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Nom original: CIRCUIT RLC - cours.pdf
Titre: Exercice 1:
Auteur: LGC

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CIRCUIT RLC (OSCILLATIONS LIBRES)
• Solution de l'équation

LE CIRCUIT LC
Oscillations électriques libres
Un circuit LC est un circuit constitué d’une bobine
parfaite d'inductance L et d'un condensateur de
capacité C.
Dans le circuit LC schématisé ci-dessous, le
condensateur est initialement chargé sous une tension
U.
oscilloscope
U

i
uC

C

L

uL

uC(V)

0

t(s)

T0
i

SYNTHESE

Cette équation différentielle du deuxième ordre en uC
admet une solution de la forme :
2
uC(t) = Um cos T t + φ0
 0

– Um, exprimée en volt (V), est l'amplitude des
oscillations. Si le condensateur est chargé sous la
tension U, on a : Um = U.
– T0, exprimée en seconde (s), est la période propre
du circuit LC : T0 = 2 LC.
– φ0, exprimée en radian (rad), est la phase à l'origine.
Si le condensateur commence à se décharger à
l'instant t = 0, on prend : φ0 = 0
Um et φ0 sont déterminées à partir des conditions
initiales uC(0) et i(0).
• Expression des autres grandeurs électriques

–U

A l’instant t = 0, uC = U par continuité de la tension
aux bornes d’un consensateur.
Un circuit LC, dans lequel le condensateur est
initialement chargé, est le siège d’oscillations
électriques libres périodiques.

Connaissant l'expression de la tension uC(t) aux
bornes du condensateur, on en déduit facilement les
expressions des autres grandeurs électriques du
circuit LC :

La période des oscillations électriques, notée T0 et
exprimée en seconde (s), est appelée période propre
du circuit LC. Elle ne dépend que des paramètres du
circuit :
T0 = 2 LC, avec L en henry (H) et C en farad (F).

– la charge q(t) du condensateur :
q(t) = CuC(t) ;
– l'intensité i(t) du courant dans le circuit :
dq
du
i(t) =
=C C
dt
dt
– la tension uL(t) aux bornes de la bobine :
di
d2uC
uL(t) = L = LC
dt
dt2
Toutes les grandeurs électriques du circuit (uC, q, i et
uL) sont sinusoïdales de période T0.

La fréquence propre f0 du circuit LC, exprimée en
hertz (Hz), est l'inverse de la période propre.

Interprétation énergétique

L'adjectif « libre » signifie que les oscillations
électriques ont lieu sans générateur dans le circuit.

Expression de la tension uC.
• Équation différentielle
Le condensateur et la bobine idéale sont étudiés en
convention récepteur. La loi des mailles appliquée au
circuit s’écrit :
di
uL + uC = 0 soit L + uC = 0
dt
Or, d'après les relations charge-intensité et chargetension pour le condensateur :
dq
du
di
d2u
i=
= C C, soit = C 2C
dt
dt
dt
dt
La tension uC aux bornes du condensateur vérifie
donc l'équation différentielle du deuxième ordre :
..
d2uC
1
1
uC = 0 ou uC +
u = 0.
2 +
dt
LC
LC C
.
..
En physique, on note souvent x et x les dérivées
première et seconde de la grandeur x par rapport au
temps t.

CLASSEUR Terminale

S

L'énergie totale E stockée dans un circuit LC est
égale, à chaque instant, à la somme des énergies
électrique et magnétique stockées respectivement
dans le condensateur et dans la bobine :
1
1
E = Econd + Ebob = CuC² + Li2
2
2
énergie(J)
E
Ebob
Econd
T0
2

0

t(s)

Lors des oscillations électriques libres d'un circuit
LC, la conservation de l'énergie totale E stockée
dans le circuit est assurée, à chaque instant, par un
transfert d'énergie entre le condensateur et la
bobine.
• Lorsque l'énergie électrique Econd stockée dans le
condensateur est maximale, l'énergie magnétique Ebob
stockée dans la bobine est nulle, et vice-versa.
• Les énergies Econd et Ebob sont périodiques de période T0/2

Agence de CHARLEVILLE MEZIERES

CIRCUIT RLC (OSCILLATIONS LIBRES)

À l'instant t = 0, uC = U par continuité de la tension
aux bornes d'un condensateur.

