

a. 2 3

b. 3 3

c. 4 3

2

a. 2 5

b. 10 5

c. 3 5

3

a. 4 2

b. 2 7

c. 10 3

4

a. 4 5

b. 8 2

c. 5 2

5

a. 6 3

b. 15 2

c. −21 2

6

a. 10 7

b. −90 2

7

a. −3 3

b. 14 3

8

a. 4 5

b. –18 7

9

a. 10 6

b. 6 2

−7 2

a. − 6 et 6 ;

b. − 5 et

12

a. − 9 et 9 ;

b. 0 ;

c. − 50 = −5 2 et
13

a. − 1 et 1 ;

34 ≈ 6 cm.

b. 3 < 12 < 4 ;

d. 9 < 99 < 10 ;

e. 4 < 17, 6 < 5 ; f. 0 <

b. 7 ;

a. 5 ;

28

a. 10 ; b. 10 ;

c. 10 ; d. 10 ; e. 10 ;

29

a. 6 ;

b. 20 ;

d. 10 ;

d. 1 000 ;

e. 12 ;

−2

10

c. −5 3 et 5 3 .

16

a. − 5 et 5 ;

c. Pas de solution.

17

2n2 = 1250  ;  n2 = 625 ;  deux   solutions  :  − 25  et   25.

18

1. x 2 = 32 ;

b. −3 2   et   3 2 ;
2.

−5

3

11
< 1.
15

f. π − 3.
f. 10− 1.

c. − 45 ;
1
.
f.
11

30

BC = 4 13 .

31

a. 8 3

b. −18 7

32

a. 3 2 + 15

b. 110 − 10 5

c. 7 − 25 5
c. 5 − 2 5

d. 2 3 ( 8 – 3 3 ) = − 18 + 16 3

e. – 2 ( 2 – 8 ) = 2

33

a. − 46

c. −64 + 26 11

34

a. Faux

b. 1+ 7
b. Vrai

c. Faux

d. Vrai

32 4 + 6 − 15 25 = 32 × 2 + 36 − 15 × 5 = 5 .
2

35
36

On doit multiplier par

37

a.

2
2

38

a.

3 × 12 = 3 × 12 = 36 = 6.

50 = 5 2 .

7
7
c. −
.
et
8
8
9
9
c. − et .
4
4

15

e. − 28 ;

27

4

c. 8 ;

c. 8 < 80 < 9 ;

3 . En effet :

b.

−2 3
27

c.

2
2× 3
2 3
=
=
.
3
3
3× 3

−12 + 4 6
9

b. 4 5 = 16 × 5 = 16 × 5 = 80 .

2
2
a. − et
; b. Pas de solution ;
3
3
3
3
a. − 4 et 4 ;
b. −
;
et
2
2

14

3
= 0,15.
20

a. 1< 2 < 2 ;

5 ; c. Pas de solution.

b. Pas de solution ;

f.

26

39

11

f. 13.

25

c. 110 2

10

e. 11 ;

2
1
7
0, 8
15
; b.
; c.
; d.
; e.
;
3
9
5
14
0, 3

Savoir faire
1

f. 8

21

32 = 4 2 cm.

c.

300 = 100 × 3 = 100 × 3 = 10 3 .

d.

18 = 9 × 2 = 9 × 2 = 3 2 .

a.

16
16 4
=
= .
9
9 3

b.

64
64
8
=
= .
100
100 10

c.

11
11
11
=
=
.
49
7
49

d.

50
50
=
= 25 = 5 .
2
2

40

a. 56 ;

b. 20 ; c. 5 ;

d. 6 ;

e. 2 ;

f. 12 .

41

a. 6 ;

b. 2 ;

d. 6 ;

e. 3 ;

f. 3 .

42

a.

43

c. 12 ;

8 = 4×2 = 4 × 2 = 2 2.

b.

50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2 .

c.

72 = 36 × 2 = 36 × 2 = 6 2 .

d.

200 = 100 × 2 = 100 × 2 = 10 2 .

a. 2 5

b. 4 5

c. 10 5

d. 5 5

Chapitre 3 • Racines carrées

15

44

45

a.

27 = 9 × 3 = 9 × 3 = 3 3 .

b.

28 = 4 × 7 = 4 × 7 = 2 7 .

c.

40 = 4 ×10 = 4 × 10 = 2 10 .

71
72

d.

700 = 100 × 7 = 100 × 7 = 10 7 .

1.

12 = 2 3 ;

48 = 4 3 ;

73

75 = 5 3 .

46

a. 4 2 ; b. 5 5 .

47

a. 3 3 ; b. 7 7 .
a. Faux

50

Sébastien utilise une règle qui n’existe pas.

51

a. − 3

52

a. 18 − 2 77

b. 28 + 8 6

53

1. Périmètre = 2 ×

(

(

b. Vrai

c. Faux

b. 6 − 3 2 − 2 3 + 6

) (

d. 36

4 × 225 = 4 × 15 = 60 cm .
27 + 5 12 − 300 = 3 3 + 5 × 2 3 − 10 3 = 3 3 .

1.

C=

76

49

2. Aire =

d. − 11 et 11.

c. 15

2. Le raisonnement d’Éric est incorrect car il utilise des valeurs
approchées.

800 = 20 2 m.

48

c.

−12 + 4 6
9

c. −8 − 12 10

)

12 + 3 + 2 3 + 27 = 8 3 cm.

)

( 5) + 2 ×
2

5 × 10 +

( 10 ) − 10
2

77

1. Aire A =

2. Aire Aʹ = 2
donc A = Aʹ.

(

(

)

2

3 + 3 = 12 + 6 3 .

)

(

)

72 +3 6 = 2 6 2 +3 6 =12+ 6 3

C = 2 3 −5 3 + 8 3 = 5 3.

78
79

G = 20 2 + 3 2 − 20 2 = 3 2 .
B = 4 3 − 6 3 + 7 3 = 5 3.
C=3 3.

54

2 et − 2

80

55

− 14   et   14

81

56

a. − 5 et 5 ; b. Pas de solution ; c. − 70 et 70 ; d. 0.

82

57

a. Pas de solution ;
c. − 11 et 11 ;

(3 5 + ( 5 ) ) × 2 = 6 5 + 10 .

83

1. C = −3 3

a. − 0,9 et 0,9 ;

84

58

C = 11 2  ; D = 3 2

85

C = 17 5

59

b. − 9 et 9 ;
d. − 60 et 60.
2
2
b. −    et    ;
3
3
6
3
6 3
d. − = −    et    = .
10
5
10 5

60

61

b.

72 = 6 2   donc   −6 2   et   6 2 ;

c.

48 = 4 3 donc − 4 3 et 4 3 ;

d.

80 = 4 5 donc − 4 5 et 4 5 .

b. − 3 et 3 ;
d. − 3,5 et 3,5.

a. − 2 et 2 ;

b. Pas de solution ;

62

3 x 2 = 588 ; x 2 =

65

588
= 196 ; x = −14 ou x = 14.
3

1. Rayon ≈ 7 mm

2.

164
π

(

) (
2

AC = 68 = 2 17   cm.

)

2

= 68  ; 

=

2. Périmètre = 3 7 + 5 2 + 2 17 cm.
66

1. a. 2 2 ; b. 3 2 ;

2. a 2
67

V = πR 2 h  ;  R 2 =
  R ≈ 10   cm.

c. 5 2 ;

d. 10 2

V
359   536
=
≈ 104 , 0398757  ccm2  ;
πh π × 1100
 

AD πR 2 π × 52
=
=
≈ 39, 27 cm2
2
2
2
donc côté = 39, 27 ≈ 6, 3 cm.
68

AC = AD − AC

;

AC =

69

a. 6

b. 10

c. 40

d. 30

70

a. 3

b. 20

c.

d.

16

5

(

)

3+ 2 .

3 96 3 × 4 6
=
= 1.
5 54 4 × 3 6

C=

88

E =7 2 −3 3

89

1. B = 16 ; C = 16 − 6 7 .

(

)

2. D = 16 − 16 − 6 7 = 6 7 .

90

B

91

A

92

A

93

C

94

A

95

B

96

C

97

B

98

C

99

B

100

a. 8

101

2
a.
5

d.
102

1. AC2 = AB2 + BC2 = 3 2 + 5 2

648 + 972 = 18 3 + 18 2 = 18

87

124 = 2 31 ≈ 11,14 m.

63
64

21
21
.
   et   
2
2

d. −

2. D = −76

Parcours autonome

a. − 0,2 et 0,2 ;
c. Pas de solution ;

c. − 12 et 12 ;

2

86

12 = 2 3 donc − 2 3 et 2 3 ;

a.

2

= 5 + 2 50 + 10 − 10 2 = 15 + 2 25 × 2 − 10 2 = 15 .

12 + 3 × −2 3 + 27 = 9 cm2 .

c. − 2 et 2 ;

=

75

b. − 5 et 5 ;

c. − 2 et 2 ;

b.

d

74

2. 2 3 + 3 × 4 3 − 2 × 5 3 = 4 3 .

4
3
a. − 20 et 20 ;

a. 18

3

103

b. 0

c. 6

16
= 160
0,1

a. 5

b. 49

d. 1

e. 20

f. 7

1
b.
10

6 3
c. =
4 2

e. 0

f.

c. 7

d. 0,04

(

− ( −3)2 = −3 ; − 32 = −3 ; − 3

)

2

0, 02 1
=
0, 7 35

e. 7

f. 4

=3 ;

( −3)2 = 3 ;

32 = 3 ; − 9 = −3.
104

(

)

105

Périmètre = 2 × ⎡⎣ 2 + 3 + 8 − 3 ⎤⎦ = 20 ;

5 + 3 × 4 − 12 = 4 5 .

(

(

)(

)

) (

)

Aire = 2 + 3 × 8 − 3 .
MR = 10 ; ME + RE2 = 5 + 5 = 10. Donc MR 2 = ME2 + RE2 .
L’égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle est rectangle. De plus : ME = RE. En conclusion, MER est un triangle
rectangle isocèle.
2

106

2

20 c.

5 d.

6 e.

4 = 2 f.

4 =2

107

a.

56 b.

108

a.

6 ;

b.

36 = 6 ;

c.

100 = 10 ;

d.

49 = 7 ;

e.

9 =3 ;

f.

2
1 1
=
= .
8
4 2

110

d’où : BC2 = 5 , alors BC = 5 (l’autre valeur − 5 est rejetée
parce qu’elle est négative).

5 × 2 = 5 × 2 = 10 .

a.

109

b.

6 × 24 = 6 × 24 = 144 = 12.

c.

24
24
=
= 4 = 2.
6
6

d.

72
72
=
= 36 = 6.
2
2

Périmètre = AB + AC + BC = 2 + 3 + 5 cm.
121 Le triangle est rectangle en S donc l’égalité de Pythagore
est :
2
2
RT 2 = TS2 + RS2 donc RT 2 = 3 7 + 5 2 = 63 + 50 = 113 ,

(

e.

6 × 12
6 × 12
72
=
=
= 9 = 3.
8
8
8

f.

30
30
30
=
=
= 3.
10
2× 5
2×5

122

(

= 200 − 20 = 180 d’où : PA2 = 180 , alors PA = 180 = 6 5

(l’autre valeur − 180 est rejetée parce qu’elle est négative).

c.

54 = 9 × 6 = 9 × 6 = 3 6 .

– Périmètre = PA + ZP + ZA = 6 5 + 2 5 + 3 7 = 8 5 + 3 7 cm.

d.

96 = 16 × 6 = 16 × 6 = 4 6 .

a. A = 2 18 + 32 − 50 = 2 9 × 2 + 16 × 2 − 25 × 2

Périmètre = 200 + 3 32 + 4 8

Périmètre ≈ 42,4 cm.
B et C sont justes ; D est faux.

(

C = 1+ 2 3

)

2

= 1+ 2 3 + 2 3 + 2 3 × 2 3 = 13 + 4 3 .

D = 1681 − 81 = 41− 9 = 32 ≠ 40.

1. C = 2 24 + 96 − 600 = 2 4 × 6 + 16 × 6 − 100 × 6
= 4 6 + 4 6 − 10 6 = −2 6 .

2. D =

(

3− 2

)(

3 +5 2

Exercices d’approfondissement
123

a. Vrai

b. Faux

c. Vrai

d. Faux

AR
27 3 3
3 AS
48 4 × 3
3
124 1.
=
=
=
 ; 
=
=
=
 ; 
AB 15 3 × 5 R AC 20
4×5
5
AR AS
, donc les droites (RS) et (BC) sont parallèles.
donc  
=
AB AC
AR AS
3
RS
2. D’après le théorème de Thalès :
=
 ; 
=
 ; 
AB AC 5 5 2
5 2× 3
RS =
 =  6 .
5

b. 120 + 30 15 ;

c. 162 − 60 2 .

125

a. 1 ;

126

1. Vérifier sur le cahier de l’élève.

2. Diagonale sur sol rectangulaire : d = 202 + 122 = 544 .

B = 50 + 3 2 = 25 × 2 + 3 2 = 5 2 + 3 2 = 8 2 .

)

= 3 × 3 + 3 ×5 2 − 2 × 3 − 2 ×5 2

Distance totale :
127

1. BD =

(

d 2 + 22 = 560 = 4 35 ≈ 23, 66 m.
34

) + (2 5 )
2

2

= 54 = 3 6 .

2 5
2 = 170 .
2
2
34
2 5×
2 = 170 .
Aire de BCO =
2
2

2. Aire de ABO =

34 ×

128 a. x + 7 = −3   donc   x = −10  ; x + 7 = 3   donc   x = −4  ;
deux solutions  :  − 10   et   − 4 .

= 3 + 5 6 − 6 − 5 × 2 = −7 + 4 6.
116

a. Deux solutions : 6 et − 6 b. Pas de solution
c. Une solution : 0
d. Deux solutions : 40 et − 40

117

a. Deux solutions : 2 2 et −2 2 .
b. Deux solutions : 3 3 et −3 3 .

4
11
4
19
b. x − 5 = −   donc   x =  ;  x − 5 =   donc   x =  ; 
3
3
3
3
11 19
deu
ux solutions  :    et   .
3
3

(

( – 5 – 3)
5 – 3)
  et  
b. −1− 2 3 et 1+ 2 3
2
2 2
2
2 3 + 3 12 = 8 3 = 192.

c. Deux solutions : 5 6 et −5 6 .

129

a.

d. Deux solutions : 2 7 et −2 7 .

130

a. x = −25 ; pas de solution.

(

131

h2 = 4 2 − 22 = 16 − 14 = 12  ;  h = 12 .

2

b. x 2 = 16 ; deux solutions : 4 et − 4.

132

c. x = 75 ; deux solutions : 75 et − 75 .
2

133

a. z 2 = − 400 ; pas de solution.

3+ 8

) = 3+
2

)

(

8  ;  1+ 2

)

2

= 3+2 2 = 3+ 8.

a. Vrai.  4 − π > 0   donc   ( 4 − π )2 = 4 − π .
b. Faux.  2π − 7 < 0   donc   (2π − 7)2 = 7 − 2π .

b. t 2 = 36 ; deux solutions : 6 et − 6.

( ) = 4+2
d. Faux. ( 2 6 ) = 576.
e. Faux. ( − 5 ) = 125.

3.

4

d. d = 21 ; deux solutions : 21 et − 21.
2

6

Le triangle est rectangle en A donc l’égalité de Pytha-

( 2) +( 3)
2

2

c. Faux.  1+ 3

c. s 2 = 0, 02 ; deux solutions : 0, 02 et − 0, 02 .

gore est : BC2 = AB2 + AC2 donc BC2 =

(

) (

Comme 3 + 8 > 0   et  1+ 2 > 0   alors   3 + 8 = 1+ 2 .

d. x 2 = 121 ; deux solutions : 11 et − 11.

120

PA × ZP 6 5 × 2 5
=
= 30 cm2 .
2
2

– Aire =

= 10 2 + 12 2 + 8 2 = 30 2  cm.

119

2

75 = 25 × 3 = 25 × 3 = 5 3 .

= 100 × 2 + 3 16 × 2 + 4 4 × 2

118

)

18 = 9 × 2 = 9 × 2 = 3 2 .

= 3 5 − 4 5 + 12 5 = 11 5 .

115

2

a.

b. B = 3 5 − 2 20 + 3 80 = 3 5 − 2 4 × 5 + 3 16 × 5

114

) (

b.

= 6 2 + 4 2 − 5 2 = 5 2.

113

Le triangle est rectangle en P donc l’égalité de Pythagore

est : ZA2 = ZP2 + PA2 donc PA2 = ZA2 − ZP2 = 5 8 − 2 5

= 4 3 + 2 × 9 × 3 − 16 × 3 = 4 3 + 6 3 − 4 3 = 6 3 .
112

)

Périmètre = RS + TS + RT = 5 2 + 3 7 + 113 cm.

4 3 + 2 27 − 48 = 4 3 + 2 × 9 × 3 − 16 × 3

111

) (

d’où : RT 2 = 113 , alors RT = 113 (l’autre valeur − 113 est
rejetée parce qu’elle est négative).

2

= 2 + 3 = 5,

134

a. Vrai. 2 × 5 × 6 = 2 × 30 = 120 .

Chapitre 3 • Racines carrées

17

b. Faux. 8 5 − 2 9 = −6 + 8 5 .
c. Vrai. 

(

) ( 3 − 1) − 2 = 4 − 2
(5 − 2 ) + ( 5 (1+ 2 )) =
2

3 −1 + 2

d. Faux. 
135

2

2

T > 0   donc  T 2 = T 4 ≈ 33  596875 ;  d'où T ≈ 5 796  K .
3 + 2 3 − 2 − 2 = 0.
42 .

( cos (α))

500
= 4  ;  I = 2   ampères.
125

1. 500 = 125  I 2  ;  I 2 =

100 125
2. 1  000 = 960   I  ;  I =
=
 ;
96 12
2

2

125
125 5 15
I=
=
=
 ampères.
12
6
12
136

1. GF = CF2 + CG2 = 1+ 1 = 2 m.

2.

GF = 1 ;  CF2 + CG2 = GF2 = 1 ; or   CF = CG,  donc   2CF2 = 1 ;

1
1
1
CF2 =   donc   CF =
=
≈ 0, 707  m.
2
2
2

1.

(

) (
2

7 +1 +

)

2

7 − 1 = 16 .

2. 16 = 4 2 donc 4 2 =

(

) (
2

7 +1 +

)

2

7 −1 .

7
7
.
  ou cos (α ) =
16
16

( cos (α ))2 =

7
 ;
16

7
7
Le cosinus d’un angle aigu est positif donc cos (α ) =
.
=
16
4
3
sin(α )
3
tan(α ) =
= 4 =
cos (α )
7
7
4

Oui, on peut calculer le volume de ce prisme droit.

(

50

) =(
2

(

50

) ( 5) .
2

)

2

= 50  ; 

(

) ( 5)
2

45 +

2

= 50  ; d

2

45 +

Donc le triangle de base est rectangle et les côtés de l’angle
droit mesurent 45   cm   et   5   cm.
Volume = Aire   de  la base × hauteur   du prisme

d’où V = 25  600 = 160 m/s .
160 × 3  600
V=
= 576 km/h.
1  000

=

5 × 45
× 32 = 1  800  cm3 = 30 2  cm3.
2

Si l’on prend 2 ≈ 1, 4, on a :
1  000(99 − 70 × 1, 4 ) = 1  000 tonnes de charge maximale.

147

Lalina a raison. 1946 ≠ 44 ,11349 car 44 ,113492 se termine par 1.
139

Aire =

cos (α ) = −

 doncc  

4 , 48 × 109 =

1. a. p = 6.

9
= 1 ;
16

5 2 = 50 > 45 > 5  ; 

1
× 350   000 × V 2
2
2 × 4 , 48 × 109
= 25 600,
donc V 2 =
350   000

140

2

⎛ 3⎞
+⎜ ⎟ =1 ;
⎝ 4⎠

( cos (α ))2 +

146

Or 4 > 7 + 1 ( ≈ 3, 646)  donc   4   est  le   côté  le  plus  lo
ong.
Le triangle est rectangle et son hypoténuse mesure 4.
138

2

145 Le professeur Francois a raison. AB étant le plus long,
pour que les trois points A, B et C soient alignés, il faut que :
AC + BC = AB.
AC + BC = 24 + 54 = 2 6 + 3 6 = 5 6 = 150 = AB.

On doit déplacer les étagères d’environ 0,707 m.
137

3
2
2
sin (α ) =  ; ( cos (α )) + ( sin (α )) = 1 ;
4

144

6( 6 − 3)( 6 − 4 )( 6 − 5) = 6 cm .
2

b. AC2 = AB2 + BC2 donc le triangle ABC est rectangle en B,
AB × BC
donc son aire vaut :
= 6 cm2 .
2
2. a. À corriger sur le cahier de l’élève.

Or si l’on prend 2 ≈ 1, 414 , on a :
1  000(99 − 70 × 1, 414 ) = 20 tonnes de charge maximale !
Dans la simulation sur ordinateur, le pont s’est effondré parce
que l’ingénieur a pris une valeur trop approchée pour 2 .
148

a. 𝔻 ; b. ℕ ; c. ℤ ; d. ℝ ; e. ℚ ; f. ℝ ; g. ℝ ; h. ℤ.

b. p = 14.

149

1. a.

Aire =

b. a 2 = 2b 2 .
En étudiant le dernier chiffre du carré d’un entier, on en conclut
que a² peut se terminer par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
– Si b se termine par 0, b² se termine par 0, a² devrait se terminer par 0 donc a devrait se terminer par 0. Mais dans ce cas, a
et b ne seraient pas premiers entre eux.
– Si b se termine par 1 ou 9, b² se termine par 1, a² se termine
par 2, a n’est pas entier.
– Si b se termine par 2 ou 8, b² se termine par 4, a² devrait se
terminer par 8 or il n’existe par d’entier a dont le carré se termine par 8.
– Si b se termine par 3 ou 7, b² se termine par 9, a² devrait se
terminer par 8 or il n’existe par d’entier a dont le carré se termine par 8.
– Si b se termine par 4 ou 6, b² se termine par 6, a² devrait se
terminer par 2 or il n’existe par d’entier a dont le carré se termine par 2.
– Si b se termine par 5, b² se termine par 5, a² devrait se terminer par 0 donc a devrait se terminer par 0. Mais dans ce cas, a
et b ne seraient pas premiers entre eux.
a
Donc a et b n’existent pas tels que 2 = .
b
c. 2 est irrationnel

14(14 − 8)(14 − 8)(14 − 12) = 1  008 = 12 7 cm2.

c. À corriger sur le cahier de l’élève.
d. Soit h la hauteur. h2 + 62 = 82   donc   h2 = 28  ;  h = 28 .
Aire =

12 × 28
= 6 28 = 12 7  cm2.
2

Let c be the length of the base side.
1
1
Bh = 15  300  ; × c 2 × 17 = 15  300  ; c 2 × 17 = 15  300 × 3 ;
3
3
45  900 2
; c = 2  700  ; c = 2  700  
c 2 × 17 = 45  900  ; c 2 =
17
ou  c = − 2  700 . The length of the base side is positive,
141

thus : c = 2  700  ;  c = 302 × 3  ;  c = 30 3   cm.
gt 2 9, 81× 1, 22
=
≈ 7, 06  m. Die Tiefe des Brunnen
2
2
ist ungefär 7,06 m.
142

1. p =

9, 81t 2
gt 2
also 14 , 715 =
 ; 9, 81t 2 = 2 × 14 , 715 ;
2
2
29, 430 2
 ; t = 3.
9, 81t 2 = 29, 430  ; t 2 =
9, 81

2. p =

Die Zeit ist positiv, also : t = 3 .
6, 4 × 107 = 5, 67 × 10 8 ×T 4  ; 
6, 4 × 107
donc T 4 =
≈ 1, 12875 ×1015 .
5, 67 × 10−8

150

143

18

2.

a
2 =  ; 
b

(

)(

( 2)

2

=

)

a2 2
 ;  a = 2b 2.
b2

1. 2 3 + 1 2 3 − 1 = 11.

