Théorie des Circuits Linéaires Exercices résolus .pdf



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Département TIN
(Techniques industrielles)

Filière

Microtechnique

Exercices résolus
Théorie des Circuits Linéaires

Bernard Schneider
www.iai.heig-vd.ch
Copyright © Bernard Schneider, 2009-2012

Yverdon-les-Bains, le 13 septembre 2012

Théorie des circuits linéaires

HEIG-VD

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Théorie des circuits linéaires

Table des matières
Chapitre 1

Bases de l’électricité ................................................................................................................... 4

1.1

L’électricité ... virtuelle ou réelle ?..................................................................................................... 4

1.2

Les emplois de l’électricité ................................................................................................................. 4

1.3

Règles de notations et unités .............................................................................................................. 4

1.4

Grandeurs physiques de base de la mécanique ................................................................................... 5

1.5

Grandeurs de base de l’électricité..................................................................................................... 16

Chapitre 2

Théorie des circuits linéaires .................................................................................................... 26

2.1

Principes généraux ........................................................................................................................... 26

2.2

Circuits électriques ........................................................................................................................... 26

2.3

Combinaisons simples de résistances ............................................................................................... 29

2.4

Sources de tension et de courant ...................................................................................................... 34

2.5

Méthode de réduction des circuits .................................................................................................... 40

Chapitre 3

Alimentation électriques ........................................................................................................... 74

3.1

Alimentations à tension continue – piles et batteries ....................................................................... 74

3.2

Alimentations à tension continue – moteurs DC .............................................................................. 77

3.3

Alimentations à tension alternative .................................................................................................. 81

3.4

Alimentations à tension alternative triphasée ................................................................................... 86

3.5

Conception de l’alimentation des machines ..................................................................................... 96

Chapitre 4

Régimes sinusoïdaux ................................................................................................................ 98

4.1

Représentation complexe des signaux sinusoïdaux .......................................................................... 98

4.2

Les condensateurs........................................................................................................................... 100

4.3

Les inductances .............................................................................................................................. 101

4.4

Calculs d’impédance ...................................................................................................................... 101

4.5

Fonction de transfert et diagramme de Bode .................................................................................. 120

Chapitre 5

Régimes transitoires ............................................................................................................... 141

5.1

Régime transitoire de systèmes électriques .................................................................................... 141

5.2

Modélisation de phénomènes non électriques ................................................................................ 158

Chapitre 6

Annexe.................................................................................................................................... 162

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Théorie des circuits linéaires

Chapitre 1

1.1

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Bases de l’électricité

L’électricité ... virtuelle ou réelle ?

(Pas d’exercices spécifiques.)

1.2

Les emplois de l’électricité

(Pas d’exercices spécifiques.)

1.3

Règles de notations et unités

Exercice 1.3.1

Notations

a) Exprimer sous forme décimale les expressions suivantes :
10

3

10-2

4 · 105

3 · 10-3

5,1 · 10-2

980 · 10-1

7,21 · 106

b) Convertir les nombres suivants en utilisant des exposants et un seul chiffre avant la virgule :
38’000

43'300’000

0,000 3

0,000 000 752

10,000 435

c) Convertir les nombres suivants en utilisant des exposants multiples de 3 :
38’000

43'300’000

0,000 3

0,000 000 752

10,000 435

 Réponse – a
1'000

0,01

400’000

0,003

0,051

98

7'210'000

 Réponse – b
3,8 · 104
4

4,33 · 107

3 · 10-4

7,52 · 10-7

1,000 04 · 101

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 Réponse – c
38 · 103

Exercice 1.3.2

43,3 · 106

300 · 10-6

752 · 10-9

10,000 04 · 100

Préfixes d’unités

Quelle valeur est associée aux préfixes SI suivants ?
kilo

micro

milli

méga

nano

giga

10-3

106

10-9

109

 Réponse
103

10-6

Exercice 1.3.3

Conversion en unités SI de base

Exprimez le cheval-vapeur en unités SI de base
 Réponse

[C ]

1.4

3 [ ]

3 [ ]
s

m
3 [
]
s

m
3 [ s

s

m
]

3 [

m
]
s3

Grandeurs physiques de base de la mécanique

Exercice 1.4.1

Vitesse moyenne

Pour se rendre d’Yverdon à Lausanne, villes distantes de 3 ,
minutes.

m l’une de l’autre, un camion met 43

a) Quelle a été sa vitesse moyenne, exprimée en km/h ?
b) Et en m/s ?

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 Réponse – a
Conversion des unités :
= 43 min = 0,717 h
= 37,2 km

Il est possible de calculer en une seule étape en convertissant directement les unités

Remarque :

En écrivant systématiquement les unités et en les simplifiant, comme on le ferait avec
des coefficients multiplicateurs qui apparaîtraient au numérateur et au dénominateur, il
est possible de vérifier que le calcul al ébrique a été correctement posé. L’unité du
résultat doit correspondre à celle de la grandeur calculée.

 Réponse – b
m
min

Exercice 1.4.2

m
m
s
min

m
min

m
m

min
s

ms

Durée d’un déplacement

A l’aide d’une rue, on souhaite transporter une palette de briques sur une distance de
permet d’accélérer et de freiner à 0, m s2.

m. Le moteur

a) Combien de temps durera le déplacement si la vitesse est limitée à vmax_a = 0,8 m/s ?
b) Combien de temps durerait le déplacement si la vitesse n’était pas limitée par le moteur ?
c) Quel serait alors la vitesse maximum atteinte à mi-chemin ?
 Réponse – a
On calcule d’abord la durée de l’accélération :

La distance parcourue pendant l’accélération vaut alors :

Le freina e dure le même temps que l’accélération. La distance parcourue au freina e
parcourue pendant l’accélération
.

est égale à celle

La distance qui reste à parcourir alors que la vitesse est constante vaut :

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Le temps nécessaire pour parcourir cette distance à vitesse constante vaut :

On obtient ainsi la durée totale du déplacement :

 Réponse – b
Si la vitesse était illimitée, la rue accélérerait d’abord pendant une certaine durée, puis freinerait
immédiatement pendant une durée identique. La distance parcourue pendant l’accélération
serait donc
la moitié de la distance totale à parcourir, soit 6 m.
Soit
suit :

la vitesse atteinte à la fin de l’accélération. Elle dépend de la durée de l’accélération

Par ailleurs, la nouvelle distance parcourue pendant l’accélération
et
comme suit :

peut être calculée à partir de

On obtient ainsi un système de 2 équations à 2 inconnues. En remplaçant
valeur de la 1ère équation, nous avons :
(

comme

dans la 2ème équation par sa

)

On peut ainsi calculer la durée de l’accélération :




Le freina e durera le même temps que l’accélération. Le déplacement durera ainsi :

 Réponse – c
La vitesse maximum atteinte à mi-chemin vaut :

Vérification :

qui est bien la distance totale parcourue.

