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Alg`
ebre 1 : Calculs alg´
ebriques & Alg`
ebre
lin´
eaire

y
1

(0,1)
v

(-2,1)

x
b

−2

O

−1

(1,0)

1

2

−1

Illustration de la base canonique de R2 . Les vecteurs bleu et orange sont les ´el´ements de cette base ; le vecteur
vert peut ˆetre exprim´e en fonction des autres vecteurs, et donc est lin´eairement d´ependant.

Sommaire
I

´ ements de logique et de th´
El´
eorie des ensembles

1

´ ements de logique
1 El´
1.1 Proposition et connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Raisonnement math´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
3
3

´ ements de th´
2 El´
eorie des ensembles
2.1 Op´erations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 L’ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
6
9

II
3 G´
en´
eralit´
es
3.1 D´efinitions et op´erations . . . . . .
3.2 Degr´e . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 D´eriv´ees d’un polynˆ
ome et racines
3.3.1 D´eriv´ees . . . . . . . . . . .
3.3.2 Racines d’un polynˆ
ome . .
4 Arithm´
etique dans K[X]
4.1 Division euclidienne . . .
4.2 Polynˆ
omes irr´eductibles et
4.3 D´ecomposition en facteurs
4.3.1 Cas C[X] . . . . .
4.3.2 Cas R[X] . . . . .

Polynˆ
omes

11

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12
12
13
13
13
15

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P GCD de 2 polynˆ
omes
irr´eductibles . . . . . .
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16
16
17
17
17

III

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Espaces vectoriels

5 D´
efinitions et exemples
5.1 E = {0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 E = Kn , n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 L’ensemble des suites `
a valeurs dans K . . . . . . .
5.5 L’ensemble des applications de T `
a valeurs dans K

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19
19
19
20
21
21

6 Sous-espaces vectoriels
22
6.1 D´efinitions-exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.2 Intersection et somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.3 Sous-espace vectoriel engendr´e par une famille finie de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 Familles g´
en´
eratrices et libres
26
7.1 Familles g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.2 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2

8 Bases et dimension
8.1 D´efinitions . . . . . . . . . . .
8.2 Th´eor`emes fondamentaux . .
8.3 Cons´equences du th´eor`eme de
8.4 Applications . . . . . . . . . .

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la dimension
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27
27
27
27
28

9 D´
etermination pratique de la dimension d’un espace vectoriel
29
9.1 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.2 Calcul du rang d’une famille finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

IV

Applications lin´
eaires et Matrices

10 Applications lin´
eaires
10.1 D´efinitions, propri´et´es, exemples . . . . .
10.2 Noyau et image d’une application lin´eaire
10.3 Homoth´eties, projections, sym´etries . . . .
10.3.1 Homoth´eties . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Projections . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Sym´etries . . . . . . . . . . . . . .

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31
31
31
32
32
33
33

11 Matrices
35
11.1 D´efinitions, op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
11.2 Repr´esentation des applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
11.3 Matrices carr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

Premi`
ere partie

´ ements de logique et de th´
El´
eorie des
ensembles

1

Chapitre 1

´ ements de logique
El´
1.1

Proposition et connecteurs logiques


efinition : Une proposition est un ´enonc´e math´ematique (ou non) qui poss`ede l’une des valeurs de v´erit´e
suivante : vraie (V) ou fausse (F).
Exemples :
1. « Il existe des hommes immortels »F (par exp´erience).
2. « L’ensemble des nombres entiers naturels premiers est infini »V (d´emontrable math´ematiquement).

egation : Soit P une proposition.
P
V
F

non(P)
F
V

non(P) contraire logique de (P).

Conjonction et : Soient P et Q deux propositions.
P
V
V
F
F

Q
V
F
V
F

P et Q
V
F
F
F

(P et Q) est V si P et Q sont simultan´ements V.

Disjonction ou :
P
V
V
F
F

Q
V
F
V
F

P ou Q
V
V
V
F

(P ou Q) est V si l’une des propositions est V.

