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Nom original: SYSTEMES OSCILLANTS - cours.pdf
Titre: Exercice 1:
Auteur: LGC

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SYSTEMES OSCILLANTS
LES OSCILLATEURS MECANIQUES
Pendules et pendules simples
Un oscillateur mécanique est un système animé d'un
mouvement de va-et-vient périodique, en général
autour d'une position d'équilibre stable. Une
oscillation correspond à un aller et retour complet de
l'oscillateur.
Exemples : une balançoire, le balancier d'une
horloge, le lustre d'une cathédrale, la membrane d'un
haut-parleur, la mer...
La balançoire, le balancier d'une horloge, le lustre
d'une cathédrale sont des pendules, c'est-à-dire des
solides mobiles autour d'un axe horizontal et
susceptibles d'osciller de part et d'autre d'une position
d'équilibre stable, correspondant à la verticale du lieu.
Un pendule simple est un pendule idéal constitué d'un
objet ponctuel, de masse m, suspendu par
l'intermédiaire d'un fil inextensible, de longueur  et
de masse négligeable devant m.

Écart à l'équilibre et amplitude du
mouvement
Le mouvement d'un système oscillant autour d'une
position d'équilibre stable est décrit à chaque instant
par la mesure de son écart à l'équilibre, compté par
rapport à cette position.

SYNTHESE

OSCILLATIONS LIBRES NON
AMORTIES
Le régime est libre quand l'oscillateur, une fois
écarté de sa position d’équilibre stable, est
abandonné à lui-même. Dans le cas idéal où les
oscillations ne sont pas amorties, leur amplitude reste
constante tout au long du mouvement.

Période propre T 0 et isochronisme
Dans le cas d'oscillations libres non amorties, la
période propre T0 est la durée séparant deux
passages successifs de l'oscillateur par la même
position et dans le même sens.
La période est la durée d'une oscillation (un aller et un
retour complet).
Lorsque la période propre T 0 est indépendante de
l'amplitude des oscillations, il y a isochronisme des
oscillations.
Cas particulier du pendule simple :
 (rad)
T0

m

T0
O

t (s)
T0

– m

L'écart à l'équilibre peut être un angle, une longueur...
L'amplitude des oscillations est la valeur maximale
de l'écart à l'équilibre.

La période propre d'un pendule simple en oscillations
de faible amplitude (m de l'ordre de quelques degrés)
a pour expression :

Dans le cas du pendule simple, l'écart à l'équilibre
est l'abscisse angulaire, mesure de l'angle orienté 
par rapport à la verticale. L'amplitude des oscillations
m est la valeur maximale de l'abscisse angulaire.

T0 = 2

O

O

+

<0

+

>0



Fréquence propre f0

m
position
d’équilibre

La période propre du pendule simple est indépendante de sa
masse.
Il y a isochronisme des petites oscillations d'un
pendule simple (amplitude de l'ordre de quelques
degrés).

m

– m



m
position
d’équilibre

La fréquence propre f0 est l'inverse de la période
propre :

f0 =
II convient de bien préciser l'orientation choisie pour
les angles (en général, le sens trigonométrique).
Si l'abscisse angulaire varie entre –30° et 30°, l'amplitude
 m vaut 30° et pas 60°.
CLASSEUR Terminale S

T période propre en seconde (s)
  o
 longueur du fil en mètre (m)
g g intensité de la pesanteur en m.s–2

1 f0 fréquence propre en Hz (hertz)
T0 T0 période propre en seconde (s)

Pour obtenir la fréquence en Hz, il est impératif d'exprimer
la période en s.

Agence de CHARLEVILLE MEZIERES

SYSTEMES OSCILLANTS

SYNTHESE

Cas particulier du pendule simple :

REGIME LIBRE AMORTI

 (rad)

Dans la pratique, un oscillateur en régime libre
n'oscille pas indéfiniment. Son mouvement est
progressivement amorti du fait de frottements au
niveau de l'attache du système et au contact de l'air.

Régime pseudo-périodique

t (s)

O
Si l'amortissement n'est pas trop important, le
système oscille, mais l'amplitude des oscillations
diminue. Le régime libre de l'oscillateur est pseudopériodique.