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Exercice 1.4.3

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Distance parcourue

La même grue (Exercice 1.4.2), dont la vitesse est limitée à 0,8 m/s, déplace une charge en 8 secondes. En
admettant qu’elle accélère et freine à 0, m s2, quelle distance a-t-elle parcouru ?
 Réponse
Durée de l’accélération :

Le freina e dure le même temps que l’accélération. En 8 secondes, la rue a exactement le temps d’accélérer
à sa vitesse max. de 0,8 m s, puis de freiner. La distance parcourue pendant l’accélération vaut alors :

La distance parcourue au freina e est é ale à celle parcourue pendant l’accélération. Comme le freina e suit
immédiatement l’accélération, la distance parcourue vaut :

Exercice 1.4.4

Vitesse moyenne, vitesse max.

A Atlanta en 1996, le canadien Donovan Bailey a battu le record olympique du 100 mètres en 9,84 secondes.
a) Quelle était sa vitesse moyenne ?
b) En admettant qu’il lui ait fallu ,8 secondes pour atteindre sa vitesse maximale, puis qu’il ait couru
toujours à la même vitesse, quelle fut sa vitesse maximale ?
 Réponse – a
Vitesse moyenne :

 Réponse – b
Vitesse maximale :
Soit
vaut :

sa vitesse maximale, qu’il s’a it de calculer. La distance parcourue pendant son accélération

Distance qu’il lui reste à parcourir après son accélération :

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Temps nécessaire pour parcourir cette distance :

Or,

peut être calculé à partir du temps total et de la durée de l’accélération qui sont connus :

Des deux équations ci-dessus on tire :

Et finalement :

Exercice 1.4.5
{volontairement laissé vide}

Exercice 1.4.6

Poids d’une masse

Un bloc de ciment a une masse m de 40 kg. Quelle force faut-il exercer pour la tenir en l'air (à l'arrêt) ?
 Réponse

Exercice 1.4.7

Couple, moment d’une force

Pour assembler un moteur, il ne faut pas serrer les boulons avec un couple de serrage supérieur à 110 Nm
sous peine d’endomma er les filets. En supposant que l’on dispose d’une clé de 3 cm de lon ueur, quelle
force maximum peut-on exercer à son extrémité sans dépasser le couple de serrage autorisé ?
 Réponse
m
m

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Théorie des circuits linéaires

Exercice 1.4.8

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Couple d’un treuil

 30 cm

Le cylindre d’un treuil a un diamètre de 30 cm. Quel couple faut-il exercer pour lever une charge de 200 kg ?

r

F

 Réponse
La force exercée sur le câble du treuil correspond au poids de la charge :

Le rayon r du cylindre est égal au demi-diamètre, soit 0,15 m.
Le couple T vaut donc :

Exercice 1.4.9

Énergie potentielle 1 – travail

Imaginons un treuil levant une masse de 50 kg sur une hauteur de 10 mètres. Calculer le travail que doit
exercer un ouvrier pour faire monter la masse.
 Réponse
Pour élever une masse de 50 kg, il faut lui appliquer une force égale à son poids, exprimé en [N] :
Le travail exercé vaut:

Exercice 1.4.10

Énergie potentielle 2

Le lac de la Grande Dixence contient 339 millions de mètres cubes d’eau. La différence d’altitude entre la
surface du lac et les turbines au bord du Rhône est de '884 mètres. Quelle est l’éner ie potentielle
disponible pour la fabrication d’électricité ?

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 Réponse
L’éner ie potentielle de cette eau correspond au travail qu’il aurait fallu pour l’élever de la hauteur donnée.
La masse d’un mètre cube d’eau est de tonne, soit '000 . Son poids s’obtient en multipliant sa masse par
l’accélération terrestre. On obtient ainsi :
(
Remarque :

Exercice 1.4.11

)
Dans ce calcul, on n’a pas tenu compte des pertes, et supposé un rendement de 00 %.

Puissance d’une grue

Une rue élève une caisse de 600

d’une hauteur de 0 m en

s. Quelle est la puissance développée ?

 Réponse

Exercice 1.4.12

Couple d’un moteur

Selon le catalo ue, le moteur d’une voiture a une puissance de 9
couple correspondant ?

à 4’000 r min. Quel est la valeur du

 Réponse
Vitesse angulaire du moteur en rad/s :

On en déduit :

Exercice 1.4.13

Énergie cinétique – 1

Un tennisman expédie une balle de tennis à 30 m h. Sachant qu’une telle balle a une masse de 8 , quelle
est son énergie cinétique juste après le lancer ?
 Réponse
Vitesse de la balle en m/s :

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L’éner ie cinétique vaut :

Exercice 1.4.14

Énergie cinétique – 2

Un TG d’une masse totale de 490 tonnes est lancé à 300 m h. Calculer son éner ie cinétique.
 Réponse
Vitesse du TGV en m/s :

L’éner ie cinétique du TG vaut :

Exercice 1.4.15

Énergie cinétique – 3

a) Une voiture de 1,5 t est lancée à 50 km/h. Quelle est son énergie cinétique ?
b) Supposant qu’elle accélère à 60 m h. Que devient son éner ie cinétique ?
c) Comparer l’au mentation de vitesse et celle de l’éner ie, exprimées en %, et expliquer la différence.
 Réponse – a
Vitesse initiale de la voiture en m/s :

Énergie cinétique :

 Réponse – b
Vitesse après accélération :

Énergie cinétique :

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 Réponse – c
Augmentation de vitesse :

Au mentation de l’inertie :

Quand la vitesse au mente de 0%, alors l’éner ie cinétique au mente de 44%.
On constate que l’éner ie cinétique au mente avec le carré de la vitesse.

Exercice 1.4.16

Vitesse d’une boule de billard au retour

Dans un bowling automatique, un dispositif renvoie la boule en lui imposant une vitesse v. On suppose que
celle-ci roule sans aucun frottement jusqu’à l’arrivée, vers les joueurs, et que cette vitesse est constante
pendant tout le trajet. A l’arrivée, la boule franchit un seuil de hauteur h avant de s’arrêter.