Implication : ⇒
(P ⇒ Q) est synonyme de (non(P) ou Q) .
P
V
V
F
F

non(P)
F
F
V
V

Q
V
F
V
F

P⇒Q
V
F
V
V

– Le F implique n’importe quoi.
– (P ⇒ Q) est F uniquement lorsque P vraie et Q fausse.
(P ⇒ Q) V si et seulement si on a : si P est vraie alors Q est vraie.
2

Lorsque (P ⇒ Q) est V :
– P est une condition suffisante pour avoir Q.
– Q est une condition n´
ecessaire pour avoir P.
Equivalence : ⇔
(P ⇔ Q) est synonyme de (P ⇒ Q et Q ⇒ P) .
P
V
V
F
F

Q
V
F
V
F

P⇒Q
V
F
V
V

Q⇒P
V
V
F
V

P⇔Q
V
F
F
V

(P ⇔ Q) V si et seulement si P et Q ont mˆeme valeurs de v´erit´e.
Soient P, Q, R trois propositions.
– (non(P) et P) F
non(non(P)) ⇔ P
(non(P) ou P) V
– Transitivit´
e : (P ⇒ Q et Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ R)
– Contrapos´
ee : (P ⇒ Q) ⇔ (non(Q) ⇒ non(P))

1.2

Quantificateurs

∀ : quantificateur universel
(∀x ∈ E, P(x) vraie) signifie litt´eralement « Pour tout ´el´ements x de E, la proposition P(x) est vraie. »
∃ : quantificateur d’existence
(∃x ∈ E, P(x) vraie) signifie « Il existe au moins un ´el´ement x de E pour lequel la proposition P(x) est
vraie. »

egation :
non(∀x ∈ E, P (x)) ⇔ (∃x ∈ E, non(P(x)))
non(∃x ∈ E, P (x)) ⇔ (∀x ∈ E, non(P(x)))

1.3

Raisonnement math´
ematique

Fond´e sur une succession d’implications qui permet de d´eduire la conclusion des hypoth`eses.
Principes :
1. Pour montrer qu’une proposition P est vraie, il suffit de montrer que non(P) est fausse.
Int´
erˆ
et : En g´en´eral il est plus difficile de montrer une proposition du type « ∃x ∈ E, P (x). »

2. Raisonnement par l’absurde : Pour montrer que P est vraie, on raisonne par l’absurde en supposant
que P est fausse. On essaie ensuite d’aboutir `a une contradiction du type « Q vraie et non(Q) vraie », o`
u
Q est une proposition intervenant dans la d´emonstration.
3. Raisonnement par contrapos´
ee : Pour montrer l’implication (P ⇒ Q), il suffit de montrer sa contrapos´ee (non(Q) ⇒ non(P)) (A confirmer avec 1).

3

Chapitre 2

´ ements de th´
El´
eorie des ensembles
2.1

Op´
erations sur les ensembles


efinition : Un ensemble est une collection d’´el´ements E ensemble.
x ∈ E : x est un ´el´ement de E.
A ⊂ E : A est un ensemble tel que tout ´el´ement de A est ´el´ement de E.
P(E) : L’ensemble des ensembles A ⊂ E.
Remarque : A ⊂ E ⇔ A ∈ P(E)
x∈E⇔

{x} ⊂ E ⇔ x ∈ P(E)
|{z}

singleton

∅ : Ensemble sans ´el´ement. On a toujours ∅ ⊂ E.
A, B ∈ P(E)
Exemples :
P(∅) = {∅}
P({1}) = {∅, {1}}
P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
| {z }
paire

Intersection ∩ :

A ∩ B := {x ∈ E : x ∈ A et x ∈ B}

A
B

A∩B

Intersection de deux ensembles A et B, not´ee A ∩ B

4


eunion ∪ :
A ∪ B := {x ∈ E : x ∈ A ou x ∈ B}

A
B

A∪B

Intersection de deux ensembles A et B, not´ee A ∪ B
Diff´
erence \ :
A \ B := {x ∈ E : x ∈ A et x ∈
/ B} = A \ (A \ B)
A

