Sujet OMSI~polyOMSI .pdf



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´
OUTILS MATHEMATIQUES
POUR LES SCIENCES DE
´
l’INGENIEUR

A. Aymes J. Dard-Thuret G. Emptoz
J. C. Le Boss´e A. Valentin V. Wiedemann

Ann´
ee 2007–2008

i

Pr´
eface

C

e texte contient le cours correspondant `a l’enseignement du module « Outils Math´ematiques pour les Sciences de l’Ing´enieur » qui a pour objectif de
fournir les techniques math´ematiques n´ecessaires aux cours de Physique, Chimie et
M´ecanique, et en mˆeme temps d’unifier les notations.
Nous avons aussi l’espoir qu’il contribuera au rapprochement de toutes ces disciplines qui se sont de tous temps mutuellement enrichies, comme le montre l’histoire
des sciences.
Nous avons fait la convention de noter les vecteurs en caract`eres gras. Par exemple,

nous ´ecrirons « le vecteur v », `a la place du traditionnel « le vecteur −
v ». De mˆeme,
−−→
nous ´ecrirons « OM » au lieu de « OM ».

ii

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TABLE DES MATIERES

iii

Table des mati`
eres
1 Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte
1.1 Rappels sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Caract´erisation physique d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 R`egles de calcul sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Vecteurs colin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Vecteurs coplanaires–Base de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Vecteurs orthogonaux–Base orthonormale de E . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Coordonn´ees d’un vecteur dans une base donn´ee . . . . . . . . . . .
1.2 Rappels sur le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 D´efinition du produit scalaire de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Caract´erisation de l’orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Expression du produit scalaire dans une base orthonorm´ee . . . . . .
1.3 Rappels sur le produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 D´efinition du produit vectoriel de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Caract´erisation de la colin´earit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Expression du produit vectoriel dans une base orthonorm´ee directe .
1.3.5 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 D´efinition du produit mixte de 3 vecteurs . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Trilin´earit´e du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Expression du produit mixte dans une base orthonormale directe . .
1.4.4 Invariance du produit mixte par permutation circulaire des vecteurs
1.4.5 Antisym´etrie du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Caract´erisation de la coplanarit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.7 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Exercices de niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Correction (exercices de niveau 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6
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2 Coniques
2.1 Origine du nom . .
2.2 Seconde d´efinition
2.3 Parabole . . . . . .
2.4 Cas o`
u e 6= 1 . . .
2.4.1 Ellipse . . .
2.4.2 Hyperbole .

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3 Calcul diff´
erentiel pour les fonctions d’une variable
3.1 Comparaison de deux fonctions au voisinage d’un point . . . . . . . . . .
3.1.1 Fonction n´egligeable devant une autre, au voisinage de x0 . . . . .
3.1.2 Fonctions ´equivalentes au voisinage de x0 . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Infiniment petits, infiniment grands au voisinage de x0 . . . . . . .
3.2 D´eriv´ee, diff´erentielle d’une fonction de R dans R . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 D´eriv´ee de f en un point x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Diff´erentielle de f en x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Op´erations alg´ebriques et composition. Diff´erentielle logarithmique
3.3 D´eriv´ee et diff´erentielle d’une fonction vectorielle . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 D´erivabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
3.4 Equations
diff´erentielles lin´eaires du 1er et du 2`eme ordre. . . . . . . . . .
3.4.1 D´efinitions et th´eor`emes fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 R´esolution de y 0 + ay = f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 R´esolution de y 00 + by 0 + cy = f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Exercices de niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Correction (exercices de niveau 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Fonctions de plusieurs variables
4.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Continuit´e partielle . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Continuit´e. Lien avec la continuit´e partielle
4.3 D´eriv´ees partielles, diff´erentielle . . . . . . . . . . .
4.3.1 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Diff´erentiabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 D´eriv´ees partielles secondes. Th´eor`eme de Schwarz.
4.5 Op´erations sur les applications diff´erentiables . . .
4.6 Formes diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Formes exactes . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Int´egration des formes, facteurs int´egrants .
4.7 Exercices de niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Correction (exercices de niveau 1) . . . . . . . . .

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2.6
2.7
2.8
2.9

Troisi`eme d´efinition . . . . . . . .
2.5.1 D´efinition bifocale . . . . .
2.5.2 Cas du cercle . . . . . . . .
Tangente . . . . . . . . . . . . . .
Exercices de niveau 1 . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . .
Correction (exercices de niveau 1)

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TABLE DES MATIERES
5 Syst`
emes de coordonn´
ees. Rep`
eres locaux associ´
es
5.1 Syst`emes de coordonn´ees classiques . . . . . . . . . .
5.1.1 Coordonn´ees polaires dans le plan . . . . . .
5.1.2 Coordonn´ees cylindriques dans l’espace . . .
5.1.3 Coordonn´ees sph´eriques dans l’espace . . . .
5.2 Rep`eres locaux associ´es . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Courbes et surfaces coordonn´ees . . . . . . .
5.2.2 Rep`eres locaux . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 D´eriv´ees des vecteurs de base . . . . . . . . . . . . .
5.4 D´eplacement ´el´ementaire d’un point . . . . . . . . .
5.5 Exercices de niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Correction (exercices de niveau 1) . . . . . . . . . .

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73

7 Int´
egrales multiples
7.1 Int´egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 D´efinition de l’int´egrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Propri´et´es de l’int´egrale double de Riemann . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Th´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Changement de variables dans une int´egrale double . . . . . . . . . .
7.2 Calculs des aires et des int´egrales de surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Aire d’une portion de surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Int´egrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Int´egrales triples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Calcul d’une int´egrale triple par une succession de deux int´egrales. .
7.3.2 Changement de variables dans une int´egrale triple . . . . . . . . . .
7.4 Application `
a la g´eom´etrie des masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Distribution continue et distribution discr`ete d’une grandeur scalaire
7.4.2 Masse et densit´e massique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.4 Moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Exercices de niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Int´
egrales simples
6.1 Int´egrale d’une fonction continue de [a,b] ⊂ R dans R. . . .
6.1.1 D´efinition d’une somme de Riemann . . . . . . . . .
6.1.2 D´efinition de l’int´egrale de Riemann. . . . . . . . . .
6.1.3 Interpr´etation graphique de la somme de Riemann. .
6.2 Propri´et´es de l’int´egrale de Riemann. . . . . . . . . . . . . .
6.3 Relation entre les notions d’int´egrale et de primitive. . . . .
6.4 M´ethodes d’int´egration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Int´egration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Changement de variable. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Longueur d’un arc de courbe. Int´egrale attach´ee `a un arc de
6.5.1 Longueur d’un arc de courbe. . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Int´egrale attach´ee `
a un arc de courbe. . . . . . . . .
6.6 Exercices de niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Correction (exercices de niveau 1) . . . . . . . . . . . . . .

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`
TABLE DES MATIERES

vi
7.6
7.7

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Correction (exercices de niveau 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Champs de scalaires et de vecteurs
8.1 D´efinition des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Champs de scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Formes diff´erentielles et champs. Gradient d’un champ scalaire
8.2.1 Association d’un champ `
a une forme . . . . . . . . . . .
8.2.2 Cas des formes exactes. Op´erateur gradient . . . . . . .
8.3 Circulation d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Interpr´etation en termes de formes diff´erentielles . . . .
8.3.4 Propri´et´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Flux ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Op´erateurs et formules de transformation . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Op´erateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2 Th´eor`eme d’Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.3 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.4 Rotationnel et th´eor`eme de Stokes . . . . . . . . . . . .
8.5.5 Op´erateurs du second ordre : laplaciens . . . . . . . . .
8.6 Champs conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.1 Champs `
a circulation conservative et potentiel scalaire .
8.6.2 Champs `
a flux conservatif. Potentiel vecteur. . . . . . .
8.7 Exercices de niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9 Correction (exercices de niveau 1) . . . . . . . . . . . . . . . .

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103
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108
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112
112
113
114
115
116
117
117
118
121
122
126

A Dictionnaire de primitives.

127

B Devoirs de synth`
ese

129

C Coordonn´
ees et op´
erateurs

155

1

Chapitre 1

Produit scalaire, produit vectoriel,
produit mixte
On d´esignera par E l’espace affine usuel orient´e de dimension 3 (c’est-`a-dire l’ensemble des
points de l’espace physique habituel, muni des notions d’orthogonalit´e et de distance habituelles,
et orient´e) et par E l’espace euclidien usuel orient´e de dimension 3 (c’est-`a-dire l’espace des vecteurs
de la physique, muni des notions d’orthogonalit´e et de norme habituelles, et orient´e).

1.1
1.1.1

Rappels sur les vecteurs
Caract´
erisation physique d’un vecteur

Un vecteur est nul si et seulement si sa norme est nulle. Un vecteur non nul est caract´eris´e
par sa norme, sa direction et son sens. Il est repr´esent´e par un segment de droite orient´e. Deux
segments de droites orient´es parall`eles, de mˆeme longueur et de mˆeme sens repr´esentent le mˆeme
vecteur.

1.1.2

R`
egles de calcul sur les vecteurs

Quels que soient les vecteurs u et v de E, et quels que soient les nombres r´eels a et b, on a :
a(u + v) = au + av
(a + b)u = au + bu
a(bu) = (ab)u
1u = u
ce qui implique :
au = 0 ⇐⇒ a = 0 ou u = 0
(−1)u = −u

2

CHAPITRE 1. PRODUIT SCALAIRE, PRODUIT VECTORIEL, PRODUIT MIXTE

1.1.3

Vecteurs colin´
eaires

Deux vecteurs sont dits colin´eaires (ou lin´eairement d´ependants) si et seulement si, l’un d’entre
eux est le produit de l’autre par un r´eel.




u et v colin´eaires ⇔ ∃λ ∈ R | v = λu ou ∃µ ∈ R | u = µv .
Donc deux vecteurs sont colin´eaires si et seulement si l’un d’eux est nul, ou s’ils ont mˆeme direction.
Remarque 1.1
1o On peut d´emontrer que
h
i
h
i
u et v colin´eaires ⇐⇒ ∃(a, b) ∈ R2∗ | au + bv = 0 .
2o Si u 6= 0, u et v sont colin´eaires si, et seulement si, il existe un r´eel λ tel que v = λu.

1.1.4

Vecteurs coplanaires–Base de E

Trois vecteurs sont dits coplanaires (ou lin´eairement d´ependants) si, et seulement si l’un d’entre
eux est combinaison lin´eaire des deux autres.






u, v, w coplanaires ⇐⇒ ∃(a, b) ∈ R2 | w = au + bv ou ∃(c, d) ∈ R2 | u = cv + dw


ou ∃(e, f ) ∈ R2 | v = ew + f u .
Donc trois vecteurs sont coplanaires si, et seulement si, l’un d’entre eux est nul, ou si leurs directions
sont parall`eles `
a un mˆeme plan.
Remarque 1.2
1o On peut d´emontrer que :




u, v, w coplanaires ⇐⇒ ∃(α, β, γ) ∈ R3∗ ) | αu + βv + γw = 0 .
2o Si u et v ne sont pas colin´eaires, u, v et w sont coplanaires si, et seulement si, il existe un
couple de r´eels (a, b) tels que w = au + bv.
Une base de E est un syst`eme de 3 vecteurs non coplanaires de E.

1.1.5

Vecteurs orthogonaux–Base orthonormale de E

Deux vecteurs de E sont dits orthogonaux si, et seulement si, l’un d’eux est nul ou si leurs
directions sont perpendiculaires.




u et v orthogonaux ⇐⇒ u = 0 ou v = 0 ou u ⊥ v .
Une base orthonormale de E est une base de E form´ee de vecteurs unitaires (c’est-`a-dire de norme
1), et orthogonaux deux `
a deux.