ω
v

h

La boule a une masse m = 6 kg. Son diamètre vaut d = 22 cm. Son inertie vaut J = 0,029 kgm2. Sa vitesse
v = 2,2 m/s.
a) Quelle est son énergie cinétique de translation (déplacement linéaire) ?
b) Quelle est son énergie cinétique de rotation (sur elle-même) ?
c) Quelle est l’éner ie potentielle disponible à l’arrivée pour franchir le seuil ?
d) Quelle est la hauteur max. h du seuil que la boule pourra franchir à l’arrivée ?
 Réponse – a

 Réponse – b
L’éner ie cinétique de la boule comporte un terme de translation et un terme de rotation. La vitesse de
rotation vaut :

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 Réponse – c

 Réponse – d
m

Exercice 1.4.17

Énergie d’une pile

Sachant qu’une pile neuve serait capable d’alimenter une ampoule électrique de ,
calculer l’éner ie disponible.

pendant , heure,

 Réponse
h

Exercice 1.4.18

s
h

Rendement d’un moteur

Un moteur électrique développe une puissance mécanique de
électrique de 24 kW. Calculer son rendement.

, alors qu’il absorbe une puissance

 Réponse

Exercice 1.4.19
{volontairement laissé vide}

Exercice 1.4.20

Rendement d’une centrale nucléaire

La puissance électrique fournie par une centrale nucléaire comme celle de Gösgen est de 1'165 MW. Son
rendement vaut approximativement 33%. Quelle puissance Thermique faut-il lui fournir ?

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Théorie des circuits linéaires

 Réponse

Ce qui correspond à l’éner ie produite par la fission nucléaire.

Exercice 1.4.21

Production électrique d’une éolienne

Une éolienne produit une puissance de 2,3 MW lorsque le vent est optimum. La production d’éner ie
mesurée pendant une année est de 3,0 GWh.
a) Quelle serait l’éner ie produite en une année, si la vitesse du vent était toujours optimale ? Exprimez
cette énergie en [J], en [kWh] et en [tep], ou leurs multiples.
b) Pourquoi l’éner ie produite mesurée en une année est-elle beaucoup plus faible que celle calculée cidessus ?
c) Quelle devrait être la puissance d’une installation qui produirait la même éner ie annuelle, mais de
manière constante ?
d) Combien faudrait-il d’éolienne de ce type pour fournir la totalité de l’éner ie consommée en Suisse
en 2011, soit 852 1015 J ?
 Réponse – a
Une année de 365 jours compte 8'760 heures, et chaque heure compte 3'600 secondes. Si la puissance fournie
de 2,3
était constante, l’éner ie produite en une année vaudrait :

4, 868

0

0

 Réponse – b
Le vent n’est pas toujours optimum. Par faibles vents, la puissance de l’éolienne diminue très fortement. Lors
de vents tempétueux, elle doit être bloquée pour éviter des dégâts et des risques dus à une vitesse de rotation
trop élevée.
 Réponse – c
L’éner ie produite en une année est donc de 3,0 G h au lieu des 0, G h calculés plus haut. Cela
correspond à une puissance constante égale à la puissance moyenne, calculée comme suit :

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Théorie des circuits linéaires

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 Réponse – d
La consommation d’éner ie en Suisse s’est élevée à 8
éoliennes de ce type, il en faudrait :

1015 J en 2011. Pour produire cette énergie avec des

La superficie de la Suisse étant de 41'285 km2, cela correspond à une éolienne tous les 3,66 km2.

Exercice 1.4.22

Comparaisons énergétiques

En vous référant aux informations données aux chapitres 1.1.2.11 et 1.1.2.12 du polycopié, exprimer en [tep]
l’éner ie consommée en 0 1 en Suisse, sous forme de combustibles pétroliers et de carburants (ensembles).
En estimant que les wagons-citernes contiennent en moyenne 46 tonnes de tels produits, et que leur longueur
est en moyenne de 12 m, déterminer quelle longueur aurait un train fournissant cette énergie.
 Réponse
En 0 , l’éner ie totale consommée en Suisse était de 8 0’000 T , dont 8, % sous forme de combustibles
pétroliers et 35,0% sous forme de carburants. Cela correspond à :
(
4, 868

)
0

0

Cela correspond au nombre de wagons-citernes suivants :

Un train avec autant de wagons aurait la longueur suivante :

Par comparaison, le réseau ferroviaire suisse compte un peu plus de 5'000 km.

1.5

Grandeurs de base de l’électricité

Exercice 1.5.1

Charge des électrons

Combien d’électrons faut-il déplacer pour créer une charge de 1 C ?

16

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 Réponse
Charge de 1 électron : Qe- = 1,602 · 10-19 C
Pour obtenir une charge de 1 C, il faut :

Exercice 1.5.2

Courant et charge

a) Quel courant correspond à un transfert de charge de 0,36 C en 9 secondes ?
b) Que devient ce courant si le transfert a lieu en 3 secondes seulement ?
 Réponse – a
C
s

A

mA

A

mA

 Réponse – b
C
s

Exercice 1.5.3

Loi d’Ohm – 1

Quelle est la résistance d’un chauffe-eau qui absorbe un courant électrique de 4, A lorsqu’on lui applique
une tension de 230 V ?
 Réponse
De la loi d’Ohm U

Exercice 1.5.4

R I on déduit :

Loi d’Ohm – 2

Une ampoule électrique absorbe 0,17 A sous 230 V. Quelle est sa résistance ?
 Réponse

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Théorie des circuits linéaires

Exercice 1.5.5

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Loi d’Ohm – 3

Calculer le courant circulant dans le corps de chauffe d’une plaque électrique ayant une résistance de
alimentée par une tension de 400 V.

0 Ω,

 Réponse
A

Exercice 1.5.6

Loi d’Ohm – 4

Un fer à souder dont la résistance est de 3, Ω est alimenté sous 4 . Quel courant tirera-t-il de la source ?
 Réponse
A

Exercice 1.5.7

Loi d’Ohm – 5

On désire faire circuler un courant de 4 A dans un corps de chauffe de
appliquer ?

Ω. Quelle tension doit-on lui

 Réponse

Exercice 1.5.8

Loi d’Ohm – 6

Calculer la chute de tension dans un conducteur de 8 mΩ lorsqu’il est parcouru par un courant de

A.

