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Statistiques

L2S3

VARIABLES QUALITATIVES TEST DE PROPORTION
I.

TEST DE COMPARAISON D’UNE PROPORTION ET D’UNE NORME (H1 bidirectionnelle)
1. Méthode exact (loi binomiale)

Etape 1 : Une variable quantitative à 2 modalités : A et ̅
 = proportion inconnue d’individus A dans la population
o = norme (compris entre 0 et 1)
Le jeu d’hypothèse revient à comparer la proportion  et la norme o, s’écrit :
Ho :  = o
H1 :  ≠ o (ici l’hypothèse est bidirectionnelle ou bilatérale)
Exemple 1: le pisciculteur élève 2 espèces A et ̅ ; les deux espèces sont-elles ou non aussi résistantes ?
Il y a autant de poissons A et ̅, la proportion de poisson A est égale à 0,5 ;  = 0,5 donc cette
hypothèse correspond à Ho.
Il n’y a pas autant de poissons A et ̅, le proportion de poisson A n’est plus égale à 0,5 ;  ≠ 0,5 donc
cette hypothèse correspond à H1.
La norme correspond donc à o = 0,5
Exemple 2 : le pisciculteur prélève un échantillon (avec remise)d’effectif n=14 ; il obtient 11 poisson A.
Etape 2 : On fixe la valeur maxi de , ici 5% (max = 0,05)
Etape 3-4-5 : Calcul de la probabilité critique
On suppose Ho vrai et on calcule ce qui se passe quand on tire un échantillon au hasard :
Epreuve de Bernouilli : prélever un poisson, 2 résultats possibles : A (succès) ou ̅ (non succès)
Schéma de Bernouilli : prélever 14 poissons, n = 14
X = nombre de poissons A dans l’échantillon ; X  Ɓ (14 ; 0,5)
NB : la probabilité de succès correspond au cas où Ho est vrai, soit .
Selon la table obtenir un échantillon pour lequel X est voisin de np = 7 est un évènement fréquent. Si on
obtient un tel échantillon on ne rejette pas Ho.
Obtenir un échantillon tel que np ≠ 7 est un évènement rare, on devra donc rejeter Ho. On peut définir un
ensemble qui incite à rejeter Ho : E
- Seuil 1 définis par la valeur observée, ici 11
- Seuil 2 définis par symétrie du seuil 1 par rapport à np, ici 3
E ={0,1,2,3,11,12,13,14}
Calculer p(X € E) =p(X=0) + p(X=1)…….p(X=14) = 0,0576 = probabilité critique du test.
Etape 6 :
Règle de décision
Si pcritique < max on rejette Ho
Si pcritique > max on ne peut pas rejeter Ho
Dans notre exemple pcritique > max , on ne peut pas rejeter Ho, on l’accepte par abus : les poissons sont aussi
résistants.

1

Statistiques

L2S3

2. Méthode approchée (loi normale réduite)
CONDITIONS DE VALIDITES
Cette méthode approché est valable seulement si no  5 et n(1-o)  5.
On choisira la méthode exacte quand c’est possible c’est-à-dire lorsque n
Etape 1 : identique
Ho :  = o
H1 :  ≠ o
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05


Etape 3 : On choisit la statistique







; o est la norme,

On suppose de Ho est vrai et on approxime

c’est la proportion de A.

par une loi Normal N (0 ; 1)

Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est éloignée de 0, c’est-à-dire quand | | est élevée soit
quand | |
où S est 1 seuil positif. Pour S on écrit p ( | |
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
 INSERER SCHEMA
On utilise la table pour déterminer S :
On obtient le seuil S et la zone de rejet bilatérale : ]
Dans notre exemple la zone de rejet correspond à ]

]

[

]

[

[

[

Etape 5 : Calcule numérique de U à partir des données de l’échantillon.
Pour le cas du pisciculteur n = 14 et nA=11 donc U = 2,14
Etape 6 :
Règle de décision
Si

]

]

[

[ on rejette Ho et on accepte H1 par abus

U appartient à notre ensemble de rejet donc on rejette Ho, les deux espèces ne sont pas aussi résistantes.
 INSERER POLY DES REMARQUES

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Statistiques
II.