Dans un liquide visqueux, le mouvement d'un
pendule simple est fortement amorti. Le pendule
n'effectue pas une oscillation complète.

La pseudo-période T est la durée séparant deux
passages successifs de l'oscillateur par deux
positions où l'écart à l'équilibre est maximal.

OSCILLATIONS FORCEES ET
RESONANCE
On parle de régime forcé quand le mouvement
oscillant du système, appelé résonateur, est imposé
par un agent extérieur, appelé excitateur.

On ne peut pas parler de période proprement dite,
car le phénomène n'est plus périodique au sens
mathématique (pseudo-période signifie « fausse
période »).
Si l'amortissement est très faible, la pseudo-période T
est voisine de la période propre T 0.
Cas particulier du pendule simple :

On observe le phénomène de résonance quand
l'amplitude des oscillations forcées passe par un
maximum pour une fréquence particulière fr,
imposée par l'excitateur, appelée fréquence de
résonance.

 (rad)

amplitude

amortissement
faible (f r =f0)

T

1

2

t (s)

O

amortissement
croissant de
1à5

3
4
5
0
La pseudo-période T est la durée séparant deux
passages successifs du pendule par deux positions où
l'abscisse angulaire  est maximale.

Régime apériodique
Si l'amortissement est important, le système
n'effectue pas une oscillation complète. Le régime
libre est apériodique.
Le préfixe privatif « a » indique l'absence (ici,
absence de période).

CLASSEUR Terminale S

fr fr

f0

La fréquence de résonance fr, proche de la fréquence
propre f0 quand l'amortissement est faible (courbe 1),
diminue lorsque l'amortissement augmente (courbes 2
et 3). Si l'amortissement devient trop important, on
n'observe plus de résonance (courbes 4 et 5).
Si l'amplitude à la résonance sort du domaine
d'utilisation normale du résonateur, celui-ci peut être
endommagé ou détruit. C'est le cas, par exemple,
lorsque certaines structures de grande taille (ponts
suspendus...), mises en vibration par le vent, un
séisme ou le passage d'une troupe au pas cadencé, se
rompent brutalement.

Agence de CHARLEVILLE MEZIERES

f (Hz)

SYSTEMES OSCILLANTS
TENSION ET FORCE DE RAPPEL

SYNTHESE
LE PENDULE ELASTIQUE



La tension T d'un ressort est la force exercée par
un objet sur le ressort pour modifier sa longueur à
vide 0 (longueur du ressort lorsqu'il est ni comprimé,
ni étiré).


La force de rappel F d'un ressort est la force
exercée par le ressort
sur
l'objet qui cause sa


déformation : F = – T .


Les caractéristiques de la tension T sont :
– origine : le point de contact entre le ressort et
l'objet (ou l'opérateur) ;
– direction : l'axe du ressort ;
– sens : vers l'extérieur du ressort si celui-ci est étiré
vers l'intérieur du ressort si celui-ci est
comprimé ;
– valeur (ressort à réponse linéaire) :
T = k = k  – 0
T
tension
en
newton
(N)

k
constante
de
raideur
en N. m–1

 longueur du ressort en mètre (m)
longueur
à vide

i

x
ressort étiré



F

x
ressort
comprimé

x’



T

x’
x>0


F

x



T

On appelle pendule élastique l'oscillateur, horizontal
ou vertical, constitué par un ressort et un solide S fixé
à l'une de ses extrémités. Si l'amortissement n'est pas
trop important, le pendule élastique, une fois écarté
de sa position d'équilibre, oscille librement autour de
cette position. Les oscillations peuvent être décrites à
chaque instant par la mesure algébrique x de la
déformation du ressort.
L'amplitude des oscillations d'un pendule élastique
est l'allongement maximal xm du ressort, compté à
partir de sa position d'équilibre.
Selon l'importance des frottements, le pendule
élastique évolue en régime non amorti, pseudopériodique ou apériodique.

Oscillations libres non amorties



x’

Description de l'oscillateur

x<0

Plus un ressort est raide (k grand), plus la valeur de
la tension pour une déformation identique est
importante.