 Réponse
m

Exercice 1.5.9

Loi d’Ohm – 7

Dans un éclair moyen circule un courant de 20 kA à un potentiel de 200 MV. Calculer la valeur de la
résistance offerte au passage du courant.
18

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Théorie des circuits linéaires

 Réponse

Résistivité et résistance – 1

Exercice 1.5.10

a) Quelle est la résistance d’un barreau en fer de 0 m de lon ueur,
lar eur lorsqu’une tension est appliquée entre ses deux extrémités ?

mm d’épaisseur et 0 cm de

5 mm
20 cm

10 m

b) Quelle serait sa résistance si la tension était appliquée entre ses faces supérieure et inférieure ?
 Réponse – a
Résistance entre les deux extrémités :

 Réponse – b
Résistance entre les faces supérieures et inférieures :

Remarque :

Exercice 1.5.11

Cette réponse est illusoire, car elle suppose que le courant se répartit uniformément sur
toute la surface du barreau. En réalité, il se focalise à proximité de la zone où le fil
d’amenée du courant est soudé. Ainsi, seule une partie des ,0 m2 du barreau est
parcourue par le courant. C’est un exemple typique d’un système réel pour lequel on
ne peut appliquer aveuglément un modèle.

Résistivité et résistance – 2

Quelle est la résistance d’un fil d’installation en cuivre de

m de lon ueur et mm2 de section ?

 Réponse
Ω

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Théorie des circuits linéaires

Exercice 1.5.12

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Résistivité et résistance – 3

On désire réaliser un corps de chauffe dont la résistance soit 3, Ω avec du fil de constantan de 0, mm de
diamètre. Quelle longueur de fil faudra-t-il ?
 Réponse
La résistance R de ce fil est donnée par la relation ci-dessous en fonction de sa longueur l :

D’où on tire :
(

Exercice 1.5.13

)

Résistivité et résistance – 4

Un tronçon de ligne aérienne en cuivre, d’une section de , mm2, a été brûlé lors d’un incendie, et doit être
replacée d’ur ence pour les opérations de déblaiement. On ne dispose que de fil de fer de 3 mm de diamètre.
Que faire ?
 Réponse
Le fer est é alement conducteur de l’électricité, et pourrait être utilisé comme solution de secours. Par
contre, sa résistivité ρFe = ~100 · 10-9, soit , fois moins bonne que celle du cuivre. Il faudra donc s’assurer
en tirant plusieurs fils de fer en parallèle que la section de l’ensemble soit au moins , fois supérieure à celle
du fil de cuivre remplacé, soit 14,3 mm2.
La section du fil de fer vaut :
(

)

Il faudra donc tirer 2 fils de fer en parallèle pour obtenir une section suffisante, donc une résistance à peu
près équivalente à celle du fil de cuivre.

Exercice 1.5.14

Chute de tension dans la caténaire d’un chemin de fer

Une locomotive tire un train à la montée sur une ligne de montagne. La puissance électrique consommée est
de 4,0 MW sous une tension de 14,8 kV.
La caténaire (fil aérien alimentant la locomotive) est constituée d’un fil de cuivre de 0 mm de diamètre
(ρ = 17,5 · 10-9 Ωm). La voie est constituée de rails en acier (ρ = 100 · 10-9 Ωm), dont la section est de
49 cm2.
En admettant que la locomotive se trouve à 4 km de la sous-station qui alimente la ligne, calculer la chute de
tension provoquée par la circulation du courant dans la caténaire et dans les rails.

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Théorie des circuits linéaires

 Réponse
Courant approximatif consommé par la locomotive :

Résistance de la caténaire (1 fil, en cuivre) pour une distance de 4 km) :
(

)

Résistance de la voie (2 rails en fer, en parallèle) pour une distance de 4 km) :

Chute de tension provoquée par la circulation du courant dans la caténaire en série avec la voie :
(

Exercice 1.5.15

)

Tuyau utilisé comme parafoudre

On souhaite utiliser un tuyau en fer comme conducteur électrique, par exemple pour une protection en cas de
coup de foudre. Les caractéristiques de ce tuyau sont les suivantes :





Longueur :
Diamètre extérieur :
Diamètre intérieur :
Résistivité du fer :

L = 25 m
De = 35 mm
Di = 29 mm
ρ = 100 · 10-9 Ωm

a) En supposant que le tuyau est vide, quelle est la résistance R de ce tuyau ?
b) Lors d’un ora e, un éclair y fait circuler un courant de 0 A. Quelle est la tension entre ses deux
extrémités ?
 Réponse – a

(

(

)

)

 Réponse – b

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Théorie des circuits linéaires

Exercice 1.5.16

HEIG-VD

Puissance et rendement d’un moteur

a) Évaluer la puissance consommée par un moteur qui tire 15 A sous 24 V.
b) Sachant qu’il délivre un couple utile de

m à 3’000 min-1, calculer son rendement.

c) On inverse son fonctionnement en lui fournissant une puissance mécanique de 300 W. Quel
puissance électrique délivre-t-il alors en régime de freinage ?
 Réponse – a
La puissance consommée correspond à la puissance électrique :

 Réponse – b
La puissance utile est la puissance mécanique à l’arbre :
(

)

Rendement :

 Réponse – c
Au freina e, c’est la puissance mécanique qui est la puissance fournie, et la puissance électrique qui est la
puissance utile. La valeur du rendement peut être considérée comme identique, puisque le moteur est un
dispositif réversible, et qu’il travaille approximativement dans les mêmes conditions de vitesse et de couple,
aux signes près. Nous avons donc :

Exercice 1.5.17

Puissance dissipée par une ligne électrique

Un courant de 3 A circule entre deux points d’une installation électrique, et dissipe une puissance de 18 W.
Quelle est la tension entre ces deux points ?
 Réponse
Entre les deux points de l’installation, c’est la « résistance de li ne » qui provoque la dissipation de 8
Cela correspond à une chute de tension de :

22

.

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Exercice 1.5.18

Théorie des circuits linéaires

Puissance d’une ampoule électrique

a) Évaluer le courant consommé par une ampoule électrique de 60 W sous 230 V.
b) Quelle est sa résistance ?
c) Que deviennent le courant et la puissance de cette ampoule si sa résistance est réduite de moitié ?
d) Quel est son rendement, sachant que l’éner ie lumineuse utile est de 0

?

 Réponse – a

 Réponse – b

 Réponse – c
Si R est diminué de moitié :

Le courant double, la puissance aussi.
 Réponse – d

Exercice 1.5.19

Puissance et énergie consommée – 1

a) L’éclaira e d’une maison est assuré par 9 lampes de 60
consommée par ces lampes en 4 heures.

. Quelle est l’éner ie (en

h)

b) Sachant que l’électricité coûte 6 centimes (suisses) par ilowattheure, et supposant que ces lampes
brûlent chaque nuit pendant une année, que coûtera cet éclairage ?
c) Quel serait le gain si elles sont remplacées par des lampes dites économiques, fournissant la même
lumière tout en ne consommant que 15 W ?

