DM1 arithmétique corrigé .pdf


Nom original: DM1-arithmétique-corrigé.pdf
Titre: Exercice
Auteur: SF

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Arithmétique - devoir maison n°1 – TES-spécialité
Exercice n°62 page 28
1) L’algorithme effectue N fois la récurrence
Vn+1=8Vn+7, il calcule donc VN avec V0=0.
Vérifions par récurrence que VN=23n-1 :
C’est vrai pour N=0, 23x0-1=0=V0
Supposons que ce soit vrai à l’ordre k, soit Vk=23k-1,
alors Vk+1=8(23k-1)+7=2323k+1-8+7=23k+1-1
C’est donc vrai à l’ordre k+1, d’après le principe de
récurrence, c’est vrai pour tout n, donc l’algorithme
renvoie bien un=23n-1
2) C’est vrai pour u0=0, qui est un multiple de 7.
Supposons que c’est vrai à l’ordre k, soit uk=7xM, alors
uk+1=8uk+7=7uk+uk+7=7(uk+1)+uk=7(uk+1+M) qui
est bien un multiple de 7.
D’après le principe de récurrence, nous avons montré
que pour tout n, un est un multiple de 7.
Exercice n°64 page 28
1) La suite un est définie par un=22n-3n-1, les formules
du tableur définissent une suite bn par b0=0 et
bn+1=4bn+9n. Montrons par récurrence que bn=un :
C’est vrai pour n=0, on a b0=u0=0
Supposons cela vrai à l’ordre k, soit bk=uk=22k-3k-1,
alors bk+1=4(22k-3k-1)+9k=2222k-12k-4+9k
=22k+2-3k-3-1=22(k+1)-3(k+1)-1=uk+1
D’après le principe de récurrence, nous avons montré
que bn=un pour tout n entier positif.
2) C’est vrai pour u0=0, qui est un multiple de 9.
Supposons que c’est vrai à l’ordre k, soit 9|uk, alors
uk+1=4uk+9k=4x9M+9k=9(4M+k) donc 9|uk+1
D’après le principe de récurrence, nous avons montré
que pour tout n, un est un multiple de 9.

Exercice n°73 page 29
Tout entier n peut s’écrire sous la forme
5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3 ou 5k+4
Alors, en étudiant les différents cas on a :
f(5k)=(5k-11)(5k-22)(5k-33)(5k-44)(5k-55)
=(5k-11)(5k-22)(5k-33)(5k-44).5(k-11)
=5M, qui est donc bien un multiple de 5
f(5k+1)=(5k+1-11)(5k+1-22)(5k+1-33)(5k+1-44)(5k+1-55)
=(5k-10)(5k-21)(5k-32)(5k-43).(5k-54)
=5(k-2) (5k-21)(5k-32)(5k-43).(5k-54)
=5M, qui est donc bien un multiple de 5
f(5k+2)=(5k+2-11)(5k+2-22)(5k+2-33)(5k+2-44)(5k+2-55)
=(5k-9)(5k-20)(5k-31)(5k-42).(5k-53)
=(5k-9).5(k-4) (5k-31)(5k-42).(5k-53)
=5M, qui est donc bien un multiple de 5
f(5k+3)=(5k+3-11)(5k+3-22)(5k+3-33)(5k+3-44)(5k+3-55)
=(5k-8)(5k-19)(5k-30)(5k-41).(5k-52)
=(5k-8) (5k-19).5(k-6)(5k-41).(5k-52)
=5M, qui est donc bien un multiple de 5
f(5k+4)=(5k+4-11)(5k+4-22)(5k+4-33)(5k+4-44)(5k+4-55)
=(5k-7)(5k-18)(5k-29)(5k-40).(5k-51)
=(5k-7)(5k-18)(5k-29).5(k-8).(5k-51)
=5M, qui est donc bien un multiple de 5
On a donc montré que f(n) est un multiple de 5 pour tout n.
Autre méthode, plus jolie :
f(n) est le produit des n-ax11, a variant entre 1 et 5
en posant n=5k+p, p compris entre 1 et 5, on a f(n) est le
produit des 5k+p-ax11, pour a variant de 1 à 5
Si a=p, alors 5k+p-px11=5k+10p=5(k-2p)
Donc parmi les 5 facteurs de f(n), il en existe au moins un
multiple de 5, donc f(n) est multiple de 5.


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