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rB

e

-

IS

P

M

Notion d’application
Dans ce chapitre et tous les suivants, les mots « fonction » et « application » désigneront un même objet, conformément au
programme. Il se peut cela dit que vous trouviez dans certains ouvrages deux définitions distinctes attachées à ces deux noms.
Un bon conseil : n’y prêtez pas attention — sauf si cela vous intéresse particulièrement. En toute rigueur, fonction et application
sont bel et bien deux notions distinctes, mais les débutants que vous êtes n’ont nullement besoin de le savoir.
Dans tout ce chapitre, E, F , G et H sont des ensembles.

1

Définitions ensemblistes

Explication
Avant de définir √
proprement la notion d’application/fonction, commençons par analyser de façon
informelle la fonction racine carrée f : x 7−→ x.

• Cette fonction f prend pour arguments des réels ; cela veut
dire que quand on écrit f (x), x est un réel. Mais en réalité f
n’est pas définie sur R tout entier. Seule la racine carrée des
réels positifs est correctement définie. On résume généralement cette information en disant que l’ensemble de départ
(ou domaine de définition) de f est R+ .

8
>
>
>
>
>
>
> Image
Ensemble >
<

8
>
>
>
>
< f (x)

Grap

he

b

(R+ ) >
d’arrivée
>
>
>
>
>
:
(R)
>
>
>
>
>
>
:

• Par ailleurs f est à valeurs dans l’ensemble des réels ; cela
veut dire que si x√appartient au domaine de définition R+ de
f , alors f (x) = x est un réel. On dit que R est l’ensemble
d’arrivée de f .

|

{z

x

}

Ensemble de départ (R+ )

• Mais en réalité f ne prend pas tout réel pour valeur. L’ensemble des valeurs de f , i.e. l’ensemble des réels de la forme

f (x), x décrivant R+ , est l’ensemble R+ lui-même : quand x décrit R+ , f (x) = x décrit R+ également. On résume cela
en disant que l’image de f est R+ .
• Pour finir, on a coutume d’identifier une fonction
et

√ la courbe qui la représente. La courbe associée à la fonction racine
carrée f est l’ensemble des couples x, f (x) = x, x , x décrivant le domaine de définition R+ de f . Plutôt que de la
courbe associée à f , on parle généralement du graphe de f .

Définition

(Application/fonction, ensemble de départ/arrivée, graphe, image)

• On appelle application (ou fonction) de E dans F tout triplet f = (E, F, Γ) constitué d’un ensemble E appelé l’ensemble
de départ (ou domaine de définition, souvent noté Df ) de f , d’un ensemble F appelé ensemble d’arrivée de f et d’une partie
Γ de E × F appelée le graphe de f , soumise à la condition suivante :
∀x ∈ E,

∃ ! y ∈ F/

(x, y) ∈ Γ.

• La proposition « (x, y) ∈ Γ », qui signifie « (x, y) appartient au graphe de f », sera toujours notée simplement
« y = f (x) ». Dans cette écriture, x est appelé un antécédent de y par nf et y est oappelé l’image de x par f .
On peut décrire facilement le graphe de f avec cette notation :

Γ=

x, f (x)



x∈E



• La fonction f sera généralement définie au moyen des notations

f :

f : x 7−→ f (x).

.

E
x

−→
7−→

F
f (x)

ou plus simplement

• L’ensemble des éléments de l’ensemble
d’arrivée de f qui possèdent
n
o n unoantécédent par f est appelé l’image de f et
.
notée Im f . Formellement : Im f = y ∈ F/ ∃ x ∈ E/ y = f (x) = f (x)
x∈E

Explication

f (x)

• La proposition « ∀x ∈ E, ∃ ! y ∈ F/ (x, y) ∈ Γ » s’écrit plus simplement :
∀x ∈ E, ∃ ! y ∈ F/ y = f (x)

avec la convention de notation donnée dans la définition. Nous retrouvons
là l’idée qu’une fonction f associe à tout élément x de son domaine de
définition un unique élément y de son ensemble d’arrivée.

1

F

&b

Γ

b

←f (x)
x

f (x)

%

b

Ceci n’est pas une fonction de E dans F :
à un x donné sont associées
plusieurs valeurs de f (x).

E

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• On peut représenter une application de deux façons, classiquement : soit au moyen de « patates » (figure de gauche), soit
au moyen d’un graphe (figure de droite). Remarquez bien qu’en général l’image de f est plus petite que son ensemble
d’arrivée, car tout élément à l’arrivée ne possède pas forcément un antécédent.
n
o
F
Γ = x, f (x)
x∈E

f
E

bc

%

b

f (x)
b

Im f

Im f

x



c
b

&

b

c
b
b

E

F

Pour déterminer géométriquement l’image d’une application,
on projette son graphe sur l’axe des ordonnées.
$ $ $ Attention !