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23

Théorie des circuits linéaires

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 Réponse – a
Éner ie consommée pour l’éclaira e en 4 heures:

 Réponse – b
En admettant qu’elles sont allumées

heures par nuit pendant une année, elles consomment :
(

)

Dépense pour l’éclaira e :

 Réponse – c
Avec des lampes économiques de 15 W, la consommation baissera à ¼ de la consommation des lampes
traditionnelles. L’économie réalisée sera de :

Exercice 1.5.20

Puissance et énergie consommée – 2

Un grille-pain branché sur 230 V consomme 3 A. Quelle est sa puissance et quelle énergie (en kWh)
consomme-t-il pour faire des toasts en 5 minutes ?
 Réponse
Puissance de l’appareil :

Energie consommée :

Exercice 1.5.21

Puissance, rendement et consommation électrique d’un treuil

Avec le treuil de l’Exercice 1.4.8, on lève une charge de 200 kg sur une hauteur de 20 m, en 10 s. Quelle
puissance mécanique devra fournir le moteur d’entraînement ?
En admettant que le rendement du système moteur-réducteur-treuil est de 60%, et que le moteur est alimenté
sous 230 V, quel courant consommera-t-il ?
Cette opération est répétée 90 fois par heure, 16 heures par jour. Quelle sera la consommation journalière ?

24

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Théorie des circuits linéaires

 Réponse
Puissance mécanique du treuil :

Puissance électrique :

Courant consommé :

En un jour, la durée de fonctionnement est :

Énergie consommée par jour, exprimée en [kWh] :

ou, exprimée en [J] :
(

Exercice 1.5.22

)

Consommation moyenne d’un téléviseur

Un poste de télévision est utilisé 3 heures par jour et consomme alors 120 W. Le reste du temps, il reste en
« stand-by » et consomme 7 W.
a) Quelle énergie, exprimée en kWh, consomme cet appareil en 1 année ?
b) De combien baisserait cette consommation, en %, si on retirait systématiquement la prise de cet
appareil au lieu de le laisser en « stand-by » ?
 Réponse – a
Consommation en 1 jour :
(

)

 Réponse – b
Consommation en 1 jour :

L’économie est de 4

h.

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25

Théorie des circuits linéaires

Chapitre 2

2.1

HEIG-VD

Théorie des circuits linéaires

Principes généraux

(Pas d’exercices spécifiques)

2.2

Circuits électriques

Exercice 2.2.1

Loi de Kirchhoff sur les nœuds – 1

Trouver la valeur et le sens réel du courant I pour les nœuds ci-dessous :

a)

b)

c)

 Réponse – a
I + 7 – 2 = 0, donc : I = –5 A
 Réponse – b
I + –[(–9)] + (–4) = 0, donc : I = –5 A
 Réponse – c
–I + 8 + (–2) + (–4) + 3 = 0, donc : I = 5 A
26

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HEIG-VD

Exercice 2.2.2

Théorie des circuits linéaires

Loi de Kirchhoff sur les nœuds – 2

Dans le circuit représenté ci-dessous, calculer le courant I en appliquant les lois de Kirchhoff.
I1 = -3 A

I2 = 2 A

I3 = 4 A

I=?

 Réponse
Dans un premier temps, il convient de mettre en cause la modélisation proposée pour le système en question.
Il n’est pas nécessaire de représenter les 4 résistances de la maille, alors qu’on ne s’intéresse pas du tout aux
courants qui les traversent. Il est préférable de les remplacer par un « ros nœud ». On pourra alors y
appliquer la loi de Kirchhoff sur les nœuds.
I1 = -3 A

I2 = 2 A

I3 = 4 A

I=?

Pour appliquer cette loi, les 4 références de courant doivent être orientées vers le nœud. On obtient ainsi :
I1 = -3 A

I3’= -4 A

I2 = 2 A

I’ = ?

(

)

(

)

Donc :
A
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27

Théorie des circuits linéaires

Exercice 2.2.3

HEIG-VD

Lois de Kirchhoff sur les nœuds et les mailles

Dans le circuit représenté ci-dessous, calculer les courants I1, I2 et I3 ainsi que les tensions U1, U2 et U3 en
appliquant les lois de Kirchhoff.

U3
0,3 A

I1

U1

4V

500 mA

I2

100 mA

5V

300 mA

200 mA

I3

U2
6V

-4 V

 Réponse
Pour les 3 courants, on prend en considération les 3 nœuds mis en évidence ci-dessous. Dans chaque nœud,
on corrige le sens de référence pour avoir tous les courants « entrants », ou tous les courants « sortants ».
Chaque valeur de courant dont on a dû inverser le sens de référence est alors inversé. Ces cas sont soulignés
dans la figure ci-dessous. On calcule ainsi successivement :
(–0,3 A) + 0,1 A + I1 = 0, donc : I1 = +0,2 A
0,2 A + I2 + 0,2 A = 0, donc : I2 = –0,4 A
0,2 A + 0,5 A + (–I3) + (–0,3 A) = 0, donc : I3 = +0,4 A

U3
-0,3 A
5V
4V

I1

U1

500 mA

-I3

U2
-4 V

28

I2

100 mA

-300 mA

200 mA

6V

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Théorie des circuits linéaires

Pour les 4 tensions, on prend en considération les 3 mailles mises en évidence ci-dessous. Dans chaque
maille, on corri e le sens de référence pour avoir toutes les tensions orientées dans le même sens lorsqu’on
parcourt la maille. Chaque valeur de tension dont on a dû inverser le sens de référence est alors inversée. Ces
cas sont soulignés dans la figure ci-dessous. On calcule ainsi successivement :
(–4 V) + (–5 V) + U1 = 0, donc : U1 = 9 V
9 V + (–4 V) + U2 = 0, donc : U2 = –5 V
(–5 V) + U3 + (–6 V) = 0, donc : U3 = 11 V

U3
0,3 A
-5 V
-4 V

I1

500 mA

I2

100 mA
U1

I3

U2
-6 V

-4 V

2.3

300 mA

200 mA

Combinaisons simples de résistances

Exercice 2.3.1

Résistances en série

Calculer la valeur de la résistance équivalente du groupement de résistances ci-dessous. Calculer la tension
aux bornes de chaque résistance.
120 

40 

150 

8,3 V

 Réponse
Re

3 0Ω

U120 Ω = 3,2 V
U40 Ω

= 1,1 V

U150 Ω = 4,0 V

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29

Théorie des circuits linéaires

Exercice 2.3.2

HEIG-VD

Résistances en parallèle

Calculer la valeur de la résistance équivalente du groupement de résistances ci-dessous. Calculer le courant
parcourant chacune des branches.
40 
3,5 mA
70 