B

A\B
Diff´erence de deux ensembles A et B, not´ee A \ B
Cas particulier :
Compl´
ementaire de A : c A = E \ A = {x ∈ E : x ∈
/ A}

E
b

B

A

c

A

Compl´ementaire de deux ensembles A et B, not´e c A

5

Remarque :
∀x ∈ E, (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
A = B ⇔ A ⊂ BetB ⊂ A
Produit cart´esien de 2 ensembles E, F d´efini par :
E × F := {(x, y), x ∈ E et y ∈ F }

efinition : Le cardinal d’un ensemble E est le nombre d’´el´ements de E lorsque E est fini et vaut +∞
lorsque E est infini.
Exemples :
Soient E, F 2 ensembles finis (6= ∅).
card(E × F ) = card(E) × card(F )
∀A, B ∈ P(E), card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
card(P(E)) = 2card(E)

2.2

Applications


efinition : Soient E, F deux ensembles non vides.
Une application (ou fonction) f de E dans F est la donn´ee d’une partie G de E × F v´erifiant :
∀x ∈ E, ∃!y ∈ F, (x, y) ∈ G
y est l’image de f par x et on note y = f (x).
x est un ant´ec´edent de y par f .
f:

E
x

−→ F
7−→ f (x)

G est appell´e le graphe de f d´efini par :
G = {(x, f (x)), x ∈ E}

Gf

x2

x


efinition : Soit f : E → F une application.
L’image directe de A ⊂ E par f est d´efinie par :
f (A) := {f (x), x ∈ A} ⊂ F
L’image r´
eciproque de B ⊂ F est d´efini par :
6

f −1 (B) = {x ∈ E : f (x) ⊂ B}
Exemples :
f:

−→
7−→

R
x

R
x2

f (R) = R+ = f (R+ ) = f (R− )
f ([−1, 1]) = [0, 1]
f −1 (R) = {x ∈ R : x2 ∈ R} = R
f −1 (0) = {x ∈ R : x2 ∈ R} = {0}
f −1 ([−1, 1]) = {x ∈ R, x2 ∈ [1−, 1]} = [−1, 1]
Propri´
et´
es des fonctions

efinition : Soit f : E → F une application.
On dit que f est injective si tout ´el´ement de F poss`ede au plus un ant´
ec´
edent par f , c’est `a dire :
∀x, x′ ∈ E, (f (x) = f (x′ ) ⇒ x = x′ )

Utile en pratique

On dit que f est surjective si tout ´el´ement de F poss`ede au moins au ant´
ec´
edent par f , c’est `a dire :
∀y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f (x) ou bien f (E) = F
On dit que f est bijective si elle est `
a la fois injective et surjective, c’est `a dire :
∀y ∈ F, ∃!x ∈ E, y = f (x)

Injection

Surjection

Bijection

b
b

b
b

b

b
b

b
b
b
b
b

b

b
b

b

b
b
b
b

b

b
b


efinition : Soit f : E → F bijective. On d´efinit l’application r´eciproque de f , not´ee f −1 , par :
f −1 :

F
y

−→
7−→

E
x tel que f (x) = y

On en d´eduit y = f (x) ⇔ x = f −1 (y)
f non injective ⇔


non(∀x, x′ ∈ E, f (x) = f (x′ )) ⇒ x = x′
∃x, x′ ∈ E, f (x) = f (x′ ) et x 6= x′

Exemples :

7

1

1

−1
1.

f:

R
x

−→
7−→

R
x2

Ici, f (1) = f (−1) = 1 et 1 6= −1
Donc f n’est pas injective.
−1 ∈
/ f (R) ⊂ R+
Donc f n’est pas surjective.
2.

g:

R −→
x 7−→

R+
x2

g n’est pas injective car g(1) = g(−1) et 1 6= −1.


u g surjective.
Soit y ∈ R+ , y = ( y)2 = g( y) d’o`
3.

h:

R+ −→
x 7−→

R+
x2

Pour tout y ∈ R+ , il existe un unique x ∈ R+ , tel que y = h(x) = x2

il s’agit de x = y.

y = x2 , x ≥ 0 ⇔


De plus :

h−1 :


( y)2 = x2 , x ≥ 0


( y − x)( y + x) = 0, x ≥ 0

x= y
R+
y

−→
7−→

R+

y

h
y=x

h−1
1

1

8

Gh et Gh−1 sont sym´etriques par rapport `a y = x.
Composition d’application

efinition : Soient E, F, G trois ensembles non vides, f : E → F et g : F → G deux applications. La
compos´ee de f par g, not´ee g ◦ f est l’application d´efinie par :
g ◦ f : E −→
x −
7 →
x
E

G
(g ◦ f )(x) = g[f (x)]

f

g

7 → f (x)

−→ F

7 →

−→

g[f (x)]
G

Proposition : Soient f : E → F et g : F → G bijectives.
Alors g ◦ f est bijective et (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Remarque :
G −→
z

g −1

7−→

F
g

−1

(z)

−→ E
f −1

7−→

f −1 (g −1 (z))

Soit f : E → F bijective.
Alors f −1 ◦ f =

IdE :

E −→
x 7−→

E
Application identit´e de E dans E, et f ◦ f −1 = IdF
x

En effet, si x ∈ E, (f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = x

2.3

L’ensemble des entiers naturels


efinition : L’ensemble des entiers naturels, not´e N, est d´efini par N = {0, 1, 2, ...}.
Axiome (de Peano) : Toute partie non vide de N poss`ede un plus petit ´el´ement, c’est `a dire :
∀A ∈ P(N)\{∅}, ∃a ∈ A, ∀x ∈ A, a ≤ x.
Remarque : Faux pour R, R∗+ ne poss`ede pas de plus petit ´el´ement.
Principe de r´
ecurrence : Soit P (n) une proposition qui d´epend de n ∈ N. Alors P (n) est vraie pour tout
n ∈ N si et seulement si P (0) vraie et ∀n ∈ N, P (n) ⇒ P (n + 1) vraie .
Exemple :
∀n ∈ N, 2n > n.
Montrons le r´esultat par r´ecurrence sur n.
n = 0 20 = 1 > 0 vraie.
Soit n ∈ N. On suppose que 2n > n. (Hypoth`ese de r´ecurrence).
On a 2n+1 = 2 × 2n ≥ 2(n + 1) > n + 1 d’ou 2n+1 > n + 1
D’apr`es le principe de r´ecurrence, 2n > n.

efinition : Soient E, F 2 ensembles. On dit que card(E) ≤card(F ) s’il existe une injection de E dans F .
On dit que card(E) ≥card(F ) s’il existe une surjection de E dans F .
On dit que card(E) =card(F ) s’il existe une bijection de E sur F .

efinition : E est dit au plus d´enombrale s’il existe une injection de E dans N, c’est `a dire card(E) ≤card(N).
Remarque : Si E est au plus d´enombrale alors E est fini. (card(E) <card(N) ou
E est infini (card(E) = card(N)).
9

Th´
eor`
eme (Formule du binˆ
ome de Newton) : Soit n ∈ N∗ . Alors
∀a, b ∈ C, (a + b)n =

n
X

Cnk ak bn−k o`
u Ckn =

n!
k!(n−k)!

k=0

Cons´
equence :
k+1
∀n ∈ N, ∀k ∈ {0, ..., n}, Cnk + Cnk+1 = Cn+1
Triangle de Pascal :
Cnk
n=1
n=2
n=3
n
n+1

k=0
1
1
1

k=1
1
2
3

1
3

1
-

k

k+1

Cnk

Cnk+1
Cnk+1

10

Deuxi`
eme partie

Polynˆ
omes

11

Chapitre 3


en´
eralit´
es
K = R ou C.