• L’idée selon laquelle il peut y avoir plusieurs antécédents, mais seulement une seule image doit être bien comprise. On
parle d’un antécédent et de l’image.
• N’allez pas croire qu’une application associe forcément des nombres à d’autres nombres. Dans la définition que nous avons
donnée, les ensembles E et F sont quelconques. Par exemple, si E désigne l’ensemble des élèves du lycée à une date fixée
et F l’ensemble des couleurs les plus classiques, on peut définir une application f de E dans
n F qui, à chaque élève, associe
o
la couleur de ses yeux. L’image de cette application sera vraisemblablement l’ensemble Noir, Marron, Bleu, Vert, Gris .
Par ailleurs, l’élément Rouge de F n’aura pas d’antécédent par f car aucun élève du lycée n’a les yeux rouges.


Exemple

La fonction f :


+
x

−→
7−→

R
(ln x)2

a pour image Im f = [0, ∞[.

Le réel 1 possède deux antécédents par f : e et

1

1
.
e

1
e

e

Définition (Ensemble des applications/fonctions d’un ensemble dans un autre) L’ensemble des applications de E
dans F est noté F E ou F(E, F ).
$ $ $ Attention !

Ne confondez pas F E et E F !

Définition (Famille) Soit I un ensemble. On appelle famille (d’éléments) de E indexée par I toute application de I dans E.
Les familles, au lieu d’être notée comme des applications, sont presque toujours notées sous la forme (xi )i∈I .
L’ensemble des familles de E indexée par I est noté E I .
Explication
Pourquoi revenir sur la définition de la notion de famille alors que nous l’avons déjà « définie » dans
notre chapitre d’introduction ? Nous avons défini une famille comme une suite, mais dans la mesure où n’avons pas défini la
notion de « suite », c’est comme si nous n’avions rien fait.
Avec la définition d’application que nous avons donnée un peu plus haut, une famille (x1 , x2 , . . . , xn ) d’éléments de E est par
définition l’application f de J1, nK dans E définie par les relations : f (1) = x1 , f (2) = x2 , . . . , f (n) = xn . En résumé,
f associe à chaque position l’élément qui lui correspond.

2

Composition

Définition

(Composition)
Soient f : E −→ F et g : F −→ G deux applications.

E −→
G
est appelée la composée de f suivie de g et notée g ◦ f .
L’application
x 7−→ g f (x)

2

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g

f
b

E
Explication

b

f (x)

g f (x)

b

x

Im f



Im g
G

F

g◦f
$ $ $ Attention !
La composition, en général, n’est possible que dans un seul sens. Et quand elle est possible dans
les deux sens, on n’a aucune raison d’avoir f ◦ g = g ◦ f . Par exemple, la composée de x 7−→ x2 suivie de x 7−→ sin x est la
fonction x 7−→ sin(x2 ), alors que la composée de x 7−→ sin x suivie de x 7−→ x2 est la fonction x 7−→ sin2 x. Or ces fonctions sont
différentes !


E
x

E
x

−→
7−→

est appelée l’application identique de E et notée IdE .

Définition

(Application identique) L’application

Théorème

(Propriétés de la composition) Soient f : E −→ F , g : F −→ G et h : G −→ H trois applications.

• Associativité :





h ◦ g ◦ f = h ◦ g ◦ f.

• Elément neutre :

IdF ◦ f = f ◦ IdE = f .

Explication L’application identique est donc une application « transparente ». Quand on la compose avec une autre
application, c’est comme si on n’avait rien fait.

Démonstration

Démontrons seulement l’associativité. Pour tout x ∈ E :








h ◦ g ◦ f (x) = h g ◦ f (x) = h g f (x)

3









Et voilà.

= h ◦ g f (x) = h ◦ g ◦ f (x).

Restriction et prolongement

Définition

(Restriction et prolongement) Soit A une partie de E.

• Si f : E −→ F est une application, on appelle restriction de f à A l’application notée f|A de A dans F définie par :
∀x ∈ A,

f|A (x) = f (x).

