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FQ1 .pdf



Nom original: FQ1.pdf
Titre: C_Travaux en coursCours DEAcours_dea_dvi

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Chapitre 6

Formes quadratiques
6.1

Jauges sur un espace vectoriel


efinition 6.1.1 Soit F un espace vectoriel sur C (ou IR). Une application p : F → [0, ∞] telle
que :
i) p(u + v) ≤ p(u) + p(v), u, v ∈ F ,
ii) p(α u) = |α| p(u), u ∈ F , α ∈ C,
iii) p(u) = 0 ⇒ u = 0 est appel´ee une jauge sur F .
Remarque On utilise l’extension habituelle des lois +, × et de la relation d’ordre ≤ de [0, +∞[
`a [0, +∞]] d´efinie par :
a + +∞ = +∞
(

+∞, a 6= 0,
0 a = 0,
a ≤ +∞, ∀a ∈ [0, +∞].
a × +∞ =

Exemples Toute norme sur F est une jauge sur FR.
Soit F = L2 (IRn ). Alors la fonction p(u) = ( IRn |∇u|2 dx)1/2 , si ∇u ∈ L2 , p(u) = +∞ si
∇u ∈
/ L2 est une jauge.
A toute jauge est associ´e l’espace vectoriel E := {u ∈ F | p(u) < ∞}, qu’on peut aussi noter
D(p), et l’ensemble B(p) := {u ∈ F | p(u) ≤ 1}. E muni de p est une espace vectoriel norm´e.
B(p) est convexe ´equilibr´e, i.e. si u1 , u2 ∈ B(p), α1 , u1 + α2 u2 ∈ B(p), si |α1 | + |α2 | ≤ 1.
Inversement si B ⊂ F est un ensemble convexe ´equilibr´e alors :
p(u) =

1
{λ | λu ∈ B} est une jauge.
sup

On suppose maintenant que F est un espace vectoriel topologique localement convexe. (Dans
la suite F sera un Hilbert). On rappelle qu’une fonction f : F → [0, +∞] est semi-continue
inf´erieurement si ∀ u0 ∈ F , ε > 0, ∃ U voisinage de u0 tel que p(u) ≥ p(u0 ) − ε, u ∈ U .

efinition 6.1.2 Une jauge p est ferm´ee si E muni de p est un espace de Banach.
Une jauge p est cœrcive si pour toute suite {fn } ∈ E telle que p(fn ) → 0 on a fn → 0 dans
F . De mani`ere ´equivalente p est cœrcive si B(p) est born´e dans F .
36

Une jauge p cœrcive est fermable si pour toute suite {fn } ∈ E de Cauchy pour p(.), et telle
que fn → 0 dans F , on a p(fn ) → 0.
Soit E c le compl´et´e de E pour p.On v´erifie facilement en revenant `a la d´efinition de E c en
termes de classes d’´equivalence de suites de Cauchy dans E, les faits suivants :
Proposition 6.1.1
i) p est ferm´ee ssi E c = E.
ii) si p est cœrcive, il existe une application canonique E c → F .
iii) si p est cœrcive, alors p est fermable si et seulement si cette application est injective, i.e. E c
peut ˆetre consid´er´e comme un sous espace vectoriel de F .
Finalement on dit que la jauge p est r´eflexive si E c est un espace de Banach r´eflexif.
Proposition 6.1.3 Soit p une jauge sur un espace vectoriel topologique localement convexe F .
Alors :
i) p est s.c.i. sssi B(p) est ferm´e.
ii) Soit p une jauge cœrcive sur un espace vectoriel topologique localement convexe F . Alors :
a) p est s.c.i. ⇒ p est ferm´e et on a la propri´et´e de Fatou :
si {fn } est une suite dans F , fn → f dans F ,
alors :
p(f ) ≤ lim inf p(fn ) .
n

b) p ferm´ee et r´eflexive ⇒ p est s.c.i.
D´emonstration i) est laiss´e en exercice (cf. Gelfaud-Vilenkin, Chap. 1, Sect. 1).
ii) La propri´et´e de Fatou suit de la semi continuit´e inf´erieure.
Soit (fn ) une suite de Cauchy dans E. Comme p est cœrcive, ∃ f ∈ F avec fn → f . Pour
tout ε > 0, ∃ N tel que p(fn − fm ) ≤ ε, n, m ≥ N . Comme fn − fm −→ fn − f dans F , par
m→∞

