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Chapitre 5

Op´
erateurs non born´
es
5.1

Domaines, graphes, fermetures, adjoints

Soient E, F deux espaces de Banach. Soit D ⊂ E un sous espace vectoriel de E. Un op´erateur
lin´eaire T : D → F est appel´e, (par abus de language), un op´erateur (non born´e) sur E.
L’espace D est appel´e le domaine de T , not´e D(T ). Un tel op´erateur est enti`erement d´ecrit
par son graphe :
Γ(T ) = {(e, f ) ∈ E × F | e ∈ D, f = T e} .
De mani`ere ´equivalente, un op´erateur lin´eaire peut aussi ˆetre consid´er´e comme un sous espace
lin´eaire Γ de E × F , tel que la projection πE : E × F → E est injective quand on la restreint
`a Γ (i.e. un graphe). L’espace “ambiant” E jouera un rˆole quand on introduira la topologie de
E × F sur Γ(T ).

efinition 5.1.1
i) T est `
a domaine dense (ou dens´ement d´efini) si D(T ) dense dans E.
ii) Soient T1 , T2 deux op´erateurs. On dit que T1 ⊂ T2 (T2 est une extension de T1 ) si Γ(T1 ) ⊂
Γ(T2 ), i.e. : D(T1 ) ⊂ D(T2 ), T2 u = T1 u, u ∈ D(T1 ).
La relation ⊂ est une relation d’ordre sur l’espace des op´erateurs lin´eaires.
La notion fondamentale pour les op´erateurs lin´eaires est celle d’op´erateurs ferm´es qui est la
g´en´eralisation naturelle de la notion d’op´erateurs born´es.

efinition 5.1.2
i) T est dit ferm´e si Γ(T ) est ferm´e.
ii) T est dit fermable si il existe T1 ferm´e avec T ⊂ T1 .
Par le th´eor`eme du graphe ferm´e, on voit que les op´erateurs ferm´es de E dans F de domaine E
sont exactement les op´erateurs born´es de E dans F .
Proposition 5.1.3 T est fermable ssi Γ(T ) est un graphe. On a alors Γ(T ) =: Γ(T¯), o`
u T¯ est
la plus petite extension ferm´ee de T , appel´ee la fermeture de T .

29

D´emonstration Si T ⊂ T1 , T1 ferm´e, Γ(T ) ⊂ (T1 ) = Γ(T1 ), donc Γ(T¯) est un graphe comme
sous espace d’un autre graphe. On a donc Γ(T ) = Γ(T¯) et T¯ est la plus petite extension ferm´ee
de T .
Inversement si Γ(T ) = Γ(T¯), T ⊂ T¯, T¯ ferm´e, donc T est fermable. 2
Remarque L’´ecriture du fait que T est ferm´e (resp. fermable) en termes de T et D(T ) est la
suivante :
T ferm´e :
T fermable :

∀ (un ) ∈ D(T ) , un → u , T un → v ⇒ u ∈ D(T ) , v = T u
∀ (un ) ∈ D(T ) , un → 0 , T un → v ⇒ v = 0 .

Exemples 1) Soit E = F = L2 (IRn ),
D(T ) = C0∞ (IRn ) , T u = −∆u .
T est fermable, T = −∆, D(T ) = H 2 (IRn ).
2) E = L2 (IRn ), F = C, D(T ) = C0∞ (IRn ), T u = u(0). T n’est pas fermable, car Γ(T ) =
E × F.

