4°SC DS1.1112 Smaali MONDHER .pdf


Nom original: 4°SC-DS1.1112-Smaali_MONDHER.pdfTitre: devoir de synthèse1Auteur: SMAALI.MONDHER.

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L.S. l’ExcellenceDEVOIR DE
MR : Smaali.
KEF.
SYNTHESE N°1.
MONDHER.
Niveau : 4SC.EXP.
Le : 07-12-2011.
Durée : 2H.
EXERCICE N°1.
α est un réel de]0, π [.
A. Soit l’équation (E) : Z2-3Z+2=eiα (Z-2)
1- Vérifier que Z0= (1+eiα) est une solution de (E).
2- Trouver l’autre solution Z1 de (E).
3- Ecrire Z0 et Z1 sous leurs formes exponentielles.
B. On pose P(Z)=Z3-4Z2+ (5-e2iα) Z+2(-1+e2iα)
1- Calculer P(2).
2- Déterminer les nombres complexes a et b pour que P(Z)=
(Z-2) (Z2+aZ+b).
3- Déduire dans ℂ les solutions de l’équation P(Z)=0.
C. Dans le plan complexe muni d’un RON (O,𝑈,𝑉 ), on considère les
points A, M et N d’affixes respectifs :
ZA=2, ZM=1+eiα et ZN=1-eiα.
1- Montrer que : OMAN est un parallélogramme.
2- Déterminer la valeur de α pour que : OMAN soit un losange.
3- Quelle est l’ensemble des points M lorsque α varie dans
] 0, π [.
EXERCICE N°2.

Partie1.

4- Exprimer un et Vn en fonction de n, puis retrouver L.

Partie2.

Soit f une fonction définie sur IR et deux fois dérivables. Dans la figure
ci-contre, on a représenté la courbe représentative (C) de f ’ la
fonction dérivée de f.
Notons que:
* L'axe des abscisses est une asymptote à (C) au voisinage de l'infini.
* f '(1)= 2 et f(1)  1 .
2

* La courbe représentative (Γ) de f admet une asymptote horizontale
au voisinage de   .
1) Par une lecture graphique, répondre aux questions suivantes:
a) Déterminer le sens de variation de f.
b) (Γ) admet-elle un point d'inflexion? Justifier votre réponse.
c) Déterminer f ' 1, et en déduire que |f '(x)|  2 , ∀ x  1 .
2

2) Montrer que l'équation f(x)=x admet une solution unique   1
3) Soit la suite réelle définie sur IN par Uo=1 et Un+1= f(Un).
a) Montrer que pour tout n  IN, on a : Un  1 .
b) Montrer que pour tout n  IN, on a : |Un+1-  |  2 |Un-  |.
2

c) En déduire que pour tout n  IN, on a : |Un-  |≤
Et calculer la limite de cette suite.

𝑣0 = 1
(Vn) est la suite définie sur IN par v  vn .
n 1
1  vn
1- Justifiez que (Vn) est positive, décroissante et convergente
2- Déterminer la limite L de (Vn).
1
3- prouvez que la suite (un) définie par un  est arithmétique.
vn

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2
2

𝑛

|Uo-  |

EXERCICE N°3.
Soit f une fonction continue sur [0,1] et dérivable sur]0,1[.
On suppose que f (0) =1, f (1) =-1 et pour x ∊] 0,1[ :
f ' ( x) 

3

 1 x2
1. Montrer que : f est strictement décroissante sur [0,1].
2

2. On pose pour tout x ∊ [0, ]  ( x)  f (cos x)  x
2


a) Montrer que  est continue sur [0, ]
2

b) Montrer que  est dérivable sur]0, [.
2

c) Calculer  ’(x) pour tout x ∊] 0,
En déduire que f (cos x) 

2




[.
2

x .


] ; h( x)  f (cos x)  f (sin x)
2

a) Montrer que h est dérivable sur]0, [ et calculer h’(x).
2

b) En déduire que pour tout x de [0, ]on a :
2

3. On pose pour tout x ∊ [0,

𝑓(𝑠𝑖𝑛𝑥) − 2 ≤ 𝑓(𝑐𝑜𝑠𝑥) ≤ 𝑓(𝑠𝑖𝑛𝑥) + 2
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