Fatou, on a : p(fn − f ) ≤ ε.
En appliquant encore Fatou on a f ∈ E, et donc fn → f dans E, i.e. E est complet.
iii) Si p est ferm´ee, l’injection i : E → F est continue. Elle est aussi continue pour les
topologies faibles (car F 0 ⊂ E 0 ). Comme E est r´eflexif, B(p) est faiblement compact dans E et
donc son image dans F est faiblement compacte, donc faiblement ferm´ee donc ferm´ee. 2

6.2

Formes sesquilin´
eaires, formes quadratiques

Soit F un espace vectoriel sur C, D ⊂ F un sous espace vectoriel de F . Une forme sesquilin´eaire q : D × D → C (avec la convention que q est lin´eaire `a droite, anti-lin´eaire `a gauche) est
appel´ee forme sesquilin´eaire sur F , de domaine D =: D(q).
On note par q(u) = q(u, u) la forme quadratique associ´ee, et on peut r´ecup´erer la forme
sesquilin´eaire par l’identit´e de polarisation :
q(u, v) =

3
1X
ik q(u + ik v) ,
4 k=0

37

u, v ∈ D .


efinition 6.2.1
i) Soient q1 , q2 deux forme sesquilin´eaires. On dit que q1 ⊂ q2 si D(q1 ) ⊂ D(q2 ) et q1 (u) = q2 (u),
u ∈ D(q1 ). On dit que q2 est une extension de q1 .
ii) Une forme est sym´etrique si q(u, v) = q(v, u), u, v ∈ D(q), i.e. q(u) ∈ IR, u ∈ D(q).
iii) Soient q1 , q2 deux formes sesquilin´eaires sym´etriques. On dit que q1 ≤ q2 si D(q2 ) ⊂ D(q1 )
et
q1 (u) ≤ q2 (u) , u ∈ D(q2 ) .
iv) Une forme quadratique sym´etrique q est born´ee inf´erieurement si ∃ c ∈ IR tel que
c kuk2 ≤ q(u) , u ∈ D(q).

6.3

Formes ferm´
ees, formes fermables

Dans cette section et la suivante on ne consid`ere que des formes sym´etriques, born´ees
inf´erieurement sur un espace de Hilbert H. Sans perte de g´en´eralit´e (en remplacant q(u) par
q(u) + ckuk2H ) on supposera que q(u) ≥ kuk2 .
On a alors l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz
|q(u, v)| ≤ q(u)1/2 q(v)1/2
et

(

p : u −→

q(u)1/2 , u ∈ D(q)
+∞ , u ∈
/ D(q)

est une jauge .

De plus p est cœrcive car q(u) ≥ kuk2 , et r´eflexive car p est une norme hilbertienne sur D(p).
On consid´erera q(u) comme d´efinie sur tout H avec q(u) = +∞ si u ∈
/ D(q).

efinition 6.3.1 Soit q une forme sym´etrique, born´ee inf´erieurement.
q est ferm´ee si la jauge p(u) = q 1/2 (u) + ckuk est ferm´ee.
q est fermable si la jauge p(u) = q 1/2 (u) + ckuk est fermable.
Comme pour les op´erateurs lin´eaires, on peut caract´eriser ces propri´et´es en termes de suites :
q est ferm´ee ssi pour toute suite (fn ) ∈ D(q) avec un → u, q(un − um )

−→

n,m→∞

0, alors

u ∈ D(q), q(un − u) → 0.
q fermable ssi pour toute suite (fn ) ∈ D(q) avec un → 0, q(un − um ) → 0, on a q(un ) → 0.

efinition 6.3.2 Soit q une forme sym´etrique, born´ee inf´erieurement.
Un sous espace D0 ⊂ D(q) est un cœur pour q si D 0 est dense dans D(q) pour la topologie
de p.
Proposition 6.3.3
i) q est fermable ssi q a une extension ferm´ee.
ii) Si q est fermable, q poss`ede une plus petite extension ferm´ee, not´ee q, d´efinie par :
D(q) = {u ∈ H | ∃ (un ) ∈ D(q) , q − Cauchy, un → u dans H}
q(u) = lim q(un ) .
n→∞