 Réponse
, Ω

Re

U70 Ω = U40 Ω = 89 mV

Exercice 2.3.3

I40 Ω

= 2,2 mA

I70 Ω

= 1,3 mA

Calcul d’une résistance équivalente – 1

Calculer la valeur de la résistance équivalente du groupement de résistances ci-dessous.
Calculer le courant de chacune des branches, ainsi que la tension aux bornes de l’ensemble.
30 
47 
70 
27 mA

 Réponse
Re

68 Ω

U70 Ω = U30 Ω = 1,89 V
I30 Ω

= 63 mA

I47 Ω

= 90 mA

U47 Ω

= 4,23 V

Uensemble = 6,12 V

30

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Exercice 2.3.4

Théorie des circuits linéaires

Calcul d’une résistance équivalente – 2

Calculer la résistance équivalente du montage suivant :
2
1

4

5

3
6

 Réponse
On calcule successivement (toutes les valeurs ci-dessous en [Ω]) :
2 // 4 = 2 · 4 / (2 + 4) = 1,33
1 + 1,33 = 2,33
2,33 // 3 = 1,31
5 + 1,31 = 6,31
Re

Exercice 2.3.5

6,3

6

3,08 Ω

Calcul d’une résistance équivalente – 3

On désire introduire une résistance additionnelle de , Ω dans un circuit afin de limiter l’intensité de
courant. On ne dispose toutefois que de résistances de 0 Ω. Que faire ?
 Réponse
Il faut mettre 8 résistances de 0 Ω en parallèle.

Exercice 2.3.6

Calcul d’une résistance équivalente – 4

On utilise 6 isolateurs en porcelaine pour fixer les câbles d’une li ne à haute tension de 132 kV à un pylône.
En considérant que ces isolateurs sont tous identiques, calculer la valeur de la tension aux bornes de chaque
isolateur.
 Réponse
On peut considérer chaque isolateur comme une résistance de valeur très élevée. Les 16 isolateurs sont en
série.
Chacun d’eux est soumis à une tension U = 132 kV / 16 = 8,25 kV.
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31

Théorie des circuits linéaires

HEIG-VD

Calcul d’une résistance équivalente – 5

Exercice 2.3.7

Déterminer la résistance équivalente au circuit suivant :
R1

00 Ω

R2



R3



R4

80 Ω

R5



R6

00 Ω

R7

330 Ω

R8

33 Ω

 Réponse
et

sont en parallèle :

et

sont en parallèle :

et

sont en série :

R5 et R6 sont en série :
,

32

et

sont en parallèle :

et

sont en série :

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Théorie des circuits linéaires

Calcul d’un circuit avec potentiomètre

Exercice 2.3.8

Donner la fonction de la valeur de la résistance équivalente Re = f(R; α) du schéma ci-dessous, qui dépend de
la position α du potentiomètre. Cette position α varie de 0,0 à 1,0. Calculer quelques points particuliers et
dessiner la fonction pour l'intervalle 0 ≤ α ≤ .
Re

R
1

R
0

R

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0



 Réponse
Si l'on remplace le potentiomètre par 2 résistances de valeur α · R et (1 – α) · R, le schéma peut être redessiné
comme représenté plus bas. On peut calculer alors la résistance équivalente de l'ensemble comme suit :
(

)

(

)

(

(
(

)

(
(

)
) (

)
)

(

)

)

Re
2R

R

R

R

a

Re / R

0%
25%
50%
75%
100%

2.00
1.95
1.83
1.68
1.50

R
1,5 R
0

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0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0



33

Théorie des circuits linéaires

2.4

HEIG-VD

Sources de tension et de courant

Exercice 2.4.1

Modélisation d’une batterie par une source réelle de tension

La batterie d'une automobile a une tension à vide de 14,2 V. Lorsqu'on active le démarreur, celui-ci
consommant 22 A, on constate que la tension aux bornes de la batterie n'est plus que de 11,6 V.
Quelle est la résistance interne de cette batterie ?
 Réponse

A

En négligeant les autres consommateurs, on peut dire que lorsque la résistance interne est chargée à 22 A, la
chute de tension à ses bornes vaut :

La résistance interne vaut donc :

Exercice 2.4.2

Source réelle de tension en court-circuit

Quel courant peut théoriquement débiter la batterie de l'exercice précédent si on court-circuite
malencontreusement ses bornes avec une clé à fourche ?
Est-ce que le matériau de la clé joue un grand rôle sur ce courant de court-circuit ?
Justifiez votre réponse.
 Réponse
En admettant que la résistance du court-circuit Rcc est nulle, le courant n'est limité que par la résistance
interne de la batterie. On a donc :

Nous faisons les hypothèses suivantes :
- la clé à fourche est en acier (ρAc

00

0-9 Ωm),

- sa section A est de 1 cm2,
- la distance d entre les 2 bornes de la batterie est de 20 cm.

34

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HEIG-VD

Théorie des circuits linéaires

La résistance de la clé vaut alors :

En comparant :

court-circuit est négligeable.

Exercice 2.4.3

mΩ, nous en concluons que son influence sur le courant de

Cas de charge d’une source réelle de tension

Une pile a une tension à vide de 4,
et une résistance interne de
de caractéristique inconnue, on ne mesure plus que 4,45 V.

Ω. Après y avoir connecté une ampoule

a) Quelle est la résistance électrique de cette ampoule ?
b) Quelle est la précision de cette valeur si la mesure de tension se fait avec un appareil qui garanti une
erreur de mesure inférieure à 1 mV et que la résistance interne est donnée avec une précision de
±0,1% ?
 Réponse – a
U0 = 4,5 V
Ri

Ω

Ucharge = 4,45 V
La chute de tension sur la résistance interne provoquée par le courant de charge est :

Donc le courant de charge vaut :

La résistance de cette ampoule vaut :

 Réponse – b
L’incertitude, ou erreur absolue, du résultat du calcul de la chute de tension aux bornes de la résistance
interne est égale à la somme de la valeur absolue des erreurs de chaque mesure :
(|

|

|

|)

(

)

Donc :
L’erreur relative sur ce résultat vaut :

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35

Théorie des circuits linéaires

HEIG-VD

L’erreur relative sur le calcul de la résistance de l’ampoule Rampoule est égale à la somme des erreurs relatives
sur les variables :

L’erreur absolue sur la valeur de la résistance est de :

89 ± 3, Ω.