• Inversement, si f : A −→ F est une application, on appelle prolongement de f à E toute application g de E dans F
telle que :
∀x ∈ A, f (x) = g(x).
Explication Restreindre une application, c’est diminuer la taille de son domaine de définition. Au contraire, prolonger
une application, c’est augmenter la taille de son ensemble de définition.
$ $ $ Attention !
Il existe en général beaucoup de prolongements d’une application donnée. Du coup, on parle
d’un prolongement et non « du » prolongement d’une application donnée. Les figures ci-dessous sont trois prolongements de
l’application constante égale à 1 définie sur [1, 2].

b

b

b

b

b

b

c
b

(

(

1

si x 6= 0
Exemple L’application R −→ R, x 7−→
est un prolongement à tout R de l’application
x
x
0 si x = 0
On lui a ajouté une valeur en 0. Si on avait ajouté une autre valeur, cela nous aurait fait un autre prolongement.

3

−→

7−→

R
1 .
x

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Injectivité, surjectivité, bijectivité

$ $ $ Attention ! Les trois notions d’injection, surjection et bijection sont absolument fondamentales. Comme elles sont
abstraites, travaillez-les très soigneusement.

4.1

Injectivité

Définition

(Injectivité) Soit f : E −→ F une application. On dit que f est injective ou que c’est une injection si :
∀x, x0 ∈ E,

f (x) = f (x0 )

x = x0 .

=⇒

Pour éviter toute ambiguïté, on précise généralement l’espace de départ d’une application injective ; on dira ainsi que f est
injective sur E.

Explication
Pour comprendre la notion d’injectivité, on peut paraphraser la définition
précédente en disant que l’application f est injective si, toutes les fois qu’on
a f (x) = f (x0 ), alors forcément x = x0 . Ceci signifie, par contraposition, que
f ne peut pas prendre la même valeur en deux points distincts :

f

E
b

b

x

y
Im f

si x 6= x0 , alors f (x) 6= f (x0 ).

b

Il est commode de penser la notion d’injectivité au moyen de la notion
d’antécédent. Une application injective de E dans F est une application
pour laquelle tout élément de F possède au plus un antécédent —
soit 0, soit 1 antécédent. Les éléments de F ne possédant aucun antécédent
par f sont les éléments de F r Im f .

x0

F

f n’est pas injective

Pour finir, on peut « voir » l’injectivité d’une fonction de R dans R sur son graphe, car on peut voir facilement si une même
valeur sur l’axe des ordonnées est prise plusieurs fois.

y







b

b

bc



b



y

b

b

b
c
b

b

Pas d’injectivité.



Exemple

L’application f :

R
x

−→
7−→

R
x2

Injectivité.

Aucun y n’a plusieurs antécédents.

Certains y ont plusieurs antécédents.

n’est pas injective, mais sa restriction à R+ l’est.

b

%

b

-

En effet
• f n’est pas injective car f (−1) = 1 = f (1) par exemple.

• Au contraire f|R+ est injective. Pour le comprendre, donnons-nous x, x0 ∈ R+ tels que f (x) = f (x0 ), i.e.
x2 = x02 . Il est bien clair, puisque x et x0 sont positifs ou nuls, que x = x0 , comme voulu.
(

Exemple

L’application

En effet



Cr i
z

−→

7−→

C
z+i
z−i

Nous devons montrer que :


Soient donc z, z 0 ∈ C r i tels que
z0 + i
z+i
= 0
z−i
z −i

est injective.


∀z, z 0 ∈ C r i ,
0

z +i
z+i
= 0
.
z−i
z −i

z+i
z0 + i
= 0
z−i
z −i

=⇒

z = z0.

⇐⇒

(z + i)(z 0 − i) = (z 0 + i)(z − i)

⇐⇒

zz 0 − iz + iz 0 + 1 = zz 0 − iz 0 + iz + 1

⇐⇒

2iz = 2iz 0

⇐⇒

z = z0 .

4

Et voilà.

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Théorème

(Injectivité et composition) Soient f : E −→ F et g : F −→ G deux applications.
Si f et g sont injectives, alors g ◦ f l’est aussi.
Démonstration Soient
x, x0 ∈ E tels que g ◦ f (x) = g ◦ f (x0 ). Nous voulons montrer que x = x0 .

Or puisqu’on a g f (x) = g f (x0 ) , et puisque g est injective, alors f (x) = f (x0 ). Enfin, f étant à son tour injective,
on en tire x = x0 comme voulu.


4.2

Surjectivité

Définition

(Surjectivité) Soit f : E −→ F une application. On dit que f est surjective ou que c’est une surjection si :
∀y ∈ F,

∃ x ∈ E/

y = f (x).

Pour éviter toute ambiguïté, on précise généralement les espaces de départ et d’arrivée d’une application surjective ; on dira ainsi
que f est surjective de E sur F .
Explication Par définition, f est donc surjective si tout élément de son ensemble d’arrivée possède au moins un
antécédent ; cela signifie aussi que Im f = F .
8
< f est injective si tout élément de F possède au plus un antécédent par f ;

En résumé :

Exemple

:

f est surjective si tout élément de F possède au moins un antécédent par f.