(

)

3 × 2 3 −1
3
6 3 −3
=
=
.
11
2 3 +1 2 3 +1 2 3 −1

(

)(

)

Devoir à la maison

3

1
1. a. 104 , 5012 = 10   920, 459001.
b. 104   501  0002 = 10   920, 459001000000 .
c.

10   920   459   001 =  104   501.

d.

1  092   045, 9001 =  1  045, 01.

10 × 10   920   459   001 =   109   204   590   010 .

2.

1+ 5
≈ 1, 61803.
2
2
⎛ 1+ 5 ⎞ 1+ 5
6+2 5 −2−2 5 − 4
⎟ −
b. ⎜
− 1=
= 0.
⎝ 2 ⎠
2
4
Le Nombre d’or est bien solution de l’équation.

1. a. ϕ =

2
TIG rectangle en I donc :

(

)

1
1+ 5

+ 1= 0 .
2
1+ 5
2
Le Nombre d’or est bien solution de l’équation.

c.

2. a. b. c. À vérifier sur le cahier de l’élève.

2

GT 2 = GI2 + TI2 ; 102 = 5 2 + TI2 ;  TI2 = 50 .

5
or IE = IC, donc
2

TI est une longueur donc TI > 0 alors TI = 50 cm.

d. IC = IB2 + BC2 =

IE = 2 + TI = 2 + 50  ; IE2 = 54 + 4 50 = 54 + 20 2 .

1
5 1+ 5
+
=
.
2 2
2
AEFD rectangle donc DF = AE.

(

) ( 21)
2

IR 2 + RE2 = 2 2 + 5 +

2

= 54 + 20 2 .

Donc IE2 = IR 2 + RE2 ; le triangle IRE est rectangle en R.

AE = AI + IE = AI + IC =

Chapitre 3 • Racines carrées

19

Chapitre

4

Calcul littéral

I. Programme de la classe de troisième
Connaissances

Capacités

Commentaires

Factorisation.

– Factoriser des expressions algébriques dans
lesquelles le facteur est apparent.

Les travaux se développent dans trois directions :
– utilisation d’expressions littérales donnant lieu
à des calculs numériques ;
– utilisation du calcul littéral pour la mise en équation
et la résolution de problèmes ;
– utilisation pour prouver un résultat général
(en particulier en arithmétique).
Les activités visent la maîtrise du développement
ou de la factorisation d’expressions simples.

Identités
remarquables.

– Connaître les identités :
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
– Les utiliser dans les deux sens sur des exemples
numériques ou littéraux simples.

Dans le cadre du socle commun, les élèves
connaissent l’existence des identités remarquables
et doivent savoir les utiliser pour calculer
une expression numérique mais aucune
mémorisation des formules n’est exigée.

II. Contexte du chapitre
Le calcul littéral de la classe de troisième s’inscrit dans la continuité de celui des années précédentes. Le développement, la
factorisation et la réduction d’expressions littérales sont poursuivis et prolongés par l’utilisation des identités remarquables.
La factorisation devient plus complexe avec l’utilisation de la
distributivité et la recherche de facteurs communs qui sont
des expressions littérales.

Les identités remarquables sont utilisées sur des exemples littéraux et permettent, entre autres, de factoriser des expressions
de degré 2. Ce travail de transformations d’écriture anticipe le
travail de résolution d’équations. La résolution de problèmes
et la preuve grâce à l’algèbre permettent de montrer tout l’intérêt d’avoir une expression sous la forme d’une somme ou
d’un produit et la nécessité de pouvoir passer de l’une à l’autre.

III. Ressources disponibles sur le site compagnon et le manuel numérique Premium
Savoir faire

Animation : Développer une expression littérale
Animation : Factoriser une expression littérale

Travaux pratiques
avec un ordinateur

Pour aider à la correction en vidéo-projection :
• Figure dynamique de l’activité 1
• Figure dynamique de l’activité 2
Fichier « boite_noire_04 »
PDF : Fiches-réponses élèves imprimables des trois activités

Du côté du site compagnon

PDF : Le développement

IV. Intentions pédagogiques
des activités
A. Activités d’introduction

Activité 1 : Découvrir deux identités remarquables
Dans une première partie, l’activité a pour but de faire découvrir aux élèves, par leurs propres moyens, la première identité
remarquable ( a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2. Ils développent et réduisent plusieurs expressions grâce à la double distributivité.
Chacune des expressions a une structure commune que les
élèves doivent observer. Ils conjecturent ensuite la formule
et la testent sur plusieurs exemples de leurs choix. Ils démontrent l’identité en utilisant les lettres a et b.
Dans une deuxième partie, les élèves utilisent la première
identité démontrée pour conjecturer la deuxième identité
remarquable.

Activité 2 : Découvrir une troisième identité
remarquable
Cette deuxième activité est basée sur le même principe que la
première, les expressions proposées ont la même structure de
départ ( a + b )( a − b ) puis la même structure une fois développées et réduites : a 2 − b 2. La simplification qui s’opère à chaque
fois va permettre d’émettre une conjecture et de mettre également les élèves sur la voie de la démonstration pour finalement obtenir la troisième identité remarquable.

Activité 3 : Résoudre algébriquement
un problème
Deux programmes de calculs sont proposés aux élèves.
Le but de cette activité est d’amener les élèves à conjecturer,
après avoir fait plusieurs calculs, que ces deux programmes
donnent systématiquement le même résultat.

20
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Une fois cette observation faite, il s’agit d’exprimer, pour n’importe quel nombre de départ, une expression finale en fonction d’un nombre désigné par x pour chacun des deux programmes.
La transformation d’une des deux expressions algébriques
s’avère indispensable pour prouver la conjecture faite, elle
donne plus de sens aux théorèmes de calcul littéral étudiés.

Activité 4 : Factoriser une expression algébrique
Cette activité, plus technique, est destinée à mettre les élèves
face aux difficultés de la factorisation en utilisant la distributivité lorsque le facteur commun est une expression littérale.

Activité 5 : Factoriser une expression du type a2 – b2
Cette dernière activité permet aux élèves de rencontrer des
expressions simples comme plus complexes dont la factorisation s’obtient grâce à la troisième identité remarquable.
Les termes au carré sont parfois évidents à découvrir, c’est le
cas dans les premières expressions. Les dernières expressions
contiennent des termes dont la structure est plus complexe,
elles nécessitent parfois une petite transformation pour être
écrites comme carré d’un nombre.

B. Activités TICE

Activité 1 : Démontrer un théorème
• Considérations didactiques : L’objectif est de conjecturer
puis de démontrer une identité remarquable grâce à la comparaison d’aires de polygone. Il s’agit d’une démonstration par
la géométrie de la propriété ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2. L’intérêt du
logiciel est qu’il permet de tracer rapidement des figures différentes de même aire. Le travail du calcul algébrique garde
tout son sens et son intérêt car lui seul permet de donner une
preuve de la propriété.
• En pratique  : La construction de la figure en elle-même
ne pose pas de difficulté particulière car elle est guidée pas
à pas. L’affichage des aires des deux polygones peut poser
quelques problèmes car il faut d’abord définir les deux polygones en question.

Activité 2 : Différence de carrés
• Considérations didactiques : Le tableur permet de calculer rapidement la différence des carrés du nombre qui suit et
du nombre qui précède un nombre.
La possibilité d’effectuer en peu de temps ces calculs pour un
très grand nombre de nombres va amener l’élève à conjecturer très rapidement que cette différence est un multiple de
4. Une fois encore, seul le calcul littéral permettra à l’élève de
prouver sa conjecture pour n’importe quel nombre de départ.
• En pratique : L’utilisation du tableur ne présente aucune difficulté, les formules à copier dans chacune des colonnes ne
dépendent que de la cellule A2 et il suffit de les copier dans
les colonnes pour obtenir les résultats.

8

a. 4 − 24 a + 36a

b. 1− 6c + 9c 2

9

a. 100a 2 − 60a + 9

b. 16 − 64 x + 64 x 2

10

a. x 2 − 9

b. y2 − 1

11

a. 4 x − 9

b. 1− 25 x 2

12

a. 4 y2 − 100

b. 81− 16 x 2

13

a. 4 y − 2 y + 1

b. 16 − 25 x 2

14

a. 49 + 140t + 100t 2 b. 9t 2 − 9t + 2, 25

15

a. 4 a 2 − 81

16

Réponse a

17

a. ( x + 2)( x + 9)

18

a. ( x + 4 )(3 x − 6)

b. ( y + 1)(3 y − 5)

19

a. 3 x 2 (5 x − 3)

b. (5 y − 11)( − y − 11)

20

a. ( a + 4 )2

b. ( y +1)2

21

a. ( 4 a + 6)2

b. ( x + 2 y )2

22

a. ( a − 7)

b. (b − 8)2

23

a. (2 x − 1)2

b. ( 4 − 3 y )2

24

a. ( 4 x + 8 y )2

b. (5b + 6a )2

25

À vérifier sur le cahier de l’élève.

26

a. ( x − 5)( x + 5)

b. ( y + 4 )( y − 4 )

27

a. (2a + 7)(2a − 7)

b. (10 + 3b )(10 − 3b )

28

a. (12 z − 11)(12 z + 11) b. ( 4 y + 2 x )( 4 y − 2 x )

29

a. (y – 6)(y + 6)

30

Réponse b

V. Corrigés des exercices
Savoir faire
1

À vérifier sur le cahier de l’élève.

2

a. x 2 + 10 x + 25

b. y2 + 8 y + 36

3

a. 16 x 2 + 16 x + 4

b. 9b 2 + 42b + 49

4

a. 1+ 4 y + 4 y2

b. 36 + 108 z + 81z 2

5

a. 2, 25t 2 + 24t + 64 b. 36 + 84 a + 49a 2 ( 6 + 7a )2

6

a. x 2 − 2 x + 1

b. y2 − 6 y + 9

7

a. 4 x 2 − 20 x + 25

b. 25 y2 − 80 y + 64

2

2

b. 36 y2 + 96 y + 64
b. ( y + 5)( x + 14 )

b. (9x – 3)(9x + 3).

Exercices d’entraînement
31

a. 9 x 2 + 6 x + 1
c. 25 x 2 + 20 x + 4

b. 4 x 2 + 12 x + 9
d. 36 x 2 + 48 x + 16

32

a. x 2 − 8 x + 16
c. 36 x 2 − 24 x + 4

b. 49 x 2 + 28 x + 4
d. 4 x 2 − 24 x + 36

33

a. x 2 − 16
c. ( 4 x )2 − 12

b. 25 x 2 + 9
d. 49 − 9 x 2

34

a. 64 a 2 + 48a + 9 = ( 8a + 3)2
b. (3 + 5a )2 = 9 + 30a + 25a 2
c. (2 x + 4 )2 = 4 x 2 + 16 x + 16
d. 36 y2 + 108 y + 81 = ( 6 y + 9)2

35

a. (3 − 2 x )2 = 9 − 12 x + 4 x 2
b. 25 y2 − 10 y + 1 = (5 y − 1)2
c. 16a 2 − 80a +100 = ( 4 a − 10)2
d. (7 − 6 x )2 = 49 − 84 x + 36 x 2

36

a. y2 − 4 = ( y − 2)( y + 2)
b. (9 − 2 x )(9 + 2 x ) = 81− 4 x 2
c. (3x + 7)(3x − 7) = 9 x 2 − 49
d. 100 − 64 a 2 = (10 + 8a )(10 − 8a )

37

2xy : Le double du produit de x par y

Activité 3 : La boîte noire du chapitre 04
Dans cette boîte noire, le calcul effectué est « =C8^2+2*C8 ».
On calcule le carré d’un nombre auquel on ajoute son double.
Les élèves devront, par leurs essais successifs, trouver ce calcul.

2

x 2 + 2 xy + y2 : La somme du carré de x, du double du produit
de x par y et du carré de y
( x + y )2 : Le carré de la somme de x et de y
x 2 − y2 : La différence entre le carré de x et le carré de y
2( x + y )2 : Le double du carré de la somme de x et de y
x 2 + y2 : La somme du carré de x et du carré de y
38

a.
b.
c.
d.

( a + b )2 : le carré de la somme de a et de b.
2ab : le double du produit de a et b.
a 2 + b 2 : la somme des carrés de a et de b.
( a − b )2 : le carré de la différence de a et b.

Chapitre 4 • Calcul littéral

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21
09/05/12 15:31

39 L’égalité est fausse, en prenant x =  1, on trouve
( x + 8)2 = (1+ 8)2 = 81 et x 2 + 64 = 1+ 64 = 65.
40

a. x 2 − 4 x + 4
e. y2 − 2 y + 1

b. 4 y2 − 24 y + 9 d. 9a 2 − 42a + 49
f. 1− 2b + b 2

58

a. 16a 2 − 24 a + 9
e. 36 − 96 + 64 x 2

b. 4 y2 − 8 y + 4
f. 1− 4 x + 4 x 2

59

( 4 − 6 y )2 = 4 2 + 2 × 4 × ( −6 y ) + ( −6 y )2

L’égalité est fausse :

si l’on prend x = 1,( x − 10)2 = (1− 10)2= 81 et x 2 − 100 = 1− 100 = −99.
41

57

1. • 3102 = (300 + 10)2 = 3002 + 2 × 300 × 10 + 102
= 90   000 + 6   000 + 100 = 96  100.

= 16 + 8 × ( −6 y ) + 62 y2

2. • 5052 = (500 + 5)2 = 5002 + 2 × 500 × 5 + 52

= 16 − 48 y + 36 y2

           = 250   000 + 5  000 + 25
           = 255  025.

• 992 = (100 −1)2 = 1002 − 2 ×100 ×1+1= 1  000 − 200 +1
= 801.
42

60

a. x − 64
d. 25 x 2 − 4 2

61

a. ( x + 4 )( x − 4 ) = x 2 − 16
b. (3 y + 1)(3 y − 1) = 9 y2 − 1
c. (5 x − 5)(5 x + 5) = 25 x 2 − 25
d. (3 − 4 x )(3 + 4 x ) = 9 − ( 4 x )2
e. (1− 3 x )(1+ 3 x ) = 1− 9 x 2
f. ( 6 x + 2)( 6 x − 2) = ( 6 x )2 − 22

62

a. y2 − 4
e. 4 x 2 − 1

c. 121− y2
f. 1− 9b 2

d. 16a 2 − 25

63

a. x 2 − 100
d. 36 x 2 − 4

b. 1– x 2
e. 16 x 2 − 64

c. 49 − b 2
f. 121− 25b 2

6082 = ( 600 + 8)2
= 6002 + 2 × 600 × 8 + 82
= 360   000 + 9   600 + 64
= 369   664.

43

Réponse c

44

a. 3 x 2 + 6 x
c. 12 x − 18 x 2

b. −8 y − 8
e. −2 y2 + 10 y

c. 14 a + 2a 2
f. 24 y2 + 36 y

45

a. −8 x − 16
d. 18b − 6b 2

b. 7 y2 − 7 y
e. − a 2 + a

c. 12 x + 3 x 2
f. 8 x 2 + 2 x

46

a. 6 x 2 + 7 x + 2
d. − b 2 + 6 − 5

b. y2 + 6 y + 5
c. 6a 2 − a − 2
2
e. − y + 10 y − 25 f. 24 y2 − 84 y + 72

47

a. x 2 + 9 x + 18
d. −3 x 2 + 7 x + 20

b. y2 + 10 y − 11
e. − y2 − 6 y + 18

48

a. 8 x + 11
d. 5 x 2 + 20 x + 14

b. 20 y − 1
c. −6a − 34
e. 2 y2 + 8 y − 102 f. 8a 2 − 73a + 24

49

c. a 2 + 2a − 35
f. 18 x 2 − 69 x − 8

a. 6 y + 59
b. 5 x 2 + 36 x + 8 c. −27a − 50
2
d. −15 x − 19 x + 6 e. 2b 2 + 28b + 66 f. −26 x 2 + 50 x − 51

50  * (voir p. 25)
3 x + 2 + ( − x + 9) = 2 x + 11.
−( x + 1) + 4(2 x + 7) = 7 x + 27.
2(3 x + 7) − 10( x − 2) = −4 x + 34.
− x + 8 − ( 4 x + 6) = −5 x + 2.

52

a. ( x + 2)2 = x 2 + 12 x + 9
b. (2 x + 3)2 = 4 x 2 + 12 x + 9
c. ( 6 x + 4 )2 = 36 x 2 + 24 x + 2
d. (5 y + 2)2 = 25 y2 + 20 y + 4
e. (7 x + 8)2 = 49 x 2 + 112 x + 64
f. ( 6 + 10 x )2 = 36 + 120 x + 100 x 2

53

a. y2 + 8 y + 16
d. 25 + 10a + a 2

b. 4 x 2 + 32 x + 64
f. 4 + 12b + 9b 2

54

a. x 2 + 12 x + 36
d. 16 x 2 + 8 x + 1

b. 49 + 14 y + y2
f. 1+ 16t + 64t 2

55

a. y2 − 10 y + 25
c. 9 x 2 − 54 x + 81
e. 64 x 2 − 16 x + 1

b. 4 x 2 − 40 x + 100
d. 36 x 2 − 48 x + 16
f. 25 x 2 − 70 x + 49

56

a. ( 6 y − 2)2 = 36 y2 − 24 y + 4
b. (12 x − 9)2 = 144 x 2 − 216 x + 81
c. (3 x − 7)2 = 9 x 2 − 42 x + 49
d. ( 8 x 2 − 4 )2 = 64 x 2 − 64 x + 16
e. (2 x − 1)2 = 4 x 2 − 4 x + 1
f. (3 − 2 x )2 = 9 − 12 x + 4 x 2

2

c. 9a 2 + 36a + 36

b. 4 x 2 − 1
e. 32 − ( 8 x )2

c. 9 x 2 − 36
f. 81x 2 − 4

* ( x + 8)2 = x 2 + 16 x + 64.
( x − 1)2 = x 2 − 2 x + 1.
( x − 5)( x + 5) = x 2 − 25.
4 x (5 x − 3) = 20 x 2 − 12 x.
Attention ! Il se peut que soit indiqué par erreur dans le manuel
sur une étiquette « (x+2)(x+3) », il faut lire « (x+2)(x-3) », voir p. 25.
65

( 4 x − 3)2 − (3 x + 1)( 4 x − 3) = 4 x 2 − 19 x + 12.

66

a. 3 x 2 + 9 x + 1
b. 11y2 + 4 y − 8
2
d. x 2 − 9 + 5 y2 + 8 y
c. 20 x − 92 x + 9
2
e. 65 y + 126 y + 77 f. −19 x 2 + 88 x + 482

68

a. x + 16 x + 64
b. 4 x + 4 x + 1 c. 9 x + 36 x + 36
d. 25 x 2 + 30 x + 9 e. 64 x 2 + 176 x + 121
f. 4 x 2 + 36 x + 81
2

2

64

67

51

2

c. 9 x 2 − 24 x + 16

  a. 24 x 2 + 1
b. 45 y2 + 48 y − 20
2
c. 60 x − 40 x − 75 d. 48 x 2 + 18 x − 104 x − 39 + 5 y2 + 8 y
e. 26 y2 − 12 y + 35 f. −29 x 2 − 52 x − 32
( 8 x + 4 )( x + 0, 5) = 8 x 2 + 8 x + 2 = ( 4 x + 2)(2 x +1).

 * 1. a. a 2 + 3a
b. 9a 2 + 30a + 25
2
d. 49b 2 + 112b + 64
c. 9 x + 18 x
2. La somme des aires des figures a. et b. est égale à 34
lorsque a = 1.
3. La différence des aires des figures d. et c. est égale à 76,5
lorsque x = 2 et b = 1.
Il se peut que soit indiqué par erreur dans le manuel, à cette question, « est égale à 189 », il faut lire « est égale à 76,5 », voir p. 25.
69

70 1. Les programmes de calculs sont égaux à 0, en prenant 0 ; à 100, en prenant – 10 ; 0 en prenant 5.
2. Les deux programmes de calcul donnent le même résultat.
3. Programme A : 2 x 2 − 10 x ; programme B : 2 x ( x − 5).
4. 2 x ( x − 5) = 2 x 2 − 10 x.
5. Voir cahier de l’élève.
71 1. Les programmes de calculs sont égaux à 4, en prenant 1 ; à 64 en prenant – 2 ; à 256 en prenant 10.
2. Les deux programmes de calcul donnent le même résultat.
3. Programme A : 4 x 2 − 16 x + 16 ; programme B : (2 x − 4 )2 .
4. Voir cahier de l’élève.
72

a. 5x

c. −2y

d. 2x

f. −24x

73

b. x ( x + 3)

d. 8( −2 + y )

e. 4x

f. x ( x −1)

74

a. 5( x − 2)
f. x ( x + 9)

b. x ( −8 + x )

c. x ( x +1)

e. −6x

22
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75

a. 8( x + 1)
d. ( x − 6)( −16 − 8 y )

b. 3 x ( y − 2)
e. −16a( y + 7)

c. (2 x + 3)(7 + x 2 )
f. ( x 2 + 2)( x + 2)

76

a. 23(b + 5)
e. ( a + 9)( a − 1)

77

a. ( x + 6)(5 x + 1) b. ( y + 5)( y + 6) c. ( a − 2)( − b − 12)
d. ( 4b + 1)(b − 16) e. ( x + 3)( − x 2 + x + 2)
f. (7 − a )(5a + 5)

78

a. ( x + 1)( − y + 16)
b. (3 y + 2)(10 y − 19)
c. (b − 18)( −3b + 4 )
d. ( − x + 1)( x − 5)
e. ( 4 a + 2)( −2 + 2a 2 ) f. (5 x + 2)( 4 x − 8)

79

a. ( x + 5)(5 x + 6)
c. (7 x + 9)( 8 x + 17)
e. ( 6 y − 10)(2 y − 15)

b. −9 x ( x + 4 )
c. (7 + 3 y )( 6 + x 2 )
2
f. (5 y + 2)(1+ y )

a. (3 x − 1)( 8 x − 3)
b. ( −2 x + 6)( −2 x + 16)
c. ( −b + 12)( 8b − 7)
d. ( x − 3)( x + 7)
e. (3 y2 − 1)( −2 y2 + 8) f. ( x − 1)( x 2 + 4 )

81

( 4 x − 3)( −7 x − 4 )

82

a. 4 x 2 + 12 x + 9 = (2 x + 3)2
b. 2 x 2 + 12 x + 9 = (2 x + 3)2
c. 36 x 2 + 12 x + 1 = ( 6 x + 1)2
d. 49 x 2 + 28 x + 4 = (7 x + 2)2
e. 64 x 2 + 80 x + 5 = ( 8 x + 5)2
f. 81x 2 + 108 x + 36 = (9 x + 6)2

84

a. ( y + 6)2
e. (3a + 5)2

b. (10 + b )2
f. ( 6 x − 1)2

85

a. x 2 − 8 x + 16 = ( x − 4 )2
b. 16 x 2 + 56 x + 49 = ( 4 x − 7)2
c. 49 x 2 − 140 x + 100 = (7 x − 10)2
d. 100 x 2 − 40 x + 4 = (10 x − 2)2
e. 4 x 2 − 20 x + 25 = (2 x − 5)2
f. 25 x 2 − 80 x + 64 = (5 x − 8)2
a. (2 x − 5)2
d. (11y − 3)2

c. ( a − 6)2
e. ( 8 x − 11)2

87

a. (3 y − 6)
e. ( 6a − 9)2

b. (10 + b )
f. (9 − 4 x )2

88

a. 22 − t 2 = (2 − t )(2 + t )
b. (2 y )2 − 62 = (2 y − 6)(2 y + 6)
c. y2 − 492 = ( y + 49)( y − 49)
d. 16a 4 + 64 = ( 4 a 2 − 8)( 4 a 2 + 8)
e. 144 x 2 − 16 = (12 x + 4 )(12 x − 4 )
f. 25 x 2 − 100 = (5 x + 10)(5 x − 10)

2

1. ( 6 + 3n)2 − 25.
2. ( 6 + 3n)2 − 25 = ( 6n + 8)( 6n − 2).
3. Choisir un nombre, le multiplier par 6, ajouter 8 au produit
obtenu et multiplier le résultat obtenu par la différence entre
six fois le nombre de départ et 2.
1. a. y2 représente l’aire de ARGH.
b. ( y + 4 )2 représente l’aire de ABCD.
c. ( y + 4 )2 − y2 représente l’aire de EBCDHG.
2. ( y + 4 )2 − y2  =  4(2 y + 4 ).
3. Un rectangle de côtés 4 et 2y + 4 a la même aire que la
partie blanche.
97

1. Aire de la croix : 16 − 4 x 2.
2. 16 − 4 x 2 = ( 4 − 2 x )( 4 + 2 x ) .
3. Un rectangle de côtés 4 – 2x et 4 + 2x a la même aire que
la croix.

b. (2 x − 1)2

86

95 1. Pour 0, le résultat est 0. Pour 1, le résultat est 5 et
pour 2, le résultat est 12.
Les deux programmes donnent le même résultat.
2. Programme A : ( n + 2)2 − 4 .
Programme B : n × ( n + 4 ).
3. ( n + 2)2 − 4 = n × ( n + 4 ).