38

D´emonstration
Soit q fermable. On a vu alors qu’il existe une injection canonique j : D(q)c → H ou D(q)c
est le compl´et´e de D(q) pour la norme q(u)1/2 . Clairement p s’´etend en une norme sur D(q)c .
On d´efinit alors q par :
D(q) = j D(q)c ,

q(u) = p(u)2 ,

u ∈ D(q) .

q est ´evidemment ferm´ee car D(q)c est complet pour p. Il est facile de voir que q est la plus
petite extension ferm´ee de q : si q ⊂ q1 , q1 ferm´ee, j D(q)c ⊂ D(q1 ), q(u) = q1 (u) ⇒ q ⊂ q1 .
Il reste `a montrer que si q a une extension ferm´ee, q est fermable, ce qui est ´evident. 2
Proposition 6.3.4 Soit {qα }α∈I une famille de formes sym´etriques born´ees inf´erieurement et
ferm´ees. Supposons la famille {qα }α∈I filtrante croissante pour la relation ≤, c’est `
a dire que
pour tous α1 , α2 ∈ I il existe α3 ∈ I tel que αi ≤ α3 pour i = 1, 2. Alors : q := sup qα est une
α

forme quadratique ferm´ee.

D´emonstration Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer qα ≥ 0, ∀ α ∈ I. Soient {pα } et
P
B(pα ) les jauges et ensembles associ´es `a qα , on a : B(p) =
B(pα ) qui est donc ferm´e si tous
α∈I

les B(pα ) sont ferm´es. D’autre part supα qα est bien une forme quadratique, si la famille qα est
filtrante croissante. 2

6.4

Perturbations de formes quadratiques


efinition 6.4.1 Soit q0 une fonction quadratique sym´etrique born´ee inf´erieurement. Une forme
q est dite q0 −born´ee si il existe b, c ∈ IR tel que :
(6.4.1)

|q|(u) ≤ b q0 (u) + c kuk2 .

La borne inf´erieure des b telle que (6.4.1) a lieu est la borne relative de q par rapport `
a q0 .
Proposition 6.4.2 Soit q0 une forme quadratique sym´etrique born´ee inf´erieurement, q 0 une
fonction quadratique sym´etrique q0 −born´ee avec borne relative b < 1. alors la forme q = q0 + q 0
de domaine D(q0 ) est ferm´ee (resp. fermable) si q0 est ferm´ee (resp. fermable).
D´emonstration c’est ´evident car on v´erifie imm´ediatement que q et q0 d´efinissent la mˆeme
topologie sur D(q0 ), si b < 1. 2

6.5

Formes quadratiques et op´
erateurs

Th´
eor`
eme 6.5.1 (Lax-Milgram) Soit H un espace de Hilbert, q une forme sesquilin´eaire
0
born´ee sur H. Notons par H l’espace des formes anti-lin´eaires continues sur H et par h., .i le
0
crochet d’antidualit´e entre H et H . On associe `
a q l’op´erateur born´e
0

Lq : H → H ,
hv, Lq (u)i := q(v, u), u, v ∈ H.
0

Alors si |q(u, u)| ≤ ckuk2 ( i.e. |q|1/2 cœrcive) Lq est une bijection continue entre H et H .
39

D´emonstration 1) Lq est injective : Lq u = 0 ⇒ hu, Lq (u)i = q(u, u) = 0 ⇒ u = 0.
2) Im Lq dense : si hv, Lq (u)i = 0, ∀ u ∈ H on a hv, Lq (v)i = 0 ⇒ v = 0.
0
Im Lq ferm´ee : fn = Lq un , avec fn → f dans H . Alors :
|hun − um , fn − fm i| ≥ c kun − um k2H0
et
|hun − um , fn − fm i| ≤ c1 kun − um kH kfn − fm kH0 .
Donc (un ) est de Cauchy, un → u dans H, f = Lq u. 2
Th´
eor`
eme 6.5.2 Soit q une forme quadratique sym´etrique born´ee inf´erieurement `
a domaine
dense et ferm´ee.
Il existe un unique op´erateur auto-adjoint H avec :
D(H) ⊂ D(q) ,

q(u, v) = (u, Hv) ,

v ∈ D(H) ,

u ∈ D(q) .