METHODE
DETERMINER LA PERIODE PROPRE T0 A
PARTIR D'UN OSCILLOGRAMME

Un circuit RLC série, dans lequel le condensateur est
initialement chargé, est le siège d'oscillations
électriques libres amorties.

L'oscillogramme ci-dessous représente les variations
de la tension uC aux bornes du condensateur au cours
du temps. La base de temps de l'oscilloscope est :
2,0 ms.div–1.

L'amortissement est dû à la présence du conducteur
ohmique de résistance R ; les oscillations sont
d'autant plus amorties que la valeur de R est
importante.

Par définition, la période propre T 0 des oscillations
électriques est la durée séparant deux répétitions
successives du motif élémentaire de la tension uC.

• Régimes d'oscillations
– Pour les faibles valeurs de R, l'amplitude des
oscillations de la tension uC aux bornes du
condensateur décroît lentement : le régime est
pseudo-périodique.
– Pour les fortes valeurs de R, la tension uC aux
bornes du condensateur s'annule avant même d'avoir
effectué une oscillation : le régime est apériodique.

T0

• On compte sur l'oscillogramtne le nombre de
carreaux correspondant à la période T 0 des
oscillations. On mesure T0 entre deux points où la
lisibilité est la meilleure : par exemple, entre deux
maximums successifs de la tension uC.
Exemple :
La période T0 occupe 5,0 carreaux sur
l'oscillogramme.

La valeur R = RC correspondant au passage du
régime pseudo-périodique au régime apériodique est
appelée résistance critique : le régime critique est un
régime apériodique particulier.

• Pseudo-période T
En régime pseudo-périodique, les oscillations se
reproduisent avec une amplitude décroissante à
intervalles de temps égaux : la durée d'une oscillation
est alors appelée la pseudo-période T.

• On multiplie le nombre de carreaux par la valeur de
la base de temps de l'oscilloscope :
T0 = nombre de carreaux × base de temps.
Exemple :
T0 = 5,0 × 2,0 = l0 ms.

La pseudo-période T des oscillations faiblement
amorties du circuit RLC, supérieure à la période
propre T0= 2 LC du circuit LC idéal, augmente
avec les valeurs de C et de L. Pour un amortissement
très faible, on peut néanmoins assimiler T à T0.

LE CIRCUIT RLC SERIE
Le cas idéal d'un circuit LC a été étudié précédement.
Cependant, un circuit réel possède toujours une
résistance électrique.

Un amortissement très faible équivaut à une très faite
valeur de R.

Oscillations électriques libres amorties

Résolution analytique

• Amortissement des oscillations

Le conducteur ohmique, le condensateur et la bobine
idéale sont étudiés en convention récepteur. La loi
des mailles appliquée au circuit s'écrit :
di
uL + uR + uC = 0, soit : L + Ri + uC = 0.
dt

Un circuit RLC série est un circuit constitué d'un
conducteur ohmique de résistance R, d'une bobine
parfaite d'inductance L et d'un condensateur de
capacité C.

Or, d'après les relations charge-intensité et chargetension pour le condensateur :
dq
du
di
d2u
i=
= C C, soit = C 2C.
dt
dt
dt
dt

On inclut dans la résistance R du conducteur
ohmique la résistance interne r de la bobine réelle.
Dans le circuit RLC schématisé ci-dessous, le
condensateur est initialement chargé sous une tension
U et la valeur de R est peu élevée.
oscilloscope
U

i
L
uC

La tension uC aux bornes du condensateur vérifie
donc l'équation différentielle du deuxième ordre :
.. R .
d2uC R duC
1
1
+
+
u = 0 ou uC + uC+
u =0
dt2 L dt LC C
L
LC C

uC(V)

uL

C

0

T

uR
–U

SYNTHESE

t(s)