On écrira donc que la résistance vaut

Modélisation d’une source réelle de tension à partir de 2 essais

Exercice 2.4.4

Des mesures réalisées sur une source réelle de tension ont donné une tension de 100 V aux bornes pour une
résistance de char e de 00 Ω, et 0
pour une char e de 0 Ω. Établir le modèle de cette source par voie
analytique (en appliquant les formules), puis par voie graphique (en raisonnant sur la caractéristique d'une
source réelle de tension).
 Réponse
On a 2 cas de charge distincts, pour lequel on peut calculer le courant que la source fournit à la charge ;
{

{

La tension à vide et la résistance interne de la source de tension sont des inconnues. Il s'agit donc de résoudre
le système de 2 équations à 2 inconnues suivant :
{
{
En résolvant ce système, on obtient Ri et Uo :

36

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HEIG-VD

Théorie des circuits linéaires

On obtient le même résultat par voie graphique, en considérant que la droite caractéristique de la source
passe par les 2 points (1 A; 100 V) et (0,5 A; 105 V).
U [V]
110
U(I)
(I;U)

105

100
I [A]

95

0

0.5

1

1.5

La pente de cette droite vaut :

Ce qui fixe la résistance interne

.

L'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées se calcule alors par :

Exercice 2.4.5

Sources réelles de tension mises en parallèle

Une batterie de voiture est chargée à 4 . Celle d’une autre voiture en panne est totalement déchar ée.
Lorsqu’on ponte les deux batteries, on constate que la tension baisse de 30% environ. Expliquer ce
phénomène. Quelles pourraient être les raisons qui expliquent que la baisse n’est pas de 50 % ?
 Réponse
Chaque batterie peut être assimilée à une source réelle de tension, dont les tensions à vide valent 14 V et 0 V
respectivement. Si leurs résistances internes sont identiques et si on néglige la résistance du câble de
pontage, la tension aux bornes devrait être de 50%, soit 14 V (diviseur de tension).
Si l’on tient compte de la résistance du câble de ponta e, et si l’on admet que la batterie déchar ée est
dé radée, donc que sa résistance interne est plus élevée qu’une batterie neuve, la tension aux bornes de la
batterie chargée est plus élevée que 50%, et pourrait atteindre 70%. Cela correspond à une baisse de tension
de 30% par rapport à la tension sans câble de pontage.

Exercice 2.4.6

Source réelle de tension en charge

La tension de sortie d’une alimentation électrique baisse de 0% lorsqu’on la char e avec une résistance de
1 Ω. Quelle est sa résistance interne ?

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Théorie des circuits linéaires

HEIG-VD

 Réponse
RL

Ω

UL = (1 – 0%) U0

0,8 U0 V

Par l’équation de la source réelle de tension et la loi d’Ohm, nous avons équations avec 3 inconnues, soit la
tension en charge UL, la tension à vide U0 et la résistance interne RL, qui seule nous intéresse.
{
De la 2ème équation on tire :

En remplaçant I dans la 1ère équation :

En simplifiant par

:

Et finalement :

Exercice 2.4.7

Modélisation d’une source réelle de courant avec 2 essais

Une source réelle de courant délivre un courant de 190 mA en court-circuit. A vide, on mesure à ses bornes
une tension de 52 V. Quelles sont ses caractéristiques ?
 Réponse
Le courant de court-circuit est donné :
I0 = 190 mA
Comme la tension à circuit ouvert vaut 52 V, on obtient :

38

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Exercice 2.4.8

Théorie des circuits linéaires

Caractérisation d’une source réelle de tension

On souhaite caractériser une source réelle de tension, caractérisée par U0 et Ri. Pour ce faire, on procède à 2
essais, qui fournissent les résultats suivants :



Si on y applique une résistance RL
Si on y applique une résistance RL

,

Ω, on mesure U = 14,9 V à ses bornes.
Ω, on mesure U = 14,5 V à ses bornes.

a) Quelles sont les caractéristiques U0 et Ri de la source réelle de tension ?
b) Que vaudrait la tension U si on applique une résistance RL = 4,7 kΩ ?
 Réponse – a
Le courant fournit par la source se calcule par :

Suite aux 2 essais dont nous connaissons les résultats, nous pouvons en tirer un système de 2 équations à 2
inconnues :
{
En résolvant ce système, par exemple en faisant soustrayant la 2ème de la 1ère équation, nous obtenons :
En introduisant cette valeur dans l’une ou l’autre équation, nous obtenons :

 Réponse – b
Connaissant le modèle de la source réelle de tension, on peut calculer d’abord le courant fourni :

On en déduit alors la tension aux bornes de la charge RL :
Remarquons qu’en appliquant l’équation d’un diviseur de tension, on obtient directement le même résultat :

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39

Théorie des circuits linéaires

2.5

HEIG-VD

Méthode de réduction des circuits

Exercice 2.5.1

Analyse d’un circuit électrique – 1

Si la tension entre les points 1 et 2 du circuit ci-dessous est de 40 V, quelle est la tension entre les points 2 et
4?
Et entre les points 3 et 4 ?

 Réponse
Il convient de redessiner le circuit, par exemple comme suit :

1=3=4
U
R1

R2

2
Les réponses deviennent alors évidente : les points , 3 et 4 sont confondus (même nœud), ils sont tous les
trois au même potentiel.
La différence de potentiel entre les points 4 et 2 est donc égale à U, soit 40 V.
La différence de potentiel ou tension entre ces 3 points est donc nulle.

40

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HEIG-VD

Exercice 2.5.2

Théorie des circuits linéaires

Analyse d’un circuit électrique – 2

Le schéma ci-dessous représente un réseau de distribution d'électricité.
a) Proposer une représentation qui fasse mieux apparaître les nœuds et les mailles.
b) Calculer la puissance fournie à chacune des charges X et Y.

Centrale B

12 A

60 A

1500 Ω

Centrale A

6000 Ω

Charge
Y

300 Ω

Charge
X

3600 Ω

c) Calculer la puissance fournie par chaque centrale (chaque source réelle).

 Réponse – a
Il faut représenter les 2 sources réelles de courant en parallèle, chargés par les 2 résistances de charge en
parallèle.
 Réponse – b
Nous obtenons une source de courant équivalente caractérisée par :

Nous pouvons déterminer une source de tension équivalente :

La charge équivalente vaut :

Nous avons un diviseur de tension, et la tension aux bornes des charges vaut :

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41

Théorie des circuits linéaires

HEIG-VD

Les puissances fournies aux charges valent ainsi :

 Réponse – c
Il faut calculer la puissance fournie par chaque source idéale, puis en soustraire la puissance consommée par
la résistance shunt correspondante. Seule la différence « sort » de la source réelle de courant.

Exercice 2.5.3

Analyse d’un circuit électrique – 3

Dans le circuit suivant, calculer les courants traversant R pour R

Ω, 0 Ω, 00 Ω.