98

a. ( x + 3)2
e. ( a − 4 )2

83

4 x 2 − 25 = (2 x )2 − 52
= (2 x + 5)(2 x − 5).

96

b. 10( 4 x − 3)
d. (2 x − 9)( −3 x − 7)
f. (3b + 2)( −8b − 1)

80

94

2

d. ( 4 y + 12)2
f. (3 − 6b )2
c. (11+ 2 x )2

99

a. 961

b. 1 050

c. 1 849

d. 6 724

100

a. 361

b. 289

c. 9 604

d. 16 641

101

a. 11

b. 21

c. 115

d. 71

102

a. (1+ 10 x )(1− 10 x )
c. (3 y − 7)(3 y + 7)

103

a. (1− x )2

b. ( 4 + 5 x )( 4 − 5 x )
d. ( a + 3)( a − 3)

b. ( x − 2)2

c. ( y + 3)2

d. ( a − 4 )2

1. 4 x 2 − 12 x + 9.
2. (7 x + 7)(7 x − 3) .
104

1. 20 x 2 − 106 x − 70
2. (2 x − 7)(10 x + 10)
3. Pour x = 2, D = – 90.
Pour x = −1, D = 56.
105

f. (9 − 4 x )2
c. (5 + 3 x )

2

106 1. a. A = 1 998, B = 110 et C = – 8.
2. D = ( x + 1)( x − 1) − ( x − 1)2
D = 2( x − 1).
3. E = 2   008 = 2 × 1  004 = 2(1  005 − 1)

E = (1  005 + 1)(1  005 − 1) − (1  005 − 1)2
E = 1  006 × 1  004 − 1  004 2

1. a. A = 3 x 2 + 2 .
b. 440, 441 et 442.
2. a. B = (3 x − 8)(3 x + 8)
8
8
b. et − .
3
3
107

89

a. (10 + t )(10 − t )
d. ( 4 + a )( 4 − a )

b. ( x + 6)( x − 6) c. ( y + 10)( y − 10)
e. (3 − 2b )(3 + 2b ) f. ( 4 y + 9)( 4 y − 8)

90

a. ( x − 4 )( x + 4 )
b. ( 6 + y )( 4 − y )
d. (5 − 2a )(7 + 2a ) e. 3(2 y − 3)

91

a. ( x + 6)( x − 2)
b. ( 6 − y )( 4 + y ) c. ( − a + 7)(3a − 5)
d. ( 6 − a )( 8 + a )
e. ( 4 y + 5)(2 y + 11)
f. (5b − 4 )( −3b − 4 )

c. ( a + 5)( a + 3)
f. 6(2b + 2)

92

a. ( x − 2)(7 x + 8)
c. ( x − 1)( −2 x + 3)

b. (2 y + 6)( −3 y + 5)
d. ( x − 4 )(7 x + 7)

93

a. ( x − 6)( −5 x + 13)
c. (2 y + 1)(7 y − 1)

b. 8(10 − a )
d. (5t + 1)(t 2 − 9t − 2)

108 1. Lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.
2. Lorsque le nombre de départ est 3, on obtient – 5.
3. Arthur a raison car ( x − 5)2 − x 2 = −10 x + 25 est l’expression
du programme de calcul en fonction de x.
109 Partie A
1. Pour x = 3, AB = 7 et AF = 6.
2. Pour x = 3, l’aire du rectangle FECD = 13.

Partie B
1. FD = x − 2.
2. Aire de FECD =  (2 x + 1)( x − 2).

Chapitre 4 • Calcul littéral

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23
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3. Aire du carré ABCD =  (2 x + 1)2 et aire du rectangle
ABEF = ( x + 3)2 .
4. Aire du rectangle FECD = (2 x + 1)2 − (2 x + 1)( x + 3).
5. Les deux aires trouvées aux questions 2 et 4 sont égales et
on a donc : (2 x + 1)2 − (2 x + 1)( x + 3) = (2 x + 1)( x − 2).
Cette égalité traduit une factorisation.
1. A = 5.
2. A = 6.
3. A = ab ; Alex a raison.
110

121

A
B

115
122

d. x 2 − 4 + ( x + 2)(3 x + 1)

a. ( x − 8)( −2 x + 16)

b. (9 − a )( −2a + 10)

c. (2 y + 9)(3 y + 7)

d. −7( 4t + 9)

(2 x + 9)(2 x − 7).

1. a. ( 2 + 18 )2 = 32.

3. (2 12 − 3 )2 = 3 × 9.

C
A

116
123

B
B

117

A

118

C

119

C

125

a. (t − 3)2 = t 2 − 12 y + 9
c. (5 − 9 y )(5 + 9 y ) = 25 − 81y 2

126

(3 y + 5)2 = 9 y2 + 30 y + 25. Julie et Noé ont raison.

127

a. 998 001

b. 40 804

c. 1 591

128

a. 9 999

b. 1 440

c. 99,99

129

2

a. 15 x + 40 x

b. −4 y − 12 y

c. 6t 2 + 14t

130

a. x 2 + 5 x + 4

b. y2 + 2 y − 3

c. −21t 2 + 4t + 32

131

a. x 2 + 18 x + 81
c. 9a 2 + 18a + 9

b. 4 y2 + 24 y + 36
d. 49 x 2 + 112 xy + 64 y2

132

a. y2 − 6 y + 9
b. 9 x 2 − 60 x + 100
2
2
c. 4 a − 8ab + 4b d. 1− 8 x + 16 x 2

133

a. 25 x − 1

b. ( a + 8)2 = a 2 + 16a + 64
d. ( x + 3)( x − 3) = x 2 − 9

2

b. 16 y − 9
2

150  * 1.

AB2 = ( 4 − HM)2 + 9 ; AC2 = ( 4 + HM)2 + 9 ;
AM = AH2 + HM2 .
2

a. ( x + 5)2 = x 2 + 10 x + 25 b. ( y − 2)2 = y2 − 8 y + 4
c. (t + 7)(t − 7) = t 2 − 49
d. (1− 10 x )(1+ 10 x ) = 1− 100 x 2

c. a − 4 y
2

2

2. AB2 + AC2 = 50 + 2HM2.
BC2
BC2
3. 2AM2 +
= 50 + 2HM2 . Donc 2AM2 +
= AB2 + AC2 .
2
2
1 AC2 » dans le manuel,
Attention ! Il se peut que soit indiqué «  —
2
1
2
il faut lire «  — BC  », voir p. 25.
2
3

151

⎛ 25 ⎞
1. P = 0,29 × 622 × ⎜ ⎟ = 645 115,7407 ;
⎝ 3⎠
3

⎛ 25 ⎞
2. P = 0,29 × 822 × ⎜ ⎟ = 1 128 449,074.
⎝ 3⎠
3. Environ 75 %.
152 1. à 6. Voir ordinateur de l’élève.
7. (2n)2 − (2n + 1)2 = 1.

d. 4 − 49t

153

(b + 3)2

154

(2, 5 x + 2, 5)2 = (1, 5 x + 1, 5)2 + (2 x + 2)2 .

155

1. v 2 = 39   200.

2

1. ( 4 x − 8)
2. ( 4 x − 8)2  =  16 x 2 − 64 x + 64.

2. Environ 198 m/s.

2

134

135

c. ( 4 x − 1) + (7 − 4 x )( 4 x − 1)

2. ( 3 + 11)( 3 − 11) = −8.

124

2

146

149

Parcours autonome
114

b. (2 y + 4 )2 − ( y + 1)(2 y + 4 )

148 1. L = 0,5 m.
2. 89,6 m/min = 5,276 km/h

112 1. A = 0 et B = 0, pour x = 5.
2. A = 36 et B = 36, pour x = −1.
3. ( x − 5)2 = x 2 − 10 x + 25.

B
C

a. ( x + 2)( 6 x + 8) + 5 x ( x + 2)

Exercices d’approfondissement

n2 − 24 n + 144 = ( n − 12)2 = 0,  n = 12.
Anatole a tort.

120

d. a( a + 2)

2

147

111

113

145

c. ( −7 x + 14 )( −7 x − 4 )

156 1. 1 300 kg
2. EC = 0,5 × 1 300 × 3 000 0002 = 5,85 × 1015.
3. 0,5 × 1 300 × 6 000 0002 = 2,34 × 1016.
Elle n’est pas deux fois plus grande.

a. 4 x 2 + 42 x + 58 b. 22a 2 − 107a + 100
d. −24 x 2 − 5
c. −12 y + 68

Si a = 1, (2a + 3)2 = 25 et 4 a 2 + 9 = 13 donc l’affirmation
est fausse.
136

1. ( x − 1)2 = x 2 − 2 x + 1 ; 99²= (100 – 1)² = 9 801.
2. ( x + 1)( x − 1) = x 2 − 1 ; 99 × 101 = 9 999.
137

138

a. x 2 ( 4 x + 10)

b. ( y + 2)(7 y + 2)

139

a. ( y + 8)(2 y + 2)

b. (2a − 6)( −3a − 1)

140

a. ( a + 9)( 6a − 1)

b. ( a + 9)( −18a − 13)

141

a. (2 − 3t )2

b. (2 x + 7)2

c. (10a + 3)2 d. ( 6 + 5 y )2

142

a. (3 − 2 y )2

b. (5a − 1)2

c. (9 x − 3)2

143

a. ( x − 8)( x + 8)
c. (2 y + 10)(2 y − 10)

b. (9 + a )(9 − a )
d. (5t − 8)(5t + 8)

144

a. ( x + 5)( x − 1)

b. (2 y + 12)(2 y − 4 )

d. ( x + 0, 5)2

157

1. 2 services.
2

2. 2 services.

3. 2(2n+1).

2. π(R +1) .

3. π(R + 1)2 − πR 2.

2

158

1. πR .

159

n2 − ( n − 1)2 = 2n + 1 .

160


πa 2 ⎞
⎟.
1. 2 ⎜ a 2 −
4 ⎠


161

1
1
1

=
a a + 1 a( a + 1)


πa 2 ⎞
2. a 2 − 2 ⎜ a 2 −
⎟.
4 ⎠


1. et 2. On peut faire six pyramides de 10 tuyaux et une
pyramide de 28 tuyaux.
3. Les pyramides de 10 tuyaux auront 4 lignes de tubes empilés et celles de 28 tuyaux ont 7 lignes de tuyaux empilés.
162

163

Vrai : (2n + 3)2 − (2n + 1)2 = 8( n + 1).

24
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09/05/12 15:33

164

c ⎞⎟ ⎛⎜
a ⎞⎟ a 2 + b 2 + c 2 + 2ca + 2bc + 2ab

1. ⎜ 1+
1+
=
⎝ a+b⎠ ⎝ b+ c ⎠
(a + b)(b + c)

c ⎟⎞ ⎜⎛
a ⎟⎞ a 2 + b 2 + c 2 + 2ca + 2bc + 2ab
.
+
1+
=
a+b⎠ ⎝ b+ c ⎠
(a + b)(b + c)

Devoir à la maison

1

1. Ils sont toujours égaux à 4.

2. À voir sur le cahier de l’élève.
3. ( n + 3)2 − ( n + 2)2 − ( n + 1)2 + n2 = 4 .
3
3
3
2
2 4. ( n +
c ⎞⎛
a ⎞⎛
b ⎞ a + b + c + 6abc + 3a b + 3b c + 3ab 2 3+), (
3an2 c++2), (
3c n2 a+ 1).

⎟ ⎜ 1+
⎟ ⎜ 1+
⎟ =
2. ⎜ 1+
5.
À
voir
sur
le
cahier
de l’élève.
⎝ a+b⎠ ⎝ b+ c ⎠ ⎝ c + a⎠
(a + b)(b + c)(c + a)
6. ( n + 3)2 − ( n + 2)2 − ( n + 1)2 + n2 = 4.
3
3
3
2
2
2
2
2
a ⎞⎛
b ⎞ a + b + c + 6abc + 3a b + 3b c + 3ab + 3a c + 3c a
⎟ ⎜ 1+
⎟ =
.
+
(a + b)(b + c)(c + a)
b+ c⎠ ⎝ c + a⎠
2  * 1. 22 × 18 = 396
c ⎞⎛
a ⎞⎛
b ⎞ 3 3 3
⎛⎜
2.
20² = 400
⎟ ⎜ 1+
⎟ ⎜ 1+
⎟ − a − b − c = 3.
3. 1+
⎝ a+b⎠ ⎝ b+ c ⎠ ⎝ c + a⎠
3. Aire de AEHF : 20(20 + x) soit 400 + 20x
Attention ! L’énoncé de cette question a été corrigé, il faut lire :
165 1. ( x + 5)2 = x 2 + 10 x + 25 > 10 x car x² + 25 > 0.
« On appelle x les longueurs BE et FD. Exprimer, en fonction de
x, l'aire de AEHF, puis développer et réduire l'expression obte2. ( x + 5)2 + 3 = x 2 + 10 x + 28 > 3 car ( x + 5)2 > 0 .
nue », voir p. 25.
166 1. Les angles A, B et C.
AC2 AB2
4. 400 – x2 < 400, donc l’aire de AEFH est toujours inférieure
2.
.
=
2
4
à l’aire de ABCD.
3. Aire du triangle ABC = Rr

 * Quelques erreurs malencontreuses se sont glissées dans les énoncés du devoir à la maison 2 et des exercices 64, 69 et
150 repérés par un astérisque.
Pour faciliter votre travail, les erreurs ont été rectifiées dans ce livre du professeur téléchargeable gratuitement.
Les manuels de vos élèves seront tous corrigés.
Dès la mi-mai, vous pourrez consulter le manuel de vos élèves en feuilletage sur notre site :
http://www.editions-bordas.fr/9782047329054/specimen

Chapitre 4 • Calcul littéral

04732905_LdP_C04.indd 25

25
09/05/12 15:33

Chapitre

5

Équations
et inéquations

I. Programme de la classe de troisième
Connaissances
2. 4. Équations et inéquations
du premier degré
Problèmes du premier degré :
inéquation du premier degré
à une inconnue, système de deux
équations à deux inconnues.
Problèmes se ramenant au
premier degré : équations
produits.

Capacités
– Mettre en équation un problème.
– Résoudre une inéquation du premier degré
à une inconnue à coefficients numériques ;
représenter ses solutions sur une droite
graduée.

Commentaires
La notion d’équation ne fait pas partie
du socle commun. Néanmoins, les élèves
peuvent être amenés à résoudre
des problèmes du premier degré
(méthode arithmétique, méthode par essais
successifs,…).

– Résoudre une équation mise sous la forme
A(x)⋅B(x) = 0, où A(x) et B(x) sont deux expressions
du premier degré de la même variable x.

L’étude du signe d’un produit ou d’un quotient
de deux expressions du premier degré
de la même variable est hors programme.

II. Contexte du chapitre
La résolution d’équations déjà entreprise en classe de 4e est
poursuivie et étendue à celles des équations-produits et
des inéquations. Le travail préalable réalisé en calcul littéral s’avère indispensable pour que l’élève puisse obtenir des
structures d’expressions permettant les résolutions attendues.

La résolution de problèmes constitue le cœur des activités et
permet de donner du sens aux équations qui elles seules permettent de résoudre rapidement et efficacement le problème.
L’aspect technique et répétitif des résolutions est traité dans
les savoir-faire et les exercices d’entraînement.

III. Ressources disponibles sur le site compagnon et le manuel numérique Premium
Savoir faire

Animation : Résoudre une équation-produit
Animation : Résoudre une inéquation

Travaux pratiques
avec un ordinateur

Pour aider à la correction en video-projection :
• Figure dynamique de l’activité 1
• Figure dynamique de l’activité 2
Fichier « boite_noire_05 »
PDF : Fiches-réponse élèves imprimables pour les trois activités

Du côté du site compagnon

PDF : Une déferlante d’équations

IV. Intentions pédagogiques
des activités
A. Activités d’introduction

Activité 1 : Mettre en équation un problème
et le résoudre
La mise en équation s’avère indispensable dans cette activité dans laquelle on cherche un nombre inconnu. Les premières questions guident l’élève pour la mise en équation et
la réduction de l’expression obtenue.

Activité 2 : Résoudre un problème se ramenant
à une équation-produit
Ce problème géométrique se traduit par une équation de
degré 2. Le changement de structure de l’équation devient
la seule possibilité pour la résoudre. Les premières questions
permettent à l’élève de factoriser l’expression, ainsi l’équation
se ramène à une équation-produit nulle.

Activité 3* : Résoudre un problème se ramenant à
une inéquation

moyen efficace pour aboutir à la réponse à la question posée
dans ce problème. La résolution est guidée pas à pas dans les
questions 4., 5. et 6.
Attention ! Il se peut que les données numériques suivantes soient
absentes du manuel : aller-retour Toulouse-Foix : 14€ ; aller-retour
Toulouse-Foix : 7€ si carte d'abonnement à 255€, voir p. 30.

B. Activités Tice

Activité 1 : Un ou deux nombres ?

• Considérations didactiques : Le sens premier des équations est souligné grâce à cette activité qui permet de tester,
pour plusieurs valeurs numériques, les valeurs d’expressions
littérales. L’activité consiste à chercher pour quelle valeur
du nombre de départ les expressions de James et Lilou sont
égales. La différence de ces deux expressions est ainsi calculée (le professeur pourra expliciter cette méthode), pour différentes valeurs dans la colonne D. L’élève doit par l’observation
de cette dernière colonne encadrer au dixième la valeur négative du nombre de départ pour laquelle les expressions des
deux amis sont égales.

Une nouvelle fois à partir d’un problème concret, le calcul littéral et en l’occurrence la résolution d’une inéquation sera un

26
04732905_LdP_C05.indd 26

09/05/12 15:37

La résolution algébrique prend à nouveau tout son sens,
car la valeur exacte de la valeur recherchée ne peut être
que calculée.
• En pratique : L’utilisation du tableur ne pose aucune difficulté
particulière dans cette activité plutôt classique. Les formules
entrées dans les cellules B1 et C1 ne dépendent que de la cellule
A1. La formule entrée dans la cellule D1 dépend de B1 et C1.

d. a =1, 25
28

d. a = −1
29

• En pratique : L’utilisation du logiciel de géométrie dynamique
permet de varier les pratiques des élèves dans ce chapitre
essentiellement basées sur l’utilisation de feuilles de calcul.
La construction ne présente pas de difficultés particulières, il
ne faut pourtant pas oublier de définir le polygone CFDE pour
que le logiciel puisse afficher son aire.
Attention ! Il se peut que soit indiqué par erreur dans le manuel
x2  », il faut lire « —
x2  », voir p. 30.
à la question 10 : « —
2
4

Activité 3 : La boîte noire du chapitre 05
Dans cette boite noire, le calcul effectué est « (C8 + 5)^2 ». On
calcule la somme du nombre de départ et de 5 que l’on élève
ensuite au carré. Les élèves devront, par leurs essais successifs, trouver ce calcul.

a. x = 0   ou  x = −10

b. y = 0   ou  y = 3

2

a. x = −3  ou  x = −2

b. y = −3  ou  y = −7

3

a. x = −10   ou  x = 12

b. y = 4   ou  y = −7

4

a. a = 6   ou  a = 5

b. x = 1  ou  x = 3

5

a. x = 3  ou  x = 2
1
−7
a. x =   ou  x =
2
4

9

7
  ou  x = −1
12
a. a = 2   ou  a = 3

b. y = 3  ou  y = 7
5
b. y =   ou  y = 1
4
1
–11
b. b = ou b =
8
6
1
13
b. y =   ou  y =
2
5
b. b = 2   ou  b = −3

10

a. x = 4   ou  x = −9

b. y = 4   ou  y = 1

11

a. x = 4   ou  x = 1, 46

12

a. x = 0, 5625  ou  x =

13

a. x = – 3

14

a. x = − 6   ou  x = 4 , 5

15

Réponse c

16

a. x < 8

b. y < −14

17

18

a. x < −4

19

20

a. a ⩾ 5,5

22

a. x < −28

b. y ⩾ 3
−7
b. x ⩽
5
b. y >17

24

a. x < 0, 5

25

Le nombre 1 est solution de l’inéquation : c. 5 x + 3 < 9

6
7

a. a = 1, 5 ou a = 0, 5

8

a. x =

24
7

d. a = 2

e. b =10

31

Réponse c

32

a. x =1

b. y = −0, 5

c. x =

33

34

35

36

23

Exercices d’entrainement
26

a. x = −2
d. a = −6

b. y = 6
e. b = −8

27

a. x = 2

b. y = −2

c. x =1
f. x = −8
−8
c. x =
5

b. t = −33
e. t = 4 , 7

e. b =1

a. x = 0

b. x = −4

d. x = −8

e. x =

a. x = 0
24
−5
−5 x + 9 = 7 x + 4
−5 x − 7 x + 9 = 4
−12 x = 4 − 9
−12 x = −5
−5
x=
.
−12

e. b =1, 2

50
9
16
b. x =
−3
384
e. x =
41

Réponse d

41

1. −4 x + 2 = 10.

5
6
33
f. b = −
7
150
c. x =
−19

1
3
11
f. x =
7
c. x = −8
5
f. x =
−17
−14
c. x =
3
f. x =11, 2

c. x = −

b. y = 2

40

f. x =

f. a = 2,1

b. y = 2, 5

1. – 12 2. ( y+ 7) × (−6)

c. x = +

176
−83

f. x = −2

3. ( y+ 7) × (−6) = 8 donc y = 50.

2. x = – 2.

x = 9.

43

Elle doit obtenir 12.

44

Ilan a 7 amis.

45

( x + 2)2 = 4 2 + x 2, x = 3.

46

1. −5 x + 8 = −1, 4 x .

47

Petit oiseau : 100 euros ; gros oiseau : 200 euros.

