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Mathématiques
Types d’équations paramétriques à valeurs réelles et leur mise en
relation avec la classe C3 de fonctions réelles à plus de deux
variables et strictement bijectives sur un intervalle de définition
donné

La fonction étudiée est la fonction à coefficients réels définie sur [0 ;∞] par
Pour tout x, y, z du domaine de définition considéré et pour n un entier
naturel strictement supérieur à 1.

Problématique : quelle est la relation entre les équations paramétriques à
valeurs réelles dans l’ensemble des réels et la classe C3 de la fonction
étudiée ?

Pour cela nous étudierons d’abord la fonction considérée pour ensuite
prédire le comportement de la fonction à valeurs réelles dans l’intervalle
borné.
Première partie : étude de la fonction réelle considérée
Commençons par étudier les dérivées partielles.

Le point critique est le triplet solution x, y et z pour lequel les dérivées
partielles s’annulent.
Déterminons-le :

Remarquons que un triplet x, y et z est solution du système, il s’agit du
triplet (0,0,0) quelque soit la valeur de n.

Le triplet solution quelque soit la valeur de n est donc (0,0,0).

Il faut maintenant étudier la classe C3 de la fonction, la fonction est au
moins trois fois dérivable sur son domaine de définition et continue sur
celui-ci, vérifions-le.

D’après les dérivées partielles précédentes on voit que la fonction est de
classe C3, le comportement prédit pour la fonction de classe Cn, c’est-à-dire
après n dérivations est :

Si x, y, z = X et si n tend vers l’infini.
La fonction appartient donc bien à la classe C3 et par extension à la classe
Cn, car rappelons que toute fonction appartenant à la classe Cn appartient
obligatoirement à la classe Cn-p si
avec p et n des entiers
naturels.

(suite)


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