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Algebre1 .pdf



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Algèbre 1 : Calculs algébriques & Algèbre linéaire

Deux plans vectoriels de l'espace

R3

en jaune et en vert, qui s'intersectent selon une droite vectorielle en bleu.

Sommaire
I

Éléments de logique et de théorie des ensembles

1

1 Éléments de logique

2

2 Éléments de théorie des ensembles

4

1.1 Proposition et connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quanti cateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Raisonnement mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 L'ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

Polynômes

III Espaces vectoriels

2

2
3
3
4
4
4

5
6

Première partie
Éléments de logique et de théorie des
ensembles

1

Chapitre 1
Éléments de logique
1.1 Proposition et connecteurs logiques
Dé nition : Une proposition est un énoncé mathématique (ou non) qui possède l'une des valeurs de vérité
suivante : vrai (V) ou fausse (F).
Négation : Soit P une proposition.
P
V
F

non(P)
F
non(P) contraire logique de (P).
V

Conjonction et : Soient P et Q deux propositions.
P
V
V
F
F

Q
V
F
V
F

P et Q
V
F
(P et Q) est V si P et Q sont simultanéments V.
F
F

Disjonction ou :
P
V
V
F
F

Q
V
F
V
F

P ou Q
V
V
(P ou Q) est V si l'une des propositions est V.
V
F

Implication : ⇒
(P ⇒ Q) est synonyme de (non(P) ou Q)
P non(P) Q P ⇒ Q
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
- Le F implique n'importe quoi
- (P ⇒ Q) est F uniquement lorsque P vraie et Q fausse.
(P ⇒ Q) V si et seulement si on a : si P est vraie alors Q est vraie.
Lorsque (P ⇒ Q) est V :
- P est une condition su sante pour avoir Q.
- Q est une condition nécessaire pour avoir P.
2

Equivalence :



(P ⇔ Q) est synonyme de (P ⇒ Q et Q ⇒ P)
P
V
V
F
F

Q
V
F
V
F

P⇒Q
V
F
V
V

Q⇒P
V
V
F
V

P⇔Q
V
F
F
V

1.2 Quanti cateurs
1.3 Raisonnement mathématique

3

Chapitre 2
Éléments de théorie des ensembles
2.1 Opérations sur les ensembles
2.2 Applications
2.3 L'ensemble des entiers naturels

4

Deuxième partie
Polynômes

5

Troisième partie
Espaces vectoriels

6


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