L2S3

TEST DE COMPARAISON D’UNE PROPORTION ET D’UNE NORME (H1 unidirectionnelle)
1. Méthode exact (>)

Etape 1 :
On a une variable qualitative à 2 modalités : A et ̅
 est la proportion d’individus A dans la population et o est la norme (comprise en 0 et 1)
Le jeu d’hypothèse :
Ho :  = o ou  o
H1 :  > o
Dans notre exemple H1 correspond à l’hypothèse selon laquelle l’espèce A est plus résistante que les ̅, cela
signifie qu’il y aura plus de poisson A, donc  > 0,5, ceci correspond à notre hypothèse H1. Donc Ho
correspond à l’hypothèse selon laquelle les poissons A ne sont pas plus résistants.
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05
Etape 3-4-5 :
On suppose Ho vrai et on calcule ce qui se passe quand on tire un échantillon au hasard :
Epreuve de Bernouilli : prélever un poisson, 2 résultats possibles : A (succès) ou ̅ (non succès)
Schéma de Bernouilli : prélever 14 poissons, n = 14
X = nombre de poissons A dans l’échantillon ; X  Ɓ (14 ; 0,5)
NB : la probabilité de succès correspond au cas où Ho est vrai, soit .
On détermine l’ensemble de rejet à partir d’un seuil inclus qui correspond à la valeur observé, ici nA=11, puis
notre hypothèse étant unidirectionnelle on s’intéresse aux possibilités donc E{11, 12, 13, 14}
Calculer p(X € E) =p(X=11) + p(X=12) + p(X=13) +p(X=14) = 0,0288 = probabilité critique du test.
Etape 6 :
Règle de décision
Si pcritique < max on rejette Ho
Si pcritique > max on ne peut pas rejeter Ho
Dans notre exemple pcritique

max , on rejette Ho, on accepte H1 par abus : les poissons A sont plus résistants.

2. Méthode exact (<)
Etape 1 : Le jeu d’hypothèse :
Ho :  = o ou 
H1 :  < o

o

Etape 3-4-5 : L’ensemble E{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}

3

Statistiques

L2S3

3. Méthode approchée (>)
CONDITIONS DE VALIDITES
Cette méthode approché est valable seulement si no  5 et n(1-o)  5.
On choisira la méthode exacte quand c’est possible c’est-à-dire lorsque n
Etape 1 : jeu d’hypothèse :
Ho :  = o ou 
H1 :  > o

o

Dans notre exemple H1 correspond à l’hypothèse selon laquelle l’espèce A est plus résistante que les ̅, cela
signifie qu’il y aura plus de poisson A, donc  > 0,5.
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05


Etape 3 : On choisit la statistique







; o est la norme,

On suppose que Ho est vrai on approxime

c’est la proportion de A.

par une loi Normal N (0 ; 1)

Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est nettement plus grand que 0, c’est-à-dire quand U est
nettement plus grand que 0 soit
. Pour S on écrit p (
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
On utilise la table pour déterminer S :
On obtient le seuil S à la lecture de la table et donc la zone de rejet unilatérale : [
Dans notre exemple la zone de rejet correspond à [

[

[

Etape 5 : Calcule numérique de U à partir des données de l’échantillon.
Pour le cas du pisciculteur n = 14 et nA=11 donc U = 2,14
Etape 6 :
Règle de décision
Si

[

[ on rejette Ho et on accepte H1 par abus

Dans notre exemple U appartient à l’ensemble de rejet donc on doit rejeter Ho et on accepte H1 par abus.
L’espèce A est plus résistante.

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Statistiques

L2S3

4. Méthode approchée (<)
Etape 1 : jeu d’hypothèse :
Ho :  = o ou 
H1 :  < o

o

Dans notre exemple H1 correspond à l’hypothèse selon laquelle l’espèce A est plus résistante que les ̅, cela
signifie qu’il y aura plus de poisson A, donc  < 0,5.
Etape 2 : On fixe max.


Etape 3 : On choisit la statistique







; o est la norme,

On suppose que Ho est vrai on approxime

c’est la proportion de A.

par une loi Normal N (0 ; 1)

Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est nettement plus grand que 0, c’est-à-dire quand U est
nettement plus grand que 0 soit
. Pour S on écrit p (
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
On utilise la table pour déterminer S :
On obtient le seuil S à la lecture de la table et donc la zone de rejet unilatérale : ]

]

Etape 5 : Calcule numérique de U à partir des données de l’échantillon.
Etape 6 :
Règle de décision
Si

]

]on rejette Ho et on accepte H1 par abus

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Statistiques
III.