3.1


efinitions et op´
erations


efinition : Un polynˆ
ome sur K est une expression du type P =

+∞
X

an X n o`
u (an )n∈N est une suite de K

n=0

nulle `a partir d’un certain rang.
P =

p
X

n=0

an X n pour un certain p ∈ N avec ∀n > p, an = 0. X est appell´ee l’ind´etermin´ee.

On note K[X] l’ensemble des polynˆ
omes sur K.
Convention : X 0 = 1.
+∞
+∞
X
X
bn X n .
an X n , Q =
Op´erations : Soient P =
n=0

n=0

– Addition : P + Q =

+∞
X

(an + bn )X n

k=0

– Produit : P × Q = P Q =

+∞
X

cn X n o`
u cn =

n=0

n
X

ak bn−k =

n=0

X

a p bp

p+q=k

Exemple :
(X 2 + 1)(X 2 + 3X + 2)
= X 2 (X 2 + 3X + 2) + 1(X 2 + 3X + 2)
= X 4 + 3X 3 + 2X 2 + 3X + 2
= X 4 + 3X 3 + 3X 2 + 3X + 2

Composition 0 : P0 Q =

+∞
X

n=0

an Qn (X → Q dans P )

avec Qn = (Q × Q × ... × Q)
{z
}
|
n f ois

Th´
eor`
eme : (K[X], +, ×) est un anneau commutatif et unitaire, c’est `a dire :
(K[X], +, ×) est un groupe commutatif :

1. ∀P, Q ∈ K[X], P + Q = Q + P (commutativit´e)

2. ∀P, Q, R ∈ K[X], (P + Q) + R = P + (Q + R) (associativit´e)
3. 0 =

+∞
X

0X n est l’´el´ement neutre pour + : P + 0 = P.

n=0

12

4. Tout P =

+∞
X

n=0

an X n ∈ K[X] a un oppos´e pour + : −P =

+∞
X

(−an )X n de sorte que P + (−P ) = 0.

n=0

X poss`ede les propri´et´es suivantes :
1. ∀P, Q ∈ K[X], P Q = QP (commutativit´e)
2. ∀P, Q, R ∈ K[X], (P Q)R = P (QR) (associativit´e)
3. 1 = X 0 est l’´el´ement neutre pour X :
∀P ∈ K[X], XP = P .
4. X est distributif par rapport `
a+:
∀P, Q, R ∈ K[X], P (Q + R) = P Q + P R
Convention : On identifie le polynˆ
ome constant a0 X 0 `a la constante a0 ∈ K. On peut aussi plonger K dans
K[X] qui devient un sous-anneau de K[X].
Proposition : Le binˆ
ome de Newton est valable dans K[X].

Notation : P = P (X) =

+∞
X

an X n

n=0

3.2

Degr´
e


efinition : Soit P =

+∞
X

n=0

an X n ∈ K[X]

Le degr´e de P , not´e deg(P ), est d´efini par :

max {n ∈ N : an 6= 0} si P 6= 0
deg(P ) =
−∞ si P = 0
Le coefficient dominant de P 6= 0 est adeg(P ) .
Exemple :
deg(4X 3 + 3X 2 + 5X + 1) = 3
avec adeg(P ) = 4
Convention :
∀n ∈ N, n + (−∞) = (−∞) + n = −∞
⇒ (−∞) + (−∞) = −∞
⇒ −∞ < n
Proposition : Soient P, Q ∈ K[X]
• deg(P + Q) ≤ max(deg(P ), deg(Q)) avec deg(P ) 6= deg(Q)
• deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q)
Corollaire
• ∀P, Q ∈ K[X], P Q = 0 ⇒ P = 0 ou Q = 0 (l’anneau K[X] est dit int´egr´e).
• Soit P ∈ K[X] {0}. Alors P est inversible dans K[X] si et seulement si P ∈ K[X]\{0} (constante non
nulle).

