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Nom original: ENT_Limites.pdfTitre: Limite en l'infiniAuteur: Friedelmeyer

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s.friedelmeyer@ac-toulouse.fr , le 18/12/2012

Chapitre VI – Limites, continuité

Limite finie en l'infini



Définition

On dit que la fonction f admet pour limite L en
+oo si tout intervalle ouvert contenant L
contient toutes les valeurs de f (x) dès que x
est suffisamment grand.
On note :

Lim f ( x)  L

x  

Interprétation graphique

On dit alors que la courbe de la fonction f
admet une ASYMPTOTE HORIZONTALE
d’équation y=L en +oo

Limite en l'infini
Exemple



2x 1

Montrer que f  x  
a pour limite L=2 en
x3
+oo;
Si e>0, l'intervalle ]2  e;2  e[
est un intervalle ouvert contenant L.
Résolvons, en supposant x+3>0

2x 1
 2  e  2 x  1  x  32  e 
x3
 2 x  1  2 x  ex  6  3e
 ex  7  3e
7
 x  3 
e

De même,

2x 1
 2  e  2 x  1  x  32  e 
x3
 2 x  1  2 x  ex  6  3e
 ex  7  3e
7
 x  3 
e
7

On a prouvé que si

f ( x) ]2  e;2  e[

x  3 

e

alors

Avec e=10-6, il faut donc x>7.000.000-3

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Chapitre VI – Limites, continuité

Limite infinie en l'infini



Limite infinie
Exemple



Définition

La fonction f(x)=x2 a pour limite +oo en +oo

On dit que la fonction f admet pour limite +oo
en +oo si :
tout intervalle ]A;+oo[ , A réel, contient toutes
les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment
grand
On note : Lim f (x)  
x  

On dit que la fonction f admet pour limite -oo
en +oo si :
tout intervalle ]-oo;A[, A réel, contient toutes
les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment
grand
On note : Lim f (x)  

Preuve

Soit A réel, on doit résoudre f ( x ) ] A;[
soit x2>A. Si x>0, cela revient à x>A
Si x>A, x2>A, donc la limite de f est bien +oo
en +oo

Limites en –oo



Les définitions précédentes se calquent pour
définir les limites finies ou infinies en –oo

Attention



Il peut n'exister ni limite finie, ni limite infinie
en +oo ou en –oo

x  

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Chapitre VI – Limites, continuité

Limite infinie en un réel fini A

Limite infinie en a fini
Limite infinie en un réel fini A





Définition

Définition

Si f est une fonction définie sur un intervalle
de la forme ]a;*] ou [*;a[
On dit que la fonction f admet pour limite +oo
en a si tout intervalle ]A;+oo[, contient toutes
les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment
proche de a
On note :
Lim f ( x)   ou Lim f ( x)  
x a
xa

Si f est une fonction définie sur un intervalle
de la forme ]a;*] ou [*;a[
On dit que la fonction f admet pour limite -oo
en a si tout intervalle ]-oo;A[, contient toutes
les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment
proche de a
On note : Lim f ( x)   ou Lim f ( x)  

xa
xa

x a
xa

xa
xa

Interprétation graphique



On dit alors que la courbe de la fonction f
admet une ASYMPTOTE VERTICALE
d’équation x=a

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Chapitre VI – Limites, continuité

Limites usuelles

Lim

On démontre facilement les limites
classiques suivantes, liées aux fonctions
usuelles

Lim

ax  b   si a  0

Lim

ax  b   si a  0

Lim

ax  b   si a  0

Lim

ax  b   si a  0

x  

x2 

x  

Lim

Lim

x 2  

x  

( x  a)2 

x  

Lim

( x  a ) 2  

x  

x  
x  

Lim

x 3  

Lim

x 3  

x  

x  

Lim

x  

1

x

Lim

x  

1
0
x

x  

Lim

x n  

Lim

x n  

x  
x  

1

Lim x  

x0
x0

1
Lim x  
x0
x0

Lim

x  

Lim

x  a  

x  
x  
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Chapitre VI – Limites, continuité

Les théorèmes qui suivent, présentés sous
forme de tableau sont admis.
Pour la plupart d’entre eux , ils sont
naturels mais … comme souvent en math, il
y a quelques cas particuliers.
Dans certains cas il n’y a pas de conclusion
générale. On dit qu’il s’agit de cas de
formes indéterminées .
Ces cas nécessiteront une étude
particulière chaque fois qu’ils se
présenteront.
Multiplication par un réel k

Opérations sur les limites
Produit de 2 fonctions



Quotient de 2 fonctions



Exemples



Somme de deux fonctions



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Chapitre VI – Limites, continuité

Limite à l'infini d'une fonction polynôme



A l'infini une fonction polynôme a même limite
que son terme de plus haut degré
On étend la méthode aux fonctions racine
Exemples

x3
f x    10 x 2 ; g x   x  3 x
10

Lever l'indétermination
Limite à l'infini d'une fonction rationnelle



A l'infini une fonction rationnelle a même limite
que le quotient simplifié de ses termes de plus
haut degré
Exemples

