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Universit´
e de Paris XI
Math´
ematiques

L1 – Calculus Math101
1er semestre 2012–2013

Questions pour le test 3
Primitives, int´egrales et d´eveloppements limit´es
A pr´eparer pour la semaine du 12 novembre

Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la r´eponse par
une d´emonstration ou un contre-exemple.
1.— Si f est une fonction continue croissante sur R, la fonction g : R → R d´efinie par :
g(x) =

Z

x3 +1

f (t)dt
x3

est ´egalement croissante sur R.
2.— Soit x1 > 0. Pour tout x2 > x1 l’in´egalit´e suivante est v´erifi´ee :
Z x2
Z x2 ln x
1


| ln x|dx .
dx ≤

x
x 2 x1
x1

3.— Pour toute fonction f continue sur [−1/2, 1/2], on a
Z π/6
Z 1/2
f (sin x) cos xdx ,
f (t)dt =
−5π/6

−1/2

en faisant le changement de variables t = sin x.
4.— On a l’´egalit´e suivante :

Z 1

44 2 − 8
2
.
x 1 + x dx =
105
0
5.— La fonction f : R → R d´efinie par f (0) = 0 et f (x) = x3 sin(1/x) si x 6= 0 n’est pas de classe
C 2 mais admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en x = 0.
6.— La fonction f : R → R d´efinie par f (x) = exp cos x admet le DL4 (0) suivant :
e
1
f (x) = e − x2 + x4 + x4 ε(x) .
2
6
7.— On a le DL4 (0) suivant :
1
1
sin(sin x) = x − x3 + x4 + x4 ε(x) .
3
10

8.— La fonction f : [−1, +∞[→ R d´efinie par f (x) = 1 + x admet le DL2 (1) suivant :


1
1
1 + x = 2 + √ (x − 1) − √ (x − 1)2 + (x − 1)2 ε(x − 1) .
2 2
8 2
9.— On a le DL2 (0) suivant :


e−x + ex
2

1/x

=1+x+

x2
+ x2 ε(x) .
8

10.— On a la limite suivante :
lim

x→+∞



ln(1 + x)
ln x

x

= 1.

11.— On a la limite suivante :
lim

x→0

sin(ln(1 + x)) − ln(1 + sin x)
1
=
.
x4
12

12.— On a la limite suivante :
lim

x→+∞

13.— On a la limite suivante :

14.— On a la limite suivante :




x1/x − (1 + x)1/x = 0 .

1
ee − e1+x
= .
lim √
x→0
2
1 + x − cos x
x

limπ

x→ 4

sin x − cos x √
= 2.
x − π4

15.— On a la limite suivante :
lim (x + sin(x)) tan

x→+∞



2x
x2 + 5



= 2.


x
16.— La fonction f (x) = ln e x−1 admet un prolongement de classe C 1 au voisinage de 0. Le
graphe de ce prolongement est localement au-dessus de sa tangente en 0.
17.— Soit λ ∈ R. La fonction f : R → R d´efinie par :
f (x) = cos(|x|1/2 ) + λ sin |x|
admet un minimum local en 0 si et seulement si λ > 1/2.
18.— La fonction f : R∗ → R d´efinie par :
f (x) =

e1/x + 1
e1/x − 1

se prolonge par continuit´e sur R en une fonction qui admet une asymptote lorsque x → −∞. Son
graphe est en-dessous de cette droite au voisinage de −∞.
19.— Lorsque x → +∞, la fonction f : [1, +∞[→ R d´efinie par :
r
x3 + ln x
f (x) =
2+x
admet une asymptote D et son graphe se trouve au-dessus de D au voisinage de +∞.
20.— Lorsque x → +∞, la fonction f : R∗+ → R d´efinie par :

1/3
1
sin
f (x) = x3 + x + 2 sin x
x
admet une asymptote D et son graphe se trouve au-dessous de D au voisinage de +∞.

Il y a 9 affirmations vraies et 11 affirmations fausses


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