1.2. RAPPELS SUR LE PRODUIT SCALAIRE

1.1.6

3

Coordonn´
ees d’un vecteur dans une base donn´
ee

Si (e1 , e2 , e3 ) est une base de E, tout vecteur v se d´ecompose, de mani`ere unique, sous la forme
v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 , avec (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 .
Les 3 scalaires v1 , v2 , v3 s’appellent les coordonn´ees de v dans la base (e1 , e2 , e3 ). Si O est un point
donn´e de E, et A un point quelconque de E, les coordonn´ees a1 , a2 , a3 du vecteur OA dans la base
(e1 , e2 , e3 ) s’appellent les coordonn´ees du point A dans le rep`ere (O; e1 , e2 , e3 ). Si A et B sont
deux points de E de coordonn´ees respectives a1 , a2 , a3 et b1 , b2 , b3 dans le rep`ere (O; e1 , e2 , e3 ), on
d´eduit de l’´egalit´e vectorielle AB = OB − OA que les coordonn´ees du vecteur AB dans la base
(e1 , e2 , e3 ) sont b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 .

1.2
1.2.1

Rappels sur le produit scalaire

efinition du produit scalaire de 2 vecteurs

Le produit scalaire des deux vecteurs u et v est le r´eel, not´e u · v , d´efini par :
dv).
u · v = ||u|| ||v|| cos(u,
Remarque 1.3
1o Le produit scalaire ne n´ecessite pas d’orienter les angles.
2o Le produit scalaire d´epend de l’unit´e de longueur choisie dans l’espace.
3o u · u = ||u||2 .

1.2.2

Propri´
et´
es

1o Si u 6= 0, on a u · v = ||u|| × (mesure alg´ebrique de la projection orthogonale de v sur la
direction orient´ee par u).
2o Bilin´earit´e du produit scalaire :
(
2

3

∀(a, b) ∈ R , ∀(u, v, w) ∈ E ,

(au + bv) · w = au · w + bv · w
u · (av + bw) = au · v + bu · w

3o Commutativit´e :
∀(u, v) ∈ E 2 , u · v = v · u

1.2.3

Caract´
erisation de l’orthogonalit´
e
u et v orthogonaux ⇐⇒ u · v = 0.

Remarque 1.4 Le vecteur nul est orthogonal `a tous les autres, et c’est le seul jouissant de cette
propri´et´e.

4

CHAPITRE 1. PRODUIT SCALAIRE, PRODUIT VECTORIEL, PRODUIT MIXTE

1.2.4

Expression du produit scalaire dans une base orthonorm´
ee

Soit (e1 , e2 , e3 ) une base orthonormale directe de E. Soit u1 , u2 , u3 les coordonn´ees de u, et
v1 , v2 , v3 les coordonn´ees de v dans cette base. Alors par bilin´earit´e on obtient
u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
puisque e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1 et e1 · e2 = e2 · e3 = e3 · e1 = 0. D’o`
u
q
||u|| = u21 + u22 + u23 .

1.3

Rappels sur le produit vectoriel

On consid`ere l’espace orient´e par la r`egle de l’observateur d’Amp`ere : soit (O; OA, OB, OC)
un rep`ere de l’espace, et Ox, Oy, Oz les demi-droites d’origine O qui contiennent respectivement
A, B et C ; le rep`ere (O; OA, OB, OC) est dit direct, et la base (OA, OB, OC) est dite directe, si
pour un observateur plac´e le long de Oz, les pieds en O et regardant dans la direction de Ox, Oy
est plac´e `a gauche de l’observateur.

1.3.1


efinition du produit vectoriel de 2 vecteurs

Le produit vectoriel des deux vecteurs u et v est le vecteur, not´e u ∧ v, d´efini par :
– si u et v sont colin´eaires, u ∧ v = 0,
– si u et v ne sont pas colin´eaires :

 u ∧ v est orthogonal `a u et `a v
(u, v, u ∧ v) est directe

dv)|
||u ∧ v|| = ||u|| ||v|| | sin(u,
Remarque 1.5 Le produit vectoriel d´epend de l’unit´e de longueur et de l’orientation choisies dans
l’espace.

1.3.2

Propri´
et´
es

1o Bilin´earit´e du produit vectoriel :
(
∀(a, b) ∈ R2 , ∀(u, v, w) ∈ E 3 ,

(au + bv) ∧ w = au ∧ w + bv ∧ w
u ∧ (av + bw) = au ∧ v + bu ∧ w

2o Anticommutativit´e (ou antisym´etrie) :
∀(u, v) ∈ E 2 , u ∧ v = −v ∧ u.

1.3.3

Caract´
erisation de la colin´
earit´
e


u et v colin´eaires



⇐⇒ u ∧ v = 0.

Remarque 1.6 Le vecteur nul est colin´eaire `a tous les autres, et c’est le seul jouissant de cette
propri´et´e.

1.4. PRODUIT MIXTE

1.3.4

5

Expression du produit vectoriel dans une base orthonorm´
ee directe

Si la base (e1 , e2 , e3 ) est orthonormale directe, on peut remarquer que :
e 1 ∧ e 2 = e3 ,

e2 ∧ e3 = e1 ,

e3 ∧ e1 = e2 .

Alors par bilin´earit´e, on aura :
u ∧ v = (u2 v3 − u3 v2 )e1 − (u1 v3 − u3 v1 )e2 + (u1 v2 − u2 v1 )e3 .
avec les notations introduites pr´ec´edemment.

1.3.5

Interpr´
etation g´
eom´
etrique

||u ∧ v|| est ´egale `
a la surface du parall´elogramme construit sur u et v.

1.4
1.4.1

Produit mixte

efinition du produit mixte de 3 vecteurs

Le produit mixte des trois vecteurs u, v et w est le r´eel, not´e


u, v, w





u, v, w



1

, d´efini par :



=u· v∧w

Remarque 1.7 Le produit mixte d´epend de l’unit´e de longueur et de l’orientation choisies dans
l’espace.

1.4.2

Trilin´
earit´
e du produit mixte
∀(a, b) ∈ R2 ,








au1 + bu2 , v, w = a u1 , v, w + b u2 , v, w






u, av1 + bv2 , w = a u, v1 , w + b u, v2 , w






u, v, aw1 + bw2 = a u, v, w1 + b u, v, w2 .

En effet, on d´emontre par exemple la deuxi`eme ´egalit´e en utilisant la bilin´earit´e du produit scalaire
et du produit vectoriel :


h

i
u, av1 + bv2 , w = u · av1 + bv2 ∧ w
h


i
= u · a v1 ∧ w + b v2 ∧ w
h
i
h
i
= a u · v1 ∧ w + b u · v2 ∧ w




= a u, v1 , w + b u, v2 , w .
1. La notation du produit mixte comme un triplet
““
””
notation u, v, w .



u, v, w peut prˆ
eter `
a confusion, aussi propose-t-on ici la

6

CHAPITRE 1. PRODUIT SCALAIRE, PRODUIT VECTORIEL, PRODUIT MIXTE

1.4.3

Expression du produit mixte dans une base orthonormale directe

En notant u1 , u2 , u3 les coordonn´ees de u dans la base orthonormale directe (e1 , e2 , e3 ), v1 , v2 , v3
celles de v, et w1 , w2 , w3 celles de w, on a vu que :
v ∧ w = (v2 w3 − v3 w2 )e1 − (v1 w3 − v3 w1 )e2 + (v1 w2 − v2 w1 )e3
d’o`
u:


u · v ∧ w = u1 (v2 w3 − v3 w2 ) − u2 (v1 w3 − v3 w1 ) + u3 (v1 w2 − v2 w1 )
d’o`
u:


u, v, w



= u1 v2 w3 + u2 v3 w1 + u3 v1 w2 − u3 v2 w1 − u1 v3 w2 − u2 v1 w3 .

On note habituellement les coordonn´es d’un vecteur


u1
u, v, w = u2
u3

en colonnes. D’o`
u la notation :

v1 w1
v2 w2 .
v3 w3

La formule litt´erale permettant d’obtenir explicitement la valeur de



u, v, w



se retient facilement


par permutation circulaire sur les indices des coordonn´ees. Le calcul num´erique de u, v, w se
retient en appliquant la r`egle de Sarrus, c’est-`a-dire en ´ecrivant :


u1
v1
w1 








&
.


v2
w2
⊕ u2





.
&
.
&






u3
v3
w3
.
&
.
&
u1
v1
w1
.
&
u2
v2
w2
3 produits affect´es du signe + et 3 produits affect´es du signe −.

1.4.4

Invariance du produit mixte par permutation circulaire des vecteurs


∀ u, v, w ∈ E 3 ,



u, v, w



=





v, w, u = w, u, v .

Le r´esultat est ´evident en remarquant l’invariance par permutation circulaire sur les lettres u, v, w
de l’expression du produit mixte dans une base orthonormale directe.
On peut alors remarquer que :



u · v ∧ w = u ∧ v · w.
en utilisant l’´egalit´e



u, v, w



=



w, u, v



et la commutativit´e du produit scalaire.

1.4. PRODUIT MIXTE

1.4.5

7

Antisym´
etrie du produit mixte

Connaissant l’invariance du produit mixte par permutation circulaire des vecteurs, l’antisym´etrie du produit vectoriel et la bilin´earit´e du produit scalaire, on obtient facilement :



∀ u, v, w ∈ E 3 ,






v, u, w = − u, v, w










w, v, u = − u, v, w











 u, w, v = − u, v, w

Le produit mixte est donc chang´e en son oppos´e si on ´echange la place de 2 vecteurs.

1.4.6

Caract´
erisation de la coplanarit´
e

Th´
eor`
eme


Si l’on utilise l’expression


u, v, w





u, v, w

u, v, w





= 0 ⇐⇒ u, v, w coplanaires.



=u· v∧w :



= 0 ⇐⇒ u = 0 ou v ∧ w = 0, ou u ⊥ v ∧ w


⇐⇒ u = 0 ou v et w colin´eaires, ou u ∈ plan v, w
=⇒ u, v, w coplanaires.

Inversement, si u, v et w sont coplanaires, l’un au moins est combinaison lin´eaire des deux autres,
c’est-`a-dire qu’il existe deux r´eels a et b tels que par exemple w = au + bv.


u, v, w






h
i
h
i
= u ∧ v · au + bv = a u ∧ v · u + b u ∧ v · v = a0 + b0 = 0.

On saura donc que le produit mixte est nul dans le cas o`
u 2 des vecteurs sont ´egaux ou proportionnels.

1.4.7

Interpr´
etation g´
eom´
etrique





u, v, w donne le volume du parall´el´epip`ede construit sur les trois vecteurs u, v, w. En
effet, ce volume se calcule comme produit de la surface du parall´el´elogramme construit sur v et w
par la longueur de la hauteur associ´ee. Il reste `a remarquer que cette hauteur a mˆeme direction

8

CHAPITRE 1. PRODUIT SCALAIRE, PRODUIT VECTORIEL, PRODUIT MIXTE

que v ∧ w pour aboutir `
a l’´egalit´e annonc´ee.

u
w

v

1.5. EXERCICES DE NIVEAU 1

1.5

9

Exercices de niveau 1

Exercice 1.1 On d´efinit le moment d’une force F = AB s’appliquant au point A, par rapport `a
O, par :
MO (AB) = OA ∧ AB.
Pour A 6= B, soit H le projet´e orthogonal de O sur la droite contenant les points A et B. Montrer
que :
MO (AB) = OH ∧ AB = OA ∧ OB.
Exercice 1.2 Dans E, soit (i, j, k) une base orthonorm´ee directe. D´eterminer les vecteurs u et v
tels que :

i∧u+j∧v =k





i · u + j · v = i, j, k .



u + v = i − 3j
Exercice 1.3 Dans un triangle ABC quelconque, on note H ∈ BC le pied de la hauteur issue de
A, a = BC, b = CA, c = AB et A0 le milieu de [BC].
D´emontrer les relations :
b
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
b2 + c2 = 2AA02 +

BC 2
2

|b2 − c2 | = 2a A0 H
Exercice 1.4 Dans un plan rapport´e au rep`ere orthonormal (O; i, j), on consid`ere le parall´elogramme d´efini par trois de ses sommets : O(0, 0), A(−4, 2), B(2, −2).
1. Tracer ce parall´elogramme,
2. D´eterminer son aire.
Exercice 1.5 Dans l’espace E rapport´e au rep`ere orthonormal (O; i, j, k), on consid`ere le parall´el´epip`ede d´efini par quatre de ses sommets : O(0, 0, 0), A(3, −1, 0), B(3, 2, 0) et C(1, 1, 4).
1. Tracer ce parall´el´epip`ede (qui pourrait ˆetre une maille cristalline : voir cours d’atomistique).
2. D´eterminer son volume.