48

a. x = 0   ou  x = −2
c. x = 0   ou  x = −9
e. b = 5  ou  b = −3

b. y = 0   ou  y = −6
d. a = −1  ou  a = −7
d. y = 6   ou  y = 4

49

a. x = 0   ou  x = −1
c. x = 6   ou  x = −2
e. b = −5  ou  b = 3

b. y = 0   ou  y = −8
d. a = 1  ou  a = 7
f. y = 6   ou  y = −4

50

a. x = −1  ou  x = −2
c. x = −3  ou  x = 1
e. b = 5  ou  b = −3

b. y = −6   ou  y = 9
d. a = −1  ou  a = 7
f. y = 6   ou  y = 10

51

a. x = 1  ou  x = −12
−1
c. x = −13  ou  x =
3
e. b = 3  ou  b = 33

b. y = −1, 6   ou  y = −3

b. b ⩽ 7

b. t < 0, 8

−25
3

e. t =

39

b. y = 2
85
110
  ou  b = −
b. b =
224
37

21

e. b = −0, 3

d. a =13
7
a. x = −
3
d. a = −3

d. x =

42

b. x > 2
9
b. y <
−5
b. y ⩾ 2,5

−7
3
35
a. y =
3
11
d. a =
6
a. x =1, 25

d. a =

26
35
b. x = 15  ou  x = 0, 75

a. b ⩽ 7
−5
a. x >
3
8
a. 3y ⩾
3
a.a > − 4

c. x =1

b. y = −1, 5

38

b. x = 30   ou  x =

9
4

f. x = −1, 5

a. x =1

37

1

b. y =

c. x = 0, 5

30

V. Corrigés des exercices
Savoir faire

−5
3
4
d. a =
3

a. x =

f. x = −2

−10
13
6
c. x =
5
f. x = −9, 5

Activité 2* : Aire de la flèche

• Considérations didactiques : Le logiciel de géométrie dynamique est utilisé dans le but de conjecturer une égalité d’aires
entre deux polygones. La possibilité d’effectuer un nombre
« infini » de déplacements permet à l’élève de faire assez rapidement une conjecture. Seule la résolution d’équation permettra de prouver les conjectures émises dans la première
partie de cette activité.

a. x =1

e. b = 0, 5
1
b. y =
6
1
e. b =
3

2. 2,2 < x < 2,3

3. x =

d. a = −11  ou  a = 7
−8
f. y = 16   ou  y =
7

Chapitre 5 • Équations et inéquations

04732905_LdP_C05.indd 27

20
.
9

27
09/05/12 15:38

52

a. x = 10   ou  x = −4
c. x = −0, 5  ou  x = −11

53

54

55

56

57

58

59

60

5
e. b = −   ou  b = 3
3
−1
−2
a. x =   ou  x =
2
5
c. x = 1  ou  x = 0, 5

b. y = 6   ou  y = −13
1
−1
d. a =   ou  a =
4
3
2
f. y = 2   ou  y =
9

b. y = −3  ou  y = −9
7
d. a = 0, 5  ou  a =
5
−2
1
e. b =1 
f. y =   ou  y =
3
4
−1
1
a. x =   ou  x = 2, 5
b. y = 2   ou  y =
5
8
13
5
4
c. x =   ou  x = −8
d. a = −   ou  a =
7
12
15
2
1
e. b = 1
f. y = −   ou  y =
3
4
a. x = – 0,5
b. y = 9
c. x = 3
d. a = 1
e. b = – 1,5
f. y = – 2
1
a. x = – 2
b. y =
c. x = – 4
9
−6
e. b = 1
f. y = – 0,5
d. a =
5
a. x = 0   ou  x = −5
c. −3 x = x 2
2
e. b = 0   ou  b =
5
−3
a. x = 0   ou  x =
7
c. x = 0   ou  x = 0, 5
e. b = 0   ou  b = 0, 2
−2
a. x =
b. y = 3
5
d. x = −0, 25
e. a = 3
a. x =1
d. x = −0, 25

b. t = −10
7
e. x =
8
4
b. t = −
5

b. y = 0   ou  y = −2
d. a = 0   ou  a = 2, 5
9
f. y = 0   ou  y = −
8
b. y = 0   ou  y = −6
d. a = 0   ou  a = 2, 5
f. y = 0   ou  y = 0, 6

c. t = 3  ou t = −3
1
f. y =
3

1
c. t = 2   ou 1, 5
7
11
d. x =
e. x = −1
f. y = −2, 5
4
62  * a. x = −4   ou  x = 3
Il se peut que soit indiqué par erreur dans le manuel « 4x2–16+… »,
il faut lire « x2–16+… », voir p. 30.
b. y = −2   ou  y = −1
c. t = 1  ou t = 3
d. x = −10   ou  x = −0, 5
9
16
1
e. x = −   ou  x =
f. y = −2   ou  y = −
8
9
3
5
4
63 a. t = −1  ou t =
b. t = −0,1  ou t =
3
9
9
c. t = −3  ou t =
d. x = −4   ou  x = −2
4
10
e. x = −7   ou  x =
f. y = −0, 75  ou  y = 3
3
64 x 2 + 4 x = −2
x ( x + 4 ) = −2
x = 0   ou  x + 4 = 0
x = 0   ou  x = −4.
61

a. x =

1. E = 6 x 2 − x − 15.
2. 4 x 2 − 9 = (2 x + 3)(2 x − 3).
Donc E = (2x + 3)(3x – 5).
5
3. a. x = −1, 5  ou  x = .
3
b. Cette équation n’a pas de solution entière.
c. Cette équation a une solution décimale.
65

1. Pour le nombre 2, le résultat est – 2. Pour le nombre
– 4, le résultat est 28.
66

67

1. 4 n2 + 20n + 25. 2. 4 n2 + 20n + 25 = (2n + 5)2 . 3. n = 2,5.

68 1. – 4 est bien une solution de cette équation mais Pierre
a raison car elle ne peut pas être sure que ce soit la seule.
2
2. x = −4   ou  x = .
3
69 1. Aire du triangle ABC = 10h. Aire de IJKL = 2h².
2
2. 10h = 2h donc  10h − 2h2 = 0.
3. h(10 − 2h) = 0, h = 0   ou  h = 5.

1. Aire de ABCD = ( 4 x + 5) et
aire de AEFD = (4x + 5)(2x – 1).
2

70

2. Aire de EBCF = ( 4 x + 5)(2 x + 6) = 8 x 2 + 34 x + 30.
17
3. x = − .
4
71 a. x < 2
b. x ⩽ 13
c. x > 1
d. y > 6
e. x ⩾ – 3
f. y > – 11
8
5
72 a. x <
b. x ⩽
c. x > 1,5
5
3
−6
6
2
e. x <
f. y ⩾
d. y ⩽
5
4
−5
4
13
73 a. x ⩽
b. x <
c. x > 1,5
3
5
d. y < – 1
e. x ⩾ – 3
f. y ⩾ – 11
2
74 a. x < 8
b. x ⩾ 1,5
c. x ⩽
−9
d. y ⩾ – 1,5
e. x < 12
f. y > – 0,75
75

Réponse b

76

a. x > – 0,5

b. y ⩽ 1

−11
4

e. y > −

d. y ⩽

c. x = 0, 4   ou  x = −0, 4
f. y = 1  ou  y = −1

3. x 2 − 3 x = 0, x = 0   ou  x = 3.

2. x 2 − 3 x.

77

78

a. x ⩽ – 1

b. y < – 1

d. y < 1

e. y ⩾

a. x > −

1
8

d. y ⩽ 1
79

1
3

a. x > 0,5
d. y ⩾ 7
−27
6
d. t > 2

5
7

9
13
1
e. y >
14
29
b. y >
4
39
e. y >
9

b. y ⩾ −

5
6
−11
f. y ⩾
4
4
c. x ⩾
13
9
y
>

f.
7
2
c. x >
3
13
f. y ⩾ −
5
31
c. x >
6
−13
f. y ⩾
7
−29
c. x ⩾
12
f. y > 4,5

c. x >

80

a. x >

81

a. x ⩾

82

Pendant 6,5 années.

83

2 x − 7 < 5 x + 8, 2 x − 5 x < 8 + 7, −3 x < 15, x > −5.

−43
7
d. t < 0

b. y ⩾ – 0,4
−51
e. y ⩽
6
8
b. y <
5
e. y ⩽ 1,5

–5

c. x < 20,5
f. y ⩽ – 1,5

0

1. Périmètre du triangle = 4x + 8 ; périmètre du rectangle = 8x.
2. x > 2
84

85 À partir de 34 licenciés, il est plus avantageux de prendre
le deuxième forfait.
86

x × 4 − 2 > 2( x + 2), x > 3.

87

À partir de 60 séances.

1. a. Aire du rectangle ABCD = 16 cm².
b. Aire du triangle DCF = 4 cm².
2. a. Aire du rectangle ABCD = 24 – 4x, 4(6 – x) = 24 – 4x.
88

28
04732905_LdP_C05.indd 28

09/05/12 15:38

b. Aire du triangle DCF = 2x, x × 4 : 2 = 2x.
89

Vrai

92

a. x = 7

93

a. x = 1  ou  x = −8

90

Faux

c. x = 6

d. x = – 4

95

b. x = −1  ou  x = 1
8
c. x = −0, 75
d. x =
3
a. x < 4 b. x ⩾ – 1 c. x ⩽ 14
d. x > −2
4
– 4 96 33 97 x < 1

98

La longueur initiale du côté du carré est 1.

94

7
1. L’équation – 3x + 7 = 0 a pour solution b : .
3
2. Réponse a
4
100 1. Réponse c 5x2 + 1
2. Réponse b – et 5
3
101 1. – 2 est solution de l’inéquation (6 < 8).
2. – 2 n’est pas solution de l’équation (12 ≠ 0).
3. – 2 est solution de l’équation (– 8 + 8 = 0).
99

102

1. a. 10,8

103

Myriam a raison, elle a donné un contre-exemple.

104

(– 2x + 5 ) × 5 = 0, x = 2,5.

105

Périmètre du carré : 60 cm.

b. 4x + 6

2. x = 2,25

106 1. a. 198 et 102.
b. 9 ; 10 et 11.
2. a. Si le professeur avait choisi 6 comme deuxième nombre,
Leslie aurait trouvé 70 et Arthur aurait trouvé 38.
b. Si le professeur avait choisi – 7 comme deuxième nombre,
Leslie aurait trouvé – 72 et Arthur aurait trouvé 51.
c. Si les calculs de Leslie et Arthur sont égaux :
(n + 1)(2(n – 1)) = n²+2, n²=4. Arthur a raison.

Parcours autonome
107

C

108

A

109

C

110

A

111

B

112

C

113

C

114

A

115

B

116

B

117

Caroline a choisi 1.

118  * Marc a eu 15.

Il se peut que dans le manuel il soit indiqué par erreur « la moyenne
de ses quatre notes est de 9,8 », il faut lire « 9,75 », voir p. 30.
119

x=4

120

1. a. 3n+ 5 = 20
b. ( x + 1)  = 0
2. n = 3, x = – 1 et y = – 2.

121

a. a = 41

b. a > 41

c. −2 y + 4 = 8
c. a < 41

1. – 2,5. 2. Pour les nombres inférieurs à – 2,5.
3. Pour les nombres supérieurs à – 2,5.
122

123 3x + 12 = 57, x = 15.
Jordan a 15 ans, Léa a 20 ans et Imane a 22 ans.
124

a. x = 0   ou  x = −11

e. y = 0   ou  y = 0, 75
125

a. x = −6   ou  x = −7
c. a = 1  ou  a = 6
e. y = 4 , 5  ou  y = −0, 75

126

a. x = 0   ou  x = 17
c. a = 3  ou  a = 8

127

a. x = 0   ou  x = −8
9
c. a = 0   ou  a =
5
e. a = 3

128

a. x = −2
d. a = −0, 25

b. y = 0  ou  y = 2
−2
3
1
f. a = 0   ou  a =
7
b. y = 7   ou  y = −2
−3
−1
d. x =   ou  x =
8
3
5
1
f. a =   ou  a =
3
7
b. y = −8
d. x = 6, 5
d. x = 0  ou x =

c. a = 0   ou  a = 7

130

a. x = −10
−2
d. x =
7
x =2

131

a. x < 5

129

a. 2 ; b. 3 ; c. 4 ; d. 1.

91

b. x = – 1

c. x = 4

b. y = 0   ou  y = 8
d. x = −5
f. y = 4   ou  y = −4
3
2
−2
b. y = −
c. a =   ou  a =
5
3
3
e. a = 2   ou  a = 0 f. y = −1

d. a ⩾ – 1
132

133

5
3
−15
d. x ⩾
7
5
a. x >
9

a. x <

−1
4
−4
c. a =   ou  a =
6
5
5
2
e. q = 0   ou  q = − f. y = −3  ou  y = −9
3

b. y =

2
3
e. x ⩽ – 5

b. y >

−1
3
e. x ⩽ – 0,5

b. y >

b. y >1

d. a ⩾ – 0,75

e. x ⩽ – 0,75

134

a. x > −2, 5
d. a ⩽ 4

b. y >7
e. x ⩽ 0

135

1. a. x ⩾ – 4 b. x < 2
2. À voir sur le cahier de l’élève.

c. x ⩽ 9
f. x > 0, 4
3
5
−3
f. x <
8
8
c. x ⩽
3
8
f. x >
11
c. x ⩾ – 1
f. x < −8

c. x ⩽

3. – 4 ⩽ x < 2

Exercices d’approfondissement

136 1. a. Résoudre l’équation 2( x + 3) = 2 x − 10 revient à
résoudre l’équation 6 = – 10 (2x + 6 = 2x – 10).
b. L’égalité 6 = – 10 est fausse.
c. Il n’existe pas de valeurs de x pour lesquelles l’égalité
2( x + 3) = 2 x − 10 est vraie.
d. L’équation 2( x + 3) = 2 x − 10 n’a pas de solution.
2. a. Résoudre l’équation 4(− x + 2) = −2(2 x − 4 ) revient à
résoudre l’équation 8 = 8 (– 4x + 8 = – 4x + 8).
b. L’égalité 8 = 8 est vraie pour toutes les valeurs de x.
c. L’équation 4(− x + 2) = −2(2 x − 4 ) a pour solutions n’importe
quelle valeur de x.
3. a. – 48 = – 24 faux donc pas de solution.
b. 1 = 0 faux donc pas de solution.
c. 16 = 16 vrai donc n’importe quelle valeur de x est solution.
d. 27 = 27 vrai donc n’importe quelle valeur de x est solution.
−6 − 10 y
137 1. a. Résoudre l’inéquation −5( y + 8 ) <
revient à
2
résoudre l’inéquation −40 < −3 (5y – 40 < –3 – 5y).
b. L’inégalité − 40 < −3 est vraie.
−6 − 10 y
c. N’importe quelle valeur de y est solution de :−5( y + 8) <
.
2
2. a. Résoudre l’inéquation 3(2y – 3) + 2y ⩾ 8y + 6 revient à
obtenir l’inégalité – 9 ⩾ 6.
b. L’inégalité – 9 ⩾ 6 est fausse.
c. L’inéquation 3(2y – 3) + 2y ⩾ 8y + 6 n’a pas de solution.
3. a. – 2 ⩽ 12 vrai donc n’importe quelle valeur de x est solution de cette inéquation.
b. 16 > 4 vrai donc n’importe quelle valeur de x est solution
de cette inéquation.
c. – 8 ⩾ 8 faux donc l’inéquation n’a pas de solution.
d. – 5 < – 15 faux donc l’inéquation n’a pas de solution.

1. On ne sait pas résoudre ce genre d’équation en classe de 3e.
2. On peut ajouter 25 à chaque membre de cette équation. L’équation x 2 + 10 x + 25 = 81 a les mêmes solutions que
l’équation x 2 +10 x = 56 .
3. L’équation x 2 +10 x = 56 a les mêmes solutions que
( x + 5)2 − 81= 0 .
4. x = – 14 ou x = 4.
1
139 a. x ⩾ –
6
41
b. x < –
32
−2   937
1
140 a. x =
b. x =
523
3
141 1. 16 y 2 − 4 = ( 4 y + 2 )( 4 y − 2 ).
2. 16 y2 − 4 + ( 4 y − 2)( x + 8) = ( 4 y − 2)(3 y − 6).
3. y = 0,5 ou y = 2.
4. 25 x 2 − 49 − (5 x + 7)(2 x + 6) = (5 x + 7)(3 x −13) = 0.
−7
13
x =   ou  x = .
5
3
138

Chapitre 5 • Équations et inéquations

04732905_LdP_C05.indd 29

29

09/05/12 15:39

Si x est le prix du cadeau acheté, il faut résoudre l’équax x
+ +9 = x.
3 2
On trouve x = 54, le cadeau a coûté 54 euros.
142

tion suivante :

1. On peut utiliser le théorème de Thalès car (IJ) et (CB)
AI IJ
x
1
= , c’est-à-dire
= .
sont parallèles, donc on a
AC BC
x +3 3
3. x = 1,5.
2. 3 x = x + 3.
143

144 Si x est le nombre de personnes qui cotisent au mois
de septembre, on obtient l’équation 32, 5 x = ( x + 3) × 25 donc
x = 10, c’est-à-dire que 10 personnes cotisent pour le cadeau.
145 1. x 2 + 402 = HB2 et (50 − x )2 + 302 = MB2
2. Hadrien et Moussa sont à la même distance du ballon.
3. x 2 + 40 = (50 − x )2 + 302.
4. x =18 , donc il faut mettre le ballon à 18 mètres du point A.

1. 0 < x < 2.
2. Le volume de la boîte est x ( 4 − 2 x )2 (x est la hauteur de la
boîte et (4x – 2)2 est l’aire de la base de la boîte).
3. x = 0,5, le volume de la boîte est 12 ; x = 1, le volume de la
boîte est 4 et x = 1,5 le volume de la boîte est 1,5.
4. Le volume semble diminuer lorsque x augmente.
5 et 6. Voir l’ordinateur de l’élève.
7. Le volume maximum est compris entre 4,7 et 4,8 et
0, 6 < x < 0, 7.
146

147

1. 1,71 euros.

2. À partir de 112 paquets.

Elegimos como incógnita x el número de alumnos que
estudia inglés.
x + 15 corresponde al número de alumnos que estudia alemán
y 2x corresponde al número de alumnos que estudia español.
Planteamos entonces la ecuación siguiente : x + x +15 + 2 x = 83
148

Resolvemos esta ecuación :
Transponemos los términos :
Reducimos los términos semejantes :
Despejamos la incógnita :

x + x + 15 + 2 x = 83
x + x + 2 x = 83 − 15
4 x = 68
x =17

Hay 17 alumnos que estudian inglés.
17 + 15 = 32. 32 alumnos estudian alemán.
2 × 17 = 34. Y 34 alumnos estudian español.
149 If we call x, the start number chosen by the two children,
the inequation describing the problem is given by the following expression: −2 x + 5 < 3 x − 6
Thus, the solution set is : x > 2, 2.
I.e., if they choose any number greater than 2,2 the Curtis
result will always be greater than Andrew’s.
150

Égalité de Pythagore dans le triangle rectangle.

(3 y − 11)2 + y2 = 112 , y(10 y − 66) = 0, y = 6, 6.
151

( R + 1)2 π − R 2 π = 25, π + 2Rπ = 25, R =

152 1. 4 x − 10 x + 1= 4 x − 1.
2. (2 x − 1)2 − 6 x (2 x − 1) = 4 x 2 − 1
2

2

25
= 12, 5π   cm.


(2 x − 1)2 − 6 x (2 x − 1) = (2 x −1
1)(2 x + 1)
(2 x −1)(2 x −1− 6 x − 2 x −1) = 0
(2 x −1)(−6 x − 2) = 0
1
3. x = 0, 5  ou  x = − .
3
1  800 1  800 40
153
=
=   cm est la hauteur d’eau contenue
15 × 9 135
3
dans le vase.

154 Il faut que Noé donne plus du tiers de la somme qu’il a
dans sa poche.
155   * (voir ci-dessous) On ne peut pas factoriser le membre
de gauche.
(2 x + 3)2 − 3 = 4 x 2 + 12 x + 6.

(2 x + 3)2 − 3 = (2 x + 3 + 3 )(2 x − 3 − 3 ).
−3 − 3
−3 + 3
.
(2 x + 3 + 3 )(2 x − 3 − 3 ) = 0 , x =
  ou  x =
2
2
Il se peut que soit indiqué par erreur dans le manuel
« 4x2 + 6x + 6 = 0 », il faut lire « 4x2 + 6 +12x ».
156 1. x = 0 , 25   ou  x = 2 .
2. x < 0, 25 et x > 0, 25 .

3.

Si x <

Signe de 4x – 1

1
4

Si x =

Négatif

1
4

Si x >

0

1
4

Positif

4. x > 2 , x < 2 .
5.
Signe de – 6x + 12

6.

Si x = 2
0

Si x < 2
Négatif
x<

1
4

1
4

Signe de 4x – 1
Négatif
Signe de – 6x + 12 Négatif 0
Signe de
Positif 0
(4x – 1 )(– 6x + 12)

7.

1
< x<2
4

Si x > 2
Positif
2

x>2

Positif
0
Négatif

Positif
Positif

Négatif

0

Positif

x < – 1,8 – 1,8 – 1,8 < x < 0,3 0,3 x > 0,3

Signe de
10x – 3
Signe de
5x + 9
Signe de
(10x – 3)
(5x + 9)

Négatif

Négatif

Négatif

0

Positif

0

0

Positif
Négatif

Positif
Positif

0

Positif

Devoir à la maison

1 1. Aire délimitée par (𝒞1) = 25π ; aire délimitée par (𝒞2)
= (5 − x )2 π et aire délimitée par (𝒞3) = x2π.
2
2
2
2. 25π − (5 − x ) π − x π = π(−2 x + 10 x ).
2
2
3. π( − 2 x +10 x ) = x π .
4. π(−2 x 2 +10 x ) = x 2 π a les mêmes solutions que x (−3 x + 10) = 0.
10
5. x = 0   ou  x = . L’aire du domaine blanc est égale à l’aire
3
10
cm.
du disque délimité par (𝒞3) lorsque x =
3
2

1. ( a+ 3)2 − 9 .

2. et 3. a( a + 6) et les deux aires bleues sont égales (on peut
former la partie bleue de la première figure à partir des parties
bleues de la figure du bas) donc a 2 + 6a = ( a + 3)2 − 9 .
4. a 2 + 6a − 16 = 0 n’est pas une équation de degré 1 et elle est
impossible à factoriser.
5. L’équation a 2 + 6a −16 = 0 a les mêmes solutions que
( a+ 3)2 − 25 = 0 .
6. a = − 8   ou  a = 2.

 * Quelques erreurs malencontreuses se sont glissées dans les énoncés de l’activité 3, de l’activité Tice 2 et des exercices 62,
118, 155. Pour faciliter votre travail, les erreurs ont été rectifiées dans ce livre du professeur téléchargeable gratuitement.
Les manuels de vos élèves seront tous corrigés. Dès la mi-mai, vous pourrez consulter le manuel de vos élèves en feuilletage sur notre site : http://www.editions-bordas.fr/9782047329054/specimen

30
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Chapitre

Systèmes d’équations

61

I. Programme de la classe de troisième
Connaissances
2.4 Équations et
inéquations du
premier degré
Problèmes du
premier degré :
inéquation du
premier degré à une
inconnue, système
de deux équations à
deux inconnues.

Capacités

Commentaires

– Mettre en équation un problème.
– Résoudre une inéquation du premier degré
à une inconnue à coefficients numériques :
représenter ses solutions sur une droite graduée.
– Résoudre algébriquement un système de deux
équations du premier degré à deux inconnues
admettant une solution et une seule : en donner
une interprétation graphique.

La notion d’équation ne fait pas partie du socle
commun. Néanmoins, les élèves peuvent être
amenés à résoudre des problèmes du premier
degré (méthode arithmétique, méthode par essais
successifs,…).