3.3
3.3.1


eriv´
ees d’un polynˆ
ome et racines

eriv´
ees


efinition : Soit P =

+∞
X

n=0

an X n ∈ K = [X]
13

Alors la d´eriv´ee de P est d´efinie par :
P′ =

+∞
X

nan X n−1 =

+∞
X

(n + 1)an+1 X n

n=0

n=1

On choisit n = 1, car pour n = 0, le terme est constant.
Plus g´en´eralement, la d´eriv´ee d’ordre k ∈ N de P est d´efinie par :
(0)
P := P
P (k+1) := (P (k) )′
+∞
X
nan X n−1
P′ =
n=1

P (2) = P ′′ = (P ′ )′ =

+∞
X

n=2

P (k) =

+∞
X

n=k

n(n − 1)an X n−2

n(n − 1) − (n − k − 1)an X n−k =

+∞
X

k!Cnk an X n−k =

+∞
X

k
k!Cn+k
an+k X n

n=k

n=k

Exemple :
P
=
P (1) =
P (2) =
P (3) =
P (4) =
P (5) =
donc P (k)

X 4 − 3X 3 + 2X 2 + 5X + 4
4X 3 − 9X 2 + 4X + 5
12X 2 − 18X = 4
24X − 18
24
0
= 0 si k ≥ 5

Remarque :
Soit P ∈ K[X] ; alors ∀k > deg(P ), P k = 0
Proposition (lin´
earit´
e) :
∀k ∈ K, ∀P, Q ∈ K[X], ∀α ∈ K, (αP + Q)(k) = αP (k) + Q(k)
Th´
eor`
eme (Formule de Leibniz) :
∀n ∈ K, ∀P, Q ∈ K[X], (P Q)(n) =

n
X

Cnk P (k) Q(n−k)

k=0

(P Q)′ = P ′ Q + P Q′ (n = 1)
(P Q)′′ = P ′′ Q + 2P ′ Q′ + P Q′′ (n = 2)

efinition : Soit P ∈ K[X], la fonction polynˆ
ome associ´ee `a P not´ee encore P , est d´efinie par :
P : K −→ K
+∞
X
an x n
x 7−→ P (n) =
n=0

Th´
eor`
eme (Formule de Taylor) :
Soient P ∈ K[X] et a ∈ K. Alors
P (X) =

+∞
+∞
X
X
P (n) (a)
P (n) (a) n
(X − a)n ou P (X + a) =
X
n!
n!
n=0
n=0

14

3.3.2

Racines d’un polynˆ
ome


efinition : Soit P ∈ K[X] et soit a ∈ K .
• On dit que a est racine (z´ero) de P si P (a) = 0 .
• Soit n ∈ N. On dit que a est racine d’ordre n (ou multiplicit´e n) de P si P (a) = ... = P (n−1) (a) = 0. et
P (n) (a) 6= 0
∀k ∈ {0, ..., n − 1}P (k) (a) = 0 et P (n) (a) 6= 0

Exemple : P (X) := X 4 − 4X + 3
a := 1

P (1)
= 1−4+3=0 



P ′ (X) = 4X 3 − 4


P (1)
= 4−4=0
1 racine d’ordre 2 de P


P ′′ (X) = 12X 2



P ′′ (1) = 12 6= 0

Remarque : n = 0 dire que a est racine d’ordre 0 est ´equivalent `a dire que P (a) 6= 0, autrement a n’est pas
racine de P .
Th´
eor`
eme : Soient P ∈ K[X], a ∈ K, n ∈ N.
Alors a est racine d’ordre n de P si et seulement si ∀Q ∈ K[X], P (X) = (X − a)n Q(X) et Q(a) 6= 0
Proposition : ∀n ∈ N∗ , ∀P, Q ∈ K[X], P n − Qn = (P − Q)

n−1
X

P k Qn−1−k

k=0

Remarque :
P
P′
i2πk
P ′ (e n )