10

1.6

CHAPITRE 1. PRODUIT SCALAIRE, PRODUIT VECTORIEL, PRODUIT MIXTE

Exercices

Exercice 1.6 (Partie d’interrogation du 07 11 97) Dans l’espace usuel `a 3 dimensions rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct (O, ex , ey , ez ), on consid`ere les quatre points (de coordonn´ees
(x, y, z)) : A(1, 1, 0), B(−1, 0, 1), C(1, −1, 1) et M (1, 2, 1). Soit H la projection orthogonale de M
sur le plan contenant les points A, B et C.
1. Calculer le produit vectoriel AB ∧ AC. En d´eduire l’aire du triangle ABC.
2. Donner les composantes d’un vecteur unitaire u de la droite HM dirig´e de H vers M . Calculer
la distance HM `
a l’aide d’un produit scalaire.
3. D´eterminer la valeur absolue du cosinus de l’angle entre le plan d´efini par les points M, A, B
et le plan d´efini par les points A, B, C. (NB : on pourra se servir des vecteurs normaux aux
plans.)
Exercice 1.7 (Partie d’interrogation du 12 11 99) L’espace affine usuel E de dimension 3 est
rapport´e au rep`ere orthonorm´e direct (O, ex , ey , ez ). On consid`ere un plan P, contenant l’origine
O et de vecteur normal unitaire u. On consid`ere l’application rθ qui `a tout point M du plan P fait
correspondre le point M1 d´efini par :
rθ : OM 7→ OM1 = cos θ OM + sin θ u ∧ OM.
a) Calculer kOM ∧ uk en fonction de kOMk, puis montrer que kOM1 k = kOMk.
b)Montrer que M1 ∈ P et que l’angle des vecteurs OM et OM1 est au signe pr`es ´egal `a θ.
c)Soient M et N deux points du plan P et soit λ ∈ R. On d´efinit le point Q par la relation
OQ = OM + λON. Montrer que si M1 et N1 sont les images respectives de M et N par rθ ,
alors l’image Q1 de Q est telle que OQ1 = OM1 + λON1 .
d)Si M1 est l’image de M par l’application rθ , et si M2 est l’image de M1 par l’application rθ0 ,
alors montrer que M2 est l’image de M par l’application rθ+θ0 .
Exercice 1.8 Dans l’espace E rapport´e a` un rep`ere orthonormal (O, i, j, k), on consid`ere deux
droites :
– la droite (D) d´efinie par le point A de coordonn´ees (1, 0, 1) et un vecteur directeur v de
coordonn´ees (1, −1, 0)
– la droite (D0 ) d´efinie comme l’intersection des deux plans d’´equations x + y − z = 1 et
2x + y + z = 0.
1) D´eterminer un point B et un vecteur directeur v0 de (D0 ).
2) Soit (∆) la perpendiculaire commune aux deux droites (D) et (D0 ) (non parall`eles), qui coupe
(D) en H et (D0 ) en H 0 . Calculer la distance HH 0 entre les deux droites (D) et (D0 ). Pour cela,
on exprimera de deux mani`eres diff´erentes la quantit´e |HH0 · (v ∧ v0 )| (en utilisant pour l’une les
points A et B).
Exercice 1.9 (Double produit vectoriel) Dans E orient´e, on d´efinit le double produit vectoriel
de trois vecteurs quelconques u, v, w dans cet ordre par u ∧ (v ∧ w).
a) Montrer la formule du double produit vectoriel : u ∧ (v ∧ w) = (u · w)v − (u · v)w.
b) En d´eduire l’expression de (u ∧ v) ∧ w. Y a-t-il associativit´e du produit vectoriel?
c) Montrer que u ∧ (v ∧ w) + v ∧ (w ∧ u) + w ∧ (u ∧ v) = 0. (Identit´e de Jacobi).
Exercice 1.10 (Barycentre de n points pond´
er´
es) Soient, dans l’espace E, n points Ak ,
P
n
1 6 k 6 n, affect´es de coefficients αk . On pose α = k=1 αk et on ´etudie la fonction
E 3 M 7→ Φ(M ) =

n
X
k=1

αk MAk .

1.6. EXERCICES

11

1. Si α = 0, montrer que Φ est constante.
2. Si α 6= 0, on d´efinit G, barycentre des n points Ak , (αk ), par Φ(O) = αOG, O ´etant un point
donn´e. Montrer que :
– G est ind´ependant du choix de O.
– pour d´eterminer G, on peut remplacer plusieurs Ak , αk par leur barycentre partiel G0
affect´e de la somme α0 correspondante, suppos´ee non nulle.
3. Dans le cas α = 0, si on partage les Ak , αk en deux familles ayant chacune un barycentre
partiel G1 et G2 respectivement, montrer que la direction du vecteur G1 G2 est ind´ependante
du choix de la partition des n points.
4. Donner au moins un exemple physique de la situation de type 1) et de type 2).
Exercice
1.11 Dans l’espace E, soient n points Ak affect´es des coefficients αk , tels que
Pn
emontrer la relation de Leibniz :
k=1 αk 6= 0. Soit G leur barycentre. D´
Pour tout point M de E :

n
X
k=1

αk M A2k =

n
X
k=1

n

X
αk M G2 +
αk GA2k .
k=1

Exercice 1.12 Soient 6 r´eels quelconques a, b, c, a0 , b0 , c0 . En utilisant une interpr´etation vectorielle, montrer l’identit´e de Lagrange :
(bc0 − cb0 )2 + (ca0 − ac0 )2 + (ab0 − ba0 )2 + (aa0 + bb0 + cc0 )2 = (a2 + b2 + c2 ) (a02 + b02 + c02 ).

12

1.7

CHAPITRE 1. PRODUIT SCALAIRE, PRODUIT VECTORIEL, PRODUIT MIXTE

Correction (exercices de niveau 1)

Correction de l’exercice 1.1
OA ∧ AB = (OH + HA) ∧ AB = OH ∧ AB
= OA ∧ (AO + OB) = OA ∧ OB.
Correction de l’exercice 1.2 Si u = xi + yj + zk et v = x0 i + y 0 j + z 0 k, on trouve x = 3, y =
−1, z = 0 et x0 = −2, y 0 = −2, z 0 = 0.
Correction de l’exercice 1.3
a2 = BC 2 = BC · BC = (BA + AC)2 = c2 + b2 + 2BA · AC
\
= c2 + b2 + 2bc cos (BA,
AC) = c2 + b2 − 2bc cos Aˆ
BC 2
.
2
|b2 − c2 | = |(AC + AB) · (AC − AB)| = |2AA0 · BC| = |2(AH + HA0 ) · BC|
= |2HA0 · BC| = 2aA0 H.
2

2

2

b2 + c2 = (AA0 + A0 C)2 + (AA0 + A0 B)2 = 2AA0 + 2A0 C = 2AA0 +

Correction de l’exercice 1.4 S = kOA ∧ OBk = 4.




Correction de l’exercice 1.5 V = OA, OB, OC = 36.

13

Chapitre 2

Coniques
2.1

Origine du nom

Les coniques peuvent ˆetre obtenues comme sections planes de cˆones de r´evolution. Mis `a part
certains cas particuliers, on obtient des cercles, des ellipses, des paraboles ou des hyperboles.

Ellipse

Parabole

Hyperbole

14

CHAPITRE 2. CONIQUES

2.2

Seconde d´
efinition

On consid`ere une droite (D) appel´ee directrice et un point F appel´e foyer, dont la distance `
a (D)
est d > 0. Soit par ailleurs un
r´eel e > 0, appel´e excentricit´e.
On cherche l’ensemble des points
M tels que M F = eM H, o`
uH
est la projection orthogonale de
M sur (D). On posera p = ed
appel´e param`etre. En prenant un
syst`eme d’axes O0 x0 y 0 comme indiqu´e sur la figure, on obtient
l’´equation (x0 − d)2 + y 02 = e2 x02 ,
soit :

y0
(D)

H

M

O0

x0

F

(1 − e2 )x02 − 2dx0 + y 02 + d2 = 0.

2.3

Parabole
y
M

H

C’est le cas o`
u e = 1. En posant
x = x0 − d2 et y = y 0 , (changement
d’origine), on obtient :
y 2 = 2px.

O
O0

x

F

avec p = ed = d.

Fig. 2.1 – Parabole

2.4

Cas o`
u e 6= 1

On pose alors x = x0 −

d
1−e2 ,

y = y 0 , d’o`
u:
x2 +

2.4.1

y2
p2
=
.
1 − e2
(1 − e2 )2

Ellipse

C’est le cas o`
u e < 1. Posons :
a=

p
> 0,
1 − e2

p
b = a 1 − e2 > 0,

c=

p

a2 − b2 , d’o`
up=

b2
c
et e = .
a
a

` e 6= 1
2.4. CAS OU

15

Cela donne l’´equation :
x2
y2
+
= 1.
a2
b2

L’abscisse du foyer F est d 1 −

de2
1
= −ea = −c. L’´equation de (D) est :
=

1 − e2
1 − e2

d
a2
= − . Mais, vu que la courbe pr´esente une sym´etrie centrale, nous avons un deuxi`eme
2
1−e
c
a2
0
foyer F d’abscisse c et une deuxi`eme directrice (D0 ) verticale d’abscisse
. Noter que dans ce
c
cas, la courbe se situe « entre les deux directrices »
x=−

y
(D0 )

b

(D)
M
H
F
2
− ac

−a

O

−c

F0

x
a2
c

c

−b

Fig. 2.2 – Ellipse

y
a

L’ellipse admet un param´etrage
simple : en effet, les coordonn´ees
du point M (voir la figure cicontre) sont :
(
x = a cos θ
y = b sin θ
Noter que l’angle θ n’est pas
\
l’angle (Ox,
OM), mais l’angle
\
(Ox,
OP)

P
b

M

θ
O

a
x

16

CHAPITRE 2. CONIQUES

2.4.2

Hyperbole

C’est le cas o`
u e > 1. Posons :
p
p
p
b2
c
a= 2
> 0, b = a e2 − 1 > 0, c = a2 + b2 , d’o`
up=
et e = .
e −1
a
a
Cela donne l’´equation :
y2
x2

= 1.
a2
b2
1
de2
d
a2
L’abscisse du foyer F est d 1+ 2
= 2
= ea = c. L’´equation de (D) est : x = 2
= .
e −1
e −1
e −1
c
Mais, vu que la courbe pr´esente comme pr´ec´edemment une sym´etrie centrale, nous avons un
a2
deuxi`eme foyer F 0 d’abscisse −c et une deuxi`eme directrice (D0 ) verticale d’abscisse − . Noc
ter que dans ce cas, la courbe se situe ”en dehors de la bande d´elimit´ee par les deux directrices”.
b
Les asymptotes ont pour ´equations y = ± x.
a
y

(D0 )

(D)

b

F 0 −a
−c

O

a

2
− ac

a2
c

F
c

x

T

−b

H

M

Fig. 2.3 – Hyperbole
L’hyperbole admet le param´etrage suivant :
x = ±a ch t, y = b sh t, t ∈ R, o`
u ch t =

2.5
2.5.1

et + e−t
et − e−t
, sh t =
.
2
2

Troisi`
eme d´
efinition

efinition bifocale

On a donc M F = eM H et M F 0 = eM H 0 .
– Dans le cas de l’ellipse, M est entre (D) et (D0 ). Alors
M F + M F 0 = eHH 0 = 2e

a2
= 2a.
c

2.6. TANGENTE

17

– Dans le cas de l’hyperbole, on a
M F − M F 0 = ±eHH 0 = ±2a, soit |M F − M F 0 | = 2a.

2.5.2

Cas du cercle

Un cercle ne peut se d´efinir par un foyer et une directrice. Par contre, avec la seconde caract´erisation, on peut consid´erer que si les deux points F et F 0 sont confondus (centre du cercle), le
cercle est un cas particulier d’ellipse (cas limite d’excentricit´e nulle).