Soit f : E −→ F une application. Alors f est surjective de E sur son image Im f . Exemple important !
En effet

Par définition, tout élément de Im f possède un antécédent par f .


Exemple

L’application f :

R
x

−→
7−→

R
x2



n’est pas surjective ; en revanche, l’application g :

R
x

−→
7−→

R+
x2

l’est.

En effet
Comme f ne prend que des valeurs positives ou nulles, il est faux que tout élément de l’ensemble
d’arrivée R de f possède un antécédent ; par exemple, −1 n’est le carré d’aucun réel. En revanche, tout élément
de R+ possède au moins une racine carrée et par conséquent g est surjective.

Théorème

(Surjectivité et composition) Soient f : E −→ F et g : F −→ G deux applications.
Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f l’est aussi.
Démonstration Soit y ∈ G. Nous voulons montrer l’existence d’un élément x ∈ E tel que y = g ◦ f (x).
Or g est surjective, donc il existe t ∈ F tel que y = g(t). Et comme f est elle aussi surjective, il existe x ∈ E tel
que t = f (x). On obtient donc y = g(t) = g f (x) = g ◦ f (x) comme voulu.


4.3

Bijectivité

Définition

(Bijectivité) Soit f : E −→ F une application. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) f est à la fois injective et surjective.

(ii) ∀y ∈ F,

∃ ! x ∈ E/

y = f (x).

Si l’une de ces assertions est vraie, on dit que f est bijective ou que c’est une bijection.
Pour éviter toute ambiguïté, on précise généralement les espaces de départ et d’arrivée d’une application bijective ; on dira ainsi
que f est bijective de E sur F .
Explication
L’équivalence des assertions (i) et (ii) est intuitivement claire. Dire que f est injective, c’est dire que
tout élément de F possède au plus un antécédent ; dire que f est surjective, c’est dire que tout élément de f possède
au moins un antécédent. Par conséquent, dire que f est à la fois injective et surjective, c’est dire que tout élément de F
possède exactement un antécédent par f ; c’est précisément le sens de l’assertion (ii).

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Exemple

L’application identique IdE est bijective de E sur E.
En effet
• Injectivité : Soient x, x0 ∈ E. On suppose que IdE (x) = IdE (x0 ). Alors x = x0 par définition de IdE et le
tour est joué.
• Surjectivité : Soit y ∈ E. On cherche x ∈ E tel que y = IdE (x). Or c’est facile, posons x = y. On a bien
IdE (x) = IdE (y) = y comme voulu.


Exemple

Soient a ∈ R

×

et b ∈ R. L’application

En effet

R
x

−→
7−→

R
ax + b

est bijective de R sur R.

• Injectivité : Soient x, x0 ∈ R tels que ax + b = ax0 + b. Il est bien clair que x = x0 .

y−b
,
a

• Surjectivité : Soit y ∈ R. On cherche un réel x tel que y = ax + b. Facile : il suffit de poser x =
sachant que a 6= 0.
Théorème

(Réciproque d’une application bijective) Soit f : E −→ F une application.

(i) f est bijective de E sur F si et seulement s’il existe une application g : F −→ E telle que g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF .
(ii) Si elle existe, une telle application g est unique ; on l’appelle la réciproque de f et on la note f −1 . On a alors
l’équivalence :
h
i
y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y) .
∀x ∈ E, ∀y ∈ F,
(iii) Si f est bijective de E sur F , alors f −1 est bijective de F sur E. De plus :

f −1

−1

= f.

f −1 ◦ f = IdE

Explication
Intuitivement, qu’est donc la réciproque d’une application bijective f ? Le
théorème ci-dessus affirme qu’on a y = f (x) si et seulement si x = f −1 (y) ;
en d’autres termes, f envoie x sur y si et seulement si f −1 envoie y sur x.
En somme, f −1 « défait » le travail accompli par f : ce qui est image pour
f est antécédent pour f −1 ; ce qui antécédent pour f est image pour f −1 .

f
b

E
x

b

y

F

f −1

f ◦ f −1 = IdF

b

x

y = f (x)

y

b

x = f −1 (y)

Travaillons à présent avec les ensembles E = R et F = R — le raisonnement qui suit
vaut également si E et F sont des parties quelconques de R. Supposons toujours f
bijective, ici donc de R sur R, et notons Γf (resp. Γf −1 ) le graphe de f (resp. f −1 ).
Le théorème précédent affirme que :

Γf

y

⇐⇒

x

h

∀x ∈ E,

Γf −1

ce qui s’écrit aussi :

∀y ∈ F,

∀x ∈ E,

i

y = f (x)

⇐⇒

h

∀y ∈ F,

x = f −1 (y) ,

(x, y) ∈ Γf

i

⇐⇒

(y, x) ∈ Γf −1 .