Par rapport à l'équation différentielle établie pour le
.
circuit LC.il apparaît un terme en uC, proportionnel à
R, responsable de l’ amortissement.

i
CLASSEUR Terminale

S

Agence de CHARLEVILLE MEZIERES

CIRCUIT RLC (OSCILLATIONS LIBRES)
Interprétation énergétique

régime
U

amortis
période
-sement

uC(V)

0

t(s)

très
très
faible faible

T = T0

faible faible

T > T0

pseudo- -U
T
périou (V)
U
dique
C

0

t(s

-U

U

apériodique

0

R(Ω)

uC(t)

• Pertes par effet Joule
L'énergie totale E stockée dans un circuit RLC est
égale, à chaque instant, à la somme des énergies
électrique et magnétique stockées respectivement
dans le condensateur et dans la bobine :
1
1
E = Econd + Ebob = CuC² + Li²
2
2
énergie (J)
E
Ebob
Econd

SYNTHESE

0

T
uC(V)

t(s)

grande très fort aucune

t(s)

L'énergie totale E stockée dans le circuit ne se
conserve pas. A chaque oscillation électrique, une
fraction de cette énergie est dissipée par effet Joule
dans le conducteur ohmique de résistance R.
Plus la valeur de la résistance R est grande, plus
l'énergie stockée dans le circuit RLC est dissipée
rapidement par effet Joule et plus les oscillations
libres s'amortissent rapidement.

• Entretien des oscillations
Pour éviter l'amortissement, il faut apporter au
circuit de l'énergie.
Dans ce but, on monte dans le circuit un dipôle D qui
lui fournit pendant une durée Δt une énergie égale à
l'énergie dissipée par effet Joule pendant la même
durée.
Le circuit RLC est alors le siège d'oscillations
entretenues non amorties de période égale à la
période propre T0 du circuit LC idéal. On obtient
ainsi une tension sinusoïdale de période bien
définie : T0 = 2 LC

METHODE
RECONNAITRE LES OSCILLOGRAMMES
CORRESPONDANT AUX DIFFERENTS REGIMES
DES OSCILLATIONS
ELECTRIQUES LIBRES

régime
U

périodique

uC(V)

t(s)
0
U

amortispériode
sement

R(Ω)

uC(t)

R=0

aucun

• Pour donner une solution particulière de l'équation
différentielle, il faut :
– en écrire l’expression générale :
2
q(t) = qm cos  T t + φ0
 0

– exprimer T0 en fonction des paramètres L et C du
circuit :
T0 = 2 LC
– déterminer les valeurs des constantes φ0 et qm à
partir des conditions initiales, puis remplacer toutes
les constantes par leurs valeurs numériques.
Il est fréquent que les exercices proposés
correspondent à φ0 = 0. Si cela n’est pas précisé, il
faut le démontrer.
• Il est indispensable de bien repérer la signification
des notations utilisées en physique :
.
dq
q = i = (dérivée première de q par rapport au
dt
temps)
.. di d2q
q = = 2 (dérivée seconde de q par rapport au
dt dt
temps)
• Dans le cas d'une décharge oscillante dans un circuit
RLC, u et i changent de signe au cours des
oscillations. Dans le cas d'un circuit L,C idéal, i est
maximale quand u est nulle et inversement.

T0

CLASSEUR Terminale

T0 =
2 LC

A RETENIR
• Pour établir l'équation différentielle relative à la
quantité d'électricité, il faut :
– Faire un schéma en respectant les conventions
d'orientation (la convention récepteur pour le
condensateur et la bobine implique que pour
chaque dipôle, la flèche de tension soit en sens
contraire de la flèche indiquant le sens de i) ;
– exprimer uC et uL en fonction, respectivement, de q
..
et de sa dérivée seconde par rapport au temps q ;
– appliquer la loi d'additivité des tensions.

S

Agence de CHARLEVILLE MEZIERES


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