 Réponse
On reconnaît un diviseur de tension en char e, et il suffit d’appliquer la formule du cours.
I2 Ω = 1,5 A
I10 Ω = 0,5 A
I100 Ω = 0,05 A

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HEIG-VD

Exercice 2.5.4

Théorie des circuits linéaires

Analyse d’un circuit électrique – 4

Calculer la tension aux bornes de chacune des résistances du circuit ci-dessous :

 Réponse
U1kΩ = 10 V
U2kΩ = 2,22 V
U3kΩ = 3,33 V
U4kΩ = 4,44 V

Exercice 2.5.5

Analyse d’un circuit électrique – 5

Calculer les courants passant par chacune des résistances du circuit ci-dessous :

 Réponse
I1kΩ = 5,2 mA
I2kΩ = 2,4 mA
I3kΩ = 1,6 mA
I4kΩ = 1,2 mA

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43

Théorie des circuits linéaires

Exercice 2.5.6

HEIG-VD

Puissance 1cbvdissipée par une résistance dans un circuit

Les résistances de charges ci-dessous ont été conçues pour supporter en permanence une puissance spécifiée
dans leur fiche de caractéristiques. Sont-elles adaptées pour être connectées aux bornes AB de la source cidessous, et en particulier:
a) si chaque résistance est connectée séparément ?
b) si toutes les trois résistances sont connectées ensemble ?
Ri=2000

A

R1

100V

2k
1W

R2

10k
½W

R3

30k
¼W

B

 Réponse – a
Avec 2 kΩ :
(

)

(

)

(

)

Ces 3 résistances sont surchargées.
 Réponse – b
Résistance équivalente aux 3 résistances de charge mises en parallèle :

En appliquant la formule de l’effet Joule, on obtient pour chaque résistance :

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Exercice 2.5.7

Théorie des circuits linéaires

Analyse d’un circuit électrique – 6

Le circuit ci-dessous est raccordé à une batterie. On mesure alors
à ses bornes. On constate que si l’on
ajoute la résistance R de 4 Ω, la tension aux bornes de cette batterie baisse de 00 m .
Calculer la tension à vide et la résistance interne de la batterie, puis le courant et la tension pour chacun des
éléments du circuit.
Indice :

Il existe solutions. L’une est plus plausible que l’autre. Laquelle ?

 Réponse
Sans résistance R additionnelle, la résistance équivalente :
En utilisant l’équation du diviseur de tension on obtient :

Avec la résistance R additionnelle, la résistance équivalente :

En utilisant l’équation du diviseur de tension on obtient :

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45

Théorie des circuits linéaires

HEIG-VD

Nous avons 2 inconnues, avec 2 équations. En éliminant U0 de ces 2 équations, nous obtenons
successivement :
(

)

(

)

(

)

(

)

Nous pouvons maintenant en tirer la valeur de la tension à vide :

Contrôle :
En ajoutant la résistance R en parallèle, nous obtenons bien :

Exercice 2.5.8

Analyse d’un circuit électrique – 7

Déterminer la source de tension U0 pouvant injecter un courant de
mentionné ci-dessous.
R1 = 8 Ω

R4 = 4 Ω

mA dans la résistance de 3 Ω du circuit
R6 = 1 Ω
I7 = 75 mA

R3 = 7 Ω

U0 = ?

R5 = 6 Ω

R7 = 3 Ω

R8 = 2 Ω

R2 = 12 Ω

 Réponse
(

)

(

)
A

A
A
(

46

)

(

)

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HEIG-VD

Exercice 2.5.9

Théorie des circuits linéaires

Analyse d’un circuit électrique – 8

Dans le circuit ci-dessous, la résistance de 00 Ω dissipe 4 fois plus de chaleur que la résistance R. Calculer
la puissance de la source de tension, et la valeur de R, sachant que la source débite un courant de 6 A.
100 Ω

R

6A
U

 Réponse
La loi de Kirchhoff sur les mailles nous donne :
La loi de Kirchhoff sur les nœuds nous donne :

Nous en tirons :

La loi de Joule nous donne :

Comme

, nous en tirons successivement :

(

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)

47

Théorie des circuits linéaires

HEIG-VD

En combinant avec la valeur de R obtenue plus haut, nous obtenons, successivement :
(
(
(

De là, nous pouvons calculer la puissance dans
fournie par la génératrice :

)
)

)

, puis celle dans

, et finalement la puissance totale

La valeur de R est donnée par :

Exercice 2.5.10

Diviseur de tension (en charge)

Le circuit ci-dessous représente un diviseur de tension permettant d’alimenter la char e R
00 Ω à une
tension de 10 V, 20 V, 30 V et 40 V. Déterminer les valeurs des quatre résistances du diviseur. Le cahier des
charges précise également que la puissance consommée par le diviseur non chargé ne doit pas dépasser 8 W.

Nous désignons les 4 résistances, du bas vers le haut, par R1, R2, R3 et R4.

48

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HEIG-VD

Théorie des circuits linéaires

 Réponse
Pour respecter le critère de puissance, on fixe la somme des 4 résistances à 00 Ω. En effet :




On reconnaît un diviseur de tension en charge. Comme la somme des résistances est constante, et que seul le
rapport de résistance varie, on peut calculer comme si nous avions un potentiomètre de 00 Ω, le rapport α
devant être calculé pour chacune des positions. En partant de l’équation qui donne la tension de sortie sur un
diviseur de tension en charge, nous obtenons successivement :
[
[⏟



(
(

] [(
] [(

)
)

)
)

]
]



(
(

)

)

(

)

En résolvant cette équation du 2ème degré pour les 4 cas de figure, nous obtenons les 4 valeurs de α
nécessaires, et les valeurs des 4 résistances :
Pour

:
(

)



Pour

:
(

)



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49

Théorie des circuits linéaires
Pour

HEIG-VD

:
(

)
(

)


Pour

:

Dans ce cas, le curseur est tout en haut (

Exercice 2.5.11

). Il n’y a même pas besoin de résoudre l’équation.

Calcul d’erreur sur un circuit

Considérant le diviseur de tension de l’Exercice 2.5.10, quelle est l’erreur de tension pour chaque position,
exprimées en %, si la charge RL varie de 5 % ?
 Réponse
Calculons le premier cas, avec

:

(
[

(

)

(

)
)

]

(

)

Il suffit de procéder de même pour obtenir :

Pour le dernier cas, il n’y a pas de différence, puisque le curseur est tout en haut, et que la char e est alors
reliée directement à la source idéale de tension. Donc :
.

50

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