=
=
=

Xn − 1
nX n−1
i2πk
n(e n )n−1 6= 0

On retrouve que les racines ni`emes de l’unit´e sont simples c’est `a dire d’ordre 1.
Th´
eor`
eme (d’Alembert) : Tout polynˆ
ome non constant de P [X] poss`ede au moins une racine.
Remarque :
• C’est un r´esultat d’analyse.
• Faux sur R : X 2 + 1 ne poss`ede pas de racine dans R, par contre dans C[X], X 2 + 1 = (X − i)(X + i)

15

Chapitre 4

Arithm´
etique dans K[X]
4.1

Division euclidienne

Th´
eor`
eme : Soient A, B ∈ K[X] tel que B 6= 0
Alors il existe un unique couple (Q, R) ∈ K[X]2 tel que A = BQ + R et deg(R) < deg(B)
Notation : Q quotient et R reste de la division euclidienne de A par B.

efinition : Soient A, B ∈ K[X], B 6= 0
On dit que B divise A, et on note B|A, si le reste de la division euclidienne de A par B est 0, c’est `a dire
∃Q ∈ K[X], A = BQ.
Exemple :
A := X 5 + X 4 + 2X 3 − X 2
−X 5
X3 + X2
0 + X 4 + X 3 − 2X 2
− X4
X2 + X
0 + X 3 − 3X 2 − X
− X3
+ X
2
0 − 3X − 2X

− 1 X 3 + X + 1 =: B
X2 + X + 1
+1
+1
+1

A − B(X 2 + X+) = −3X 2 − 2X
Donc A = BQ + R avec Q := X 2 + X + 1 et R := −3X 2 − 2X avec deg(R) < deg(B)
| {z } | {z }
2

3

Proposition : Si B|A1 et B|A2 alors pour tout P1 , P2 ∈ K[X] : B|A1 P1 + A2 P2 .

4.2

Polynˆ
omes irr´
eductibles et P GCD de 2 polynˆ
omes


efinition : Soit P ∈ K[X] non constant. On dit que P est irr´eductible dans K[X](ou sur K) si les seuls
diviseurs de P sont les a ∈ K∗ et les aP, a ∈ K∗ .
Proposition : Tout polynˆ
ome de degr´e 1 est irr´eductible sur K.
Th´
eor`
eme : Soient A, B ∈ K[X], A, B 6= 0
Alors il existe un unique polynˆ
ome D unitaire (c’est `a dire de coefficient dominant 1) tel que D|A, D|B et
D v´erifie l’identiti´e de B´ezout :
∃(P, Q) ∈ K[X]2 , P A + P B = D
Ainsi, tout diviseur commun `
a A et B divise D.
D est appell´e le plus grand diviseur commun `a A et B et not´e D =PGCD(A, B)
Si PGCD(A, B)=1 on dit que A et B sont premiers entre eux. Pour calculer le PGCD de deux polynˆ
omes,
on utilise l’algorithme d’Euclide (voir TD).

16

Th´
eor`
eme (Gauss) : Soient A, B, C ∈ K[X]\{0}.
• PGCD(A, B) = 1 et A|BC ⇒ A|C
• PGCD(A, B) = 1 et A, B|C ⇒ A × B|C

4.3
4.3.1


ecomposition en facteurs irr´
eductibles
Cas C[X]

Th´
eor`
eme : Soit P ∈ C[X], P 6= 0. Alors P se d´ecompose de mani`ere unique, `a l’ordre pr`es des facteurs,
sous la forme :
m
Y