Ceci signifie que les points de Γf et les points de Γf −1 sont les mêmes, à l’ordre
près de leurs coordonnées. Finalement, Γf −1 a une interprétation géométrique très
simple : Γf −1 est le symétrique de Γf par rapport à la droite d’équation y = x.

y=x

$ $ $ Attention !

Ne confondez pas f −1 et

1
— quand ces deux applications ont un sens. Rien à voir !
f

Démonstration
(i) Raisonnons en deux temps.
• Supposons f bijective de E sur F , i.e. que :

∀y ∈ F,

∃ ! x ∈ E/

y = f (x).

Pour tout y ∈ F , notons g(y) l’unique élément x de E tel que y = f (x). On définit de cette façon une
application g : F −→ E. Nous allons montrer que g ◦ f = IdE et que f ◦ g = IdF .
Déjà, l’identité f ◦ g = IdF résulte immédiatement de la définition de g :



∀y ∈ F,

f ◦ g(y) = y.

Qu’en est-il de l’autre identité ? Soit x ∈ E. Par définition de g, g f (x) est l’unique élément t de E tel
que f (x) = f (t). Comme x est un tel élément, on a donc g ◦ f (x) = g f (x) = x. Cela montre bien que
g ◦ f = IdE .

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• Supposons qu’il existe une application g : F −→ E telle que g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF .

Montrons que f est injective sur E. Soient donc x, x0 ∈ E tels que f (x) = f (x0 ). Alors x = x0 car :




x = IdE (x) = g ◦ f (x) = g f (x) = g f (x0 ) = g ◦ f (x0 ) = IdE (x0 ) = x0 .

Montrons que f est surjective de E sur F . Soit donc y ∈ F . Posons x = g(y). Alors y = f (x) car :


y = IdF (y) = f ◦ g(y) = f g(y) = f (x).
(ii) Plusieurs étapes ici aussi. Supposons f bijective de E sur F .
• Montrons l’unicité de sa réciproque f −1 . Soient donc g1 et g2 deux applications de F dans E telles
que g1 ◦ f = g2 ◦ f = IdE et f ◦ g1 = f ◦ g2 = IdF . Il nous suffit de montrer l’égalité g1 = g2 , en d’autres
termes, que : ∀y ∈ F, g1 (y) = g2 (y).

Soit donc y ∈ F . Alors f g1 (y) = f ◦ g1 (y) = f ◦ g2 (y) = f g2 (y) . Or f est injective, donc g1 (y) = g2 (y)
comme voulu.


• Soient x ∈ E et y ∈ F . Montrons l’équivalence :


alors f −1 (y) = f −1 f (x)
,
alors f (x) = f f −1 (y) ,

Si y = f (x),
Si x = f −1 (y),

y = f (x)

⇐⇒

x = f −1 (y).

donc f −1 (y) = IdE (x),
donc f (x) = IdF (y),

et enfin x = f −1 (y).
et enfin y = f (x).

−1

(iii) Supposons f bijective. Montrons que f −1 est bijective et que f −1
= f.
Par définition de f −1 , on a : f ◦ f −1 = IdF et f −1 ◦ f = IdE .
Posons donc g = f . Alors g ◦ f −1 = IdF et f −1 ◦ g = IdE . Via (i), cela suffit à montrer que f −1 est bijective
de F sur E. En outre, via (ii), l’application g ainsi obtenue est la réciproque de f −1 . Nous en déduisons
−1
l’identité annoncée :
f −1
= g = f.


y = ex

Exemple

y=x

y = x2

• Id−1
E = IdE .
• La fonction exponentielle est bijective de
R sur R×
+ , de réciproque la fonction logarithme ; la fonction carrée est bijective
de R+ sur R+ , de réciproque la fonction
racine carrée. Notez bien la symétrie des
courbes par rapport à la droite d’équation
y = x.

En pratique
bijective de E sur F :

y=x

y = ln x

y=

b

Nous disposons à présent de plusieurs techniques pour démontrer qu’une application f : E −→ F est

• Si on a à l’avance une idée de ce que va valoir f −1 , on donne un nom à cette application de F dans E, disons g ; il suffit
alors de vérifier que g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF . On démontre ainsi que f est bijective de E sur F et que f −1 = g.

