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Année universitaire : 2010/2011

Série d’exercices n°2
Systèmes de Numération et de Conversion

Systèmes Logiques

Licences Appliquées en Réseaux Informatiques

1. Relations fondamentales de la logique
Exercise 1. Soient deux variables logiques X, Y, et l’opérateur ⇒défini comme
suit :
X ⇒Y =X +Y
Montrer algébriquement que les propositions suivantes sont vraies :
a./ B ⇒ (A ⇒ A)
b./ A ⇒ (A ⇒ B)
c./ [(A ⇒ (B ⇒ C)] ⇒ [(A.B) ⇒ C]
d./ [(A ⇒ B)(B ⇒ C)] ⇒ [A ⇒ C]
e./ [(A ⊕ B) (B ⊕ C)] ⇒ [A ⇒ C]
h
i
f./ A ⇒ (A.B) ⇒ [B ⇒ (A.B)].
Exercise 2. Démontrer algébriquement les relations suivantes :
a./ AB + AC = (A + B)(A + C)
b./ AB + AC + BC = AB + AC
c./ (A + B)(A + C)(B + C) = (A + B)(A + C)
d./ AB + ABC = AB + AC
e./ (AB + C) + (A + B)C = 1
f./ (A + B)(A + B)(A + B + C) = (A + B)(A + C)
g./ (AB + AC + BC) = (A + B)(A + C)(B + C)
h./ (A + C)(B + C) = (A + C)(B + C)
i./ AC + BC = AC + B C
j./ AB + A B = A ⊕ B
k./ A ⊕ B = A ⊕ B = A ⊕ B
l./ (A + B) ⊕ (A + C) = A + (B ⊕ C)
m./ A ⊕ B ⊕ (AB) = A + B = (A ⊕ B) ⊕ (AB)
n./ AC + AB + AB = (A + B)(A + B + C)
o./ ACD + BD + ABC + BCD + ABCD = AC + D
p./ Ab + BC + AC + ABC + ABC + ABC = A + B + C
2. Tables de vérité
Exercise 3. Ecrire la table de vérité des fonctions logiques à deux variables a et b






Ou exclusif (a 6= b)
Egalité (a ≡ b)
Plus grand (a > b)
Plus petit (a < b)
Plus grand ou égal (a ≥ b)
1

t
A

2

B

S

– Plus petit ou égale (a ≤ b)
Vérifier à l’aide de la table
de vérité que
C
a Xor b = ab + ab = (a + b)(a + b)
D (a + b)(a + b)
a Egal b = ab + ab =

y
z
x

3. Circuits
Exercise 4. Donner la fonction logique corresponant au circuit de la figure 3.1

A
S

B

Figure 3.1. Circuit logique 1
Exercise 5. On considère le schéma de la figure 3.2 :
t
A

B

S
y

C
z
D
x

Figure 3.2. Circuit logique 2
(1) Compléter la table de vérité (1) :
(2) En déduire
l’expression logique non simplifiée de la sortie.
A
S

B
(3) Simplifier
cette expression en utlisant le tableau de Karnaugh.

(4) Donner alors le schéma logique de l’expression simplifiée.
ABCD
0000
.
1111

x=B⊕C

y = C.D

z = x.y

t = A.B

s=y+z+t

Table 1. Table de vérité

Exercise 6. Soit(la fonction G(X, Y, Z) définie comme suit :
1 si (XY Z)(2) ≥ 3(10)
G(X, Y, Z) =
0
si non

3

– a- Etablir la table de vérité de G.
– b- Donner l’équation algébrique de G.
– c- Donner le schéma du circuit de la fonction G avec le minimum de portes
logiques.
4. Simplification algébrique, par Tableau de karnaugh et par
la méthode de quine/maccluskey
Exercise 7. Simplifier algébriquement les fonctions suivantes :
F1 = (x + y)(x + y)
F2 = xy + xy + xy
F3 = xy + z + z(x + y)
F4 = (x + y)(xy + z)z.
Exercise 8. En utilisant le tableau de Karnaugh, simplifier les fonctions suivantes :
F1 (a, b, c) = abc + abc + abc + abc + abc
F2 (a, b, c) = abc + abc + abc + abc + abc + abc
F3 (a, b, c, d) = abcd + abcd + abcd + abcd
F4 (a, P
b, c, d) = abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd + abcd
F5 = P(1, 4, 5, 7, 10, 12, 13, 14)
F6 = (0, 1, 2, 3, 5, 8, 9, 10, 13)
P
F7 = (1, 3, 6, 14, 15) + Φ(5, 7, 9, 10, 11).
Exercise 9. Simplifier les fonctions logiques suivantes en utilisant la méthode de
Quine/McCluskey
F1 = ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD
F2 = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
P
F3 = (4, 8, 10, 11, 12, 15) + Φ(9, 14).


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