5.2

Adjoints

On suppose maintenant que E = F = H espace de Hilbert. (Il est facile d’´etendre la notion
qui va suivre au cas E = H1 , F = H2 sont deux espaces de Hilbert).

efinition 5.2.1 Soit T : D(T ) → H un op´erateur `
a domaine dense. On d´efinit l’adjoint de T

not´e T par :
(5.2.1)

D(T ∗ ) := {u ∈ H | ∃ f ∈ H tel que (u, T v) = (f, v) , ∀ v ∈ D(T )},

et

T ∗ u := f

o`
u f est d´efini dans (5.2.1).
Remarques 1) Comme D(T ) dense, le vecteur f dans (5.2.1) est unique, donc T ∗ est bien d´efini.
2) Clairement D(T ∗ ) = {u ∈ H | |(u, T v)| ≤ Ckvk , v ∈ D(T )}, par le Th´eor`eme de Riesz.
L’adjoint T ∗ se d´ecrit de mani`ere compacte `a l’aide de son graphe. Pour un graphe Γ(T )
on note Γ0 (T ) l’inverse de Γ(T ) : Γ0 (T ) := {(v, u) | (u, v) ∈ Γ(T )}.On a Γ0 (T ) = Γ(T −1 ) si T
injectif.
On munit H × H de sa structure Hilbertienne naturelle et on a :
Proposition 5.2.2
i) Γ0 (T ∗ ) = Γ(−T )⊥ .
ii) Soit T un op´erateur `
a domaine dense. Alors :
1) T ∗ est ferm´e.
2) T est fermable ssi D(T ∗ ) est dense et on a alors T = T ∗∗ .

3) Si T est fermable, T = T ∗ .


4) T1 ⊂ T2 ⇒ T2 ⊂ T1 .
30

e point 2) de la Proposition est souvent utile pour montrer qu’un op´erateur T est fermable.
D´emonstration le point i) est un calcul direct. Les points 1 et 4 de ii) suivent directement de i).
Montrons le point 2) : Si T fermable, Γ0 (T ∗ )⊥ = Γ(−T ) = Γ(−T ). Si u ∈ D(T ∗ )⊥ , (0, u) ∈
Γ0 (T ∗ )⊥ = Γ(−T ) ⇒ u = 0, i.e. D(T ∗ ) est dense.
Inversement, D(T ∗ )⊥ = {0} ⇒ Γ(−T ) est un graphe, i.e. T est fermable. On a alors Γ(T ) =
Γ(T )⊥⊥ = Γ00 (T ∗∗ ) = Γ(T ∗∗ ), i.e. T = T ∗∗ .


3) : Γ0 (T ∗ ) = Γ(−T )⊥ = Γ(−T )⊥ = Γ(−T )⊥ = Γ0 (T ) ⇒ T = T ∗ . 2
L

efinition 5.2.3 Soit T un op´erateur `
a domaine dense.
On dit que T est sym´etrique si T ⊂ T ∗ .
On dit que T est auto-adjoint si T = T ∗ .

5.3

Spectre

La notion de spectre se d´efinit bien pour les op´erateurs ferm´es.
Soit T un op´erateur lin´eaire ferm´e. Alors D(T ) muni de la norme du graphe : kukT :=
kT uk + kuk est un espace de Banach, et on peut consid´erer T : D(T ) → H comme un op´erateur
born´e entre deux espaces de Banach.

efinition 5.3.1 Soit T un op´erateur born´e sur l’espace de Hilbert H. L’ensemble r´esolvant
ρ(T ) ⊂ C est l’ensemble des λ ∈ C tels que λ 1l − T est une bijection de D(T ) sur H d’inverse
born´e. Si λ ∈ ρ(T ), R(λ) = (λ − T )−1 est la r´esolvante de T . Le spectre de T , not´e σ(T ) est
C \ ρ(T ).
Remarques Si (λ − T )−1 : H → D(T ) est born´e pour la topologie de H il l’est aussi pour la
topologie de D(T ), en utilisant T (λ − T )−1 = −1l + λ(λ − T )−1 .
Si (λ − T ) : D(T ) → H est bijectif, il est automatiquement d’inverse born´e, par le th´eor`eme
du graphe ferm´e.
On d´efinit spectre ponctuel , spectre continu et le spectre r´esiduel de T comme dans le cas
born´e.
Proposition 5.3.2 Soit T un op´erateur ferm´e. Alors :
i) ρ(T ) est un ouvert de C. La fonction :
ρ(T ) 3 λ 7−→ (λ 1l − T )−1 ∈ B(H)
est holomorphe.
ii) R(λ) − R(λ0 ) = (λ − λ0 ) R(λ) R(λ0 ).