• Si on n’a aucune idée de ce à quoi peut ressembler f −1 , mais si tout de même f est donnée explicitement par une formule,
on peut essayer de déterminer la tête de f −1 au moyen de l’équivalence « y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y) ». Partant de
la proposition « y = f (x) » qui exprime y en fonction de x, on se débrouille pour parvenir par équivalence jusqu’à une
proposition de la forme « x = g(y) » qui exprime x en fonction de y. L’application g ainsi découverte n’est autre que f −1 .
• Enfin, si f n’est pas donnée explicitement par une formule mais par certaines de ses propriétés, ou bien si on ne se sent pas
du tout capable de déterminer f −1 au moyen de la technique précédente, on démontre en deux temps que f est injective
et surjective.
(

Exemple
ζ 7−→ i



Cr i

La fonction f :

z


ζ +1
définie sur C r 1 .
ζ −1

En effet

−→

7−→

C
z+i
z−i





réalise une bijection de Cr i sur Cr 1 . Sa réciproque est l’application



Pour tout z ∈ C r i et pour tout ζ ∈ C :

ζ = f (z)

⇐⇒

z+i

z−i

⇐⇒

z + i = ζz − iζ

⇐⇒

i(ζ + 1) = z(ζ − 1).



On peut alors exprimer ζ en fonction de z si et seulement si ζ 6= 1. Par conséquent, pour tout z ∈ C r i et pour


ζ+1
. Cette équivalence montre que f est bijective de C r i sur
tout ζ ∈ Cr 1 : ζ = f (z) ⇐⇒ z = i
ζ−1


ζ+1
définie sur C r 1 .
C r 1 de réciproque l’application ζ 7−→ i
ζ−1

7



x

c



e hpi

oC s r h t

lu

at

t

rB

e

-

IS

P

M

Exemple
Soient f : E −→ E une application telle que f ◦ f = IdE . On dit alors que f est une involution. Alors f est une
bijection et f −1 = f .
En effet Posons g = f . L’égalité f ◦ f = IdE montre alors que f ◦ g = IdE et g ◦ f = IdE . Par conséquent f est
une bijection et g = f est sa réciproque.

Théorème

(Bijectivité et composition) Soient f : E −→ F et g : F −→ G deux applications.
Si f et g sont bijectives, alors g ◦ f l’est aussi. De plus :

g◦f

−1

= f −1 ◦ g −1 .

Démonstration Nous avons déjà montré que g ◦ f était à la fois injective et surjective ; elle est donc bijective
comme voulu. Mais nous pouvons redémontrer ce résultat sans utiliser ce que nous avons démontré précédemment.
Posons h = f −1 ◦ g −1 , application de G dans E. Alors :








h ◦ g ◦ f = f −1 ◦ g −1 ◦ g ◦ f = f −1 ◦ g −1 ◦ g ◦ f = f −1 ◦ IdF ◦ f = f −1 ◦ f = IdE
et









g ◦ f ◦ h = g ◦ f ◦ f −1 ◦ g −1 = g ◦ f ◦ f −1 ◦ g −1 = g ◦ IdF ◦ g −1 = g ◦ g −1 = IdG .

Ceci démontre d’un coup d’un seul que g ◦ f est bijective de E sur G de réciproque h = f −1 ◦ g −1 .



Explication
A titre culturel, on notera que la notion de bijection est utilisée en mathématiques pour « mesurer »
la taille des ensembles. En effet, une bijection de E sur F est une manière de relier tout élément de E à un unique élément
de F et tout élément de F à un unique élément de E. En somme, dire qu’il existe une bijection de E sur F , c’est dire que les
deux ensembles E et F ont la même taille, le même « nombre » d’éléments. Par définition, on dit dans ce cas que E et F sont
équipotents.

Image directe, image réciproque

5
5.1

Image directe

Définition (Image directe d’une partie par une application) Soient
n f : E −→ F une application
o etnA une
o partie de E.
On appelle image (directe) de A par f , notée f (A), l’ensemble

f (A) = y ∈ F/

∃ a ∈ A/ y = f (a) = f (a)

a∈A

.

F
Explication
L’image f (A) de A par f est l’ensemble des images par f des éléments de A. Graphiquement, pour déterminer f (A), on projette sur l’axe des ordonnées la portion du graphe
de f qui se situe au-dessus de A, comme l’illustre la figure ci-contre.

Exemple
Tâchez de vous convaincre vous-mêmes, en faisant des dessins, que les affirmations suivantes sont vraies.

Γ

%
f (A)
&
-

A

%

• L’image de R+ par l’application exponentielle est l’intervalle [1, ∞[ ; l’image de R− par cette même application est ]0, 1].
h π πi


• L’image de π par l’application sinus est 0 ; l’image de [0, π] est [0, 1] ; l’image de − ,
est [−1, 1] ; l’image de [0, 2π]
2 2
est aussi [−1, 1].