II. Contexte du chapitre
Ce chapitre fait le lien entre le calcul littéral et le chapitre sur
les fonctions.
En effet, les méthodes de résolution algébriques d’un système nécessitent la pratique et la maîtrise des compétences
de réduction d’une expression et de résolution d’une équation à une inconnue.

La résolution graphique de systèmes permet d’introduire la
notion de fonction et de faire le lien entre les deux inconnues
et les coordonnées du point d’intersection de deux droites.
Comme dans le chapitre précédent, les activités permettent
d’introduire les notions visées par le biais de la résolution de
problèmes et guident l’élève dans cette résolution en tachant
de donner du sens aux techniques mises en jeu.

III. Ressources disponibles sur le site compagnon et le manuel numérique Premium
Savoir faire

Animation : Résoudre un système par substitution
Animation : Résoudre un système par addition ou soustraction
Animation : Résoudre un système graphiquement

Travaux pratiques
avec un ordinateur

Pour aider à la correction en video-projection :
• Tableur de l’activité 1
• Figure dynamique de l’activité 2
Fichier « boite_noire_06 »
PDF : Fiches-réponse élèves imprimables pour les trois activités

Du côté du site compagnon

PDF : Des fibres bien utiles

IV. Intentions pédagogiques des activités
A. Activités d’introduction
Activité 1 : Mettre en équation un problème à deux
inconnues
Un problème concret de masses dans lequel on recherche
deux valeurs est directement posé aux élèves pour les mettre
en situation de recherche. Plusieurs couples de solutions
sont possibles, mais dès lors qu’est rajoutée une deuxième
condition rendant dépendantes les deux masses, il n’y a
plus qu’un seul couple-solution du problème posé. Le but
de l’activité n’est pas de résoudre le problème mais plutôt
de confronter les élèves à la nécessité de le mettre en équation pour le résoudre.

Activité 2 : Résoudre un système d’équation
par substitution
La deuxième activité consiste à guider les élèves dans la résolution par substitution du système auquel on aboutit dans la
première activité.

Activité 3 : Résoudre un système d’équations
par addition ou soustraction
Partant à nouveau d’un problème concret, la méthode par
soustraction s’avère être la plus judicieuse pour résoudre le
système. Étant donné que pour le deuxième achat, le nombre
de salades est le double du premier achat, il est plus naturel
de doubler les membres de la première équation pour ensuite
la soustraire à la deuxième. Ce qui permet de trouver le prix
d’une salade et enfin celui d’un concombre.

Activité 4* : Résoudre graphiquement un système
Cette dernière activité a pour objectif de faire le lien entre la
résolution d’un système et la notion de fonction qui sera développée dans le chapitre suivant.
Les quatre premières questions mettent en évidence qu’à partir d’un système on peut toujours tracer deux fonctions affines
et que les coordonnées de leur point d’intersection, s’il existe,
représente le couple-solution du système.
La dernière question permet de mettre en évidence qu’à partir
de deux droites qui représentent donc deux fonctions affines,
on peut toujours retrouver les deux équations d’un système

31
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dont les valeurs approchées du couple-solution sont les coordonnées du point d’intersection.
Attention ! Il faut lire ici, à la question 5,
2 x+4 » et « ⎧⎨ y = 1,2 x  », voir p. 35.
«  h(x) = 1,2x et k(x) = —
–2
5
⎩y= 5 x+4

B. Activités TICE

Activité 1* : Résolution d’un système de trois
équations à trois inconnues

• Considérations didactiques : L’objectif est de confronter
les élèves à un système de trois équations à trois inconnues
pour ne pas figer dans leurs esprits l’idée qu’un système ne
puisse pas comporter plus de deux équations à deux inconnues. Le tableur devient alors un outil indispensable pour tenter d’approcher, voire de trouver, le triplet solution du problème posé. Dans le cas présent, l’activité est suffisamment
guidée, en particulier dans le choix des paramètres comme
dans le choix des valeurs qu’ils prennent, pour que l’élève
puisse facilement accéder à la réponse à la question trouvée.
• En pratique : L’utilisation du tableur dans cette activité est
plutôt classique et par ailleurs déjà abordée précédemment
dans le chapitre. Les formules à entrer dans les cellules sont
celles découvertes en première partie et aucune difficulté
technique n’est à souligner.
Attention, cette activité a été revue pour le manuel élève, voir p. 35.

Activité 2* : Calcul d’une longueur

• Considérations didactiques : L’activité consiste dans un premier temps à modéliser et ensuite à résoudre un problème
concret. L’utilisation du logiciel de géométrie dynamique permet d’approcher la mesure de la longueur EF.
La deuxième partie permet, en utilisant successivement les
théorèmes de Pythagore et de Thalès, de calculer la valeur
exacte de la longueur supposée dans la première partie.
• En pratique : La réalisation de la figure est guidée et ne présente pas de difficulté particulière. De même les deux équations que l’élève doit trouver dans la deuxième partie sont
données et le système obtenu ne pose pas de problème, il
pourra être résolu par la méthode par substitution.
Attention, à la question 5, il se peut que soit indiqué par erreur
« 10,6 cm et 10,2 cm », il faut lire «  10,2 cm et 10,6 cm ».
90
x
À la question 10, il faut lire « 90 – y =
x » et non « 90 – y =  »,
56
48
voir p. 35.

Activité 3 : La boîte noire du chapitre 06
Pour cette boîte noire, l’élève place deux points A et B et le
logiciel affiche deux droites sécantes.
Les deux droites sont sécantes au point B. L’abscisse du point A
correspond à l’une des deux ordonnées à l’origine et l’ordonnée
de A correspond à l’autre ordonnée à l’origine de l’autre droite.

V. Corrigés des exercices
Savoir faire
1

⎛ 76 71⎞

; ⎟
⎝ 41 41⎠

2

a. (1 ; 2)

b. (2 ; 1)

3

a. (0,2 ; 0,4)

b. (1 ; 1)

4

a. (− 2 ; − 1)

b. (3 ; 1)

5

a. (4 ; 1)

b. (2 ; 3)

1. Non
2. (0,95 ; 1,2)
3. Un croissant coûte 0,95 euros et un pain au chocolat coûte
1,20 euros.
⎛ 5 −34 ⎞

;
7 ⎜
⎝ 163 163 ⎠
6

8

a. (0 ; 1)

b. (1 ; 1)

9

a. (3 ; − 2)

b. (− 0,25 ; 0,5)

10 a. (3 ; − 2)

b. (3 ; − 1)

11 a. (1 ; 4)

b. (5,2 ; 1,8)

12 a. (6 ; 3)

b. (2 ; − 1)

13 1. (4,5 ; 6)

2. Une boîte coûte 4,50 euros et un album coûte 6 euros.
⎧8x + y = 6
Le système ⎨
a les mêmes solutions que
⎩−6x − y = −5
⎧ y = 6 − 8x

⎩ y = −6x +5
14

15 a. (0 ; 0)

b. (2 ; − 5)

16 a. (2 ; 0)

b. (1 ; 1)

17 a. (2 ; − 1)

⎛ 18 17 ⎞
b. ⎜− ; ⎟
⎝ 13 13 ⎠

18 a. (2 ; 2)

b. (− 1 ; − 2)

19 a. (− 1 ; 1)

b. (− 2 ; − 3)

20 a. (3 ; 2)

b. (− 1 ; 1)

21 1. À voir sur le cahier de l’élève.
2. L’abscisse de K est comprise entre 6 et 7.
3. K(6,25 ; 18,75)

Exercices d’entraînement
22 1. y = 1− x

2. 2 x + 3(1− x ) = 3

3. (0 ; 1)

23 1. x = 3 − 3 y

2. 2(3 − 3 y ) + 4 y = 6

3. (1 ; 1)

24 a. (0 ; 0)

b. (− 1 ; 1) c. (− 1 ; 0)

25 a. (0 ; 1,5)

b. (1 ; 0,5) c. (− 1,5 ; 0)

26 a. (− 1 ; − 2)

c. (− 2 ; 1,5)

6

A

4

d. (− 4,5 ; − 3,5)

b. (4,2 ; − 0,7)
d. (4,2 ; − 0,7)

27 a. (1 ; − 1)

⎛ −1⎞
b. (− 1 ; 0) c. ⎜ 0; ⎟
⎝ 3⎠

28 a. (4 ; − 4)

b. (− 3 ; 2) c. (− 1,5 ; − 2) d. (0 ; 0,5)

⎛ −1⎞
d. ⎜ 0; ⎟
⎝ 3⎠

29 1. (22 ; 27)

B

2

0
0

2

4

6

8

2. Un atlas coûte 22 euros et un dictionnaire coûte 27 euros.
30 6 x − 3 × (2 − 2 x ) = 30
6 x − 6 + 6 x = 30
12 x − 6 = 30
12 x = 36
x = 3.
Je remplace x par cette valeur dans l’équation y = 2 − 2 x que
je résous :
y = 2−2×3
y = −4
Le couple-solution est (3 ; − 4).

32
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09/05/12 15:40

31 1. La somme du nombre de fois où ils ont fait une heure
de pédalo et du nombre de fois où ils en ont fait toute une
matinée correspond à la semaine complète, c’est-à-dire 7 jours.
2. 12 x + 39 y = 138 .
3. (5 ; 2).
4. Ils ont pédalé 5 heures et 2 matinées durant la semaine.
32 1. 2 x − y − 2 x + 2 y = −1+ 2

⎧2x −1= −1
3. ⎨
⎩x = 0

2. y = 1

donc le couple-solution est (0 ; 1).

33 1. 4 x + 5 y − 4 x − 6 y = −9 + 10 .
2. y = − 1.
3. 4 x − 5 = −9 donc x = − 1, le couple-solution du système
est (− 1 ; − 1).
34 1. 4 x + 6 y = 16 .
3. (1 ; 2)

2. 4x + 6y − 4x + y = 16 − 2 donc y = 2.

35 1. La première ligne a été multipliée par 3.
2. (− 1 ; 5)
36 1. La première ligne a été multipliée par 33 et la deuxième
ligne a été multipliée par 5.
2. (− 2 ; − 2)
37 a. (1 ; 4)

b. (2 ; 1)

d. (1,6 ; − 1,3)

b. (12,638 ; − 9,7077)
d. (− 0,5 ; 2)

38 a. (− 1,5 ; 2,8)

c. (− 4 ; − 2,8)
39 a. (0 ; − 1)

c. (63,867 ; − 136,53)
e. (− 27 ; − 23)
40

c. (− 1 ; 2)

b. (2 ; 2)
⎛ −118 27 ⎞
; ⎟
d. ⎜
⎝ 11 11 ⎠
f. (− 2,5 ; 1,5)

3 × 0, 5 + 5 y = 15
1, 5 + 5 y = 15
5 y = 13, 5
y = 2, 7

2. 10 + 4 × 3, 5 = 24 et 3 + 6 × 3, 5 = 24.
3. Une perle noire coûte 1 euro et une perle dorée coûte
3,50 euros, donc un sac contenant 4 perles noires et 3 perles
dorées coûte 4 + 3 × 3, 5 = 14 , 50 euros.
42 Une tomate pèse 100 grammes et un citron pèse 125
grammes.

b. (− 2 ; 1)

45

⎧ y =1+2x
b. ⎨
⎩ y = 2x
⎧ y = 2x − 4
⎧ y = 5− 4 x

c. ⎨
d. ⎨
−3
9
y
=
−1+2x
x−

⎪⎩ y =
5
5
a. (1 ; 2)
b. (1 ; 2)
c. (− 1 ; 4)

d. (1 ; 6)

46

a. (0 ; − 2)

d. (0 ; 1)

47

a. (− 1 ; 0,5) b. (− 1 ; − 3) c. (2 ; 2)

c.(0 ; − 1)

d. (2 ; 0)

48 Première partie

1. a. b = 105

b. a = 3,5

b. Oui.
2. Il y a 8 adultes et 5 enfants.
58 1. Si x représente le nombre de locomotives et y le nombre

⎧2x +10y =152
de wagons : ⎨
⎩ x +12y =160
2. (16 ; 12).
3. Le système de la question 1 a les mêmes solutions que celui
de la question 2 ; donc il y a 16 locomotives et 12 wagons.
59 1. (4 ; 2,5)
2. Le prix d’un ticket pour adulte est de 4 euros et celui d’un
ticket pour enfant est de 2,50 euros.

⎧ y =11− 4 x
a. ⎨
⎩ y = −10+3x

b. (2 ; − 4)

56 Si l’on note x le prix du meuble le plus grand dans la composition et y le prix du meuble le plus petit dans la composition, le prix de la première composition se traduit par l’équation 2 x + 2 y = 234 et le prix de la deuxième composition se
traduit par l’équation x + 3 y = 162 .
Pour connaître le prix de la troisième composition, il faut calculer le prix de chacun des deux meubles, en résolvant le sys⎧2x +2y = 234
tème suivant : ⎨
⎩ x +3y =162

57 1. a. Non

41 1. (1 ; 3,5)

44

On trouve x = 0,9 et y = 1,85.
Donc le bijou n° 3 coûte 5 × 0, 9 + 3 × 1, 85 = 10, 05 euros.
55 Si l’on note x le prix d’un dvd et y le prix d’une bande dessinée :
– l’argent que Pierre a dépensé peut être représenté par l’équation suivante : x + 4 y = 75 −14 , 5 = 60, 5 ;
– la somme d’argent dépensée par Clothilde peut être représenté par l’équation 2 x + 3 y = 73, 5 .
Pour calculer le prix de chaque article, il faut résoudre le sys⎧ x + 4 y = 60,5
tème : ⎨
⎩2x +3y = 73,5
On trouve x = 22,5 et y = 9,5, donc le prix d’un dvd est de
22,50 euros et le prix d’une bande dessinée est de 9,50 euros.

Le couple-solution de ce système est (94,5 ; 22,5).
Le prix de la troisième composition est donc de
3 × 94 , 5 + 2 × 22, 5 = 328, 5 euros.

Donc le couple-solution du système est (0,5 ; 2,7).

43 a. (2 ; 1)

54 Si l’on note x le prix du triangle en verre et y le prix d’un
triangle en métal, le prix du bijou n° 1 se traduit par l’équation 4 x + 4 y = 11 et le prix du bijou n° 2 se traduit par l’équation 6 x + 2 y = 9,1.
Pour trouver x et y, il faut donc résoudre le système
⎧ 4 x + 4 y =11

⎩6x +2y = 9,1

2. Voir le cahier de l’élève

Deuxième partie
1. Voir cahier de l’élève
2. (20 ; 70)
3. Il représente le point d’intersection des deux droites.

60 Si x représente le prix d’un oranger et y le prix d’un citronnier, le système qui permet de résoudre ce problème est :
⎧3x +2y =14 000

⎩2x +3y =13 500

(3 000 ; 2 500) est le couple-solution, donc un oranger coûte
3 000 F et un citronnier coûte 2 500 F.

Parcours autonome
61 A

62 A et C

63 B

64 C

66 C

67 A

Chapitre 6 • Systèmes d’équations

33

68 Non
69 Oui
70 a. (− 2 ; 0)

b. (− 2 ; 1)

71 a. (1 ;− 2)

b. (− 1 ; 0)

72 a. (0 ; 1)

b. (− 1 ;− 1)

73 a. (1 ; 2)

b. (− 3 ; − 2)

52 Un café coûte 1,50 euros et un soda coûte 2 euros.

⎛6 3⎞
74 a. ⎜ ; ⎟
⎝5 5⎠

b.

53 Oui

75 a. (− 3 ; 2)

b. (− 2 ; 3)

49 Oui
50 Non
51

a. (0 ; 1)

04732905_LdP_C06.indd 33

b. (0 ; 0)

c. (1 ; 1)

65 B

⎛ −2 −10 ⎞


;
⎝3 3 ⎠

09/05/12 15:40

76 1. (92 ; 80)

2. Brigitte a 92 fèves et Bernard 80.

77  * Le système a. correspond à 1 ; le système b. correspond à 3 ; le système c. correspond à 2 .

Attention, ici, il fallait voir :
⎧ 2x + y = 4
⎧ -5x - 4y = 3
b. ⎨
« a. ⎨
 », voir p. 35.
⎩ x + 2y = 5
⎩ -3x + 2y = -7
78 1. (− 2 ; 3)

2. La première équation correspond à la droite verte et la
deuxième équation à la droite noire.
3. (− 2 ; 3)
79 a. (0 ; 3)
b. (4 ; 4)
80 1. 4x + 4y = 10 et 4x + 2y = 8.

2. 4x + 4y = 10 a les mêmes solutions que y = − x +2, 5 et
4x + 2y = 8 a les mêmes solutions que y = −2 x + 4 .
3. Les droites se coupent au point de coordonnées (1,5 ; 1).
4. Le couple-solution du système est (1,5 ; 1).

Exercices d’approfondissement
81

⎛ 173 13 ⎞
; ⎟
a. ⎜
⎝ 11 11 ⎠

(

c. − 2 + 3 ; − 2 + 3

b. (0,5 ; − 1)

)


π ⎞⎟
d. ⎜ 0,75;

4(π+1) ⎠

x représente le prix d’un crayon et y le prix d’une gomme,
⎧5x +2y =10,9
on a donc ⎨
⎩8x +3y =17,2
Le couple-solution est (1,7 ; 1,2).
Le prix d’un crayon est de 1,70 euros et le prix d’une gomme
1,20 euros.
⎧−4 x +2y = 2
83 1. ⎨
a les même solutions que le système
⎩−6x +3y = −9
82

⎧ y = 2x +1

⎩ y = 2x −3

2. Voir cahier de l’élève.
3. Les deux droites semblent parallèles, leurs équations ont
le même coefficient directeur.
4. Il n’y a pas de solution pour ce système.
5. 1 = 3. Cette égalité est fausse.
6. Ce système n’a pas de solution.
7. Pas de solution.
8. Pas de solution.
84 1. (28 ; 7)

2. Les deux nombres sont 28 et 7.
85 Il y a 10 élèves dans le groupe 1 et 15 élèves dans le
groupe 2.
86 1. (4,5 ; 6).
2. La largeur mesure 4,5 cm et la longueur mesure 6 cm.
3. 54 : (4,5 × 6) = 2 cm.
87 1. (0 ; 2) est un couple-solution du système.

2. Non ce n’est pas le seul couple-solution.
⎧ y = −3x +2
3. ⎨
⎩ y = −3x +2
4. Les expressions sont égales.
5. Voir cahier de l’élève.
6. Tous les couples de nombres (x ; y) tels que y = −3 x + 2 sont
solutions de ce système.
88 Si l’on note x le prix de l’abonnement et y le prix d’un kWh,

⎧ x + 4 000y = 300
on obtient le système suivant : ⎨
⎩ x + 4 500y = 323,5
L’abonnement coute 112 euros et le prix d’un kWh est de
0,04 euro.

89 1. ab.

2.
3.
4.
5.

( a + 2)(b + 3) = ab + 28.
( a + 2)(b + 3) = ab + 28 revient à résoudre 3a + 2b = 22.
( a + 1)(b + 2) = ab + 14.
( a + 1)(b + 2) = ab + 14 revient à résoudre 2a + b = 12.

⎧3a+2b = 22
, le couple-solution est (2 ; 8).
6. ⎨
⎩2a+b =12

7. La largeur et la longueur du rectangle sont respectivement 2 cm et 8 cm.
8. L’aire du rectangle initial est 16 cm².
90 1. EA = DA = ED

AB AC BC
9 x
= donc x = 3y.
3 y

2. DC = 9 cm donc x + y = 9.
3. (6,75 ; 2,25).
4. DA = 6,75 cm et AC = 2,25 cm.
91 Si l’on note x la vitesse de Romuald sur du plat et y sa
vitesse moyenne en côte, on peut écrire le système suivant :
⎧ 15 = x – y


20 10
⎪1,8 = +
x y


Le couple-solution est (25 ; 10). La vitesse sur plat est de
25 km/h, la vitesse en côte est de 10 km/h.
92 1. et 2. Voir ordinateur de l’élève.
3. = 29,7/3 − 4/3A2
4. Voir ordinateur de l’élève.
5. = 39/4 − 5/4A2
6. Voir ordinateur de l’élève.

⎧ 4x +3y = 29,7
7. ⎨
⎩5x + 4 y = 39

Le couple-solution du système est (1,8 ; 7,5).
93 Llamamos x al número de adultos e y al número de niños
que visitaron el museo ese día.
Planteamos el sistema de ecuaciones siguiente :
⎧ x + y =1 500

cuyas soluciones son x = 573 e y = 927.
⎩12x +9y =15 219

573 adultos y 927 niños visitaron el museo ese día.
94 We call x, the number of points scored by England and
y, the number of points scored by Wales. Then, we have the
following system of equations :
⎧ x + y = 45

⎩x − y = 7

The ordered pair of solutions of this system is x = 26 and y =19.
Thus, England won 26 − 19.
95

⎧2x + 2y =14 ;

⎨8 – y x
=
⎪⎩
8
6

le couple-solution est (3 ; 4), x = 3 et y = 4.
96 1. d + u = 3.
2. u × 10 + d est le nombre obtenu si l’on inverse le chiffre des
unités et celui des dizaines.

⎧d ×10+u −(u×10+ d) = 9
3. ⎨
⎩9d −9u = 9
⎧d +u = 3
4. ⎨
⎩9d −9u = 9

Le couple-solution est (2 ; 1).
5. Le nombre de départ est 21.

34
04732905_LdP_C06.indd 34

09/05/12 15:40

97 Si x est le nombre de lapins et y le nombre de poules, on

⎧ x + y = 41
a le système suivant : ⎨
⎩ 4x +2y =126
Il y a 22 lapins et 19 poules.
7
10
, la longueur mesure
.
3
3
Attention, il se peut que soit indiqué par erreur dans le manuel
« son aire augmente de 160  », il faut lire « augmente de 10 ».
3
99 La mère a 70 ans et le fils 45 ans.
⎧ x + y = 34,3
100 ⎨
⎩ x +31,1= 2y
98  * La largeur mesure

Les deux nombres sont 12,5 et 22,8.
101 Si x est le nombre d’hexagones et y le nombre de carrés,

⎧ x + y = 33
on a ⎨
⎩6x + 4 y =184
Le couple-solution est (26 ; 7) ; il y a 26 hexagones et 7 carrés.
⎧1+ x + 8+ y+3 =17
102 Le périmètre du triangle ABC est tel que : ⎨
x+y=5

En utilisant le théorème de Thalès :
AI AJ IJ
=
=
AC AB BC
.
1
3
=
1+ x 3 + y

Donc 3x = y.
⎧x + y = 5
;
On peut donc résoudre le système suivant : ⎨
⎩3x = y
⎛ 5 15 ⎞
le couple-solution est ⎜ ; ⎟ .
⎝4 4 ⎠
103 1. 4 a − 4b = 16 .
2. a 2 − b 2 = 76 est l’aire comprise entre les deux carrés.
3. a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) = 76 comme a − b = 4 alors
a + b = 76 : 4 = 19.

⎧a −b = 4
;
4. On peut résoudre le système suivant : ⎨
⎩a+b =19
le couple-solution est (11,5 ; 7,5).
⎧12a+18b =10
104 * 1. ⎨
⎩3a+ 4b = 5
Attention, il se peut que soit indiqué par erreur dans le manuel
« 12a + 18b = 2 », il faut lire « 12a + 18b = 10 », voir ci-dessous.
⎛ 25

2. Le couple-solution est ⎜ ;−5⎟ .
⎝3


3. Donc

1
47
−6
1
25
= −5 . x = −
et
et y =
.
=
y +1
25
5
x +2 3

Devoir à la maison

1
1. 2 x + 2 y = 38 .
2. D’après la Donnée 2, on a 2 y + z = 10 + 2 x + z .
⎧2x +2y = 38
3. Trouver x et y revient à résoudre le système : ⎨
⎩2y −2x =10

4. y = 12 et x = 7.