2.6

Tangente

On a les r´esultats suivants :
\
– Cas de l’ellipse. La tangente est la bissectrice ext´erieure de l’angle (MF,
MF0 ). (Voir la
figure 2.2)
\
– Cas de l’hyperbole. la tangente est la bissectrice int´erieure de l’angle (MF,
MF0 ). (Voir la
figure 2.3)
– En ce qui concerne la parabole, une ´etude directe `a partir de l’´equation y 2 = 2px prouve que
la tangente est la m´ediatrice de F H. (Voir la figure 2.1)
Voici une justification de ce qui pr´ec`ede, `a titre documentaire, `a lire apr`es avoir ´etudi´e la d´erivation
des fonctions vectorielles :
En posant FM = ru avec u unitaire, alors r = u · FM. En supposant que M soit fonction
d´erivable d’un param`etre t, on a en d´erivant :
dr
du
dFM
=
· FM + u ·
.
dt
dt
dt
Le premier terme est nul car
Donc :

du
dt

est orthogonal `a u, ce qui r´esulte de u2 = 1, d’o`
u u·

du
dt

dr
dFM
=u·
.
dt
dt
En ´ecrivant les formules analogues pour F 0 et l’unitaire u0 , on a :
– Cas de l’ellipse :
dFM
=0
(u + u0 ) ·
dt
\
ce qui prouve bien que la tangente est la bissectrice ext´erieure de l’angle (MF,
MF0 ).
– Cas de l’hyperbole :
dFM
=0
(u − u0 ) ·
dt
\
ce qui prouve bien que la tangente est la bissectrice int´erieure de l’angle (MF,
MF0 ).

= 0.

18

CHAPITRE 2. CONIQUES

2.7

Exercices de niveau 1

Exercice 2.1 Reconnaˆıtre et tracer les courbes du plan, d’´equations cart´esiennes suivantes :
1) x2 + y 2 = 32
4) y = 2x2 + 3x + 5

2.8

2) x2 + 4y 2 = 5

3) 4x2 + y 2 = 5

5) 3x2 − y 2 = 4

6) y 2 − 3x2 = 4.

Exercices

Exercice 2.2 Recherche de l’´equation d’une hyperbole dans un rep`ere ayant pour axes les asymptotes.
y2
x2
Soit (H) l’hyperbole d’´equation r´eduite : 2 − 2 = 1 relativement `a un rep`ere orthonormal
a
b
(O; ex , ey ). On pose u = a2 ex − 2b ey et v = a2 ex + 2b ey .
1. Si OM = xex + yey = Xu + Y v, exprimer x et y en fonction de X et Y .
2. En d´eduire l’´equation de (H) dans le rep`ere (O; u, v).
Exercice 2.3 Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e. Identifier, puis construire les courbes dont
voici les ´equations :
a) y 2 = x + 3
e) x2 + 4y 2 + x + 6y = 0
2
b) x + 3y = 1
f) 6x2 + 2y 2 − 12x + 8y + 9 = 0
2
c) y = 2y + x
g) x2 − y 2 = −1
2
d) x − y = 3x − 1
h) 2x2 − y 2 = 3 − 4x
Exercice 2.4

y
Une barre AB de longueur L glisse sur deux
axes orthogonaux Ox et Oy de telle fa¸con que
le point A d´ecrive l’axe Ox d’un mouvement
uniforme `a la vitesse v : OA = vtex .
Soit M un point fixe de la barre tel que AM =
λL, avec 0 6 λ 6 1.

B
M
O

λL

α

A

x

1. Montrer que les coordonn´ees param´etriques du point M au cours du temps sont donn´ees par :
p
xM (t) = vt(1 − λ),
yM (t) = λ L2 − v 2 t2
2. Donner une ´equation de la trajectoire de M . Repr´esenter celle-ci pour L = 10cm et λ = 0.7.
Quels cas particuliers rencontre-t-on pour λ = 0, λ = 0.5 et λ = 1?

2.9. CORRECTION (EXERCICES DE NIVEAU 1)

2.9

19

Correction (exercices de niveau 1)

Correction de l’exercice 2.1

1) Cercle centr´e `
a l’origine, de rayon R = 4 2.
2)

Ellipse
√ de grand axe
√ Ox, de foyers
F ( 15/2, 0), F 0 (− √
15/2, 0), de directrices x = ± 23 15. Coordon√
n´ees des
: ( 5, 0)
√ sommets sur Ox√
et (−√ 5, 0) ; sur Oy : (0, 5/2) et
(0, − 5/2).

y

2

–2

0

1

2

x

–2
3)

2
Ellipse de grand axe√ parall`ele
`a Oy, √de foyers F (0, 15/2) et
F 0 (0,
√ − 15/2), de directrices y =
± 23 15. Coordonn´ees des sommets


sur Ox : ( √5/2, 0) et (−
√ 5/2, 0) ;
sur Oy : (0, 5) et (0, − 5).

y

1
x
–4

O

–2

2

–1
–2

4)

y
6

Parabole d’axe parall`ele `
a Oy, tourn´ee vers les y > 0, de sommet
1
S(− 34 , 31
8 ), p = d = 4 , de directrice
29
(D) : y = 8 , de foyer F (− 34 , 33
8 ).

4

–2

O
0

x
2

4

20

CHAPITRE 2. CONIQUES
5)

y
4

Hyperbole de foyers F ( √43 , 0) et
F 0 (− √43 , 0), de directrices x = ± √13 ,

de sommets
les points (2/ 3, 0) et

(−2/ 3, 0).

2
x
–3 –2

O

1 2

3

–2
–4
6)

y
4
2



Hyperbole√de foyers F (0, 4/ 3) et
0
F√
(0, −4/ 3), de directrices y =
± 3, de sommets les points (0, 2)
et (0, −2).

–4

–2

O
–2
–4

2

4

x

21

Chapitre 3

Calcul diff´
erentiel pour les
fonctions d’une variable
Dans ce chapitre, on consid`ere des fonctions d’une variable r´eelle, `a valeurs dans R, R2 ou R3 .
Ces fonctions sont suppos´ees ˆetre d´efinies au moins sur un intervalle non vide I de R.

3.1

Comparaison de deux fonctions au voisinage d’un point

Soient deux fonctions f et g d´efinies sur un intervalle I contenant x0 ∈ R, sauf peut-ˆetre en x0 ,
ou bien sur un intervalle ]−∞, a[ (on pose dans ce cas x0 = −∞) ou bien sur un intervalle ]a, +∞[
(on pose dans ce cas x0 = +∞). On dit que f et g sont d´efinies «au voisinage de x0».

3.1.1

Fonction n´
egligeable devant une autre, au voisinage de x0


efinition 3.1 On dit que f est n´egligeable devant g au voisinage de x0 si lim

x→x0

f (x)
= 0. (g ne
g(x)

s’annulant pas sur I \ {x0 })
Notation :

Exemples :


f = o(g), ou bien f (x) = o g(x) .
x0

x0

sin x = o(cos x) ; x3 = o(x2 ) ; x2 = o
0

0

0



1
1
; ln x = o
; ln x = o(xα ), ∀α > 0 ;
+
+∞
x
x
0

xα = o(ex ), ∀α.
+∞

3.1.2

Fonctions ´
equivalentes au voisinage de x0


efinition 3.2 On dit que f est ´equivalente `a g au voisinage de x0 , si lim

x→x0

s’annulant pas sur I \ {x0 })
Notation :

f ∼ g.
x0

Remarque 3.1 f ∼ g ⇐⇒ f − g = o(g).
x0

x0

f (x)
= 1. (g ne
g(x)

´
CHAPITRE 3. CALCUL DIFFERENTIEL
POUR LES FONCTIONS D’UNE VARIABLE

22

Exemples :

sin x ∼ x ; cos x ∼ 1 ; tan x ∼ x ; ln x ∼ x − 1 ; ex ∼ 1 ; ex − 1 ∼ x ;
0

0

0

1

0

0

x
x2
cos x − 1 = −2 sin
⇒ cos x − 1 ∼ − ;
0
2
2
(1 + x)α ∼ 1 ; (1 + x)α − 1 ∼ αx.
2

0

3.1.3

0

Infiniment petits, infiniment grands au voisinage de x0


efinition 3.3 On dit que f est un infiniment petit [resp. grand] au voisinage de x0 si lim f (x) =
x→x0

0, [resp. ±∞].
– Si f et g sont deux infiniment petits au voisinage de x0 , et si f est n´egligeable devant g au
voisinage de x0 , on dira que f est un infiniment petit d’ordre sup´erieur `a g au voisinage de
x0 .
– Si f et g sont deux infiniment grands au voisinage de x0 , et si f est n´egligeable devant g au
voisinage de x0 , on dira que f est un infiniment grand d’ordre inf´erieur `a g au voisinage de
x0 .
– Si f est un infiniment petit au voisinage de x0 et si f (x) ∼ λ(x − x0 )n , avec λ ∈ R∗ et n ∈ N∗ ,
on dit que f est un infiniment petit d’ordre
n (par rapport `a (x − x0 )). Cela signifie encore

que f (x) − λ(x − x0 )n = o (x − x0 )n , ”cad” que la diff´erence entre f (x) et λ(x − x0 )n est
un infiniment petit d’ordre sup´erieur `a n, en x0 , par rapport `a (x − x0 ).
En Physique, on ´ecrira f (x) ≈ λ(x−x0 )n , f (x) est approximativement ´egal `a λ(x−x0 )n , `a condition
que l’on n´eglige toute quantit´e d’ordre sup´erieur `a n.

3.2
3.2.1


eriv´
ee, diff´
erentielle d’une fonction de R dans R
Continuit´
e

Soit f d´efinie sur un intervalle ouvert I contenant x0 .
f continue en x0 ⇐⇒ lim f (x) = f (x0 )
x→x0

⇐⇒ lim [f (x0 + h) − f (x0 )] = 0
h→0

⇐⇒ f (x0 + h) = f (x0 ) + o(1).
h→0

f continue en x0 signifie donc que f (x) est voisin de f (x0 ), quand x est proche de x0 , ou bien que
f (x) − f (x0 ) est n´egligeable devant (x − x0 )0 .

3.2.2


eriv´
ee de f en un point x0

Soit f d´efinie sur un intervalle ouvert I contenant x0 .
f (x) − f (x0 )
existe dans R
( = f 0 (x0 ))
x − x0
⇐⇒ f (x0 + h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 ) + o(h).

f d´erivable au point x0 ⇐⇒ lim

x→x0

h→0

´
´ DIFFERENTIELLE
´
3.2. DERIV
EE,
D’UNE FONCTION DE R DANS R

23

y

La diff´erence entre l’accroissement δfx0 (h) et
hf 0 (x0 ) est un infiniment petit d’ordre sup´erieur
`a 1 par rapport `a x − x0 .
δfx0 (h) = f (x0 + h) − f (x0 ) = hf 0 (x0 ) + o(h).

f (x0 + h)
f (x0 )

δfx0 (h)

hf 0 (x0 )
M0

h→0

Si f 0 (x0 ) 6= 0, on a aussi δfx0 (h) ∼ hf 0 (x0 ).
h→0

x
x0

3.2.3

x0 + h

Diff´
erentielle de f en x0

h 7→ hf 0 (x0 )
est appel´ee diff´erentielle de f en
R → R
x0 , not´ee dfx0 . On dit alors que f diff´erentiable en x0 .
On a donc δfx0 (h) = dfx0 (h) + o(h).