5.2

Image réciproque

Définition

(Image réciproque d’une partie par une application) Soient f : E
et B une partie
n −→ F une application
o
f −1 (B) = x ∈ E/ f (x) ∈ B .

de F . On appelle image réciproque de B par f , notée f −1 (B), l’ensemble

8

E

c



e hpi

oC s r h t

lu

at

t

rB

e

-

IS

P

M

F
Explication

f −1 (B) est l’ensemble des éléments de E dont l’image par f appartient à B. Géométriquement, pour déterminer f −1 (B), on projette sur l’axe des abscisses la portion du graphe de
f située dans le tube horizontal défini par B.
On a, pour tout x ∈ E :

Exemple

x ∈ f −1 (B)

⇐⇒

B

Γ

f (x) ∈ B.

-

f

−1

(B)

%

Tâchez de vous convaincre vous-mêmes, en faisant des dessins, que les affirmations suivantes sont vraies.

• L’image réciproque de R+ par l’application exponentielle est R tout entier ; l’image réciproque de [1, 2[ est [0, ln 2[.


• L’image réciproque de 0 par l’application sinus est πZ.
• L’image réciproque de [4, ∞[ par l’application carrée est ] − ∞, −2] ∪ [2, ∞[.
$ $ $ Attention ! Nous avons rencontré la notation « f −1 » dans deux contextes différents : le contexte des applications
réciproques et le contexte des images réciproques. Cette même notation recouvre en général des réalités mathématiques distinctes.

• Cas où f est bijective : Alors f −1 a un sens en tant qu’application puisque f −1 désigne la réciproque de f . En outre,
si B est une partie de F , alors f −1 (B) est une partie de E bien définie.
En résumé, si f est bijective, les deux notations à base de « f −1 » rencontrées jusqu’ici ont un sens.
• Cas où f n’est pas bijective : Alors f ne possède pas de réciproque, et donc la notation « f −1 » ne peut désigner
aucune application. Cela n’empêche pas la partie f −1 (B) de E d’être bien définie pour toute partie B de F . Seulement
dans ce cas, « f −1 » n’est qu’une notation sans rapport aucun avec la notion d’application réciproque.
Il existe tout de même un lien entre les deux notations « f −1 » dans le cas où f est bijective, comme l’affirme le théorème
suivant :
Théorème (Réciproque, image et image réciproque pour les bijections) Soit f une bijection de E sur F et B une
partie de F . On a :
f −1 (B) = f −1 (B)
%

-

Image directe de B par f −1

Image réciproque de B par f

Démonstration Pour le moment, la notation « f −1 (B) » est ambiguë. Décidons donc provisoirement de noter
D l’image directe de B par f −1 et R l’image réciproque de B par f . Le théorème affirme précisément que
D = R. Pour commencer, D et R sont deux parties de E par définition. Or pour tout x ∈ E :
x∈D

⇐⇒

⇐⇒

∃ b ∈ B/

f (x) ∈ B

x = f −1 (b)

⇐⇒

⇐⇒

∃ b ∈ B/
x ∈ R.

f (x) = b

(caractérisation des réciproques)

Tout ceci montre bien que D = R.



Vocabulaire usuel relatif aux fonctions de R dans R

6

Les notions qui suivent étant plus ou moins déjà connues, elles ne seront commentées qu’au moyen de petites illustrations.
Fixons une partie A de R.

6.1

Fonctions paires, fonctions impaires

Définition

(Parité/imparité) Soit f : A −→ R une fonction.

• On dit que f est paire si :
1)
A est symétrique par rapport à 0, i.e. :
2)
∀x ∈ A, f (−x) = f (x).

∀x ∈ A,

−x ∈ A ;

• On dit que f est impaire si :
1)
A est symétrique par rapport à 0, i.e. :
2)
∀x ∈ A, f (−x) = −f (x).

∀x ∈ A,

−x ∈ A ;

9

E

c



e hpi

oC s r h t

lu

at

t

rB

e

-

IS

P

M

$ $ $ Attention !

Exemple

Si f : A −→ R est impaire et si 0 ∈ A, alors f (0) = 0.
En effet

6.2

Le contraire de « paire » n’est pas « impaire ». En général, les fonctions ne sont ni paires ni impaires.

Puisque f est impaire, f (0) = f (−0) = −f (0), donc 2f (0) = 0, donc f (0) = 0.