De plus D(H) est un cœur pour q.
On appelle H l’op´erateur associ´e `
a la forme quadratique q.
D´emonstration Soit q1 (u) = q(u) + c kuk2 , c 1 de telle sorte que q1 (u) ≥ kuk2 .
q est ferm´ee donc Hq := D(q) muni du produit scalaire q1 (·, ·) est un espace de Hilbert. De
plus, q1 est ´evidemment cœrcive et born´ee sur Hq . Soit A : Hq → Hq0 l’op´erateur associ´e `a q1 ,
qui est inversible par le Th´eor`eme 6.5.1.
0
Comme Hq est dense dans H, on a une injection canonique de H dans Hq not´ee j, d´efinie
par : hv, jui := (v, u), u ∈ H, v ∈ Hq .
Soit B = A−1 j. Clairement B ∈ B(H) et B est injectif.
Montrons que B H est dense dans H. Soit v ∈ Hq orthogonal pour q1 `a B H. On a :
(v, A−1 ju)q = q1 (v, A−1 ju) = hv, jui = (v, u) = 0 ,

∀u ∈ H,

et donc v = 0. Donc B H est dense dans Hq et donc dans H.
On a aussi :
(6.5.2)

(v, A−1 ju) = (A−1 ju, v) = hA−1 ju, jvi = hA−1 ju, A A−1 jvi
= q1 (A−1 ju, A−1 jv) = q1 (A−1 jv, A−1 ju) ,

u, v ∈ H,

et donc comme q1 est sym´etrique :
(v, A−1 ju) = (A−1 jv, u) ,

u, v ∈ H .

L’op´erateur B est donc born´e, auto-adjoint, injectif, d’image dense.
Par le Lemme 6.5.3, l’op´erateur B −1 : D(B −1 ) := B H → H est auto-adjoint.
Soit alors H = B −1 − c 1l. On d´eduit de (6.5.2) que :
q1 (v, u) = (v, B −1 u) ,

u ∈ D(B −1 ) ,

v ∈ Hq

et donc
q(v, u) = (v, Hu) ,

u ∈ D(H) ,

v ∈ Hq .

On a vu que D(H) est dense dans Hq . L’unicit´e de H est facile et laiss´ee en exercice. 2
40

Lemme 6.5.3 Soit B auto-adjoint, injectif, d’image dense. Alors : B −1 : BD(B) → H est
auto-adjoint.
D´emonstration On a Γ(B) = Γ0 (−B)⊥ car B auto-adjoint et Γ(B −1 ) = Γ0 (B). Donc : Γ0 (−B −1 )⊥ =
Γ0 (B) = Γ(B −1 ) i.e. Γ(B −1∗ ) = Γ(B −1 ). B −1 est donc bien autoadjoint.
Th´
eor`
eme 6.5.4 (Extension de Friedrichs) Soit S un op´erateur sym´etrique born´e inf´erieurement.
Soit q la forme quadratique d´efinie par : D(q) = D(S),
q(u, v) = (u, sv) ,

u, v ∈ D(s) .

Alors q est fermable. L’op´erateur auto-adjoint associ´e `
a q est appel´e l’extension de Friedrichs de
S.
D´emonstration Soit {un } ∈ D(S), une suite de Cauchy pour q, avec un → 0 dans H. Montrons
que q(un ) → 0. On a :
|q(un )| ≤ |q(un − um , un )| + |q(um , un )|
≤ |q(un − um )|1/2 |q(un )|1/2 + |(un , sum )| .
Soit ε > 0. Il existe N tel que si n, m ≥ N ,√|q(un − um )| ≤ ε. On a donc |q(un )| ≤
2 ε1/2 |q(un )|1/2 + ε, n ≥ M , et donc |q(un )| ≤ (1 + 2) ε1/2 . 2

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