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Estimation .pdf


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Univ-Guelma : Année 2012-2013

Estimation

Le sta médical d'une grande entreprise fait ses petites statistiques sur le taux de cholestérol de ses employés ; les observations sur 100
employés tirés au sort sont les suivantes.
taux de cholestérol en cg :(centre classe) e ectif d'employés :
Exercice 1.

120
160
200
240
280
320

9
22
25
21
16
7

1. Calculer la moyenne me et l'écart-type σe sur l'échantillon.
2. Estimer la moyenne et l'écart-type pour le taux de cholestérol dans
toute l'entreprise.
3. Déterminer un intervalle de con ance pour la moyenne.
4. Déterminer la taille minimum d'échantillon pour que l'amplitude de
l'intervalle de con ance soit inférieure à 10.
Correction 1.
1. On obtient, sur l'échantillon, la moyenne me = 214,
l'écart-type σe = 55.77.
2. La moyenneqsur l'entreprise est estimée par me . L'écart-type est estimé
par : σbe = 100
99 55.77 ' 56.05.
3. On en déduit, au seuil 95%, un intervalle de con ance pour la moyenne :
[me − yα √σcen ; me + yα √σcen ] = [203.01; 224.99]. Ainsi le taux moyen de
cholestérol est, à un seuil de con ance 95%, située entre 203 et 225 cg.
Exercice 2. Sur 12 000 individus d'une espèce, on a dénombré 13 albinos.
Estimer la proportion d'albinos dans l'espèce. On comparera les méthodes
d'approximation des lois réelles par d'autres lois classiques.
Correction 2. Il s'agit ici d'estimer une proportion, suite à une observation
13
qui vaut : f = 12000
' 1.0833 × 10−3 .
On peut utiliser une approximation par une loi normale pour la moyenne
d'échantillon. On en déduit
de con ance pour la proportion, au
q un intervalleq
f (1−f )
)
−4
−3
seuil 95% : Iα = [f − yα n−1 ; p + yα f (1−f
n−1 ] ' [4.7 × 10 , 1.7 × 10 ].
On peut choisir Iα comme intervalle de con ance, au seuil 95%, de la proportion cherchée. Par l'inégalité
on a l'intervalle

de Bienaymé-Tchebychev,
Var
X


I = [f −a, f +a], avec : P [ X − p ≤ a] ≥ 1−( a2 ) et P [|X − p| ≤ a] ≥ 0.95
X
si 1 − Var
≥ 0.95, soit a ≥ 1.3979 × 10−3 . On préfèrera donc la première
a2
méthode.
1


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