2
1. 4 x = 10 + 2 y .
2. y =

⎧ 4x −2y =10
x
. Il faut donc résoudre le système ⎨
3
⎩ x −3y = 0

3. (3 ; 1) ; le côté du carré mesure 3 cm et la largeur du rectangle mesure 1 cm.

* Quelques erreurs malencontreuses se sont glissées dans les énoncés de l’activité 4, des activités Tice 1 et 2 et des exercices 77, 98 et 104 repérés par un astérisque.
Pour faciliter votre travail, les erreurs ont été rectifiées dans ce livre du professeur téléchargeable gratuitement.
Les manuels de vos élèves seront tous corrigés.
Dès la mi-mai, vous pourrez consulter le manuel de vos élèves en feuilletage sur notre site :
http://www.editions-bordas.fr/9782047329054/specimen

Chapitre 6 • Systèmes d’équations

04732905_LdP_C06.indd 35

35
09/05/12 15:41

Chapitre

7

Notion de fonction

I. Programme de la classe de troisième
Connaissances

Capacités

Commentaires

1.1. Notion de fonction – Déterminer l’image d’un nombre par
une fonction déterminée par une courbe,
un tableau de données ou une formule.
Image, antécédent,
notations
– Déterminer un antécédent par lecture directe
f(x), x ↦ f(x).
dans un tableau ou sur une représentation
graphique.
[Thèmes
de convergence]

Toute définition générale de la notion de fonction
et la notion d’ensemble de définition sont hors
programme.
La détermination d’un antécédent à partir
de l’expression algébrique d’une fonction n’est exigible
que dans le cas des fonctions linéaires ou affines.

II. Contexte du chapitre
L’un des objectifs est de faire émerger progressivement, sur
des exemples, la notion de fonction en tant que processus
faisant correspondre à un nombre, un autre nombre. Les
exemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires.
L’utilisation des expressions « est fonction de » ou « varie
en fonction de », amorcée dans les classes précédentes,

est poursuivie et est associée à l’introduction de la
notation f(x).
L’usage du tableur-grapheur contribue aussi à la mise en place
du concept, dans ses aspects numériques comme dans ses
aspects graphiques.

III. Ressources disponibles sur le site compagnon et le manuel numérique Premium
Animation : Déterminer l’image d’un nombre par une fonction.
Animation : Déterminer un antécédent d’un nombre par une fonction.

Savoir faire
Exercices

PDF à télécharger pour l’exercice 111

Travaux pratiques
avec un ordinateur

Pour aider à la correction en videoprojection :
• Figure dynamique de l’activité 1
• Tableur de l’activité 2
• Figure dynamique de l’activité 3
Fichier « boite_noire_07 »
PDF : Fiches-réponses élèves imprimables pour les quatre activités

Du côté du site compagnon

PDF : Les courbes remarquables

IV. Intentions pédagogiques
des activités
A. Activités d’introduction

Activité 1 : Vers la notion de fonction
Dans les classes antérieures, les élèves ont travaillé la notion de
fonction au travers de l’usage de la variable dans des exemples
concrets mettant en œuvre du calcul algébrique. L’expression
« en fonction de » est connue depuis la classe de sixième.
Cette activité a pour objectif de réinvestir ces connaissances
afin de les formaliser par l’expression algébrique d’une fonction.
Les notations nouvelles doivent être introduites prudemment
et progressivement.
La fin de l’activité montre qu’une fonction peut être représentée graphiquement dans un repère. Il s’agit de faire comprendre aux élèves que les lectures graphiques qui en découlent facilitent grandement l’interprétation de certains éléments
du problème posé.

36

Activité 2 : Image d’un nombre par une fonction
La notion d’image d’un nombre par une fonction est nouvelle bien que connue des élèves de façon intuitive. Dans les
classes antérieures, la substitution d’un nombre inconnu par
une valeur numérique a déjà été pratiquée.
Cette activité réinvestit ce savoir-faire et le formalise. Elle donne
l’occasion d’introduire la notation nouvelle du type f :  x   ….
La détermination d’images passe également par la lecture
d’un tableau de données (question 5) ou la lecture d’un
graphique (Activité 3).

Activité 3 : Antécédent d’un nombre
par une fonction
La lecture graphique facilite l’introduction de la notion d’antécédent d’un nombre par une fonction. Elle est intimement
liée à la notion d’image. Le passage réciproque d’un axe à
l’autre du repère en passant par la courbe doit faire preuve
d’une attention particulière.

L’étude d’un exemple concret permet de débattre de ces
notions et plus particulièrement de l’opportunité qu’a un
nombre de posséder plusieurs antécédents alors qu’un nombre
ne possède qu’une seule image.
Dans l’exemple étudié, à 10 h, on ne peut faire correspondre
qu’une unique valeur pour la hauteur de marée (image unique).
Alors qu’une même hauteur de marée peut correspondre à
plusieurs heures de la journée.

B. Activités TICE

Activité 1 : Programmes de calcul et fonctions
• Considérations didactiques : Le tableur est un outil à privilégier pour introduire la notion de variable. Les calculs peuvent être automatisés ; un changement de valeur dans une cellule entraîne le changement immédiat de l’affichage de toutes
les cellules liées à celle-ci. Dans les programmes de calculs, le
nombre choisi au départ prend le rôle de la variable, le programme lui-même correspond à l’expression d’une fonction
qu’il faudra modéliser.
Cette activité donne également l’occasion de faire du calcul
algébrique pour démontrer les résultats conjecturés.

7

1. 0

8

5

9

1. 3

10

1. 2 est un antécédent de –3 et –1 est un antécédent de 1.
2. g(2) = –3 et g(–1) = 1.

11

Environ 6,5 cm.

• Considérations didactiques : L’utilisation d’un logiciel pour
représenter et modéliser une situation concrète permet d’en
faciliter l’interprétation.
Le logiciel permet d’afficher la courbe représentative de la
fonction et d’y faire glisser un point dont les coordonnées
sont affichées. Il s’agit ainsi d’interpréter les valeurs de ses
coordonnées par rapport au problème posé. Par exemple, lire
les coordonnées (1 ; 2) signifie qu’après 1 seconde, la balle se
trouve à 2 m de hauteur.
• En pratique : Aucune difficulté technique n’est à attendre.
Cette activité est l’occasion de montrer que de nombreux
logiciels permettent de représenter les courbes représentatives de fonctions. C’est aussi l’occasion de débattre de l’ensemble de définition d’une fonction qui peut dépasser les
contraintes du problème.

2. –1, 1 et 2

Exercices d’entraînement
12 1. 1980 : 800 000 ; 1970 : 850 000 ; 1950 : 850 000 ;
1910 : 825 000.
2. Taux le plus élévé en 1902 ; le plus faible en 1916.
3. En 1915 ; 1920 ; 1935 ; 1945.
4. De 1914 à 1916 et de 1939 à 1941. Ces périodes correspondent aux deux guerres mondiales.
13

1. 6 m ; 3 m ; 4 m.
2. 5 fois.
3. 4 m ; 2,5 m.
4. 1,1 s.

14

1. 70 min.
2. Oui car pour t = 70 minutes, on a d = 0.
3. 20 km.
4. Le cycliste fait une pause de 10 minutes.
5. Entre 50 et 70 minutes de course.

15

1. 6 jours.
2. 10 jours.
3. Entre 4 jours et 20 jours.
4. Après 18 jours.

16

1. A = 7x

17

N = 2x + 5

18

N=

19

1. c2

20

À vérifier sur le cahier de l’élève.

21

x2

22

3
x+5

• En pratique : Aucune difficulté technique n’est à attendre si
les élèves ont quelques expériences du tableur. Ce type d’activité est un grand classique à résoudre à l’aide du tableur.

Activité 2 : La balle de tennis

2. 5

Activité 3 : L’enclos de Mathilde

2. B = x2 + 5

3. C = 

2. 2πr

3. 2h

x
4+x

x2
+x
2

x3
2

• Considérations didactiques : Cette activité permet de
résoudre un problème d’optimisation en s’aidant d’un logiciel.
Les objectifs didactiques sont identiques à ceux de l’activité 2.
Une difficulté supplémentaire est cependant à envisager :
la modélisation du problème est ici demandée aux élèves.

23
24

1. f ( x )  =   36π − πx 2.
2. Pour 0 < x < 6.
3. f ( 4 )  =  20π ≈ 62, 8.

• En pratique : Aucune difficulté technique n’est à attendre
(voir commentaires de l’activité 2).

25

L’image de 2 est 4. L’image de –3 est –6.

26

L’image de 3 est 9. L’image de –7 est 49.

Activité 4 : La boîte noire du chapitre 7

27

1. 6

2. –1

3. 10

4. –1 et 15

28

1. 5

2. 3,5

3. 3

4. –5 et 0

29

7
1. −
3

2. –2

3. –4

4. 0 et 4

La boîte noire du chapitre demande de saisir un nombre et
lui fait correspondre son image par une fonction. L’élève doit
déterminer l’expression de cette fonction.
Il s’agit de la fonction f : x  x 2 + 1.

30

V. Corrigés des exercices

L’image de 1 par la fonction f est 2

Savoir faire

L’image de 3 par la fonction f est –1

f(1) = 2
f : 1↦2
f(3) = –1 f : 3 ↦ –1
f(0) = 4 f : 0 ↦ 4

1

L’image de 3 est 4. L’image de 4 est 3.

L’image de 0 par la fonction f est 4

2

1. L’image de –2 est 5. L’image de 1 est 0.
2. g(–1) = 7 et g(1) = –3.

L’image de –1 par la fonction f est 5

3

4 et 4,5.

L’image de –6 par la fonction f est 6

4

48
– 4, 6, − , – 8,995.
7

5

L’image de 1 est –2. L’image de –2 est 0.

6

Réponse C

L’image de 6 par la fonction f est –6

1
x2

31

1. f : x  2 x + 4

2. f : x 

32

1. f(1) = 5
3. f(–4) = 5

2. f : 6  6
4. f : −2  –2

f(–1) = 5 f : –1 ↦ 5
f(6) = –6 f : 6 ↦ –6
f(–6) = 6 f : –6 ↦ 6

3. f : x − x 2

Chapitre 7 • Notion de fonction

37

33 1. a. L’image de –5 par la fonction g est 3.
b. L’image de –2 par la fonction g est égale à 10.
c. –4 a pour image 1 par la fonction g.
2. –10 et 10 ont pour image –6 ; –5 et 3 ont pour image 3 ; –4
et 1 ont pour image 1.
34

1. –100

35

2. –8, –2 et 6.

1. –5, –3 et 0.
2. –2, 1 et 1,6.
3. –1,5, –0,5 et 2,4.
4. –5.

3. Oui

4. 100

36

4
6
7
, 1,
et .
5
5
5

37

–8, –9, –8 et 0.

38

g(–2) = –6, g(0) = –4, g(5) = 36, g(10) = 126.

39

Octave a calculé l’image de 3.

40

a. f(5) = 625
c. f : 107  1028

a. 3 est un antécédent de 7 par la fonction f.
b. 8,2 est l’image de –5 par la fonction g.
c. 1 est un antécédent de 2,6 par la fonction g.
d. –1 est un antécédent de 9 par la fonction f.
e. 7 est l’image de –3 par la fonction f.

57

4, 1, 0, 1, 4.

58

–2 et 2, –1 et 1, 0.

59

(C1) : f, (C2) : k, (C3) : h, (C4) : g.

60

1. (10 × 3 + 102) × 2 = 260.
44
2. 20,
, 6 5 + 10.
9
3. 0

61 1. ( −2 + 4 ) × ( −2 ) + 4
2. 49
3. a. À vérifier sur la copie de l’élève.
b. On obtient un carré parfait.
4. –1

b. f(3) = 81
d. f : 105  1020

3
1
3
3
1
41 1. f(0) = ; f(1) = ; f(2) = ; f(3) =
et f(4) = .
5
2
7
8
3
2. Pour x = 5, le dénominateur s’annule.
1
1
1
, f(0) = −
, f(1)= −
.
28
30
30
2. Pour x = 6, le dénominateur s’annule.
3. Oui, –5.
42

56

1. f(–1) = −

62 1. a. À vérifier sur le cahier de l’élève.
b. À vérifier sur le cahier de l’élève.
c. 3
2. Le programme mène au double du nombre de départ.
( x + 1)2 − x 2 − 1  =  2 x.
63

Partie 1

a. Un antécédent de 4 par la fonction f est le nombre –2.
b. Le nombre 4 est un antécédent de 1 par la fonction f.
c. Le nombre 0 est un antécédent de 2 par la fonction f.
43

44

1. 4

2. 6

3. 5

45

1. 0

2. 2 ou –2

3. 1

4. 2

46

1. 1

2. 3

3. –2

4. 0,5

0

20

500

1

19

550

2

18

600

4

16

700

10 000
550 × 19 =
10 450
600 × 18 =
10 800
700 × 16 =
11 200

2.

2 est un
antécédent de 3
par la fonction f.
–4 est un
antécédent de 6
par la fonction f.
5 est un
antécédent de 3
par la fonction f.
7 est un
antécédent de –3
par la fonction f.
48

a. 4

49

a. 1 ou 4,2
c. –2, 0, 2 et 4

3 est l’image de 2
par la fonction f.

f(2) = 3

6 est l’image
de –4 par
la fonction f.
3 est l’image de 5
par la fonction f.

20 – x

–3 est l’image
de 7 par la
fonction f.

b. 2

b. 0

f(3) = 5

f : 3↦5

f(–3) = 7 f : –3 ↦ 7

Parcours autonome
64
70

b. 2,5 et 3,7
d. 2

71

a. 3,5

Franck a calculé l’image de 2.

53

1. L’affirmation a.
2. –1 et 1.
3. 3x2 > 0, donc 3x2 + 1 > 1.

54

a. 3 est un antécédent de 0 par la fonction g.
b. 3 est l’image de 2 par la fonction f.
c. 6 est un antécédent de 2 par la fonction h.
d. 0 a pour image –1 par la fonction h.
e. 15 a pour antécédent 5 par la fonction f.
b. Vrai

c. Faux

(20 – x)
(500 + 50x)

Partie 2 1. 11 000 €
2. Réduction : 17 €, prix d’une place : 3 €.
3. R(8) ≈ 10 800.
4. La recette maximale est de 11 300 € pour une place à 15 €.

c. –2,7, –0,5 et 3,6

c. 7,3

500 + 50x

3. − 50 x 2 + 500 x + 10   000.

52

38

Prix de la Nombre de Recette du
place en € spectateurs spectacle

f(6) = –4 f : 6 ↦ –4

a. –2,5, 0, 0,8 ou 3,6. b. –2,6 ou 3,7.
c. –2, –1, 2 ou 3.
d. –2

a. Faux

f : 2↦3

Réduction
en €
x

51

55

Prix de la Nombre de Recette du
place en € spectateurs spectacle

5. 9

47

50

1.

Réduction
en €

d. 0,4

72

65

B

66

A

67

B

68

B

69

B et C

x
5+
3
1
x +1

1. 2x2

2. f(6) = 72

1. a. f(2) = –1
b. f : 6  16
c. f(–2) = 5
d. f : 5  0
2. 1 et 5 ont pour image 0 ; 3 et 4 ont pour image –5.
73

74

d. Vrai e. Vrai

C

75
76

1. 0, 20 et 18.
2. –1, 4 et 5.
3. Un nombre à peu près égal à 7.
4. 4,5.
1
g(–2) = 14 ; g(0) = 0 ; g   = –1 et g(103) = 1 997 000.
 2
1
1
a. f(5) =
b. f(2) =
23
2
1
c. f : 10 
d. f : 1   −1 ou f : −1   –1
98

77

1. 1010

2. 10–8

3. 1010

78

1. 0

2. 10

3. –1

4. –1,9

79

a. –1

b. 0

c. 2

d. 1,1

80

a. –2 ;
b. –1 ; 3,8 et 5 ;
c. –0,5 ; 1,6 et 6,2 ;
d. 4,5.

81

1. a. et c.

91

5. –6

20
40
60
80
100 120 140 160
v
f(v) 2,58 10,32 23,23 41,29 64,52 92,9 126,45165,16
180
160
140
120
100
80
60
40
20

2. –2

Exercices d’approfondissement
82

1. 4,5 m puis 5,8 m.
2. 0,8 s.
3. 5,8 m après 1 s.
4. 2 s.

0

83 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.
2. Il y a une forte augmentation démographique à partir de
1900.
3. Entre 1200 et 1400.

1. Programme 1 : 14 et Programme 2 : 64.
2. Programme 1 : g et Programme 2 : f.
3. Choisir un nombre ; lui ajouter 3 ; élever au carré.
84

86

1. –8,4, –1,6, 7,2, 18
3,1
–0,81

3,2
0

3,3
0,83

3,4
1,68

3,5
2,55

3,6
3,44

3. 3,2.
87

1.

x –1,2
f(x) 5,04

–1
4

–0,8 –0,6 –0,4 –0,2
3,04 2,16 1,36 0,64

0
0

0,2 0,4
–0,56 –1,04

1,2 1,4 1,6 1,8
2
x 0,6 0,8 1
f(x) –1,44 –1,76 –2 –2,16 –2,24 –2,24 –2,16 –2

2. v(5) = 100, v(6) =

250
500
, v(7) =
.
3
7

⎛ 400

− 2 − 2⎟
2. A(x) = AB × AD =  ( x − 2 − 2 ) ⎜
⎝ x

⎛ 400

 =  ( x − 4 ) ⎜
− 4 ⎟.
⎝ x

3.

5
76

7,5
10
172,7 216

12,5

15

4. À vérifier sur le cahier de l’élève
5. x = 20.

3. V(3) = 18π ≈ 56, 55 ; V(5) = 50π ≈ 157, 08 ; V(7) = 98π ≈ 307, 88.
4. x = 4
94 Courbe 1 : récipient 2 ; Courbe 2 : récipient 4 ; Courbe 3 :
récipient 1 ; Courbe 4 : récipient 3.
95

1
2

96

9
1. f : x  x 2 et g : x 

17,5

98 1. –79, –159, –799. Lorsque les valeurs de x choisies se
rapprochent de 5 tout en lui restant inférieures, les images
correspondantes sont des valeurs négatives de plus en plus
grandes.

2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. Lorsque les valeurs de x choisies se rapprochent de 5 tout
en lui restant supérieures, les images correspondantes sont
des valeurs positives de plus en plus grandes.
4.
100
80
60

20

22,5

238 249,3 254,6 256 254,9

25 27,5 30
x
A(x) 252 247,8 242,7

( x + 1) × 4
− 2   =  2 x
2
πx 2 × 6
93 1. V( x )  =  
  =  2πx 2 .
3
2. Non

4. x ≈   − 0, 8 ou x ≈ 1,3.

1. EF × x  =  400.

x
A(x)

1. To check the exercise books.

3. Oui, les valeurs de x égales aux abscisses des points
d’intersection des courbes.

3. Environ 91 km/h.
4. Environ 79 km/h.
5. a. t = 6,25.
b. 6,25.
c. Odette parcourt une distance de 500 km durant 6 h 15 min
à la vitesse moyenne de 80 km/h.
90

92

x
+1
2
2. Non. f(1) = 1 et g(1) = 1,5.

88 1. 0
2. g(4) = –2.
3. Non car g(10) ≠ –1.
4. Pour x = 5, le dénominateur s’annule.
89

80 100 120 140 160

3. Der Bremsweg eines Fahrzeugs verhält sich nicht proportional zu seiner Geschwindigkeit, da die grafische Darstellung
keine Gerade erzeugt.

97

2. À vérifier sur le cahier de l’élève.

500
1. v  = 
t

60

4.

2.
3
–1,6

40

3. We assume that the final number of the sequence of calculations is equal to twice the start number.

1. 8,

x
f(x)

20

2. To check the exercise books.

27
, 10–3, 1018.
8
2. 2 × 1012, 2 × 10 −20, 3, 2 × 1021, 2, 43 × 10 −14 .
85

1. et 2.

40
20
–20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–40
–60

Chapitre 7 • Notion de fonction

39

5. Autour des points d’abscisse 5, la courbe s’étire vers le haut
et le bas du repère.
6. Non. Pour x = 5, le dénominateur s’annule.

3.
30
25

Devoir à la maison

1

1.

20

x

x2

x2
2

x2
+5
2

3x

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100

0
0,5
2
4,5
8
12,5
18
24,5
32
40,5
50

5
5,5
7
9,5
13
17,5
23
29,5
37
45,5
55

0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30

2. f(2) = 1.

40

f ( x ) =  

15

x2
+ 5  −   3x
2
5
2,5
1
0,5
1
2,5
5
8,5
13
18,5
25

10
5
0

2

1

2

3

4

5

6

7

8

1. g(0) < f(0) < h(0).

2. f(–1) > h(–1) > g(–1).
3. g(2) > h(2).
4. a. x = 2 et x = –5.
b. Non car g(2) = 1 et h(–5) = 1.
5. Pour x = –6, le dénominateur s’annule.
6. 3x2 > 0

9 10 11

Chapitre

Fonctions linéaires
Fonctions affines

8

I. Programme de la classe de troisième
Connaissances

Capacités

Commentaires

1.2 Fonction linéaire,
fonction affine.
Proportionnalité.
Fonction linéaire.
Coefficient directeur
de la droite
représentant
une fonction linéaire.

En classe de troisième, il s’agit de compléter l’étude
de la proportionnalité par une synthèse d’un
apprentissage commencé à l’école primaire.
– Déterminer par le calcul l’image d’un nombre
donné et l’antécédent d’un nombre donné.
– Déterminer l’expression algébrique
d’une fonction linéaire à partir de la donnée
d’un nombre non nul et de son image.
– Représenter graphiquement une fonction
linéaire.
– Connaître et utiliser la relation y = ax entre
les coordonnées (x ; y) d’un point M qui est
caractéristique de son appartenance à la droite
représentative de la fonction linéaire x ↦ ax.

Fonction affine.
Coefficient directeur
et ordonnée
à l’origine d’une
droite représentant
une fonction affine.

[Thèmes
de convergence]

– Lire et interpréter graphiquement le coefficient
d’une fonction linéaire représentée par une droite.
– Déterminer par le calcul l’image d’un nombre
donné et l’antécédent d’un nombre donné.
– Connaître et utiliser la relation y = ax + b
entre les coordonnées (x ; y) d’un point M qui est
caractéristique de son appartenance à la droite
représentative de la fonction linéaire x ↦ ax + b.

L’utilisation de tableaux de proportionnalité
permet de mettre en place le fait que le processus
de correspondance est décrit par une formulation
du type « je multiplie par a ». Cette formulation est
reliée à x ↦ ax.
Pour des pourcentages d’augmentation ou de
diminution, le fait que, par exemple, augmenter
de 5 % c’est multiplier par 1,05 et diminuer de 5 %
c’est multiplier par 0,95 % est établi.
Certains traitements des situations de
proportionnalité utilisés dans les classes
précédentes sont reliés aux propriétés d’additivité et
d’homogénéité de la fonction linéaire.

Parmi les situations qui ne relèvent pas de
la proportionnalité, certaines sont cependant
modélisables par une fonction dont la représentation
graphique est une droite. Cette remarque peut
constituer un point de départ à l’étude des fonctions
affines. Pour les fonctions affines, la proportionnalité
des accroissements de x et y est mise en évidence.

– Déterminer une fonction affine à partir de
la donnée de deux nombres et de leurs images.
– Représenter graphiquement une fonction affine.
– Lire et interpréter graphiquement les coefficients
d’une fonction affine représentée par une droite.
– Déterminer la fonction affine associée à
une droite donnée dans un repère.

