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Université Pierre et Marie Curie
MIME 26

Année 2007-2008
LM 120

Devoir n◦1
Durée : 1 h
Les appareils électroniques et documents sont interdits. On attachera le plus grand soin à la
rédaction et à la présentation claire et lisible des résultats.
Dans les exercices suivants, pour tout n ∈ N∗ , Rn sera considéré comme R-espace vectoriel,
muni des lois · et + usuelles.

Exercice 1:
Dans R2 , on considère les vecteurs (1, 1) et (1, −1). Soit B = {(1, 1), (1, −1)}.
1. Montrer que B est une famille libre de R2 .
2. B est-elle une base de R2 ?
3. Soit (x, y) ∈ R2 . Donner la décomposition de (x, y) en combinaison linéaire de (1, 1) et
(1, −1).
Exercice 2:
On considère l'ensemble E dé ni par :


E = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 + 2x3 − x4 = 0 et x2 + x4 = 0

1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R4 .
2. Déterminer une famille génératrice de E .
3. Déterminer une base de E . Quelle est la dimension de E ?

Exercice 3:
On considère l'application f dé nie par :
f:

1.
2.
3.
4.
5.

R3
−→
(x, y, z) 7−→

R3
(y + z, x + 2z, x − y + z)

Montrer que f est linéaire.
Déterminer une famille génératrice de Im f .
Déterminer une base de Im f . Que vaut rg f ?
Déterminer la dimension et une base de Ker f .
Pour λ ∈ R, on pose Eλ = {u ∈ R3 | f (u) = λu}.
Caractériser Eλ (par exemple, trouver Bλ famille de vecteurs de R3 telle que Eλ = V ect(Bλ )),
pour λ = 0, λ = 1 et λ = 2.

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