– Si f est d´erivable en x0 , l’application

h→0

Remplacer δfx0 (h) par dfx0 (h), c’est approcher la courbe repr´esentative de f au voisinage
de x0 par la tangente en M0 `
a cette courbe.
L’erreur commise δfx0 (h) − dfx0 (h) est un infiniment petit d’ordre sup´erieur `a 1.
– Si f est diff´erentiable en tout point de I, on peut d´efinir la diff´erentielle de f en chaque point
x ∈ I. On a donc une application : x 7→ dfx appel´ee la diff´erentielle de f .
– Notations :
L’application identit´e : x 7→ x est d´erivable donc diff´erentiable sur R. Sa diff´erentielle est
not´ee dx.
∀x0 ∈ R, dxx0 est l’application identit´e (car la d´eriv´ee de x 7→ x vaut 1).
De plus, δxx0 (h) = x0 + h − x0 = h.
Donc on a :
dxx (h) = δxx (h), ∀x, ∀h
⇒ dxx = δxx , ∀x (application identit´e)
⇒ dx = δx
On notera la variation h de x par dx (ou δx)
Si f est diff´erentiable en x, on a :
dfx (h) = f 0 (x)h = f 0 (x)dxx (h)
dfx = f 0 (x)dxx , ∀x
df = f 0 dx

∀h, ∀x

Si on note dy la diff´erentielle de y = f (x), on peut ´ecrire :
dy = f 0 (x)dx
et δy = f (x + dx) − f (x) ≈ dy.
La variation de la grandeur y, quand x varie d’une ”petite” quantit´e dx, est ”`a peu pr`es ´egale”
`a la diff´erentielle dy de cette grandeur (en n´egligeant les termes d’ordre sup´erieur `a un par
rapport `
a dx).

´
CHAPITRE 3. CALCUL DIFFERENTIEL
POUR LES FONCTIONS D’UNE VARIABLE

24

3.2.4

Op´
erations alg´
ebriques et composition. Diff´
erentielle logarithmique

– On d´eduit des op´erations alg´ebriques sur les d´eriv´ees, les op´erations suivantes, lorsque f et
g sont d´erivables donc diff´erentiables :
d(f + g) = df + dg,

d(λf ) = λdf, d(f g) = f dg + gdf,

f
gdf − f dg
d
.
=
g
g2

en x tel que g(x) 6= 0,

– Composition de deux applications diff´erentiables.
De la relation (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) × f 0 (x), on d´eduit : d(g ◦ f )x = g 0 (f (x)) × f 0 (x)dx =
g 0 (f (x)) × dfx .
En notant x 7→ f (x) = y, y 7→ g(y) = z, on a :
dy
dz
dz
, g 0 (y) =
, (g ◦ f )0 (x) =
,
dx
dy
dx
dy = f 0 (x)dx, dz = g 0 (y)dy = g 0 (f (x))f 0 (x)dx,

f 0 (x) =

”cad” que la formule dz = g 0 (y)dy est la mˆeme, que y soit une variable, ou une fonction de x.
– Diff´erentielle logarithmique.
En tout point o`
u f est diff´erentiable et non nulle, on appelle diff´erentielle logarithmique de
df
f la quantit´e d(ln |f |) =
.
f
On a alors les formules op´eratoires suivantes :
d(f g)
df
dg
=
+
,
fg
f
g

d(f /g)
df
dg
=

,
f /g
f
g

df n
df
=n
.
n
f
f

Application : calculs d’erreurs relatives.

3.3


eriv´
ee et diff´
erentielle d’une fonction vectorielle

On consid`ere une fonction d’une variable r´eelle, `a valeurs dans l’espace E des vecteurs, muni
d’une base orthonorm´ee (ex , ey , ez ) :
F : t 7→ F(t) = f (t)ex + g(t)ey + h(t)ez
I⊂R→E
o`
u f , g, h sont trois fonctions de I dans R appel´ees coordonn´ees de F. On peut aussi consid´erer
que F applique I dans R3 :


t 7→ f (t), g(t), h(t)
I ⊂ R → R3 .

3.3.1

Continuit´
e

Soit t0 ∈ I ouvert. On dit que F est continue en t0 si lim ||F(t)−F(t0 )|| = 0, ”cad” lim [f (t) − f (t0 )]2 + [g(t) − g(t0 )]2 +
t→t0

t→t0

0, ”cad” encore si :
lim f (t) = f (t0 ),

t→t0

lim g(t) = g(t0 ),

t→t0

”cad” si f, g et h sont continues au point t0 .

lim h(t) = h(t0 ),

t→t0

´
´ ET DIFFERENTIELLE
´
3.3. DERIV
EE
D’UNE FONCTION VECTORIELLE

3.3.2

25


erivabilit´
e
F est d´erivable au point t0 ⇐⇒ lim

t→t0

on a :

F(t) − F(t0 )
existe dans E
t − t0

F(t) − F(t0 )
f (t) − f (t0 )
g(t) − g(t0 )
h(t) − h(t0 )
=
ex +
ey +
ez .
t − t0
t − t0
t − t0
t − t0

donc
F d´erivable en t0 ⇐⇒ f, g, h d´erivables en t0
et on a alors :
lim
t0

F(t) − F(t0 )
dF
= F0 (t0 ) =
(t0 ) = f 0 (t0 )ex + g 0 (t0 )ey + h0 (t0 )ez
t − t0
dt

Propri´
et´
es : Si F et G sont deux fonctions vectorielles :
– Somme : (F + G)0 (t0 ) = F0 (t0 ) + G0 (t0 )
– Produit par un scalaire : (λF)0 (t0 ) = λF0 (t0 ).

3.3.3

Op´
erations

a) Composition avec une fonction r´eelle.
Soit F d´erivable en t0 ∈ I, soit g : x 7→ g(x) d´erivable en x0 tel que g(x0 ) = t0 . On peut
composer : x 7→ F(g(x)) = G(x) qui est d´erivable en x0 . Alors :

0

F ◦ g (x0 ) = F0 g(x0 ) × g 0 (x0 ).
b) Produit d’une fonction vectorielle par une fonction `a valeurs dans R.
Si t 7→ F(t) et t 7→ g(t) sont d´erivables en t0 , alors t 7→ g(t)F(t) est d´erivable en t0 et l’on a :
0
gF (t0 ) = g 0 (t0 )F(t0 ) + g(t0 )F0 (t0 ).
c) Produit scalaire de deux fonctions vectorielles.
Si t 7→ F(t) et t 7→ G(t) sont d´erivables en t0 , alors t 7→ F(t) · G(t), fonction `a valeurs dans
R, est d´erivable en t0 et :

0
F · G (t0 ) = F0 (t0 ) · G(t0 ) + F(t0 ) · G0 (t0 ).
d) Produit vectoriel de deux fonctions vectorielles.
t 7→ F(t) ∧ G(t) est une fonction vectorielle d´erivable si F et G le sont, et :

0
F ∧ G (t0 ) = F0 (t0 ) ∧ G(t0 ) + F(t0 ) ∧ G0 (t0 ).

3.3.4

Diff´
erentielle

Si F est d´erivable en t0 , alors :
F(t0 + h) − F(t0 ) = hF0 (t0 ) + o(h).
On d´efinit dFt0 , diff´erentielle de F en t0 , par dFt0 (h) = hF0 (t0 ), ce qui peut encore s’´ecrire :
dFt0 =

dF
dF
(t0 )dt, et dF =
dt.
dt
dt

26

´
CHAPITRE 3. CALCUL DIFFERENTIEL
POUR LES FONCTIONS D’UNE VARIABLE

dOM
est le vecteur vitesse d’un point M qui se d´eplace au cours du
Exemple En Cin´ematique,
dt
temps.
dOM
dOM =
dt nous donne une approximation au premier ordre, du petit d´eplacement du
dt
point M , lors d’une petite variation dt du temps.

3.4
3.4.1

´
Equations
diff´
erentielles lin´
eaires du 1er et du 2`
eme
ordre.

efinitions et th´
eor`
emes fondamentaux.


efinitions.
Nous nous contenterons de pr´esenter certaines m´ethodes de r´esolution d’´equations diff´erentielles
de la forme :
y 0 + ay = f
y 00 + by 0 + cy = f

(3.1)
(3.2)

– L’´equation (3.1) est une ´equation diff´erentielle du premier ordre, car dans cette ´equation,
l’ordre de d´erivation le plus ´elev´e de la fonction y est 1. Dans cette ´equation, a et f sont des
fonctions continues sur un intervalle I ⊂ R, `a valeurs dans R.
– L’´equation (3.2) est une ´equation diff´erentielle du second ordre, car dans cette ´equation,
l’ordre de d´erivation le plus ´elev´e de la fonction y est 2. Dans cette ´equation, nous consid´ererons que b et c sont des constantes r´eelles. Nous nous limiterons au cas o`
u f (t) =
A cos(ωt) + B sin(ωt), ω ´etant une constante r´eelle.
Les deux ´equations ci-dessus sont de la forme :
L(y) = f

(3.3)

Dans un cas L(y) = y 0 + ay, dans l’autre cas L(y) = y 00 + by 0 + cy. L’´equation
L(y) = 0

(3.4)

est appel´ee ´equation homog`ene associ´ee `
a l’´equation diff´erentielle (3.3).

esolution d’une ´
equation lin´
eaire.
R´esoudre l’´equation (3.1) ou (3.2), c’est trouver toutes les fonctions y de classe C 1 sur I qui
v´erifient l’´equation, connaissant son (ses) coefficient(s) a, (b, c) et son second membre f . Nous nous
contenterons de citer les deux th´eor`emes suivants :
Th´
eor`
eme 3.1 (Principe de superposition) Si y1 est une solution particuli`ere de l’´equation
L(y) = f1 , si y2 est une autre solution particuli`ere de L(y) = f2 , et si λ est une constante r´eelle,
alors y1 + λy2 est une solution particuli`ere de l’´equation L(y) = f1 + λf2 .
Nous verrons plus loin que l’´equation diff´erentielle lin´eaire (3.3) ou son ´equation homog`ene associ´ee (3.4) admettent des solutions d´ependant d’une constante r´eelle arbitraire si elles sont du
premier ordre, de deux constantes r´eelles arbitraires si elles sont du second ordre. Ces solutions
sont appel´ees solutions g´en´erales. Lorsqu’on fixe les valeurs des constantes, les solutions sont appel´ees solutions particuli`eres.

´
´
´
`
3.4. EQUATIONS
DIFFERENTIELLES
LINEAIRES
DU 1ER ET DU 2EME
ORDRE.

27

Th´
eor`
eme 3.2 Si y1 est une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (3.3) et si Y est la
solution g´en´erale de son ´equation homog`ene associ´ee (3.4), alors y = y1 + Y est la solution g´en´erale
de l’´equation diff´erentielle (3.3).

3.4.2


esolution de y 0 + ay = f .


esolution de l’´
equation homog`
ene associ´
ee
Le th´eor`eme (3.2) indique que nous devons rechercher la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee :
y 0 + ay = 0
Sur chaque intervalle I de R o`
u a est continue, toutes les solutions sont de la forme Cϕ, C ´etant
une constante r´eelle arbitraire et ϕ une fonction de classe C 1 sur I. En effet, on a :
y0
= −a ou y = 0,
y 0 + ay = 0 ⇔
y


Z
⇔ ln |y(t)| = − a(t)dt + ln|C| et C 6= 0
ou y = 0

Z


⇔ y(t) = C exp − a(t) dt
et C =
6 0
ou y = 0

Z


⇔ y(t) = C exp − a(t) dt
et C ∈ R
Finalement, la fonction ϕ est l’exponentielle d’une primitive de −a(t).
La m´
ethode de variation de la constante.
Le th´eor`eme (3.2) indique que pour trouver la solution g´en´erale de (3.1) il faut en rechercher
une solution particuli`ere. On cherche cette solution sous la forme :
y1 (t) = u(t)ϕ(t)
La constante C, pr´esente dans la solution g´en´erale Cϕ de l’´equation homog`ene associ´ee est remplac´ee par une fonction u dans l’expression de la solution particuli`ere y1 , d’o`
u le nom de la m´ethode.
En reportant l’expression ci-dessus de y1 dans (3.1), on obtient
u0 (t) =

f (t)
ϕ(t)

Il suffit de trouver une primitive particuli`ere de f /ϕ et on en d´eduit imm´ediatement la solution
particuli`ere y1 .

3.4.3

Application
2

R´esoudre l’´equation diff´erentielle y 0 + ty = e−t

/2

.