L2S3

TEST DE COMPARAISON DE 2 PROPORTIONS (Observations indépendantes)

Ce test s’effectue aussi par une méthode exacte, il s’appelle alors test exact de Ficher.
Situation : On dispose d’une variable qualitative à deux modalités, elle est définis sur une deux populations :
Population 1 : 1 est la proportion inconnue de A / Population 2 : 2 est la proportion inconnue de A
On extrait 2 échantillons aléatoires, un dans chaque population :
̅

A
n11
n22
n.1

Echantillon 1
Echantillon 2
Total

Total
n1.
n2.
n..

n12
n21
n.2

Notations : On peut lire les 2 indices :
- Le premier i correspond à l’échantillon
- Le second j correspond à la modalité
On considère les observations indépendantes car les individus qui composent les 2 échantillons sont distincts.
1. Cas d’une hypothèse H1 Bidirectionnelle
CONDITIONS DE VALIDITES
min(n.j x ni.) > 5n
Etape 1 : On veut tester un jeu d’hypothèse : Ho : 1 = 2 / H1 : 1 ≠ 2
On compare 2 réglages sur une machine et on observe la qualité des pièces, la variable qualitative est la
qualité et elle a deux modalités, correct ou insuffisante. Les hypothèses sont les suivantes :
- Ho : 1 = 2 : la qualité des pièces est la même, elle ne dépend pas des réglages
- H1 : 1 ≠ 2 : la qualité des pièces n’est pas la même, elle dépend des réglages
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05
Etape 3 : On choisit la statistique

√(

)

On suppose que Ho est vrai on approxime

par une loi Normal N (0 ; 1)

Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est éloignée de 0, c’est-à-dire quand | | est élevée soit
quand | |
où S est 1 seuil positif. Pour S on écrit p ( | |
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
On utilise la table pour déterminer S :
]
[
[
On obtient le seuil S et la zone de rejet bilatérale : ]
Dans notre exemple la zone de rejet correspond à ]

]

[

[

Etape 5 : Calcul de U
Etape 6 :

Si

]

]

[

Règle de décision
[ on rejette Ho et on accepte H1 par abus

Dans notre exemple on ne peut pas rejeter donc on accepte Ho par abus.

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Statistiques

L2S3

2. Cas d’une hypothèse H1 (>)
Etape 1 : On veut tester un jeu d’hypothèse : Ho : 1 = 2 / H1 : 1 > 2
On compare 2 réglages sur une machine et on observe la qualité des pièces, la variable qualitative est la
qualité et elle a deux modalités, correct ou insuffisante. Les hypothèses sont les suivantes :
- Ho : 1 = 2 : la qualité des pièces est la même, elle ne dépend pas des réglages
- H1 : 1 > 2 : la qualité des pièces est meilleure avec les réglages 1, elle dépend des réglages
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05
Etape 3 : On choisit la statistique

√(

)

On suppose que Ho est vrai on approxime

par une loi Normal N (0 ; 1)

Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est nettement plus grand que 0, c’est-à-dire quand U est
nettement plus grand que 0 soit
. Pour S on écrit p (
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
On utilise la table pour déterminer S :
On obtient le seuil S à la lecture de la table et donc la zone de rejet unilatérale : [
Dans notre exemple la zone de rejet correspond à [

[

[

Etape 5 : Calcule numérique de U à partir des données de l’échantillon.
Pour le cas du pisciculteur n = 14 et nA=11 donc U = 2,14
Etape 6 :
Règle de décision
Si

[

[ on rejette Ho et on accepte H1 par abus

7

Statistiques

L2S3

3. Cas d’une hypothèse H1 (<)
Etape 1 : On veut tester un jeu d’hypothèse : Ho : 1 = 2 / H1 : 1 < 2
On compare 2 réglages sur une machine et on observe la qualité des pièces, la variable qualitative est la
qualité et elle a deux modalités, correct ou insuffisante. Les hypothèses sont les suivantes :
- Ho : 1 = 2 : la qualité des pièces est la même, elle ne dépend pas des réglages
- H1 : 1 < 2 : la qualité des pièces est meilleure avec les réglages 2, elle dépend des réglages
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05
Etape 3 : On choisit la statistique