3x  2
x  3x 3  1
; g x  
f x  
2x  3
x2 1

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Chapitre VI – Limites, continuité

Théorèmes de comparaison
Applications

Théorèmes





Ces théorèmes, donnés en +oo, s'expriment
de manière similaire en –oo;

Déterminer :

sin  x 
; Lim x 2  cos x ; Lim x 2  x
x   x  1 x  
x  
Si pour tout x>a on a f(x)≤g(x) etLim f  x   
x  
Alors Lim g  x   

Comparaison

Lim

x  

Si pour tout x>a on a f(x)≥g(x) et
Alors Lim g x  
x  

 

Lim f  x   

x  

Théorème des gendarmes

Si pour tout x>a on a u(x)≤f(x)≤v(x) et

Lim u  x   Lim v x   L
x  
x   L
Lim
f
Alors
x  

x  

Interprétations graphiques

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Chapitre VI – Limites, continuité

Limite d'une fonction composée



Fonction composées, exponentielles
Limites de la fonction Exponentielle



Une fonction composée va s'écrire sous la
forme f(x) = g( u(x) )
g est généralement une fonction 'classique' du
type

On a

Lim exp x   

x  

; exp ; ln  ; sin  ...

Preuve (ROC)

En posant f(x)=ex-x et en étudiant ses
variations, on montre que f est strictement
croissante sur IR+
On a donc ex ≥ x pour tout x positif
D'après le théorème de comparaison des
limites

On a alors le théorème suivant :
Théorème

Quels que soient les nombres a,b,c, égaux
éventuellement à l'infini :
Si Lim u x  b et Lim g x  c
xa

Alors

 

x b

 

Lim exp x   Lim x  

Lim f  x   Lim g u  x   c
xa

Exemples

x  

x a

f x   3x  4 ; g x  

Lim exp x   0

x  

x  

On peut ensuite écrire

3
x2

Lim exp x   Lim exp x   Lim

x  

x  

Exemples simples



1
0
x   exp x 

Lim 1  x e x ; Lim e 2 x  4

x  

x  

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Chapitre VI – Limites, continuité

Les indéterminations avec exp(x) :



Les trois limites suivantes sont à connaître :

ex
Lim  
x   x

Lim xe  0
x

x  

ex 1
1
Lim
x 0
x

Démonstrations (non ROC)

x2
1) En étudiant f  x   e 
2
x

Exponentielle indéterminées
Applications



Pour calculer une limite indéterminée
contenant des exponentielles, on se ramènera
à l'une des limites précédentes.
3 x 1

3 x 1

ex
e3 x  4
Lim
; Lim 2 x
; Lim e x 1 ; Lim e x 1
x   1  x x   x e  2 x 1
x 1
x 1
x 1

on montre que f est croissante sur IR+ et
strictement positive.
x2
x
On en xdéduit que, sur IR+, e 
e
x
2

soit
x 2
D'après le théorème de comparaison, on a
donc

ex
x
Lim  Lim  
x   x
x   2

2) On peut écrire

x
1
Lim

0
x   e x
x   e x
x

Lim xe x  Lim  xe  x  Lim

x  

x  

3) En calculant le nombre dérivé en 0 de exp,
qui est dérivable, on a 0  h
0
h

e' 0   e0   1  Lim
h 0

e

e
e 1
 Lim
h 0
h
h

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Chapitre VI – Limites, continuité

Exponentielle indéterminées

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Chapitre VI – Limites, continuité

Définition



Continuité des fonctions
Définition



On dit que f est continue en a si

On dit que f est continue sur un intervalle I si
elle est continue en tout point de I

Lim f  x   f a 

Exemples

xa

Les fonctions usuelles sont continues sur leur
ensemble de définition

Exemples

Propriétés



Une fonction dérivable sur un intervalle I est
continue en tout point de cet intervalle.
Si u et v sont continues, u+v, u x v, un sont
continues,
1 u
de même que ; si v ne s'annule pas sur I

Exemple



v v

si x  1,2 x  3
f x   
si x  1,2 x  1

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Chapitre VI – Limites, continuité

Théorème des valeurs intermédiaires



f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe
au moins un réel c compris entre a et b, tel que f(c)
= k.

Méthodes de détermination



Montrer que x3-6x2+6=0 admet une unique solution
sur [0;4].
En donner une valeur approchée à 10-3 près.

Graphiquement :



Dans un repère, Cf représente une fonction f
continue sur un intervalle [a; b].
 est la droite d'équation y = k, où k est un réel
compris entre f(a) et f(b).
On ‘voit’ bien que la droite coupe ‘forcément’ la
courbe
Cas particulier
Une fonction f continue et strictement monotone sur
un intervalle [a ; b].
D'après le théorème des valeurs intermédiaires
pour tout réel k compris entre f(a) et f(b),
l'équation f(x) = k a une solution xo unique dans
[a ; b].

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