Fonctions périodiques

Définition
T si :

(Périodicité) Soient f : A −→ R une fonction et T > 0. On dit que f est T -périodique ou périodique de période
1)

∀x ∈ A,

x+T ∈ A ;

2)

∀x ∈ A,

f (x + T ) = f (x).

T

Le réel T est alors appelé une période de f .

$ $ $ Attention ! Une fonction périodique ne possède jamais une unique période. Par exemple, si T est une période de
f , 2T, 3T, 4T . . . en sont également. C’est pourquoi on ne parle jamais de « la » période, mais toujours d’une période de f .

6.3

Fonctions monotones, croissantes et décroissantes

Définition

(Monotonie) Soit f : A −→ R une fonction.

• On dit que f est croissante (resp. décroissante) si :

∀x, y ∈ A,

x<y

• On dit que strictement croissante (resp. strictement décroissante) si :

=⇒ f (x) 6 f (y) (resp. f (x) > f (y)).

∀x, y ∈ A,

x<y

=⇒ f (x) < f (y)
(resp. f (x) > f (y)).

• On dit que f est monotone (resp. strictement monotone) si f est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante
ou strictement décroissante).

$ $ $ Attention !
ni décroissantes.

Théorème

Le contraire de « croissante » n’est pas « décroissante ». En général, les fonctions ne sont ni croissantes

(Stricte monotonie et injectivité) Soit f : A −→ R une fonction.
Si f est strictement monotone, alors f est injective.

Démonstration Supposons d’abord f strictement croissante. Soient x, x0 ∈ A tels que f (x) = f (x0 ).
Peut-on avoir x < x0 ? Non, car on aurait alors f (x) < f (x0 ), alors que f (x) = f (x0 ). Peut-on avoir x0 < x ? Non
plus, car on aurait alors f (x0 ) < f (x). Du coup x = x0 comme voulu.
Dans le cas où f strictement décroissante, la démonstration est analogue.
Exemple



h
π πi
La fonction sinus est injective sur − ,
, car elle est strictement croissante sur cet intervalle.
2 2

On dipose en fait d’un résultat plus fort en cas de continuité. Vous avez appris le théorème suivant en Terminale, comme un
corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Nous le démontrerons plus tard dans l’année dans le chapitre « Continuité ».
Théorème (Continuité et stricte monotonie) Soient a, b ∈ R tels
que a < b et f : [a, b] −→ R une application continue
strictement monotone. Alors f réalise une bijection de [a, b] sur f [a, b] , et de plus :
• si f est croissante :





f [a, b] = f (a), f (b)



;

• si f est décroissante :







f [a, b] = f (b), f (a) .

Si f est définie sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert,
on a un irésultat analogue avec éventuellement des limites. Par exemple,
i
si f est définie sur ]a, b] et croissante : f ]a, b] = lim f, f (b) .
a−

10

c



e hpi

oC s r h t

lu

at

t

rB

e

-

IS

P

M

En pratique Ce théorème est extrêmement utile lorsqu’on travaille avec des fonctions de R dans R continues, dont
on ne sait pas trouver facilement la réciproque.

Exemple

On pose f (0) = 1 et :

réalise une bijection de R sur


+.

∀x ∈ R× ,

f (x) =

ex − 1
.
x

On définit ainsi une fonction f : R −→ R. Cette fonction

En effet
• Continuité : En tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas, f est
continue sur R× . Qu’en est-il en 0 ? Nous devons montrer que lim f = f (0). Or par définition du nombre
0

dérivé de l’exponentielle en 0 :
est continue sur tout R.

ex − 1
lim
= exp0 (0) = e0 = 1. C’est le résultat voulu. Par conséquent f
x→0
x

• Stricte monotonie : En tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas, f
ex (x − 1) + 1
est dérivable sur R× — peu importe ce qui se passe en 0 — et pour tout x ∈ R× : f 0 (x) =
.
x2
Le signe de f 0 dépend donc du signe de la fonction g : x 7−→ ex (x − 1) + 1, définie et dérivable sur R comme
somme et produit de fonctions dérivables. On a, pour tout x ∈ R : g 0 (x) = xex .

x
Le tableau ci-contre indique que f est strictement croissante sur
×

− et strictement croissante sur R+ . Or f est continue en 0,
donc le graphe de f à gauche de 0 et le graphe de f à droite de 0
se joignent en 0 et font de f une fonction strictement croissante
sur R tout entier.

g 0 (x)
g(x)
g(x)
0

f (x)

−∞

0

+





0

+

+

+

+

f (x)

• Finalement, via leithéorème précédent
et le travail qui vient d’être effectué, f réalise comme voulu une
h
bijection de R sur lim f, lim f = ]0, ∞[ = R×
+.
−∞



11


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