FQ1.pdf

Nom original: FQ1.pdf
Titre: C_Travaux en coursCours DEAcours_dea_dvi
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Chapitre 6 Formes quadratiques 6.1 Jauges sur un espace vectoriel D´finition 6.1.1 Soit F un espace vectoriel sur C (ou IR). Une application p : F → [0, ∞] telle e que : i) p(u + v) ≤ p(u) + p(v), u, v ∈ F , ii) p(α u) = |α| p(u), u ∈ F , α ∈ C, iii) p(u) = 0 ⇒ u = 0 est appel´e une jauge sur F . e Remarque On utilise l’extension habituelle des lois +, × et de la relation d’ordre ≤ de [0, +∞[ a ` [0, +∞]] d´finie par : e a + +∞ = +∞ +∞, a = 0, 0 a = 0, a ≤ +∞, ∀a ∈ [0, +∞]. a × +∞ = Exemples Toute norme sur F est une jauge sur F . Soit F = L2 (IRn ). Alors la fonction p(u) = ( IRn | u|2 dx)1/2 , si u ∈ L2 , p(u) = +∞ si u ∈ L2 est une jauge. / A toute jauge est associ´ l’espace vectoriel E := {u ∈ F | p(u) < ∞}, qu’on peut aussi noter e D(p), et l’ensemble B(p) := {u ∈ F | p(u) ≤ 1}. E muni de p est une espace vectoriel norm´. e B(p) est convexe ´quilibr´, i.e. si u1 , u2 ∈ B(p), α1 , u1 + α2 u2 ∈ B(p), si |α1 | + |α2 | ≤ 1. e e Inversement si B ⊂ F est un ensemble convexe ´quilibr´ alors : e e p(u) = 1 {λ | λu ∈ B} est une jauge. sup On suppose maintenant que F est un espace vectoriel topologique localement convexe. (Dans la suite F sera un Hilbert). On rappelle qu’une fonction f : F → [0, +∞] est semi-continue inf´rieurement si ∀ u0 ∈ F , ε > 0, ∃ U voisinage de u0 tel que p(u) ≥ p(u0 ) − ε, u ∈ U . e D´finition 6.1.2 Une jauge p est ferm´e si E muni de p est un espace de Banach. e e Une jauge p est cœrcive si pour toute suite {fn } ∈ E telle que p(fn ) → 0 on a fn → 0 dans F . De mani`re ´quivalente p est cœrcive si B(p) est born´ dans F . e e e 36 Une jauge p cœrcive est fermable si pour toute suite {fn } ∈ E de Cauchy pour p(.), et telle que fn → 0 dans F , on a p(fn ) → 0. Soit E c le compl´t´ de E pour p.On v´rifie facilement en revenant ` la d´finition de E c en ee e a e termes de classes d’´quivalence de suites de Cauchy dans E, les faits suivants : e Proposition 6.1.1 i) p est ferm´e ssi E c = E. e ii) si p est cœrcive, il existe une application canonique E c → F . iii) si p est cœrcive, alors p est fermable si et seulement si cette application est injective, i.e. E c peut ˆtre consid´r´ comme un sous espace vectoriel de F . e e e Finalement on dit que la jauge p est r´flexive si E c est un espace de Banach r´flexif. e e Proposition 6.1.3 Soit p une jauge sur un espace vectoriel topologique localement convexe F . Alors : i) p est s.c.i. sssi B(p) est ferm´. e ii) Soit p une jauge cœrcive sur un espace vectoriel topologique localement convexe F . Alors : a) p est s.c.i. ⇒ p est ferm´ et on a la propri´t´ de Fatou : e ee si {fn } est une suite dans F , fn → f dans F , alors : p(f ) ≤ lim inf p(fn ) . n b) p ferm´e et r´flexive ⇒ p est s.c.i. e e D´monstration i) est laiss´ en exercice (cf. Gelfaud-Vilenkin, Chap. 1, Sect. 1). e e ii) La propri´t´ de Fatou suit de la semi continuit´ inf´rieure. ee e e Soit (fn ) une suite de Cauchy dans E. Comme p est cœrcive, ∃ f ∈ F avec fn → f . Pour tout ε > 0, ∃ N