L’´equation homog`ene associ´ee qui s’´ecrit y 0 /y = −t a pour solution g´en´erale :
2

Y (t) = Ce−t

/2

28

´
CHAPITRE 3. CALCUL DIFFERENTIEL
POUR LES FONCTIONS D’UNE VARIABLE

On cherche une solution particuli`ere sous la forme
2

y1 (t) = u(t) e−t

/2

En reportant cette expression de y1 dans l’´equation diff´erentielle, on obtient u0 = 1, ce qui conduit
`a une solution particuli`ere u = t, c’est `
a dire `a :
2

y1 (t) = te−t

/2

D’apr`es le th´eor`eme 3.2, la solution g´en´erale est :
2

y(t) = (C + t)e−t

3.4.4

/2


esolution de y 00 + by 0 + cy = f .


esolution de l’´
equation homog`
ene associ´
ee.
L’´equation homog`ene associ´ee y 00 + by 0 + cy = 0 est r´esolue en recherchant des solutions de la
forme:
t 7→ y(t) = ert
En substituant y dans l’´equation ci-dessus, on aboutit `a l’´equation du second degr´e :
r2 + br + c = 0
appel´ee ´equation caract´eristique. Cette ´equation admet toujours deux solutions dans C, r1 et r2 .
Nous distinguerons diff´erents cas.
– Les solutions de l’´equation caract´eristiques sont non r´eelles. Pour une ´equation diff´erentielle
`a coefficients r´eels, on a n´ecessairement r1 = λ + iµ et r2 = λ − iµ.
– La solution

Y (t) = eλt C1 eiµt + C2 e−iµt
dans laquelle C1 et C2 sont des constantes complexes quelconques, est appel´ee solution
g´en´erale complexe de l’´equation homog`ene associ´ee.
– Si C2 = C1 , Y s’´ecrit :
Y (t) = eλt (D cos µt + E sin µt)
D et E sont des constantes r´eelles. Cette solution est la solution g´en´erale r´eelle de
l’´equation homog`ene associ´ee.
– Les solutions r1 et r2 de l’´equation caract´eristique sont r´eelles.
– Si r1 6= r2 , alors la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee est :
Y (t) = Der1 t + Eer2 t
– Si r1 = r2 = r, alors cette solution est :
Y (t) = (D + Et)ert
Dans les deux cas pr´ec´edents, D et E sont des constantes r´eelles.
Conform´ement `
a ce qui a ´et´e dit, la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee `a (3.2)
d´epend de deux constantes arbitraires.

´
´
´
`
3.4. EQUATIONS
DIFFERENTIELLES
LINEAIRES
DU 1ER ET DU 2EME
ORDRE.

29

Solution particuli`
ere de l’´
equation compl`
ete.
Nous nous restreindrons au cas o`
u le second membre a pour expression
f (t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)
dans laquelle ω est un param`etre r´eel.
a) Dans le cas o`
u iω n’est pas une racine de l’´equation caract´eristique, on cherche une solution
particuli`ere sous la forme
y1 (t) = α cos(ωt) + β sin(ωt)
Apr`es avoir report´e les expressions de y1 (t), y10 (t) et y100 (t) dans l’´equation compl`ete, on
obtient :




α(c − ω 2 ) + βbω − A cos(ωt) + −αbω + β(c − ω 2 ) − B sin(ωt) = 0
Cette ´equation devant ˆetre v´erifi´ee pour toute valeur de t, on en d´eduit que α et β sont
solutions du syst`eme d’´equations lin´eaires :
(c − ω 2 )α + bωβ = A
−bωα + (c − ω 2 )β = B
qui admet une solution unique (α, β).
b) Pla¸cons nous maintenant dans le cas o`
u iω est une racine de l’´equation caract´eristique. Remarquons que le polynˆ
ome caract´eristique ayant ses coefficients r´eels, −iω est l’autre solution
de l’´equation caract´eristique. On en d´eduit que b = 0 et c = ω 2 . Nous devons maintenant
r´esoudre l’´equation diff´erentielle
y 00 (t) + ω 2 y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)
– Si ω 6= 0, on cherche une solution particuli`ere de la forme
y1 (t) = t (α cos(ωt) + β sin(ωt))
En reportant cette expression dans l’´equation compl`ete, on obtient pour solution
α=−

B
,


β=

A


La solution particuli`ere peut alors s’´ecrire sous la forme
t
π
π
y1 (t) = −
A cos(ωt + ) + B sin(ωt + )

2
2
La solution particuli`ere est donc en quadrature de phase par rapport au second membre.
– Si ω = 0, l’´equation se r´eduit `a y 00 (t) = A dont une solution particuli`ere est y1 (t) =
At2 /2.
Au paragraphe suivant, nous appliquerons cette m´ethode pour r´esoudre l’´equation diff´erentielle qui
r´egit l’intensit´e du courant circulant dans un circuit o`
u on retrouve, mont´es en s´erie, une r´esistance
R, une self d’inductance L, un condensateur de capacit´e C et un g´en´erateur d´elivrant une tension
sinuso¨ıdale v(t) = v0 cos(ωt)

3.4.5

Application

R´esolvons l’´equation : Ly 00 +Ry 0 + Cy = ωv0 cos ωt dans laquelle R, L, C, v0 et ω sont des constantes
L
r´eelles positives. Nous nous limiterons aux cas o`
u R2 − 4 C
< 0.

30

´
CHAPITRE 3. CALCUL DIFFERENTIEL
POUR LES FONCTIONS D’UNE VARIABLE


esolution de l’´
equation homog`
ene associ´
ee.
On r´esout l’´equation caract´eristique :
Lr2 + Rr +

r
=0
C

L
Le discriminant ∆ = R2 −4 C
´etant n´egatif, l’´equation caract´eristique admet les solutions complexes

r
1
R2
R
,
−i

r1 = −
2L
LC
4L2

r
R
1
R2
r2 = −
.
+i

2L
LC
4L2

La solution g´en´erale r´eelle de l’´equation homog`ene associ´ee est
R
− 2L
t

Y =e

r
(A cos(Ωt) + B sin(Ωt))

avec

Ω=

1
R2

LC
4L2

Dans cette expression A et B sont des constantes r´eelles arbitraires.
Solution particuli`
ere de l’´
equation compl`
ete
La r´esistance d’un circuit ´etant g´en´eralement non nulle, les racines r1 et r2 ne pourront ´egaler
±iω. On cherche alors une solution de la forme
y1 (t) = α cos(ωt) + β sin(ωt)
Comme dans le cas g´en´eral, on reporte cette expression dans l’´equation compl`ete, et on aboutit `a
une syst`eme d’´equations lin´eaires par rapport `a α et β que l’on r´esout. On obtient alors la solution
particuli`ere :

Cv0 ω (1 − LCω 2 ) cos(ωt) + CRω sin(ωt)
y1 (t) =
(1 − LCω 2 )2 + C 2 R2 ω 2
Solution g´
en´
erale de l’´
equation compl`
ete
C’est la somme Y +y1 . Les constantes dont cette solution d´epend sont g´en´eralement d´etermin´ees
en fixant, `a un instant donn´e, les valeurs de y et y 0 .

3.5. EXERCICES DE NIVEAU 1

3.5

31

Exercices de niveau 1

Exercice 3.1 Calculer, l`
a o`
u elles existent, les diff´erentielles des fonctions suivantes :
f1 (x) = ln(3x),

f2 (x) = ln |x|,

f4 (x) = cos x2 ,

f5 (x) = cos2 x,

f3 (x) = tan x,
1
f6 (x) = √
.
x2 + 3

Exercice 3.2 Pour une petite variation de la variable, quelles sont la ou les affirmations correctes?
a) La diff´erentielle est ´equivalente `a la d´eriv´ee.
b) la valeur de la diff´erentielle est une valeur approch´ee de la d´eriv´ee.
c) La valeur de la diff´erentielle est une valeur approch´ee de la variation de la fonction.
Exercice 3.3 La valeur de la diff´erentielle en un point, par rapport `a celle de la variation de la
fonction est :
a) toujours plus petite
b) plus petite ou plus grande selon les cas
c) la mˆeme
d) toujours plus grande
Exercice 3.4 df = f 0 (x)dx est :
a) une expression approch´ee b) une d´efinition c) vraie de temps `a autre?
Exercice 3.5 Calculer les valeurs num´eriques de la variation et de la diff´erentielle au voisinage de
x = 2 de la fonction x 7→ ex , pour une variation de la variable de :
a) h1 = 0.01
b) h2 = 0.5
c) h3 = −0.01
Faire une repr´esentation graphique.
Exercice 3.6 Avec ε 1, laquelle ou lesquelles de ces ´ecritures sont correctes?
a) (1 + ε2 )n = 1 + nε + o(ε)

b) (1 + ε2 )n = 1 + 2nε + o(ε2 )

c) (1 + ε2 )n = 1 + 2nε + o(ε)

d) (1 + ε2 )n = 1 + nε2 + o(ε)

e) (1 + ε2 )n = 1 + nε2 + o(ε2 )

f) (1 + ε2 )n = 1 + nε + o(ε2 )

Exercice 3.7 Soit un disque de rayon R.
a) Calculer sa surface S.
b) Calculer l’accroissement de la surface lorsque le rayon passe de R `a R + a.
a
c) Si
1, trouver une approximation de l’accroissement par deux m´ethodes.
R
Exercice 3.8 D´eterminer toutes les fonctions solutions des ´equations diff´erentielles suivantes :
1) y 0 + 2y = x2 + 3

4) x00 + 2 3x0 + 3x = 0

2) y 0 sin x = y cos x
1
5) x00 + x0 + 3x = 0
2

3) x00 + 3x = 0
6) x00 + 4x0 + 3x = 0

32

3.6

´
CHAPITRE 3. CALCUL DIFFERENTIEL
POUR LES FONCTIONS D’UNE VARIABLE

Exercices

Exercice 3.9 On donne les fonctions suivantes :
f1 (x) = x,

1
sin x
, f4 (x) =
,
x
x
x
f7 (x) = e − 1, f8 = f2 + f3 .

f2 (x) = ln |x|,

f6 (x) = cos x,

f3 (x) =

f5 ≡ 1,

On demande quels sont tous les couples (fi , fj ) tels que fi = o(fj ), au voisinage de 0.
On demande quels sont tous les couples (fi , fj ) tels que fi (x) ∼ fj (x).
x→0



Exercice 3.10 (partie de l’interrogation du 12 11 99) On consid`ere la fonction f de − π2 , π2
dans R d´efinie par f (x) = tan x − 1. En utilisant la d´efinition de la diff´erentielle de f en x0 = π4 ,
trouver un ´equivalent de cette fonction au voisinage de π4 .
Exercice 3.11 (partie de l’interrogation du 08 11 96) On consid`ere la fonction F de la variable x donn´ee par :
2
2
`(eax /` − 1)(1 − cos ax
` )

F (x) =
.
`2 − ax2 − `
Dans cette expression, a est une constante sans dimension, x et ` sont deux grandeurs ayant
α mˆeme
dimension. Trouver une fonction ´equivalente `a F ayant une expression de la forme K x` , dans
le cas o`
u le rapport x` → 0. On pr´ecisera les valeurs de K et α.
Exercice 3.12 Calculer une valeur approch´ee de X =

50,1 e−0,005

.
(5,02)2 24,7

Exercice 3.13 Un pendule pesant assimilable `a un pendule simple est form´e d’une sph`ere tr`es
petite et tr`es dense plac´ee `
a l’extr´emit´e d’un fil dont la masse est n´egligeable devant celle de la
´
sph`ere et dont la dilatabilit´e lin´eaire moyenne entre 0◦ C et θ◦ C est une constante λm . Evaluer,
T −T0
n
grˆace `a une formule (1 + ) = 1 + n + o( ), la variation relative T0 de la p´eriode des petites
oscillations de ce pendule lorsque la temp´erature passe de 0 `a θ◦ C.
Retrouver le r´esultat en utilisant
la d´efinition de la diff´erentielle de T en θ = 0◦ C.
q
l
NB : On rappelle T = 2π g et l = l0 (1 + λm θ).
Exercice 3.14

A
Un ressort (R), `
a spires non jointives, a
pour raideur k et pour longueur `
a vide
l0 . On fixe une de ses extr´emit´es en A et
on accroche l’autre sur un solide (S) de
masse m. (S) peut glisser le long d’une
tige horizontale d’axe x0 Ox.