4.3 Grandeurs
composées,
changement
d’unités

– Effectuer des changements d’unités sur
des grandeurs produits ou des grandeurs
quotients.

Vitesse moyenne.
[Thèmes
de convergence]

Plusieurs grandeurs produits et grandeurs dérivées
peuvent être utilisées : passagers × kilomètres,
kWh, euros/kWh, m3/s ou m3. s–1,...
Les changements d’unités s’appuient, comme
dans les classes antérieures, sur des raisonnements
directs et non pas sur des formules de
transformation.
Dans le cadre du socle commun, la capacité ne
porte que sur des situations de la vie courante, sur
des unités et des nombres familiers aux élèves.

II. Contexte du chapitre
Les fonctions auront été étudiées dans un contexte général
au chapitre précédent. Les fonctions linéaires et affines apparaissent alors comme des exemples particuliers de tels processus. La notion d’équation de droite n’est pas au programme
de la classe de troisième.

La résolution de problèmes a pour objectifs de synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les
classes antérieures, d’approcher la notion de fonction
et d’acquérir une première connaissance des fonctions
linéaires et affines.

41

III. Ressources disponibles sur le site compagnon et le manuel numérique Premium
Savoir faire

Animation : Représenter graphiquement une fonction affine
Animation : Déterminer une fonction affine
Animation : Augmenter ou diminuer un nombre d’un pourcentage donné

Travaux pratiques
avec un ordinateur

Pour aider à la correction en vidéo-projection :
• Figure dynamique de l’activité 1
• Figure dynamique de l’activité 2
• Figure dynamique de l’activité 3
Fichier « boite_noire_08 »
PDF : Fiches-réponses élèves imprimables pour les quatre activités

Du côté du site compagnon

PDF : Écho et vitesse du son

IV. Intentions pédagogiques
des activités
A. Activités d’introduction

Activité 1 : Découvrir les fonctions linéaires
L’activité a pour objectif d’introduire les fonctions linéaires
au travers de la notion de proportionnalité. Le coefficient de
proportionnalité pourra permettre de justifier le formalisme
d’une fonction linéaire. « Je multiplie par a » revient à associer une fonction du type f ( x ) = a × x . L’image d’un nombre
est obtenu en multipliant ce nombre par a.
Cette activité est également l’occasion de rappeler la notation
du type x  ax introduite dans le chapitre 7.

Activité 2 : Découvrir les fonctions affines
Dans le contexte d’une situation concrète, les fonctions affines
sont introduites comme un processus qui multiplie le nombre
de départ par un nombre et en ajoute un second.
Il s’agit de distinguer les fonctions affines du cas particulier des
fonctions linéaires en mettant en avant que les fonctions affines
ne sont pas associées à une situation de proportionnalité.

Activité 3 : Représentation graphique
d’une fonction affine

égaux et ainsi comprendre que le coefficient directeur détermine la pente de la droite.
• En pratique : En classe de troisième, la réalisation de curseurs n’est pas une difficulté. Cependant, pour des élèves
ayant très peu d’expérience dans l’usage du logiciel GeoGebra, il pourrait être conseillé d’animer la séquence en
classe entière au vidéoprojecteur et ainsi de débattre sur
les propriétés des droites en relation avec ses éléments
caractéristiques.

Activité 2 : L’agence immobilière
• Considérations didactiques  : L’agence immobilière est
une activité classique en classe de troisième. Cependant, les
valeurs numériques choisies nécessitent l’usage d’un logiciel pour éviter que la résolution du problème ne mène à des
calculs trop fastidieux.
L’élève affichera les droites représentatives des trois fonctions
qu’il aura déterminées. En faisant glisser un point sur l’axe des
abscisses, il pourra effectuer des lectures graphiques au moyen
de coordonnées de points qu’il aura construits.
L’activité sera aussi l’occasion de réfléchir sur la meilleure
fenêtre à choisir pour obtenir un affichage pertinent des
droites.

L’activité rappelle qu’un nombre et son image par une fonction sont les coordonnées d’un point appartenant à la représentation graphique de la fonction. On devra insister sur la
nature de la représentation graphique qui est une droite pour
une fonction affine et une droite passant par l’origine pour
une fonction linéaire.
Cette activité donne l’occasion d’introduire le vocabulaire nouveau (coefficient directeur et ordonnée à l’origine) ainsi que
les notions qui s’en dégagent.

• En pratique : L’activité ne présente aucune difficulté technique autre que le cadrage de la fenêtre graphique.

Activité 4 : Fonction linéaire et pourcentage

• En pratique : L’usage du tableur est à privilégier. Mais la résolution du problème à l’aide d’une calculatrice reste possible
et doit être laissée accessible aux élèves.

Dans les classes antérieures, les calculs de pourcentage ont
été introduits avec la notion de proportionnalité. La classe de
troisième insiste sur le caractère plus formel des calculs de
pourcentages. Ainsi, augmenter un nombre x de T % revient
T ⎞

⎟ x.
à appliquer une fonction linéaire du type f (x) = ⎜ 1+
⎝ 100 ⎠
L’activité place l’élève dans quelques contextes classiques du
type augmentation ou diminution de prix. La fin de l’activité
donnera l’occasion de démontrer les propriétés qui seront
formalisées dans la leçon.

B. Activités TICE

Activité 1 : Fonction affine et droite représentative

• Considérations didactiques : Le logiciel permet, à l’aide
de curseur, d’observer de façon dynamique les représentations graphiques de fonctions affines. En faisant varier les
curseurs associés aux éléments caractéristiques de la fonction (coefficient directeur et ordonnée à l’origine), l’élève
pourra conjecturer des propriétés des droites représentatives et ainsi assimiler plus aisément la notion de pente.
Sans formalisme, l’élève pourra, par exemple, observer que
deux droites parallèles possèdent des coefficients directeurs

42

Activité 3 : Problème ouvert
• Considérations didactiques : Les stratégies qui pourront
être mises en œuvre sont variées. L’élève pourra, par exemple,
résoudre le problème par disjonction des cas en essayant différentes valeurs pour le capital de départ. Une autre solution
consisterait à diviser successivement par 1,039 le capital 567 €
au terme des 10 ans.

Activité 4 : La boîte noire du chapitre 8
En affichant un point, la boîte noire du chapitre affiche une
droite. Il s’agit de déterminer la relation entre le point créé et
la droite obtenue.
Les coordonnées du point sont les éléments caractéristiques de la droite. Son abscisse correspond au coefficient
directeur et son ordonnée correspond à l’ordonnée à l’origine de la droite.

V. Corrigés des exercices
Savoir faire
1

à

13

À vérifier sur le cahier de l’élève.

14 (d ) : le coefficient directeur est – 2 et l’ordonnée à l’origine
1
est 1.
(d2) : le coefficient directeur est 0,5 et l’ordonnée à l’origine est 0.
(d3) : le coefficient directeur est 1 et l’ordonnée à l’origine est 3.
(d4) : le coefficient directeur est – 2,5 et l’ordonnée à l’origine
est 5.

Exercices d’entrainement

15

35 a. Je multiplie par 6.
b. Je multiplie par – 5.
c. Je multiplie par 3,5.
2
d. Je multiplie par .
3
36 a. Je multiplie par 4 (linéaire).
b. J’ajoute – 5.
c. Je multiplie par 3 et j’ajoute – 5.
3
d. Je multiplie par (linéaire).
7
37 P1, P3 et P4

120
100
80
60
40
20
–1

0

– 20

1

38

– 40

16

1. a = 2

2. b = – 1

3. f(x) = 2x – 1

17

1. a = – 0,5

2. b = 2,5

3. g(x) = – 0,5x + 2,5

18

20

1. 0,25
2. 2,5
1
1
f (x) = x −
3
3
g(x) = – 3x + 11

21

h(x) = – 0,5x + 1

19

3. h(x) = 0,25x + 2,5

2
10
2. f ( x ) = − x + .
3
3

22

1. f(2) = 2 et f(– 1) = 4.

23

1. f(x) = 0,5x.

2. f est une fonction linéaire.

24

1. g(x) = – 6

2. g est une fonction constante.

25

Réponse b

1. a. f(x) = 4x.
2. a. g(x) = x2.

b. Cette fonction est linéaire.
b. Cette fonction n’est pas linéaire.

39 1. f(x) = 0,5x.
2. Cette fonction est linéaire.
1
3. g( x ) = x . Cette fonction est linéaire.
3
40 1.

x

4

7

9

11

f(x)

12

21

27

33

2. Il s’agit d’un tableau de proportionnalité. Le coefficient de
proportionnalité est égal à 3.
41

1.

x

–1

0

7

– 18

f(x)

3

0

– 21

54

2. Il s’agit d’un tableau de proportionnalité. Le coefficient de
proportionnalité est égal à – 3.

26

Ancien Réduction
prix
de

Nombre par lequel
Nouveau
il faut multiplier
prix
l’ancien prix

42 1. Il s’agit d’un tableau de proportionnalité.
2. f(x) = – 2x.
3. Cette fonction est linéaire.
43

1.

44 €

30 %

0,70

30,80 €

258 €

45 %

0,55

141,90 €

Nombre de places

4

12

24

46,90 €

20 %

0,8

37,52 €

Prix avec l’option 1

28

84

168

13,20 €

15 %

0,85

11,22 €

27

Ancien
Augmentation
prix

Nombre par
lequel il faut
multiplier
l’ancien prix

Nouveau
prix

5%

1,05

58,80 €

34,50 €

1,2 %

1,012

34,914 €

90,90 €

1%

1,01

91,809 €

3,45 €

7%

1,07

3,6915 €

28

Ancien prix

Variation

Nouveau prix

82 €

Augmentation de 4 %

85,28 €

26 €

Augmentation de 12 %

29,12 €

52 €

Diminution de 15 %

44,20 €

562 €

Diminution de 8 %

517,04 €

1. 341,25 × 1,038 ≈ 354,22 €.
2. 354,22 × 1,038 ≈ 367,68 €.

30

400 : 1,6 = 250 Go.

31

12,5 × 1,12 = 14.

32

1,15 × 1,20 = 1,38.

33

1,3 × 0,7 = 0,91

34

Réponse a

Nombre de places

4

12

24

Prix avec l’option 2

41

73

121

5. g(x) = 4x + 25. Cette fonction n’est pas linéaire.

56 €

29

2. Il s’agit d’un tableau de proportionnalité.
3. f(x) = 7x. Cette fonction est linéaire.
4.

44

1.
20

60

2

62

13

39

1,3

40,3

2. a. f(20) = 13 et f(3 × 20) = 39.
f(3 × 20) = 3 × f(20).
b. f(60) = 39 ; f(2) = 1,3 ; f(60 + 2) = 40,3 et f(60) + f(2) = f(60 + 2).
45

1.
4

6

24

2,4

26,4

7

10,5

42

4,2

46,2

2. g(6 × 4) = 6 × g(4), g(24 + 2,4) = g(24) + g(2,4).
46

a. 20

b. 28

c. – 16

d. 0

47

a. – 30

b. 5

c. 15

d. −

48

a.

49

7
2
a. 5

21
2
b. – 1

50

a. 3

b. – 2

51

a. 2

b. – 6

1
4
c. 0
1
c. −
3
1
c.
2

b. −

c.

6
5
2
d. −
3
d. – 2

d. 12
d. 10

e. 3
15
7
1
e. −
3
e. 12,5
1
e. −
2
35
e.
8
e.

Chapitre 8 • Fonctions linéaires – Fonctions affines

43

52
53

2
g( x ) = − x .
3
a. f(x) = – 4x
6
c. h( x ) = x
5

74 1. f(x) = 2x + 10. Cette fonction est affine.
2. f(x) = 5x. Cette fonction est linéaire (et donc affine).

b. g(x) = – 5x
4
d. k( x ) = x
3
1
b. g( x ) = − x
5

54

a. f(x) = – 0,5x

55

f(5) = 1 donc a × 5 =  1 et donc a =

1
. On en déduit
5

1
que  f ( x ) = x .
5
4
56 1. f(35) = 28 donc f ( x ) = x .
5
2. f(120) = 96.
57

La première est une droite passant par l’origine.

75

f(x) = 0,25x + 10. Cette fonction est affine.

76

a. – 17

b. – 12

c. 13

d. 3

e. 1

77

a. – 39

b. 9

c. 1

d. – 13

e. −

78

a. 2

b. 4

c. 0

d. 7

25
3
e. – 3

79

a. 5

b. – 1

c. 7

d. 2

e. −

80 1. a. a = 2
2. g(x) = 2x + 5

b. b = 5

81 1. a. a = – 6
2. g(x) = – 6x + 2

b. b = 2

82

1. La fonction f est linéaire.
2. f(– 1) = 3
3. f(x) = – 3x
58

1
2

h(x) = 0,2x + 7,2

83 Fonction affine : (C ), (C ) et (C ).
1
2
4
Fonction linéaire : (C2).

59 1. a. g(4) = 2
b. g(– 2) = – 1
c. Un antécédent de 1 par g est 2.
2. g(x) = 0,5x
3. g(– 9)= – 4,5

84

a. Coefficient directeur : 4
b. Coefficient directeur : – 2
c. Coefficient directeur : 0
d. Coefficient directeur : – 5

Ordonnée à l’origine : 5
Ordonnée à l’origine : – 5
Ordonnée à l’origine : 6
Ordonnée à l’origine : 7

60 1. Une droite passant par l’origine.
2. a. f(0) = 0 ; f(1) = 2,5 ; f(4) = 10.
b. (0 ; 0) , (1 ; 2,5) et (4 ; 10).
3. et 4. À vérifier sur le cahier de l’élève.

85

a. Coefficient directeur : – 3
b. Coefficient directeur : – 17
c. Coefficient directeur : 12
d. Coefficient directeur : 2

Ordonnée à l’origine : 12
Ordonnée à l’origine : 8
Ordonnée à l’origine : – 6
Ordonnée à l’origine : – 50

86

1.

61

À vérifier sur le cahier de l’élève.

62

À vérifier sur le cahier de l’élève.

63

(d1) : la fonction h ; (d2) : la fonction g et (d3) : la fonction f.
2
f (x) = x
5

64

1. À vérifier sur le cahier de l’élève.
2. Le point M appartient à la droite représentative de f.
3. f(1) = – 4 × 1 = – 4

Droite

Coefficient
directeur

Ordonnée
à l’origine

(d2)

–3

3

(d1)

2

1

(d4)

– 0,5

4

(d3)

0,5

–1

65

1. À vérifier sur le cahier de l’élève.
2. Les points M et N semblent appartenir à la droite représentative de g.
3. g(– 2) = – 1,3 et g(0,8) = 0,48 ≠ 0,5.
Le point M appartient à la droite représentative de g mais
pas le point N.
66

67

m = – 2 et n = – 10.

Coefficient directeur de (d)  : 2 ; coefficient directeur
1
de (d′) : − et coefficient directeur de (d″) : – 3.
5
68

69

1. et 2.

(dʹ)

2
1
–1
–1
–2

0 1

2

3

4

5

(d)

3. a. Le coefficient directeur de (d′) semble être égal à 0,5.
b. g(x) = 0,5x.
70

À vérifier sur le cahier de l’élève.

71

1. (d″)

72

a. et d.

73

P1, P2, P3 et P5

44

2. (d″)

3. (d″)

87 1. La fonction est affine car sa représentation graphique
est une droite.
2. a. f(– 1) = 3.
b. Un antécédent de – 1 est 1.
c. L’ordonnée à l’origine est 1.
d. Le coefficient directeur est – 2.
3. f(x) = – 2x + 1.
4. f(12) = – 23.
88 1. a. g(1) = 2.
b. Un antécédent de – 1 est 0.
c. L’ordonnée à l’origine est – 1.
d. Le coefficient directeur est 3.
2. g(x) = 3x – 1.
3. g(– 8) = – 25.

4
3

2. • Pour (d1) : x  2 x + 1
• Pour (d2) : x  − 3 x + 3
• Pour (d3) : x  0, 5 x − 1
• Pour (d4) : x  − 0, 5 x + 4

89 1. La représentation graphique de la fonction f est une
droite.
2. f(0) = 4 ; f(1) = – 1 ; f(2) = – 6.
3. (0 ; 4), (1 ; – 1) et (2 ; – 6).
4. À vérifier sur le cahier de l’élève.
90

à

93

À vérifier sur le cahier de l’élève.

1. À vérifier sur le cahier de l’élève.
2. Le point M semble appartenir à la droite représentative de f.
3. f(2) = 3,5 × 2 – 3 = 4.
94

95 1. Le point M semble appartenir à la droite représentative de f.

2. f(x) = 0,8x + 1
3. f(3) = 3,4.
Le point M n’appartient pas à la droite représentative.
96

m = – 22 et n = 2

97

1.

x

–2

0

3

5

8

f(x)

– 0,4

– 0,2

0,1

0,3

0,6

106

480 × 0,85 = 408 €.

107

5 × 1,15 = 5,75.

108

0,8 × 1,2 = 0,96. Cela correspond à une baisse de 4 %.

109

1,1 × 1,1 = 1,21

110

Temps
Pièces ou
(en h) ou
travail effectué
quantité

2.
0,6

Forfait révision

28,40

71

0,4

Pose des bougies

17,30

6,92

0,3

3
1

Joints
Filtre

0,80
15,80

2,40
15,80

0,2

4

Bougies

0,4

0,1
0 1
–1
–0,1

2

3

4

5

6

7

8

1,51

6,04

TOTAL hors taxes

102,16

TOTAL TTC*

122,18

9

111 1,2 × 1,3 = 1,56. Cela correspond à une augmentation de
56 % et non pas de 50 %.

234 × 3 600 : 89 ≈ 9 465 s = 2 h 37 min 45 s.
1. 35 × 9 = 315 heures × ouvriers.
4
1
2. 2 × × 35 + 7 × 35 + × 35 = 318, 5 heures × ouvriers.
5
2
112

1.

x

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

f(x)

– 0,5

0

0,5

1

1,5

1

2. x = 0,8
a. Augmenter un nombre de 4 % revient à le multiplier
par 1,04.
b. Diminuer un nombre de 13 % revient à le multiplier par 0,87.
c. Diminuer un nombre de 35 % revient à le multiplier par 0,65.
99

100

Montant
hors taxes
(en €)

2,5

0,5

98

Prix
unitaire
hors taxes
(en €)

Réponse b

101

113

114 1. 33 × 130 : 100 = 42,9 g.
2. 9 × 5 = 45 ≈ 42,9 g.
115 1. 450 × 60 : 80 = 337,5 s = 5 min et 37,5 s.
2. 2 000 × 1 : 80 = 25 min.

1. 1 000 kg/m3 = 1 kg/L.
2. 458 × 2 = 916 kg/L.
3. En passant à l’état solide, la glace occupe plus de volume
que l’eau liquide.
116

Évolution

Calcul
correspondant

Fonction
linéaire
associée

Augmenter de 5 %

Multiplier par 1,05

f(x) = 1,05x

Augmenter de 12 % Multiplier par 1,12

f(x) = 1,12x

118 g(10) = – 20 ; g(– 15) = 30 ; g(5) = – 10 ; g(50) = – 100 et
g(48,5) = – 97.

Diminuer de 33 %

Multiplier par 0,67

f(x) = 0,67x

119

Diminuer de 30 %

Multiplier par 0,7

f(x) = 0,7x

120

Augmenter de 50 % Multiplier par 1,5

f(x) = 1,5x

102 1. a. f(x) = 1,04x
b. f(x) = 1,67x
c. f(x) = 1,15x
d. f(x) = 1,44x
e. f(x) = 1,08x
2. a. f(x) = 0,86x
b. f(x) = 0,95x
c. f(x) = 0,911x
d. f(x) = 0,53x
e. f(x) = 0,906x
103 a. Augmentation de 40 %
b. Diminution de 20 %
c. Augmentation de 10 %
d. Augmentation de 90 %

a. Augmentation de 25 %
b. Diminution de 62,5 %
c. Augmentation de 23 %
d. Diminution de 14 %
104

105 Veste = 38,25 € ; pantalon = 52,70 € ; tee-shirt = 23,80 € ;
ceinture = 12,75 €.

117 f(12) = 36 ; f(18) = 54 ; f(60) = 180 ; f(1,2) = 3,6 et
f(19,2) = 57,6.

121

a. 63 €

b. 51 €
5
a. f (1) = −
12
17
b. f ( − 2) = −
12
1
c. f (3) =
4
25
d. f ( − 4 ) = −
12

c. 67,2 €

d. 55,8 €

a. 0

c. 7

d.

b. 14

49
3

122 Partie 1
1. À vérifier sur le cahier de l’élève.
2. a. AM = 6 – 3,5 = 2,5.
b. (AC) et (ME) sont perpendiculaires à une même troisième
droite (AB).
7
c. On applique le théorème de Thalès : EM = .
3
d. Non, le triangle AEM n’est pas isocèle en M.

Partie 2
x EM
1. On applique le théorème de Thalès  :
donc
=
6 4
2
EM = x .
3
2. a. MA = AB – MB = 6 – x.
5
2
b. 6 − x = x, soit x = 6 et donc x = 3,6.
3
3

Chapitre 8 • Fonctions linéaires, fonctions affines

45

3. a.
6
5
4
2
1
0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

b. On lit les coordonnées du point d’intersection des deux
droites.
1. B(– 4 ; 4,6)
2. – 1, 2 et 4.
3. (C1) est une droite passant par l’origine. C’est donc la représentation graphique d’une fonction linéaire.
4. (C2) est une droite passant par le point d’ordonnée 3. C’est
donc la représentation graphique de la fonction f dont l’ordonnée à l’origine est égale à 3.
5. L’antécédent de 1 par f est 5 car f(5) = 1.
6. f(4,6) = 1,16, donc le point A(4,6 ; 1,2) n’appartient pas à (C2).
123

1.

Nombre de séances

0

1

4

10

Prix en euros

0

7,50

30

75

Nombre de séances

0

1

4

9

2.

Prix en euros

20

25

40

65

3. P(x) = 7,5x.
4. A(x) = 5x + 20.
5.

c. 0,2

139

f(x) = – 2,25x

140

À vérifier sur le cahier de l’élève.

d. 9,6

1. Le point M semble appartenir à la droite.
2. Le coefficient directeur est – 0,2.
3. f(x) = – 0,2x.
34
2
142 a. 2
b. 10
c.
d. −
5
5
17
143 a. 1
b. – 2
c. 3
d. −
7
144 f(x) = – 3x + 5.
145 1. a. f(4) = – 1 ; b. Un antécédent de 2 est – 2 ; c. L’ordonnée à l’origine est 1.
1
d. Le coefficient directeur est − .
2
1
2. g( x ) = − x + 1.
2
3. g(13) = – 5,5.
146 Survêtement : 59 × 0,7 = 41,30 € ;
tee-shirt : 18 × 0,7 = 12,60 €.
147

9,8 : 28 × 100 = 35 %.

148

663 : 1,02 = 650 élèves.

149 1. 35 × 60 : 22 ≈ 96 s.
2. 60 × 35 : 65 ≈ 32 ppm.
150 6 500 : 0,6 ≈ 10 833 s ≈ 3 h.
Une journée suffirait.
151

50 000 000 : 12 000 ≈ 4 167 min ≈ 69 h 27 min.

1. V ≈ 1,88 m3.
3
2. × 1, 88 × 3 600 : 0, 4 ≈ 13 572 s ≈ 3 h  46 min 12 s .
4
152

Exercices d’approfondissement
À vérifier sur le cahier de l’élève.

