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LYCEE ZAHROUNI-TUNISSCIENCES PHYSIQUES

4ème MATH
Cours
2

Boussada .A

www.physiqueweb2.c4.fr

LE DIPÔLE RC
I

Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension
1

Dipôle RC

Le dipôle RC est constitué d’un condensateur associé en série avec un
résistor (conducteur ohmique).
2

u(V)

Echelon de tension

U est une tension appliquée aux bornes du dipôle RC, à t=0 s on
ferme le circuit. Si :
Pour t<0 ; u =0
Pour t  0 ; u = E.
On dit alors qu’on applique un échelon de tension au dipôle RC.
3

i

C

i(t) =

-q

i

d(Cuc )
du
dq
avec q  C.uc donc i 
 C. c
dt
dt
dt
à retenir

4

Equation différentielle

K

(on doit représenter les flèches des tensions avant d’établir l’équation
différentielle).
Le condensateur est initialement déchargé, à la date t=0, on ferme
l’interrupteur K.
d’après la loi des mailles :
uR + uc + uG= 0 avec uR =Ri et uG= - E
Ri + uc - E = 0 or i  C.

duc
 uc  E , on pose =RC
dt

E

duc
duc uc E
 uc  E ou
 
dt
dt
 

Solution de l’équation différentielle

a- Solution de l’équation différentielle :
L’équation différentielle précédente a pour solution uC = A + Be-t.
Avec A ; B et  sont des constantes positives. Déterminons A ; B et  :
1ère étape : Le condensateur est initialement vide uC(0) = 0.
A + Be0 =0  A + B =0 donc B= - A.
D’ou uC = A – Ae-t.
ème
2
étape : lorsque t  + ∞ ; le condensateur est complètement chargé : uC (∞) = E.
A – Ae-∞ = E or e-∞ =0.
A – 0 = E d’où A=E et B= - E.
Donc uC = E – Ee-t.
uC = E( 1 – e-t).
/1

R

i

duc
dt


5

t(s)

dq
.
dt

uC

RC

E

Relation entre i(t) et uc(t)

En courant variable :
+q

C

R

uG

i

uR

C
uC

3ème étape : Cette solution vérifie l’équation différentielle RC

duc
 uc  E
dt

Donc : RCE(0 – (-)e-t) + E( 1 – e-t) = E
RCEe-t + E -E e-t = E  RCEe-t -E e-t = 0  Ee-t( RC - 1 ) = 0.
Or Ee-t >0 d’où RC - 1 = 0  RC = 1   =  = .
uC
RC 
6

Expression de uR(t) et de i(t)


t

uR = E – uc = E - E(1  e  ) = E –E + E e

Expression de uR(t) ;
Expression de i(t)

u
i  R donc
R
7

= E(1- e-t/ ).

i=



t


d’où uR =E e



t


E  t
e
R

Graphes de uc(t), uR(t) et de i(t)


t

uc  E(1  e  )

uR =E e



t


i=

uR(V)

uc

E

E  t
e
R

i(A)

E=URmax

Imax 

E
R

t(s)
t(s)
E
0
0
0
X
t(s)
0
t(s)
0
t(s)
0
+
+
+
E
E
uc(V)
0
E
u (V)
E
0
i(A)
0
R
R R
8 La constante de temps 
C
a- Définition :
I
La constante de temps  est une grandeur caractéristique du dipôle RC, elle nous renseigne sur la rapidité
avec laquelle s’effectue la charge ou laC
décharge d’un condensateur.
b- Unité de  :
E
uR
V
R
donc R est en S
V A.s
(seconde) donc  est un temps.
i
A
  R C  a v e c {
d ' où  est en
.
 s
q
A.s
A
V
D
C
o r q  I.t d o n c C e s t e n
uc
V
E
c- Détermination de  :
S
 Par calcul : Ayant les valeurs de R(en Ω) et de C(en F), on peut calculer directement (en s) ;  = RC .
Y
 Graphiquement : 1ère méthode (utilisation
de la tangente à l’origine) : on peut montrer que  est
l’abscisse du point d’intersection deNla tangente à la courbe de uc (t)[de même pour uR(t), i(t) et q(t)] à la
date t=0 avec l’asymptote (lorsque t+).
T
H
u (V)
E
Tangente
E=u
u (V
S
)
Tangente
E=Uc
E
R

Rmax

c

Asymptote

max

Asymptote

Point
d’intersection

Ex
er
cic
e1

0



0

Point
d’intersection

t(s)

E
X
E



/2

t(s)

o 2ème méthode (lecture graphique) :
1 cas : à partir du graphe de uc(t)
Pour t=, quelle est la valeur de uc ?
er




uc()  E(1  e )  E(1  e 1)

0, 63.E car e 1

0, 37

Exemple :
On a E= 4 V d’où 0,63.4 =2,52 V donc l’abscisse du point d’ordonnée 2,52 V est égale à 
uc(V)
4

2,52

0

2ème cas : à partir du graphe de uR(t)
Pour t=, quelle est la valeur de uR ?


uR()  E.e   E.e 1

t(s)



uR(V)
4

0, 37.E

Exemple :
On a E= 4 V d’où 0,37.4 =1,48 V donc l’abscisse du point
d’ordonnée 1,48 V est égale à .
9

1,48

Durée de charge d’un condensateur

t(s)

On peut considérer qu’un condensateur est complètement chargé
sa tension uc = 0,99E ce qui donne une durée de charge t  5 = 5RC
Le temps de charge augmente avec R et avec C.
Pour t < 5, on a le régime transitoire.
Pour t  5, on a le régime permanent.

0 

lorsque

Remarque :
 la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension est la charge progressive du condensateur : c’est un
phénomène transitoire.
 Charge d’un condensateur par une tension créneaux.
Voie YA
K

G.B.F

R

i
A
i

C

B

Pour 5 <

Voie YB

uc

uG

T
, pendant une demi-période la tension uc peut atteindre sa valeur finale donc on observe les
2

courbes suivantes (les deux voies ont la même sensibilité verticale) :

u(V)
Um

uc

uG
5

t(s)
T
2

T

Pour 5 >

T
, pendant une demi-période la tension uc
2

ne peut pas atteindre sa valeur finale donc on observe les courbes suivantes :
/3

u(V)

uG

uc
t(s)
0

5

T
2

T

II

La décharge d’un condensateur

1- Equation différentielle :
(on doit garder la même orientation du circuit).
Le condensateur est initialement chargé, à la date t=0, on ferme l’interrupteur K.
d’après la loi des mailles :
uR + uc = 0 avec uR =Ri
Ri + uc = 0 avec i  C.
RC

duc
+ uc = 0 , =RC
dt

K
R

i

duc
dt



i

duc
duc uc
 uc  0 ou
 0
dt
dt


L’équation différentielle précédente a pour solution uc  Ee



t


.

Avec =RC.
3- Expression de uR(t) et de i(t) :
Expression de uR(t)


t


C
uC

2- Solution de l’équation différentielle :

uR = 0 – uc =  Ee

uR

d’où uR =  E e

Expression de i(t) : i 



t


uR
donc
R

4- graphes de uc(t), uR(t) et de i(t) :

uc  Ee



t


i=

-E  t
e
R

uR =  E e

uc(V)



t


i=

uR(V)

E=Ucmax

t(s)

i(A)
t(s)

0

URmax  E

0

Imax  

0

/4

-E  t
e
R

E
R

t(s)



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