√(

)

On suppose que Ho est vrai on approxime

par une loi Normal N (0 ; 1)

Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est nettement plus grand que 0, c’est-à-dire quand U est
nettement plus grand que 0 soit
. Pour S on écrit p (
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
On utilise la table pour déterminer S :
On obtient le seuil S à la lecture de la table et donc la zone de rejet unilatérale : ]
Dans notre exemple la zone de rejet correspond à ]

]

]

Etape 5 : Calcule numérique de U à partir des données de l’échantillon.
Etape 6 :
Règle de décision
Si

]

] on rejette Ho et on accepte H1 par abus

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Statistiques

L2S3

TESTS D’HYPOTHESES VARIABLES QUANTITATIVES
I. TEST DE COMPARAISON D’UNE MOYENNE ET D’UNE NORME QUAND LA VARIABLE SUIT UNE LOI
NORMALE D’ECART TYPE INCONNU
On dispose d’une variable quantitative notée X, on appelle  la moyenne inconnue de X dans la population.
H0 :  = o la moyenne inconnue de X est égale à la norme tirée du contexte.
H1 : peut prendre 3 formes :
Bidirectionnelle  ≠ o
Unidirectionnelle  > o
Unidirectionnelle  < o
-

BIDIRECTIONNELLE
Etape 1 :
H0 :  = o
H1 :  ≠ o
Etape 2 : On fixe 

̅

Etape 3 : On choisit la statistique



n est l’échantillon, ̅ la moyenne et s l’écart type de l’échantillon
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho pour | | élevé c’est-à-dire dépassant le seuil S pour lequel p(| |

la symétrie de la loi de Student p(| | S) = , on obtient S dans la table
La zone de rejet E s’écrit ]

]

[

S) =  , soit d’après

[

Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si

]

]

[

[ on rejette Ho et on accepte H1 par abus

9

Statistiques

L2S3

UNIDIRECTIONNELLE positive
Etape 1 :
H0 :  o
H1 :  > o
Etape 2 : On fixe 

̅

Etape 3 : On choisit la statistique



n est l’échantillon, ̅ la moyenne et s l’écart type de l’échantillon
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S pour lequel p(t
[
S dans la table. La zone de rejet E s’écrit [

S) =  , on obtient

Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si

[

[ on rejette Ho et on accepte H1 par abus

UNIDIRECTIONNELLE négative
Etape 1 :
H0 :  o
H1 :  < o
Etape 2 : On fixe 

̅

Etape 3 : On choisit la statistique



n est l’échantillon, ̅ la moyenne et s l’écart type de l’échantillon
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S négatif pour lequel p(t
]
obtient S dans la table. La zone de rejet E s’écrit ]

S) =  , on

Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si

]

] on rejette Ho et on accepte H1 par abus

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Statistiques

L2S3

II. TEST DE COMPARAISON DE 2 MOYENNES LORSQUE LES DISTRIBUTIONS SONT NORMALES
D’ECART TYPE EGAUX MAIS DE VALEUR INCONNNUE (OBSERVATIONS INDEPENDANTES)
On dispose d’une variable quantitative X, on est en présence de 2 populations dont sont extrait 2 échantillons :
Population 1 : effectif n1 ; moyenne 1 ; écart type 1 ; observations x11 x12…
Population 2 : effectif n2 ; moyenne 2 ; écart type 2 ; observations x21 x22…
Le dispositif expérimentale est constitué par 2 échantillons formés d’individus distincts
H0 : 1 = 2
H1 : peut prendre 3 formes :
Bidirectionnelle 1 ≠ 2
Unidirectionnelle 1 > 2
Unidirectionnelle 1 < 2
-

BIDIRECTIONNELLE
Etape 1 :
H0 : 1 = 2
H1 : 1 ≠ 2
Etape 2 : On fixe 
̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Etape 3 : On choisit la statistique