5.4

Extensions d’op´
erateurs sym´
etriques, transformation de Cayley

Dans cette section on d´ecrit les extensions ferm´ees d’un op´erateur sym´etrique arbitraire,
et en particulier ses extensions autoadjointes (si elles existent). Ce probl´eme se ram`ene `a la
description des extensions d’une isom´etrie, par la transformation de Cayley.
31

Dans cette section une isom´etrie est un op´erateur U avec un domainie D(U ) tel que kU uk =
kuk, u ∈ D(U ). Une isom´etrie U est toujours fermable, et est ferm´ee ssi D(U ) ferm´e. Les
isom´etries ferm´ees co¨incident avec les isom´etries partielles de la D´efinition 2.5.2.

5.4.1

Transform´
ee de Cayley d’un op´
erateur sym´
etrique

En th´eorie de la variable complexe, la transformation de Cayley est l’application : κ(z) =
qui envoie IR ∪ {∞} sur S 1 d’inverse κ−1 (z) = i (1+z)
1−z .
Soit T un op´erateur sym´etrique. On a l’identit´e de base suivante :

z−i
z+i ,

k(T − z) uk2 = k(T − Re z) uk2 + | Im z|2 kuk2 , u ∈ D(T ) .

(5.4.1)

On en d´eduit que si z ∈ C \ IR (T − z) est injective, et
(5.4.2)

kuk ≤

1
k(T − z) uk
| Im z|

et on peut donc consid´erer l’op´erateur born´e
(T + i)−1 : (T + i) D(T ) −→ D(T ) .

efinition 5.4.1 La transform´ee de Cayley de T est l’op´erateur κ(T ) := (T − i)(T + i)−1 , avec
domaine D(κ(T )) := (T + i) D(T ). On a Im κ(T ) = (T − i) D(T ).
Lemme 5.4.2 κ(T ) est une isom´etrie de (T + i) D(T ) sur (T − i) D(T ). De plus 1l − κ(T ) est
injective avec Im(1l − κ(T )) = D(T ), et T = i(1l + κ(T ))(1l − κ(T ))−1 .
D´emonstration κ(T ) est une isom´etrie car k(T + i)uk2 = k(T − i)uk2 , u ∈ D(T ), par l’identit´e
(5.4.1). De plus si u = κ(T )u on a (T + i)v = (T − i)v, v = (T + i)−1 u et donc v = 0 et u = 0.
On voit donc que (1l − κ(T )) est injective. V´erifions le reste des affirmations du lemme. Dans la
suite le symbole 1l d´esignera 1l|D(κ(T )) . On a :
1l − κ(T ) = (T + i)(T + i)−1 − (T − i)(T + i)−1 = 2i(T + i)−1 ,
donc Im(1l − κ(T )) = D(T ), et de mˆeme : 1l + κ(T ) = 2T (T + i)−1 et donc :
T = i(1l + κ(T ))(1l − κ(T ))−1 ,
o`
u le sens est le suivant :
(1l − κ(T ))−1 : D(T ) → D(κ(T )) , (1l + κ(T )) : D(κ(T )) → (T − i) D(T ) ⊂ H.
Th´
eor`
eme 5.4.3
i) La transformation de Cayley : κ : T 7→ κ(T ) d´efinit un isomorphisme qui pr´eserve l’ordre
entre la classe des op´erateurs sym´etriques sur H et la classe des isom´etries U sur H telles que
Im(1l − U ) est dense.
ii) Les quatre objets suivants sont ferm´es en mˆeme temps : T , Im(T + i), Im(T − i), κ(T ).