(R)
l
(S)
x

Lorsque le solide est `
a l’abscisse x, l’´energie potentielle du syst`eme a pour expression :
Ep =

p
1 2
kx + kl0 (l − x2 + l2 )
2

3.6. EXERCICES

33

la r´esultante des forces X appliqu´ees `a (S) a pour mesure alg´ebrique :


l0
x
X = −k 1 − √
l2 + x2
Que deviennent les expressions de Ep et X lorsque |x| l ?
Exercice 3.15 (partie de l’interrogation du 24 11 00)
y
On consid`ere une bielle dont le
sch´ema de principe est donn´e cicontre. Une tige m´ecanique relie
M1
les points M1 et M2 . M1 d´ecrit
un cercle de rayon R `
a la vitesse
R
angulaire ω constante. L’angle θ
θ
M2
rep`ere la position du bras de maO
nivelle (OM1 ) par rapport `
a l’hox
rizontale. M2 , rep´er´e par la coordonn´ee x, d´ecrit un segment de
droite. La distance M1 M2 sera
not´ee L.

1. Montrer que x peut se mettre sous la forme : x = R cos θ +L 1 − u. D´eterminer u en fonction
de R, θ et L.
x
2. En consid´erant le rapport λ = R
L petit devant 1, donner une expression de L en fonction de
2
2
λ et θ, de la forme a + bλ + cλ + o(λ ).
3. Calculer en coordonn´ees polaires la vitesse
dOM2
dt de
2

4. Calculer
la vitesse

L α + βλ + γλ2 + o(λ ) .

dOM1
dt

et l’acc´el´eration

d2 OM1
dt2

du point M1 .

M2 en cart´esiennes, puis l’´ecrire sous la forme :

Exercice 3.16 L’espace est rapport´e au rep`ere (O, i, j, k). Une charge q est plac´ee au point B de
coordonn´ees (a, 0, 0), (a > 0), une autre, −q, au point A de coordonn´ees (−a, 0, 0). Ce syst`eme
cr´ee en un point M le potentiel ´electrostatique V donn´e par :


q
1
1
V =

.
4πε0 BM
AM
On pose OM = r, θ = (i,\
OM). On suppose que r a. Montrer que le potentiel peut s’´ecrire :
2
a
qa cos θ
+o
.
V =
2πε0 r2
r2
Exercice 3.17 Un point mat´eriel M est anim´e d’un mouvement circulaire de centre O et de rayon
R. On consid`ere le rep`ere R = (O, i, j). On note OM = Rur le rayon vecteur tel que (i, ur ) = θ.
L’unitaire directement orthogonal `
a ur est not´e uθ , l’angle θ ´etant fonction du temps.
– Exprimer les vecteurs ur et uθ dans la base (i, j).
OM
– D´eterminer les coordonn´ees vectorielles du vecteur vitesse v =
dans la base (i, j), puis
dt
dans la base (ur , uθ ).
– Mˆemes questions avec le vecteur acc´el´eration a = dv
dt .

34

´
CHAPITRE 3. CALCUL DIFFERENTIEL
POUR LES FONCTIONS D’UNE VARIABLE

Exercice 3.18 Un condensateur de capacit´e C pr´esente initialement une diff´erence de potentiel
U0 = VA − VB entre ses armatures A et B.
A l’instant t = 0, les armatures sont reli´ees `a un r´esistor de r´esistance R.
A l’instant t, (t > 0), on note :
– q la charge de l’armature A,
– u = VA − VB la diff´erence de potentiel entre les armatures A et B,
– i l’intensit´e du courant de d´echarge compt´ee positivement de A vers B,
q, u et i sont des fonctions du temps t.
´
Etablir
l’´equation diff´erentielle reliant la fonction u et sa d´eriv´ee premi`ere. En d´eduire u, puis i.
Exercice 3.19 (Charge et d´echarge dans un circuit RC.)
1. La d´echarge d’un condensateur de capacit´e C dans une r´esistance R est d´ecrite par l’´equation
diff´erentielle (voir l’exercice 3.18) :
R

q
dq
+
= 0,
dt
C

avec q(0) = Q.

D´eterminer la fonction q(t) d´ecrivant l’´evolution de la charge du condensateur puis la fonction
i(t) = − dq
ecrivant l’´evolution du courant traversant la r´esistance.
dt d´
La d´echarge est-elle plus ou moins rapide lorsque la capacit´e augmente?
2. La charge d’un condensateur de capacit´e C `a travers une r´esistance R par une pile de f.e.m.
E est d´ecrite par l’´equation diff´erentielle :
R

dq
q
+
= E,
dt
C

avec q(0) = 0.

D´eterminer la fonction q(t) d´ecrivant l’´evolution de la charge du condensateur puis la fonction
´
i(t) = dq
ecrivant l’´evolution du courant traversant la r´esistance. Ecrire
les fonctions q(t)
dt d´
et i(t) si la condition initiale est q(0) = Q. La valeur de la charge au bout d’un temps tr`es
long est-elle diff´erente de celle obtenue dans le premier cas?
Exercice 3.20 (´equation diff´erentielle du premier ordre `a coefficients variables)
1. Solution particuli`ere ´evidente : R´esoudre sur ]0, π[ l’´equation diff´erentielle suivante :
y 0 sin x − y cos x = 1.
2. Variation de la constante : R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :
xy 0 − y = x2 ex sur ]0, +∞[ ,

y 0 + 2y = x2 − 2x + 3,

y0 + y =

1
.
1 + ex

Exercice 3.21 (Principe de superposition)
1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle : y 00 (t) + y(t) = sin t.
2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle : y 00 (t) + y(t) = sin 3t.
3. En d´eduire la solution de l’´equation diff´erentielle : y 00 (t) + y(t) = sin3 t.
Exercice 3.22 (´equation diff´erentielle du second ordre `a coefficients constants sans second membre)
Soit l’´equation : y 00 (t) + 2γy 0 (t) + ω02 y(t) = 0, t ∈ R+ , avec γ (facteur d’amortissement) et ω0 (pulsation propre) deux constantes positives.
1. On se place dans le cas o`
u il y a deux solutions exponentielles distinctes `a valeurs exclusivement r´eelles. Montrer que la solution g´en´erale tend vers 0 lorsque t tend vers l’infini.

3.6. EXERCICES

35

2. On se place dans le cas o`
u il y a deux solutions exponentielles distinctes `a valeurs complexes.
Montrer que les solutions r´eelles peuvent se mettre sous la forme Ae−γt cos(ωt + φ) et donner
une forme approch´ee de ω lorsque γ ω0 . Comment se comportent ces solutions pour
t → +∞?
3. On se place dans le cas o`
u il y a une seule solution exponentielle de la forme er0 t . Montrer
r0 t
que la fonction te
est ´egalement solution. En d´eduire la forme de la solution g´en´erale.
Comment se comporte cette solution pour t → +∞?
Exercice 3.23 (partie de l’interrogation du 26 01 01) Une masse m est attach´ee `a un ressort de raideur k. `
a la suite d’un s´eisme, le point d’attache subit une vibration sinuso¨ıdale d’amplitude Z0 et de pulsation Ω 6= ω0 . Au d´ebut du s´eisme, pris comme origine des temps, la masse
est immobile `
a l’origine d’un axe Oz vertical ascendant (z(0) = 0), et re¸coit, par suite de la secousse, une impulsion qui lui communique une vitesse initiale dz
equation diff´erentielle du
dt = V0 . L’´
mouvement de la masse est alors la suivante :
d2 z
+ ω02 z = Z0 cos Ωt,
dt2

avec ω02 =

k
.
m

1. Chercher une solution particuli`ere de cette ´equation de la forme :
z = A cos Ωt + B sin Ωt,
en d´eterminant A et B en fonction de Z0 , ω0 et Ω.
2. Donner la solution g´en´erale de cette ´equation, puis d´eterminer la solution qui v´erifie les
conditions initiales.
Exercice 3.24 On consid`ere une fonction f bijective et deux fois d´erivable d’un intervalle I sur
un intervalle J de R. On d´efinit alors la fonction r´eciproque g de f not´ee f −1 :
x ∈ I 7→ y = f (x)

⇐⇒

y ∈ J 7→ x = g(y)

En utilisant la formule de d´erivation d’une fonction compos´ee, calculer g 0 (y) en fonction de f 0 et
g. Calculer de mˆeme g 00 (y) en fonction de f 0 , f 00 et g. Calculer g 0 dans le cas suivant :
x ∈ [0, π] 7→ f (x) = cos x.
Exercice 3.25 (´equation diff´erentielle du second ordre `a coefficients constants avec second membre
sin) Soit l’´equation :
y 00 (t) + 2γy 0 (t) + ω02 y(t) = a sin(ωt),
avec γ, ω0 , A et ω des constantes positives.
1. Montrer que cette ED admet comme solution une fonction sinuso¨ıdale de pulsation ω dont
on pr´ecisera l’amplitude y1 et la phase φ.
2. Transformer les expressions de y1 et de φ en faisant apparaˆıtre la variable X = ωω0 et la
constante Q = ω2γ0 . Que deviennent ces expressions pour γ → 0?
3. Comment seront modifi´ees les expressions de l’amplitude et la phase lorsque l’on remplace
sin(ωt) par cos(ωt) dans le second membre?

36

´
CHAPITRE 3. CALCUL DIFFERENTIEL
POUR LES FONCTIONS D’UNE VARIABLE

Exercice 3.26 (Mouvement d’une charge dans un champ magn´etique B)
Le mouvement d’une charge ´electrique q de
masse m dans un champ magn´etique B
constant ob´eit `
a l’´equation diff´erentielle vectorielle :
dr
d2 r
m 2 =q
∧B
dt
dt
o`
u r(t) est le vecteur position de la particule
`a l’instant t. On note dr
dt = v(t). On suppose
qu’`a l’instant t = 0, r(0) = 0 et v(0) = v0 ,
\
avec (B,v
0 ) = α.
On choisit l’axe Oz parall`ele au vecteur B.

z
z(t)
v0

α

B

r(t)

y(t)

y

x(t)
x

´
1. Ecrire
les trois ´equations diff´erentielles auxquelles ob´eissent les trois composantes x(t), y(t)
et z(t) du vecteur r(t).
2. Montrer que les d´eriv´ees x0 (t) et y 0 (t) des composantes x(t) et y(t) sont solution de la mˆeme
´
´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 2. Ecrire
les conditions aux limites auxquelles ob´eissent
x0 (t) et y 0 (t) et d´eterminer ces deux fonctions.
3. D´eterminer les composantes du vecteur r(t). Quelle est la projection de la trajectoire dans le
plan perpendiculaire `
a B?
Exercice 3.27 (Changement de variable) On consid`ere l’´equation : (1 − x2 )y 00 − xy 0 + y = 0.
1. Int´egrer cette ´equation pour −1 < x < 1. On posera x = sin t puis on utilisera la fonction
z(t) = y(sin t).
2. Int´egrer cette ´equation pour x > 1 (on posera x = ch t) et pour x < −1.
3. En d´eduire les solutions sur R.
Exercice 3.28
1. Trouver toutes les applications f de classe C 2 sur R telles que : ∀x ∈ R, f 0 (x) = f (λ − x)
(On utilisera une d´erivation).
2. Trouver toutes les applications f de classe C 2 sur R∗+ telles que : ∀x > 0, f 0 (x) = f ( x1 ) (On
utilisera le changement de variable x = et , d’o`
u z(t) = y(et )).