60

153

55

154 1. f ( x1 ) − f ( x2 ) = ax1 + b − ax2 − b = ax1 − ax 2.
2. f ( x1 ) − f ( x2 ) = ax1 − ax2 = a( x1 − x2 ).
f ( x ) − f ( x2 )
.
3. a = 1
x1 − x2

50
45
40

155 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.
2. f(x) = 4(x + 3) – 12
3. f(x) = 4x
4. 9

A(x)

35
30
25
20

1. Prix à payer = nombre de chansons × prix d'une chanson + abonnement.
Le nombre de chansons est la variable.
2. Soit f la fonction exprimant le prix à payer en fonction de x.
f(142) = 98,2 et f(123) = 86,8, f(x) = 0,6x + 13.
3. Le prix d’une chanson est 0,60  € et le prix de l’abonnement est 13 €.
156

15

P(x)

10
5
0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

6. x = 8
7. À partir de 8 séances, il est plus intéressant de prendre une
carte d’abonnement. On retrouve ce résultat sur le graphique
en lisant l’abscisse du point d’intersection des droites.
125 1. a. 10,8
2. 2,25

b. 4x + 6

Parcours autonome
133

B
A

137

a. – 54

126

a. 10

141

3

124

b. −

1
2

138

46

127
134

C
C

128
135

b. 9

B
C

129
136

c. 0

A 130 C
B et C

131

d. – 12

B

132

A

157 1. • Aire de la cuisine : 4 × 8,4 = 33,6 m2.
• Aire de la salle à manger : (19 + 12) × 8,4 : 2 – 33,6 = 96,6 m2.
Cette situation ne conviendrait pas à Norbert car les surfaces
ne sont pas égales.
2. a. f(x) = 8,4x et g(x) = 130,2 – 8,4x.
b. f et g sont des fonctions affines. f est linéaire.
3. À vérifier sur le cahier de l’élève.
4. AE ≈ 8 m.
5. AE = 7,75.
158

a. (f )

159

1. Forfait Medium

b. (e)

c. (c)

d. (d)

e. (f )

2.

45
40
35
30
25
20
15
10
5
0

168 1,01 × 1,01 × … × 1,01 > 2
Il faut compter 70 produits pour dépasser 2.
Il faut donc augmenter 70 fois de 1 % pour augmenter de
100 %.

Prix (en euro)

169

5
Temps (en minutes)

4

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120130140150160

3

3. a. Forfait Medium
b. Forfait Pro
c. Forfait Mini : entre 0 et 50 minutes ; forfait Medium : entre 50
et 105 minutes environ et forfait Pro : au-delà de 105 minutes
environ.
1. Allemagne : 231 hab./km2 ;
Belgique : 342 hab./km2 ;
Espagne : 88 hab./km2 ;
France : 112 hab./km2 ;
Italie : 198 hab./km2 ;
Norvège : 15 hab./km2 ;
Pays-Bas : 446 hab./km2 ;
Royaume-Uni : 252 hab./km2.
2. La plus forte : Pays-Bas, la plus faible : Norvège.
3. 23 000 000 × 32 = 736 000 000 habitants.
4. 6 750 000 000 : 50 = 135 000 000 km2.
160

161 1. 4 h 24 min = 4,4 h.
487 : 24,4 ≈ 111 km/h.
2. Itinéraire 2 : 95 km/h ; Itinéraire 3 : 105 km/h.
162 x × 5 + 7 = 27
f(x) = 4x + 7
f is an affine function.
4x + 7 = 19 implies 4x = 12 and thus, we get x = 3.
163 Am Vormittag ist Helmuts Geschwindigkeit von
3 m/Stunden und das 2 Stunden lang. Das macht also 6 m.
Am Nachmittag geht sie zweimal langsamer also kriecht sie
3 m.
Am Abend geht sie dreimal langsamer als am Nachmittag
also kriecht sie 1 m.
An einem Tag ist sie also 10 m gekrochen.
164

x
f(x)
165

20
11
29

–2
19

25
11
– 16



11

15

– 46

– 66

L’usage d’un tableur permettra de trouver 274,4 km.

On se place dans un repère dans lequel les points E et F
ont respectivement pour coordonnées (0 ; 13) et (21 ; 0).
Dans ce repère, la droite (EF) représente la fonction
13
f ( x ) = − x + 13.
21
Il suffit alors de vérifier que le point C(8 ; 8) n’appartient pas
à la droite (EF) :
169
f ( 8) =
≠ 8.
21
166

167

f(x) = – 4x + 18.

2
1
–4

–3

–2

–1

–1

0

1

2

3

4

–2
–3

170 1. f est croissante.
2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. Une fonction est décroissante si, pour des valeurs de x
choisies croissantes, leurs images ne restent pas dans le
même ordre.
4. La fonction g est décroissante. Par exemple, g(1) > g(2)
alors que 1 < 2.
5. À vérifier sur le cahier de l’élève.
6. – Si le coefficient directeur d’une fonction affine est positif, alors la fonction est croissante.
– Si le coefficient directeur d’une fonction affine est négatif,
alors la fonction est décroissante.

Devoir à la maison

1 1. 7 entrées : Miniplouf ; 15 entrées : Megaplouf.
2. a. f(x) = 6x et g(x) = 3,5x + 25.
b. f et g sont des fonctions affines. f est linéaire.
3. À vérifier sur le cahier de l’élève
4. Miniplouf : moins de 10 entrées ;
Megaplouf : plus de 10 entrées.
5. 6x = 3,5x + 25 donc x = 10.
2 1. 1,25 × 0,8 = 1.
2. Multiplier par 1,25 correspond à une augmentation de 25 %.
Multiplier par 0,8 correspond à une diminution de 20 %.
3. 1,6 × 0,625 = 1.
4. L’inverse de 0,64 est 1,5625 car 0,64 × 1,5625 = 1.
Donc sa moyenne devra s'élever de 56,25 %.
3 1. 45 nœuds = 45 mille/h = 45x1,852 km/h = 83,34 km/h.
Son hors-bord n’est pas plus rapide qu’une voiture.
2. 70 km/h = 70 : 1,852 nœuds ≈ 38 nœuds. Il a donc respecté
le conseil de son ami.
3. 41 nœuds = 41 × 1,852 km/h ≈ 76 km/h ;
47 nœuds = 47 × 1,852 km/h ≈ 87 km/h.

Chapitre 8 • Fonctions linéaires, fonctions affines

47

Chapitre

90

Statistiques

I. Programme de la classe de troisième
Connaissances
1.3 Statistique.
Caractéristiques de
position.

Capacités

Commentaires

– Une série statistique étant donnée (sous
forme de liste ou de tableau ou par une
représentation graphique) :
• déterminer une valeur médiane de cette série et
en donner la signification ;

Approche de
caractéristiques de
dispersion.

• déterminer des valeurs pour les premier et
troisième quartiles et en donner la signification ;

[Thèmes de
convergence]

– Exprimer et exploiter les résultats de mesures
d’une grandeur

• déterminer son étendue.

Le travail est conduit aussi souvent que possible
en liaison avec les autres disciplines dans des
situations où les données sont exploitables par les
élèves.
L’utilisation d’un tableur permet d’avoir accès à des
situations plus riches que celles qui peuvent être
traitées « à la main ».
La notion de dispersion est à relier, sur des
exemples, au problème posé par la disparité
des mesures d’une grandeur, lors d’une activité
expérimentale, en particulier en physique et
chimie.

II. Contexte du chapitre
– En classes de 6e et de 5e, les élèves ont été mis en situation
de tirer de l’information de tableaux, de diagrammes ou de
graphiques puis de réaliser ce type de présentation pour organiser des données.
– En classe de 4e, plusieurs nouvelles compétences mathématiques ont été travaillées : calcul de moyenne « simple »,
calcul de moyennes de valeurs pondérées mais aussi des compétences « techniques » : utilisation de feuilles de calcul pour
calculer, gérer, trier, ou représenter graphiquement un grand
nombre de données.
– En classe de 3e, l’ensemble de ces compétences est retravaillé avec des activités et des exercices plus riches, souvent
en rapport avec des thèmes de la vie courante et liés à d’autres
disciplines. Les méthodes de calcul et le sens des caractéristiques de position et de dispersion sont travaillés.
L’idée reste bien de développer en priorité ces compétences
mathématiques et, au travers d’elles, des compétences « tableur ».

Remarque au sujet des travaux utilisant les feuilles de
calcul : très souvent, les enseignants recherchent des activités « pour démarrer » avec le tableur. Nous proposons dans
ce manuel des activités qui peuvent être mises en œuvre
avec les élèves ayant déjà utilisé un tableur ou non. Des fiches
méthodes – en fin de manuel – permettent d’expliquer les
aspects techniques des fonctionnalités des feuilles de calcul
et favorisent une activité plus autonome de la part de l’élève.
Avant des séances en salle multimédia, un premier usage collectif d’un tableur, en classe, à l’aide d’un vidéoprojecteur, permet aux élèves, non seulement de percevoir le tableur comme
un outil naturel pour faire des mathématiques, mais aussi de
découvrir les fonctionnalités de base de cet outil logiciel. Nos
activités et nos exercices ne sont pas des activités pour « faire
du tableur » mais bien des activités et des exercices pour « faire
des mathématiques à l’aide d’un tableur ».

III. Ressources disponibles sur le site compagnon et le manuel numérique Premium
Savoir faire

Animation : Étudier une série statistique donnée par une liste
Animation : Étudier une série statistique donnée par un tableau ou un graphique

Travaux pratiques
avec un ordinateur

Pour aider à la correction en vidéo-projection :
• Tableur de l’activité 1
• Tableur de l’activité 2
Fichier « boite_noire_9 »
PDF : Fiches-réponses élève imprimables des trois activités

Du côté du site compagnon

PDF : Plus de 7 000 000 000 de Terriens

48

IV. Intentions pédagogiques
des activités
A. Activités d’introduction

Activité 1 : Revoir la moyenne et découvrir
la médiane d’une série de données
L’objectif de cette activité est de revoir la notion de moyenne
et d’amener l’élève à trouver une technique pour déterminer
la médiane d’une série de données. L’étude de deux séries
(une d’effectif pair et une d’effectif impair) permet à l’élève
de découvrir les différentes stratégies pour déterminer ces
caractéristiques de position.

Activité 2 : Calculer l’étendue d’une série de
données
Cette activité basée sur un exemple très accessible, issu de
la vie courante et souvent déjà étudié en géographie, permet d’introduire de façon simple la notion d’étendue d’une
série de données.
L’étendue d’une série statistique, définie comme différence
entre la plus grande valeur (ici la température la plus haute)
et la plus petite valeur (ici la température la plus basse), est
assez naturelle pour les élèves. Dans l’exemple étudié, la notion
d’amplitude thermique peut être évoquée.
L’usage d’un tableur est possible et permet d’introduire les
fonctions MAX et MIN.

Activité 3 : Déterminer le premier et le troisième
quartiles d’une série de données
L’objectif de cette activité est d’introduire la notion de quartile. Le support choisi est le nombre de députés par pays au
Parlement européen pour obtenir un nombre de données (27)
adapté à une étude précise et suffisamment riche. Cette activité réactive la notion de pourcentage (25%, 75%). Elle permet de définir clairement le premier quartile Q1 comme première valeur de la série pour laquelle au moins un quart (25%)
des pays possèdent un nombre de députés inférieur ou égal
à Q1 et construit le troisième quartile Q3 de façon analogue.

B. Activités TICE

Activité 1 : Les salaires
• Considérations didactiques  : Cette activité permet de
travailler et de développer plusieurs compétences mathématiques :
– lecture et organisation de données dans un tableau ;
– tri de données ;
– calcul des caractéristiques d’une série statistique : moyenne,
médiane, étendue, quartiles.
Elle permet aussi d’étudier l’influence de la modification de
certaines données sur les caractéristiques étudiées. Elle permet enfin de (re)voir que le tableur est un outil particulièrement adapté aux travaux statistiques, notamment ceux liés
aux problèmes monétaires.
• En pratique : Les compétences « tableur » de fin de collège
utilisées dans cette activité sont nombreuses mais leur mise
en œuvre peut être facilitée par les fiches méthodes pour un
travail autonome de l’élève :
– saisir une formule dans une feuille de calcul (fiche tableur 1)
– trier des données dans une feuille de calcul (fiche tableur 5)
– utiliser une fonction dans une feuille de calcul (fiche tableur 6)
Un prolongement possible aux calculs demandés est la
construction de graphiques permettant de comparer visuellement les salaires (fiche tableur 4).

Activité 2 : Le bulletin de notes
• Considérations didactiques  : Cette activité permet de
travailler et de développer plusieurs compétences mathématiques :
– lecture et organisation de données dans un tableau ;
– tri de données ;

– calcul des caractéristiques d’une série statistique : moyenne,
médiane, étendue, quartiles, minimum, maximum.
Elle permet aussi d’étudier l’influence de la modification de
certaines données sur les caractéristiques étudiées.
Elle permet enfin de (re)voir que le tableur est un outil particulièrement adapté aux travaux statistiques.
• En pratique : Les compétences « tableur » de fin de collège
utilisées dans cette activité sont nombreuses mais leur mise
en œuvre peut être facilitée par les fiches méthodes pour un
travail autonome de l’élève :
– saisir une formule dans une feuille de calcul (fiche tableur 1)
– recopier une formule dans une feuille de calcul (fiche tableur 2)
– trier des données dans une feuille de calcul (fiche tableur 5)
– utiliser une fonction dans une feuille de calcul (fiche tableur 6)
Un prolongement possible aux calculs demandés est la
construction de graphiques permettant d’étudier visuellement l’évolution des résultats d’un ou plusieurs élèves (fiche
tableur 4).

Activité 3 : La boîte noire du chapitre 9
Dans cette boîte noire, le calcul effectué est « C9 * 65/100 »,
on prend 65% du nombre entré par l’élève. Les élèves devront,
par leurs essais successifs, trouver ce calcul.

V. Corrigés des exercices
Savoir faire
1 1. 61 + 62 + 61 + 58 + 56 + 63 + 55 + 64 + 61 + 63 + 63 + 65
= 732 donc la masse totale de la douzaine d’œufs est de 732 g.
2. 732 : 12 = 61 donc la masse moyenne d’un œuf est de 61 g.
3. La médiane de cette série de masses est de 61 g.
4. 65 – 55 = 10 donc l’étendue de cette série est de 10 g.
2 2. 41 – 34 = 7. L’étendue est de 7 m. La différence entre
le plus grand et le plus petit arbre est de 7 m.
3. (35 + 38 + 34 + 41 + 32) : 5 = 36 donc la hauteur moyenne
d’un des peupliers est de 36 m.
4. La médiane est de 35 m donc il y a autant d’arbres qui mesurent moins de 35 m que d’arbres qui mesurent plus de 35 m.
3 (166 + 154 + 162 + 173 + 168) : 5 = 164,6 donc la taille
moyenne des amis de Simon est de 164,6 cm.
La médiane est de 166 cm donc il y a autant d’amis qui mesurent moins de 166 cm que d’amis qui mesurent plus de 166 cm.
173 – 154 = 19. L’étendue de cette série est de 19 cm. La différence entre le plus grand et le plus petit des amis est de 19 cm.
4 1. 20,69 – 20,09 = 0,601 donc l’étendue de cette série est
de 0,60 s.
2. (20,25 + 20,12 + 20,48 + 20,09 + 20,69 + 20,19 + 20,38) : 7
≈ 20,31 donc la moyenne arrondie au centième de cette série
est de 20,31 s.
3. La médiane de cette série est de 20,25 s.
4. v = d/t = 200/20,09 ≈ 9,955 donc la vitesse moyenne de
l’athlète classé premier est d’environ 9,955 m/s.

1. 5 + 3 + 6 + 1 = 15 donc la coopérative a vendu 10 sacs.
2 × 5 + 5 × 3 + 10 × 6 + 20 × 1
= 7 donc la masse moyenne
2.
15
d’un sac vendu est de 7 kg.
3. 25% de 15 est 3,75, donc le quartile 1 est la 4e valeur, soit 2 kg
50% de 15 est 7,5, donc la médiane est la 8e valeur, soit 5 kg.
75% de 15 est 11,25, donc le quartile 3 est la 12e valeur, soit
10 kg.
5

6 1. 1 + 4 + 3 + 2 = 10 donc l’effectif total de l’équipage est
de 10.
18 × 1 + 20 × 4 + 22 × 3 + 28 × 2
= 22 donc l’âge moyen
2.
10
des équipiers de ce voilier est de 22 ans.
3. La médiane est la moyenne de la 5e et de la 6e valeurs, soit
21 ans.

Chapitre 9 • Statistiques

49

7 1. 7 + 17 + 13 + 14 + 7 + 5 + 1 = 64 donc 64 matchs ont
été joués.
2. 0 × 7 + 1 × 17 + 2 × 13 + 3 × 14 + 4 × 7 + 5 × 5 + 7 × 1 = 145
donc 145 buts ont été marqués.
3. 145 : 64 ≈ 2,26 donc le nombre moyen de buts marqués
par match est d’environ 2,26.
4. La série est composé de 64 matchs donc la médiane de la
série est la moyenne entre la 32e et la 33e valeurs, c’est-à-dire 2.

Exercices d’entrainement
8 Série 1  : 4 – 6 – 8 – 12 – 12. La moyenne est 8,4 et la
médiane est 8.
Série 2 : 2 – 2 – 3 – 4 – 5 – 7 – 8. La moyenne est d’environ 4,4
et la médiane est 4.
Série 3 : 3,4 – 4,3 – 4,6 – 4,7 –5,1. La moyenne est 4,42 et la
médiane est 4,6.

Série 1 : 6 – 8 – 10 – 20. La moyenne est 11 et la médiane
est 9.
Série 2 : 6 – 7 – 8 – 10 – 20 – 24. La moyenne est 12,5 et la
médiane est 9.
Série 3 : 1,9 – 6,4 – 7,2 – 8,3. La moyenne est 5,95 et la médiane
est 6,8.
9

10 1. Le prix moyen d’une pizza est 11,20 €.
2. La médiane de ces prix est 11,50 €.
11 Lisa n’a pas raison car elle n’a compté qu’un seul 7.
1. Sa moyenne est 11,43 environ.
2. La médiane est 12.
12

Par exemple : 20 – 25 – 45

13

Par exemple : 6 – 6 – 12 – 13 – 13

14

Par exemple : 28 – 29 – 30 – 32 – 50 – 137

1. Chacune des deux séries a une moyenne égale à 13.
2. La médiane de la première est 15. La médiane de la seconde
est 12.
15

1. Chacune des deux séries a une médiane égale à 6.
2. La moyenne de la première est 8. La moyenne de la seconde
est 5.
16

17 1. Chacune des deux séries a une moyenne égale à 46.
2. Chacune des deux séries a une médiane égale à 40.
3. La deuxième série est plus homogène, moins étendue.
18

La réponse est c

19 1. La durée totale de l’album est de 42 min 36 sec.
2. La durée moyenne d’une chanson est de 4 min 44 sec.
3. La médiane de cette série de durées est 4 min 42 sec.
20 1. a. Le poids moyen des images est 2,9 Mo environ.
b. Le poids moyen des images est 3,2 Mo.
2. a. Le poids moyen des images  retravaillées est 186 ko
environ.
b. Le poids moyen des images retravaillées est 199 ko.
c. Le gain total d’espace gagné est d’environ 19 Mo.
21

1. L’effectif total de ce groupe est de 14.
13 × 2 + 14 × 6 + 15 × 3 + 16 × 1 + 17 × 2
≈ 14,6
2.
14
Donc l’âge moyen d’un participant est de 14,6 ans, soit environ 14 ans 7 mois 20 jours.
3. La médiane des âges des participants est 14 ans.
22

50

23 1. La hauteur totale des précipitations est de 180 mm.
2. La hauteur moyenne des précipitations est de 12,9 mm et
la médiane est de 14 mm.
24 1. a. 3 élèves n’ont reçu aucun spam.
b. 25 élèves ont répondu au sondage.
c. 11 : 25 = 0,44 donc 44 % du nombre total d’élèves ont reçu
au moins cinq spams.
2. a. Le nombre total de spams reçus par les élèves est de 90.
b. 90 : 25 = 3,6 donc le nombre moyen de spams reçus par
un élève est de 3,6.
c. La 13e valeur est 4 donc le nombre médian de spams reçus
par un élève est 4.
25 11 – 5 = 6, donc l’étendue de la série 1 est 6.
8 – 2 = 6, donc l’étendue de la série 2 est 6.
6,7 – 3,4 = 3,3, donc l’étendue de la série 3 est 3,3.
26 Pour une série de huit valeurs, le quartile 1 est la 2e
valeur et le quartile 3 est la 6e valeur.
Série 1 : Q1 = 4 et Q3 = 12.
Série 2 : Q1 = 7 et Q3 = 10.
Série 3 : Q1 = 1,7 et Q3 = 8,3.
27 1. 1,88 m – 1,89 m – 1,91 m – 1,95 m – 1,95m – 1,97 m –
1,99 m – 2,03 m – 2,07 m – 2,09 m
2. 2,09 – 1,88 = 0,21 donc l’étendue est de 21 cm.
3. 25% de 10 = 2,5 donc le quartile 1 est la 3e valeur. Q1 = 1,91 m.
75% de 10 = 7,5 donc le quartile 3 est la 8e valeur. Q3 = 2,03 m.
28

Par exemple : 1 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13.

29

Par exemple : 1 ; 9 ; 10 ; 11 ; 20 ; 26.

Par exemple : 247,5 ; 247,9 ; 248 ; 249 ; 250 ; 251 ; 252 ;
401 ; 401,1 ; 401,5.
30

31 1. (1 + 3 + 7 + 12 + 17) : 5 = (6 + 7 + 7 + 9 + 11) : 5 = 8 donc
les deux séries ont eu une moyenne de 8 et une médiane de 7.
2. 17 – 1 = 16 donc l’étendue de la série A est 16.
11 – 6 = 5 donc l’étendue de la série B est 5.
32 1. 24 – 4 = 21 – 1 = 20. Les deux séries ont la même étendue : 20.
2. Pour la série A, la moyenne de la série A est 9,8 et la médiane
est 6.
Pour la série B, la moyenne de la série A est 14 et la médiane
est 18.
33 1. Chacune des deux séries a une moyenne de 13,5 et
une médiane de 13.
2. Pour la série A, l’étendue est 13, le quartile 1 est 9, le quartile 3 est 17.
Pour la série B, l’étendue est 26, le quartile 1 est 2, le quartile 3 est 24.
34 Classement du pH le plus faible au pH le plus élevé :
Coba-Cola : pH = 2,3
Free-Cola : pH = 2,31
Aroma-Cola : pH = 2,45
Briz-Cola : pH = 2,48
Pepsi-mola : pH = 2,6
Sudo-Cola : pH = 2,5
2,5 – 2,3 = 0,2. L’étendue de cette série est de 0,2.
Le pH moyen est de 2,44.
35

Demi-finale 1
Demi-finale 2
U. BOLT 10,05 s
1er Y. BLAKE 9,95 s
2e W. DIX 10,05 s
C. LEMAITRE 10,11 s
R. THOMPSON 10,20 s
3e J. VICAUT 10,10 s
4e D. BAILEY 10,14 s
T. KIMMONS 10,21 s
J. NDURE 10,21 s
5e K. BLEDMAN 10,14 s
M. FRATER 10,23 s
6e A. HINDS 10,32 s
7e A. RODRIGUEZ 10,49 s
M. DEVONISH 10,25 s
D. KUC 10,51 s
8e D. CHAMBERS disqualifié
10,49 – 9,95 = 0,54, donc l’étendue de la 1re série est 0,54.
10,51 – 10,05 = 0,46, donc l’étendue de la 2e série est 0,46.
On peut dire que la deuxième demi-finale a été plus équilibrée.


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