On considère un pendule élastique horizontal en
mouvement sur un support lisse (pas de frottements).
L'abscisse x représente la position du centre d'inertie
G du solide S (x = 0 lorsque le ressort est à vide),
égale à la mesure algébrique de la déformation du
ressort.
Le système est le solide S étudié dans le référentiel
terrestre considéré galiléen. Les forces qui s'exercent
sur S sont : 
– son poids P , vertical et vers le bas, appliqué en
son centre d'inertie 
;
– la force normale RN exercée par le support,
verticale et vers le haut, appliquée au centre de la
surface de contact avec le support, compensant
exactement le poids 
;
– la force de rappel F du ressort, dirigée suivant
l'axe du ressort et de sens variable suivant l'état du
ressort, appliquée au point de contact avec le ressort.



Le sens de F est vers l’intérieur (l'extérieur) du
ressort si celui-ci est étiré (comprimé).
En orientant l'axe x’x du ressort vers l'extérieur de
celui-ci, on écrit :




T = kx i et F = – kx i avec x =  – 0
L'abscisse x désigne l'écart par rapport à la longueur à
vide 0.
Si x > 0,  > 0 :le ressort est étiré ;
Si x < 0,  < 0 : le ressort est comprimé.

CLASSEUR Terminale S

ressort
normal

longueur
à vide du ressort

O
Solide à l’équilibre
x

x’
x


ressort
étiré

F



RN
G

Solide
en mouvement



x’

P

x

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x

SYSTEMES OSCILLANTS
D'après la deuxième loi de Newton, on a :




F = m aG , soit – kx i = m x i
On obtient l'équation différentielle du second ordre
k
en x : – kx = m x soit : x + x = 0
m
Un oscillateur décrit par une équation différentielle
de la forme x + Cx = 0 (avec C > 0) est appelé
oscillateur harmonique.
Si le pendule élastique est vertical, on obtient une
équation différentielle du même type avec x mesure
algébrique de la déformation du ressort par rapport à
sa position d'équilibre (qui diffère alors de sa position
à vide).

SYNTHESE

METHODE
Déterminer graphiquement une période
et une amplitude
x (mm)
T

xm
10
O

0,25

T

– 10

Solution de l'équation différentielle
La solution d'une équation différentielle harmonique
est une fonction sinusoïdale qui peut se mettre sous
2
la forme : x(t) = xm cos  t + 0.
T0

– T0 est la période propre (en s) : c'est la durée
séparant deux passages successifs du solide par la
même position, dans le même sens.
– xm > 0 est l'amplitude (en m).
– 0est la phase à l'origine (en rad).
On détermine l'amplitude xm et la phase à l'origine 0
grâce aux conditions initiales du mouvement.
La valeur de xm dépend de la manière dont
l'oscillateur est lancé. Si le pendule est écarté d'une
longueur a depuis sa position d'équilibre et qu'il est
lâché sans vitesse initiale, xm = a (autrement, xm > a).

Période propre To et isochronisme
La période propre T0 d'un pendule élastique en
oscillations libres non amorties a pour expression : '

T0 = 2

m
k

– xm

Il est conseillé de définir l'amplitude et la période
avant de les déterminer.
 Pour déterminer l'amplitude xm, on mesure
l'ordonnée du maximum de la courbe si celle-ci est
centrée sur zéro. Si la courbe n'est pas centrée sur
zéro, on mesure l'ordonnée correspondant à l’écart
entre le maximum et le minimum
Sur le graphe, l'amplitude correspond à 2 graduations
verticales :
xm = 20 mm.
 Pour déterminer la période T, on mesure par
exemple, l'abscisse correspondant à l'écart entre
deux maximums successifs. Si on mesure l'écart
entre deux passages par la position d'équilibre (x =
0), il faut considérer deux passages dans le même
sens :
Sur le graphe, la période correspond à 4 graduations
horizontales :
T= 0,25  4 = 1,0 s
Si la courbe est très resserrée, il est plus précis de
mesurer n périodes et de diviser le résultat par n.

T0 période propre en seconde (s)
(kg)
m masse du solide e, kilogramme
k constante de raideur en N.m–1
La période propre T0 d'un pendule élastique ne
dépend pas de l'amplitude du mouvement : il y a
isochronisme des oscillations.

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t (s)


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