tel que p(fn − fm ) ≤ ε, n, m ≥ N . Comme fn − fm −→ fn − f dans F , par Fatou, on a : p(fn − f ) ≤ ε. En appliquant encore Fatou on a f ∈ E, et donc fn → f dans E, i.e. E est complet. iii) Si p est ferm´e, l’injection i : E → F est continue. Elle est aussi continue pour les e topologies faibles (car F ⊂ E ). Comme E est r´flexif, B(p) est faiblement compact dans E et e donc son image dans F est faiblement compacte, donc faiblement ferm´e donc ferm´e. 2 e e m→∞ 6.2 Formes sesquilin´aires, formes quadratiques e Soit F un espace vectoriel sur C, D ⊂ F un sous espace vectoriel de F . Une forme sesquilin´aire q : D × D → C (avec la convention que q est lin´aire ` droite, anti-lin´aire ` gauche) est e e a e a appel´e forme sesquilin´aire sur F , de domaine D =: D(q). e e On note par q(u) = q(u, u) la forme quadratique associ´e, et on peut r´cup´rer la forme e e e sesquilin´aire par l’identit´ de polarisation : e e q(u, v) = 1 3 k i q(u + ik v) , 4 k=0 37 u, v ∈ D . D´finition 6.2.1 e i) Soient q1 , q2 deux forme sesquilin´aires. On dit que q1 ⊂ q2 si D(q1 ) ⊂ D(q2 ) et q1 (u) = q2 (u), e u ∈ D(q1 ). On dit que q2 est une extension de q1 . ii) Une forme est sym´trique si q(u, v) = q(v, u), u, v ∈ D(q), i.e. q(u) ∈ IR, u ∈ D(q). e iii) Soient q1 , q2 deux formes sesquilin´aires sym´triques. On dit que q1 ≤ q2 si D(q2 ) ⊂ D(q1 ) e e et q1 (u) ≤ q2 (u) , u ∈ D(q2 ) . iv) Une forme quadratique sym´trique q est born´e inf´rieurement si ∃ c ∈ IR tel que e e e c u 2 ≤ q(u) , u ∈ D(q). 6.3 Formes ferm´es, formes fermables e Dans cette section et la suivante on ne consid`re que des formes sym´triques, born´es e e e inf´rieurement sur un espace de Hilbert H. Sans perte de g´n´ralit´ (en remplacant q(u) par e e e e q(u) + c u 2 ) on supposera que q(u) ≥ u 2 . H On a alors l’in´galit´ de Cauchy-Schwarz e e |q(u, v)| ≤ q(u)1/2 q(v)1/2 et p : u −→ q(u)1/2 , u ∈ D(q) +∞ , u ∈ D(q) / est une jauge . De plus p est cœrcive car q(u) ≥ u 2 , et r´flexive car p est une norme hilbertienne sur D(p). e On consid´rera q(u) comme d´finie sur tout H avec q(u) = +∞ si u ∈ D(q). e e / D´finition 6.3.1 Soit q une forme sym´trique, born´e inf´rieurement. e e e e q est ferm´e si la jauge p(u) = q 1/2 (u) + c u est ferm´e. e e q est fermable si la jauge p(u) = q 1/2 (u) + c u est fermable. Comme pour les op´rateurs lin´aires, on peut caract´riser ces propri´t´s en termes de suites : e e e ee q est ferm´e ssi pour toute suite (fn ) ∈ D(q) avec un → u, q(un − um ) e u ∈ D(q), q(un − u) → 0. q fermable ssi pour toute suite (fn ) ∈ D(q) avec un → 0, q(un − um ) → 0, on a q(un ) → 0. D´finition 6.3.2 Soit q une forme sym´trique, born´e inf´rieurement. e e e e Un sous espace D ⊂ D(q) est un cœur pour q si D est dense dans D(q) pour la topologie de p. Proposition 6.3.3 i) q est fermable ssi q a une extension ferm´e. e ii) Si q est fermable, q poss`de une plus petite extension ferm´e, not´e q, d´finie par : e e e e D(q) = {u ∈ H | ∃ (un ) ∈ D(q) , q − Cauchy, un → u dans H} q(u) = lim q(un ) . n→∞ n,m→∞ −→ 0, alors 38


         


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