3.7. CORRECTION (EXERCICES DE NIVEAU 1)

3.7

37

Correction (exercices de niveau 1)

dx
dx
Correction de l’exercice 3.1 df1 =
df2 =
x
x
−x
dx.
df5 = −2 sin x cos x dx df6 = 2
(x + 3)3/2

df3 =

dx
cos2 x

df4 = −2x sin x2 dx

Correction de l’exercice 3.2 c)
Correction de l’exercice 3.3 b)
Correction de l’exercice 3.4 b)
Correction de l’exercice 3.5
Variation
Valeur de la diff´erentielle
o(h)

h1
0,0742612
0,0738906
0,0003707

h2
4,7934379
3,6945280
1,0989098

h3
-0,0735223
-0,0738906
0,0003682

Repr´esentation graphique : voir page 23.
Correction de l’exercice 3.6 e)
Correction de l’exercice 3.7 a) πR2 b) δS = 2πRa + πa2
a2
r´eponse b) en faisant apparaˆıtre 2 , soit par diff´erentiation.
R

c) δS ≈ 2πRa, soit `a partir de la

Correction de l’exercice 3.8
1) y(x) = 12 x2 − 12 x + 74 + c1 e−2x . La solution particuli`ere est `a d´eterminer par deux int´egrations
par parties successives.
2) y(x) = c1 sin√
x.

3) x(t) = c1 sin√ 3t + c2 cos
3t.

4) x(t) = c1 e− 3t + c√2 te− 3t .

47t
−t/4
5) x(t) = c1 e−t/4 sin 47t
+
c
e
cos
2
4
4 .
−t
−3t
6) x(t) = c1 e + c2 e .

38

´
CHAPITRE 3. CALCUL DIFFERENTIEL
POUR LES FONCTIONS D’UNE VARIABLE

39

Chapitre 4

Fonctions de plusieurs variables
4.1


en´
eralit´
es

– On consid`ere ici des fonctions r´eelles de deux ou trois variables r´eelles, c’est-`a-dire des applications (x, y) 7→ f (x, y) ou (x, y, z) 7→ f (x, y, z) d´efinies sur une partie de R2 ou R3 , `a valeurs
dans R.
(x, y, z) ´el´ement de R3 est un triplet de r´eels, mais pourra ˆetre aussi consid´er´e comme un
point m de l’espace affine E de dimension 3 rapport´e `a un rep`ere (O, ex , ey , ez ), ou encore
comme un vecteur v de E espace des vecteurs de dimension 3, muni d’une base (ex , ey , ez ).
v = xex + yey + zez = Om.
– R3 est, comme E, muni d’une structure d’espace vectoriel :
∀(x, y, z) ∈ R3
∀(x0 , y 0 , z 0 ) ∈ R3
∀λ ∈ R

(x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 )
λ(x, y, z) = (λx, λy, λz).

les calculs avec ces deux op´erations se faisant comme les calculs sur les vecteurs.
– R3 est, comme E, muni du produit scalaire et de la norme habituelle :
p
||(x, y, z)|| = ||v|| = x2 + y 2 + z 2 .
– On appellera boule ouverte de centre m0 = (x0 , y0 , z0 ), de rayon R > 0 la partie de R3 :
B(m0 , R) = {(x, y, z) ∈ R3 | ||(x, y, z) − (x0 , y0 , z0 )|| < R}
= {(x, y, z) ∈ R3 | (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 < R2 }
c’est-`
a-dire l’int´erieur d’une sph`ere de centre m0 et de rayon R.
On dira qu’une partie U de R3 est un ouvert, si tout point de U est le centre d’une boule
ouverte contenue dans U .
Exemples :

R3 ,

R3 \ {(0, 0, 0)},

{(x, y, z) | x > 0} sont des ouverts.

40

CHAPITRE 4. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

4.2

Continuit´
e

Soit f d´efinie sur un ouvert U de R3 , `
a valeurs dans R :
(x, y, z) 7→ f (x, y, z).

4.2.1

Continuit´
e partielle

On d´efinit les applications partielles en un point m0 = (x0 , y0 , z0 ) de U :
– L’application : x 7→ f (x, y0 , z0 )) est une fonction d’une seule variable r´eelle x ; on dit que c’est
la premi`ere application partielle associ´ee `a f au point m0 .
De mˆeme, y 7→ f (x0 , y, z0 ) est la seconde et z 7→ f (x0 , y0 , z) est la troisi`eme application
partielle associ´ee `
a f au point m0 .
– Si l’application x 7→ f (x, y0 , z0 ) est continue au point x0 , c’est-`a-dire :
lim f (x, y0 , z0 ) = f (x0 , y0 , z0 ),

x→x0

on dit que f est continue par rapport `
a x au point m0 . De mˆeme, f peut ˆetre continue par
rapport `
a y et/ou par rapport `
a z au point m0 .

4.2.2

Continuit´
e. Lien avec la continuit´
e partielle

– Si, lorsque ”m tend vers m0 ”, c’est-`
a-dire lorsque km0 mk tend vers 0, la diff´erence f (m) − f (m0 )
tend vers 0, on dira que f est continue au point m0 . Cela s’´ecrit :
h
i
lim
f (x, y, z) − f (x0 , y0 , z0 ) = 0.
k(x,y,z)−(x0 ,y0 ,z0 )k→0

– Il est facile de voir que, si f est continue en m0 , alors les applications partielles sont continues
respectivement en x0 , y0 et z0 . Mais la r´eciproque est fausse, comme le montre l’exemple :

 f (x, y) = xy
si (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2

f (0, 0) = 0
En m0 = (0, 0), les deux applications partielles x 7→ f (x, 0) et y 7→ f (0, y) sont nulles, donc
continues en 0.
1
En revanche, f (x, y) − f (0, 0) = lorsque y = x et x 6= 0, donc ne tend pas vers 0 quand
2
p
x2 + y 2 → 0. f n’est donc pas continue en (0, 0).
– Propri´et´es des applications continues en un point (admises) : la somme, le produit, le quotient
f /g lorsque g(m0 ) 6= 0 de deux fonctions continues au point m0 sont continues au point m0 .

4.3
4.3.1


eriv´
ees partielles, diff´
erentielle

eriv´
ees partielles

On appelle d´eriv´ee partielle de f par rapport `a x au point (x0 , y0 , z0 ) la d´eriv´ee en x0 de la
premi`ere application partielle de f en (x0 , y0 , z0 ), c’est-`a-dire :
∂f
f (x, y0 , z0 ) − f (x0 , y0 , z0 )
(x0 , y0 , z0 ) = lim
x→x0
∂x
x − x0
si cette limite existe dans R. De mˆeme, on d´efinit

∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 ) et
(x0 , y0 , z0 ).
∂y
∂z

´
´
´
4.3. DERIV
EES
PARTIELLES, DIFFERENTIELLE
Exemple :

Pour (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) =

41

xy
. On a :
x2 + y 2

∂f
y(y 2 − x2 )
(x, y) = 2
∂x
(x + y 2 )2

∂f
x(x2 − y 2 )
(x, y) = 2
∂y
(x + y 2 )2

Si l’on pose f (0, 0) = 0 alors :
∂f
f (x, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = lim
= 0,
x→0
∂x
x

4.3.2

∂f
(0, 0) = 0.
∂y

Diff´
erentiabilit´
e


efinition : Soit f d´efinie sur un ouvert U de R3 `a valeurs dans R. Soit m0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ U .
f est dite diff´erentiable en m0 si il existe 3 r´eels a(m0 ), b(m0 ) et c(m0 ) tels que, quel que soit
(h, k, l) ∈ R3 tel que (x0 + h, y0 + k, z0 + l) ∈ U , on a :

f (x0 + h, y0 + k, z0 + l) − f (x0 , y0 , z0 ) = a(x0 , y0 , z0 )h + b(x0 , y0 , z0 )k + c(x0 , y0 , z0 )l + o k(h, k, l)k
quand k(h, k, l)k → 0.
Propri´
et´
e:
Notation :

Si f est diff´erentiable en m0 , alors f est continue en m0 .
On pose :
dfm0 (h, k, l) = a(m0 )h + b(m0 )k + c(m0 )l.

dfm0 est appel´ee la diff´erentielle de f en m0 . C’est une application lin´eaire de R3 dans R.
Exemples :
– Pour une fonction d’une variable, «f d´erivable en x0» ´equivaut `a «f diff´erentiable en x0» et
df
on a dfx0 (h) = hf 0 (x0 ) = h (x0 ).
dx
– Les applications coordonn´ees (x, y, z) 7→ x, (x, y, z) 7→ y et (x, y, z) 7→ z sont diff´erentiables
en tout point de R3 , et leur diff´erentielle en tout point leur est ´egale :
dx(x0 ,y0 ,z0 ) (h, k, l) = h, ∀(x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 .
On note alors dx(h, k, l) = h ou mˆeme dx = h par abus.
Nouvelle ´
ecriture :
∀(h, k, l) ∈ R3 ,

dfm0 (h, k, l) = a(m0 )dx(h, k, l) + b(m0 )dy(h, k, l) + c(m0 )dz(h, k, l)

On notera donc :
dfm0 = a(m0 )dx + b(m0 )dy + c(m0 )dz.
Si f est diff´erentiable non seulement en un point m0 , mais en tout point de U , on obtient :
df = adx + bdy + cdz.
Pour f diff´erentiable en un point m0 :
δf = f (m0 + dm) − f (m0 ) = dfm0 (dm) + o(||dm||)
= a(m0 )dx + b(m0 )dy + c(m0 )dz + o(||dm||).

42

CHAPITRE 4. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

o`
u dm repr´esente (h, k, l), petite variation de m0 . Par abus, dx, dy, dz repr´esentent une petite
variation de x `
a partir de x0 , . . . etc. . .
On voit que la quantit´e dfm0 (dm) repr´esente une approximation de δf , le terme o(||dm||) ´etant
un infiniment petit d’ordre sup´erieur `
a 1 par rapport `a ||dm||.
Lien avec les d´
eriv´
ees partielles.
– Si f est diff´erentiable en m0 , alors
df(x0 ,y0 ,z0 ) =

∂f ∂f ∂f
,
,
existent en m0 et on a :
∂x ∂y ∂z

∂f
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 )dx +
(x0 , y0 , z0 )dy +
(x0 , y0 , z0 )dz.
∂x
∂y
∂z

(on a d´etermin´e a, b, c de la d´efinition.)
∂f ∂f ∂f
,
,
existent au voisinage de
dx ∂y ∂z
m0 et sont continues en m0 , (on dit que f est de classe C1 en m0 ), alors f est diff´erentiable en
m0 . En pratique, on consid´erera essentiellement des applications de classe C1 sur un ouvert
U , donc diff´erentiables en tout point de U .

– La r´eciproque de ce th´eor`eme est fausse. En revanche, si

4.4


eriv´
ees partielles secondes. Th´
eor`
eme de Schwarz.
∂f ∂f
∂f
,
et
existent sur un ouvert contenant un point (x0 , y0 , z0 ), elles peuvent admettre
∂x ∂y
∂z
des d´eriv´ees partielles en (x0 , y0 , z0 ) :

– Si

∂2f
∂2f
∂2f
(x0 , y0 , z0 ),
(x0 , y0 , z0 ),
(x0 , y0 , z0 )
2
2
∂x
∂y
∂z 2
∂2f
∂ ∂f
∂2f
∂ ∂f
(x0 , y0 , z0 ) =
(x0 , y0 , z0 ),
(x0 , y0 , z0 ) =
(x0 , y0 , z0 )
∂x∂y
∂x ∂y
∂y∂x
∂y ∂x
. . . etc. . . (9 d´eriv´ees partielles secondes de f au point (x0 , y0 , z0 ).)
– Th´
eor`
eme de Schwarz. Si, pour un couple de deux variables distinctes, par exemple x et
∂2f
∂2f
y,
et
existent au voisinage de m0 et sont continues au point m0 , alors elles sont
∂x∂y
∂y∂x
´egales en ce point. En particulier, si f admet sur U des d´eriv´ees partielles secondes continues
(autrement dit, f est de classe C2 sur U ), alors on peut affirmer que l’ordre de d´erivation n’a
pas d’importance :
∂2f
∂2f
=
,
∂x∂y
∂y∂x

4.5

∂2f
∂2f
=
,
∂y∂z
∂z∂y

∂2f
∂2f
=
.
∂z∂x
∂x∂z

Op´
erations sur les applications diff´
erentiables

– On montre que, si f et g sont diff´erentiables en m0 , si λ ∈ R, alors f + g et λf sont
diff´erentiables en m0 et :
d(f + g)m0 = dfm0 + dgm0
d(λf )m0 = λdfm0 .


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