On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n1 + n2 - 2) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho pour | | élevé c’est-à-dire dépassant le seuil S pour lequel p(| |

la symétrie de la loi de Student p(| | S) = , on obtient S dans la table
La zone de rejet E s’écrit ]

]

[

S) =  , soit d’après

[

Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si

]

]

[

[ on rejette Ho et on accepte H1 par abus

11

Statistiques

L2S3

UNIDIRECTIONNELLE positive
Etape 1 :
H0 : 1 2
H1 : 1 > 2
Etape 2 : On fixe 
̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Etape 3 : On choisit la statistique




On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n1 + n2 - 2) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S pour lequel p(t
[
S dans la table. La zone de rejet E s’écrit [

S) =  , on obtient

Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si

[

[ on rejette Ho et on accepte H1 par abus

UNIDIRECTIONNELLE négative
Etape 1 :
H0 : 1 2
H1 : 1 < 2
Etape 2 : On fixe 
̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Etape 3 : On choisit la statistique




On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n1 + n2 - 2) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S négatif pour lequel p(t
]
obtient S dans la table. La zone de rejet E s’écrit ]

S) =  , on

Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si

]

] on rejette Ho et on accepte H1 par abus

12

Statistiques
III.

L2S3

TEST DE COMPARAISON DE 2 MOYENNES (OBSERVATIONS APPARIEES)
1. Introduction

Ce test est utilisé pour étudier l’effet d’un traitement sur une variable quantitative pour une population, dans
ce cas la variable X peut dépendre de facteurs, autres que le traitement, que l’on souhaite contrôler afin
d’isoler l’effet du traitement. Les observations sont effectuées par paires entre lesquelles seul le facteur étudié
varie. Ce dispositif expérimentale est appelé observations appariées ou appareillées.
On a un unique échantillon, chaque individu est soumis à 2 mesures de la variable, une pour chaque modalité
de traitement.
2. Principe du test
Pour un traitement à 2 modalités notons :
- X la mesure de la variable sous la modalité 1, x moyenne de la variable sous la modalité 1
- Y la mesure de la variable sous la modalité 2, y moyenne de la variable sous la modalité 2
Pour un échantillon d’effectif n, on obtient n couples d’observations (xi , yi). On cherche à comparer les deux
moyennes. On introduit la variable différence D= X – Y et di = xi - yi
ATTENTION d se calcul à partir des données di  d ≠ x - y
Comparer 2 moyennes revient à comparer la différence d avec 0. On se retrouve donc avec un test classique
d’une moyenne à une norme (paragraphe I). Il faut vérifier que D suit une loi Normale d’écart type inconnue.
x = y donc d = 0
x ≠ y donc d ≠ 0
x > y donc d > 0
x < y donc d < 0

BIDIRECTIONNELLE
Etape 1 :
H0 : x = y soit d = 0
H1 : x ≠ y soit d ≠ 0
Etape 2 : On fixe 
̅

Etape 3 : On choisit la statistique



n est l’effectif de l’échantillon D, ̅ la moyenne et sd l’écart type
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho pour | | élevé c’est-à-dire dépassant le seuil S pour lequel p(| |

la symétrie de la loi de Student p(| | S) = , on obtient S dans la table
La zone de rejet E s’écrit ]

]

[

S) =  , soit d’après

[

Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si

]

]

[

[ on rejette Ho et on accepte H1 par abus

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Statistiques

L2S3

UNIDIRECTIONNELLE positive
Etape 1 :
H0 : x y donc d 0
H1 : x > y donc d > 0
Etape 2 : On fixe 
̅

Etape 3 : On choisit la statistique



n est l’effectif de l’échantillon D, ̅ la moyenne et sd l’écart type
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S pour lequel p(t
[
S dans la table. La zone de rejet E s’écrit [

S) =  , on obtient

Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si

[

[ on rejette Ho et on accepte H1 par abus

UNIDIRECTIONNELLE négative
Etape 1 :
H0 :  o
H1 :  < o
Etape 2 : On fixe 
̅

Etape 3 : On choisit la statistique



n est l’effectif de l’échantillon D, ̅ la moyenne et sd l’écart type
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S négatif pour lequel p(t
]
obtient S dans la table. La zone de rejet E s’écrit ]

S) =  , on

Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si

]

] on rejette Ho et on accepte H1 par abus

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