32

D´emonstration 1) κ pr´eserve l’ordre : si T1 ⊂ T2 , κ(T1 ) ⊂ κ(T2 ) est clair.
2) κ est injective, car on a construit un inverse `a gauche dans le lemme 5.4.2.
3) V´erifions que κ est surjective : Soit U une isom´etrie avec Im (1l − U ) = H. Soit u ∈ D(U )
tel que U u = u. Alors pour v ∈ D(U ) : (u, v − U v) = (u, v) − (U u, U v) = 0 ⇒ u = 0 car
Im(1l − U ) dense. Donc 1l − U est injectif et on peut d´efinir un op´erateur T de domaine dense
Im(1l − U ) par : T u = i(1l + V )(1l − U )−1 u. Pour v ∈ D(u) on a :
((1 − U )v, T (1 − U )v) = ((1 − U )v, i(1 + U )v) = 2 Im(U v, v) ∈ IR ,
donc T est sym´etrique. On a T = i(1 + U )(1 − U )−1 , et donc par le Lemme 5.4.2, U = κ(T ).
4) Supposons T ferm´e. Alors T + i est ferm´e et par (5.4.1) Im(T + i) est ferm´e. κ(T ) est une
isom´etrie entre Im(T + i) et Im(T − i), donc Im(T − i) est ferm´e. De plus comme D(κ(T )) =
Im(T + i) est ferm´e et κ(T ) est isom´etrique, κ(T ) est ferm´e. Supposons maintenant κ(T ) ferm´e :
soit un ∈ D(T ), un → u, T un → v. Alors (T ± i)un → v ± i u, et donc (v + i u, v − i u) ∈ Γ(κ(T )).
Par d´efinition il existe w ∈ D(T ) tel que v + i u = (T + i)w, v − i u = (T − i)w ⇒ w = u,
v = T w ⇒ u ∈ D(T ), T u = v, i.e. T est ferm´e. 2
On veut maintenant d´ecrire toutes les extensions ferm´ees d’un op´erateur sym´etrique, et en
particulier les extensions autoadjointes si elles existent.
On remarque tout d’abord que si T sym´etrique, T est fermable, T est sym´etrique, toute
extension ferm´ee de T est une extension ferm´ee de T . On peut donc supposer que T est ferm´e.
Par le Th´eor`eme 5.4.3, ce probl`eme est ´equivalent au probl`eme de d´ecrire les extensions d’une
isom´etrie partielle.

efinition 5.4.4 Soit T un op´erateur sym´etrique. On pose :
K ± := Im(T ± i)⊥ = Ker(T ∗ ∓ i) = Im(T ± i)⊥ ,
n± := dim(K ± ) .
Les espaces K ± sont les espaces de d´efaut de T , les nombres cardinaux n± les indices de d´efaut
de T .
Proposition 5.4.5 Soit T un op´erateur sym´etrique ferm´e.
i) Les extensions sym´etriques ferm´ees sont en bijection avec les isom´etries partielles de K + sur
K −.
ii) Soit U une telle isom´etrie partielle. L’extension de T associ´ee `
a U , not´ee TU est donn´ee par :
D(TU ) = {u + (1l − U ) r , u ∈ D(T ) , r ∈ D(U )} ,
TU (u + (1l − U ) r) = T u + i(1l + U ) r .
D´emonstration Soit T1 = T , T2 une extension sym´etrique ferm´ee de T1 , Sj = κ(Tj ), j = 1, 2,
les transform´ees de Cayley. Par le Th´eor`eme 5.4.3, Sj sont des isom´etries partielles, et S1 ⊂ S2 .
On a :
D(S2 ) = D(S1 ) ⊕ K + ∩ D(S2 ) ,
Im(S2 ) = Im(S1 ) ⊕ K − ∩ Im(S2 ) .
Comme S2 pr´eserve le produit scalaire, S2 est une isom´etrie de K + ∩ D(S2 ) sur K − ∩ Im(S2 ),
i.e. une isom´etrie partielle de K + sur K − . Inversement toute isom´etrie partielle de K + sur K −
est donc une extension ferm´ee de S1 . Ceci montre i).
Le point ii) suit de i) et du Lemma 5.4.2. 2
33

