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Université Pierre et Marie Curie
MIME 26

Année 2007-2008
LM 120
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Feuille d'exercices n 5

Dimensions, Bases, Théorème du rang

Exercice 1:
Soit E1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y + z + t = 0} et E2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − y + z − t = 0}.
1. Trouver une base de E1 , de E2 , et de E1 ∩ E2 .
2. Soit E3 = Vect ((24, 0, −13, −11), (31, −21, −10, 0), (0, 0, 27, −27)). Montrer que E3 = E1 .
Exercice 2:
Soit l'application f dénie par :
f :

R4
−→
R3
(x, y, z, t) 7−→ (2x + y, x + z − t, y − 2z + 2t)

1. Montrer que f est linéaire.
2. Trouver une base de Ker f .
3. Quelle est la dimension de Im f ? Trouver une base de Im f .

Exercice 3:
Soit E , F et G trois espaces vectoriels de dimensions nies, f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G).
1. Montrer que Im (g ◦ f ) ⊂ Im (g) et que Ker (f ) ⊂ Ker (g ◦ f ).
2. En déduire que rg (g ◦ f ) ≤ min (rg (f ), rg (g)).
Exercice 4:
Soit E un espace vectoriel de dimension n. Soit ϕ ∈ L(E) telle que ϕn = 0 et ϕn−1 6= 0.
Soit x ∈ E tel que ϕn−1 (x) 6= 0. Montrer que {x, ϕ(x), ..., ϕn−1 (x)} est une base de E .
Exercice 5:
Soit E un sous-espace vectoriel de Rn de dimension 2, et f un endomorphisme non nul de E .
1. On suppose que Ker f = Im f . Que vaut rg f ? Trouver une base {u, v} de E telle que
f (u) = v et f (v) = 0. En déduire que f ◦ f = 0.
2. On suppose que f ◦ f = 0. Montrer qu'il existe u ∈ E tel que {u, f (u)} soit une base de E .
En déduire que Ker f = Im f .
Exercice 6:
Soit E un espace vectoriel de dimension nie, E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E . Soit
l'application f dénie par :
f : E 1 × E2
(x1 , x2 )

1.
2.
3.
4.

−→
7−→

E
x1 + x2

Montrer que f est linéaire.
Déterminer Ker f et Im f , ainsi que leurs dimensions.
Montrer que dim(E1 + E2 ) = dim(E1 ) + dim(E2 ) − dim(E1 ∩ E2 ).
En déduire le résultat suivant :

E = E1 ⊕ E2 ⇐⇒

E1 ∩ E2 = {0}
dim(E) = dim(E1 ) + dim(E2 )

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Année 2007-2008
LM 120

Exercice 7:
Soit E un espace vectoriel de dimension nie et f ∈ L(E).
1. Montrer que : (Ker f = Ker f 2 ) ⇐⇒ (Im f = Im f 2 ).
2. Montrer que : (E = Ker f ⊕ Im f ) =⇒ (Ker f = Ker f 2 ).
3. En utilisant la question 4 de l'exercice précédent, montrer que la réciproque est vraie.
Exercice 8:
Soit n ∈ N, i, j ∈ {1, ..., n}. Soit Eij la matrice de Mn (R) dénie par :
∀k, l ∈ {1, ..., n}, (Eij )kl = δki δlj , où δpq =



1 si p = q
0
sinon

1. Donner l'allure de la matrice Eij .
2. Montrer que la famille {Eij }1≤i,j≤n est une base de Mn (R). On l'appelle base canonique de
Mn (R).
3. En déduire la dimension de Mn (R).

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