Corollaire 5.4.6 Soit T un op´erateur sym´etrique ferm´e, d’indices de d´efaut n± . Alors :
i) T auto-adjoint ⇔ n± = 0 ⇔ κ(T ) unitaire.
ii) T poss`ede des extensions auto-adjointes ssi n+ = n− . Les extensions auto-adjointes de T
sont en bijection avec les op´erateurs unitaires entre K + et K − .
iii) Si n+ = 0 6= n− , ou n− = 0 6= n+ , T n’a pas d’extensions sym´etriques non triviales, on dit
que T est maximal sym´etrique.
D´emonstration iii) suit directement de la Proposition 5.4.5.
ii) suit de i) et de la Proposition 5.4.5.
i) : soit T auto-adjoint. Alors T = T , et Im(T ± i) sont ferm´es par le Th´eor`eme 5.4.3. De
plus Im(T ± i) = Ker(T ∓ i)⊥ = {0} ⇒ Im(T ± i) = H ⇒ n+ = n− = 0.
Supposons n± = 0. Alors Im(T ± i)⊥ = {0} et donc Im(T ± i) = H car T ferm´e. Soit
u ∈ D(T ∗ ). Il existe v ∈ D(T ) tel que (T + i) v = (T ∗ + i) u, i.e. (u − v) ∈ Ker(T ∗ + i) =
Im(T − i)⊥ = {0}. Donc u = v et D(T ∗ ) ⊂ D(T ), i.e. T = T ∗ .
Le fait que n± = 0 ⇔ κ(T ) unitaire est clair car un op´erateur unitaire est une isom´etrie
partout d´efinie et surjective. 2

efinition 5.4.7 Soit T un op´erateur sym´etrique. T est dit essentiellement auto-adjoint si T
est auto-adjoint, ou de mani`ere ´equivalente n+ = n− = 0.
Un op´erateur essentiellement auto-adjoint poss`ede une unique extension auto-adjointe.

5.5

Th´
eorie des perturbations pour les op´
erateurs auto-adjoints


efinition 5.5.1 Soit A, B deux op´erateurs lin´eaires sur un Hilbert H. On dit que B est Aborn´e si : D(A) ⊂ D(B) et :
(5.5.3)

kBuk ≤ a kAuk + b kuk , u ∈ D(A) .

L’infimum des a tel que (5.5.3) a lieu est la borne relative de B par rapport `
a A.
Th´
eor`
eme 5.5.2 (Kato-Rellich) Soit H0 un op´erateur auto-adjoint, V un op´erateur sym´etrique,
H0 -born´e de borne relative < 1. Alors H0 + V de domaine D(H0 ) est auto-adjoint.
D´emonstration Soit a < 1 la borne relative de V par rapport `a H0 . Soit H = H0 + V .
−b kuk + (1 − a)kH0 uk ≤ kHuk ≤ a kH0 uk + b kuk .
On en d´eduit que H est ferm´e sur D(H0 ). De plus H est clairement sym´etrique.
On d´eduit ensuite de (5.4.1) que :
k(H0 ± iλ)uk2 = kH0 uk2 + λ2 kuk2 , u ∈ D(H0 ) , λ ∈ IR
et donc

kH0 (H0 ± iλ)−1 k ≤ 1 ,

k(H0 ± iλ)−1 k ≤ |λ|−1 ,

34

puis
kV (H0 ± iλ)−1 uk ≤ a kuk + b |λ|−1 kuk
1 + a

kuk , pour |λ| 1 .
2
L’op´erateur (1l + V (H0 ± iλ)−1 )−1 existe par la s´erie de Neumann. On peut donc construire
(H ± iλ)−1 comme :
(H ± iλ)−1 = (H0 ± iλ)−1 (1l + V (H0 ± iλ)−1 )−1 .
Donc pour λ ∈ IR, λ 1, Im(H ± iλ) = H ⇔ Im(λ−1 H ± i) = H, i.e. λ−1 H est auto-adjoint
sur D(H0 ) par le Corollaire 5.4.6, i.e. H est auto-adjoint sur D(H0 ). 2

35


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