P (X) = α

k

(X − ak )m = α(X − a1 )m1 (X − a2 )m2 ... (X − am )mm

k=1

o`
u α coefficient dominant de P et les ak sont les m racines de P de multiplicit´e mk 2 `a 2 diff´erents.
De plus, les polynˆ
omes irr´eductibles de C[X] sont les polynˆ
omes de degr´e 1.
Remarque : Soient A = α

m
Y

(X − ak )mk ∈ C[X]\{0} et B = β

k=1

m
Y

(X − ak )nk ∈ C[X]\{0}

k=1

o`
u α, β 6= 0 et ak racine de A ou de B avec mk , nk ∈ N, (mk , nk ) 6= (0, 0).
m
Y
(X − ak )min(mk ,nk ) = D.
Alors PGCD(A, B) =
k=1

4.3.2

Cas R[X]

Th´
eor`
eme : Soit P ∈ R\{0}. Alors P se d´ecompose de mani`ere unique, `a l’ordre pr`es des facteurs, sous la
forme :
P (X) = α

m
Y

(X − ak )mk ×

k=1

n
Y

(X 2 + ak X + βk )nk

k=1

o`
u α ∈ R , a sont les m racines r´eelles de P 2 `a 2 diff´erents de multiplicit´e mk , αk , βk ∈ R, αk 2 − 4βk <
2
0, X + αk + βk = (X − bk )(X − bk ) avec bk 6= bk les 2 racines complexes non r´eelles de P de multiplicit´e nk .


Remarque : (X − bk )(X − bk ) = X 2 − (bk + bk )X + bk bk = X 2 − 2Re(bk )X +

|bk |2
[X]
βk

Th´
eor`
eme : Les polynˆ
omes irr´eductibles de R[X] sont les polynˆ
omes de degr´e 1 et les polynˆ
omes de degr´e
2 sans racine r´eelle.

17

Troisi`
eme partie

Espaces vectoriels

18

Chapitre 5


efinitions et exemples
On se donne un ensemble non vide E que l’on munit de 2 op´erations :
Addition interne :
+ : E × E −→ E
(x, y) 7−→ x + y
Multiplication externe :
• : K × E −→ E
(λ, x) 7−→ λ.x
+ et • doivent avoir un certain nombre de propri´et´es qui font de (E, +, •) un espace vectoriel sur K. Un
´el´ement de K est appel´e un scalaire, un ´el´ement de E un vecteur.

5.1

E = {0}

On d´efinit les op´erations + et • :
0+0=0
λ.0 = 0

si λ ∈ K

0 vecteur nul de (E, +, •) qui d´efinit un espace vectoriel sur K.

5.2

E = K n , n ∈ N∗

Soit n ∈ N∗ .

n−uplet
z
}|
{

efinition : Kn := K × ... × K = {(x1 , x2 , ..., xn ), xn ∈ K}
{z
}
|
n fois

On d´efinit l’addition + dans Kn par :

Pour x = (x1 , x2 , ..., xn ) et y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Kn
x + y := (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) ∈ Kn
Pour λ de K : λ.x = (λx1 , λx2 , ..., λxn ) ∈ Kn
λxi produit usuel de λ par xi dans K.

19

Exemple :

λx (λ > 1)

λx2

x+y
x 2 + y2
x

x2

y
y2

x1

λx1

y1

x 1 + y1

Propri´
et´
es :
Les op´erations + et • v´erifient les propri´et´es suivantes :
(Kn , +) groupe commutatif.
1. ∀x, y ∈ Kn , x + y = y + x [commutativit´e]

2. ∀x, y, z ∈ Kn , (x + y) + z = x + (y + z) [associativit´e]

3. 0Kn : (0, 0, ..., 0) est l’´el´ement neutre de Kn , c’est `a dire ∀x ∈ Kn , x + 0Kn = x. 0Kn est appel´e le
vecteur nul de Kn .
4. Tout ´el´ement x de Kn poss`ede un oppos´e (unique) −x = (−x1 , ..., −xn ) tel que x + (−x) = 0Kn .
La multiplication externe v´erifie :
1. ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ Kn , λ.(µ.x) = (λµ).x [associativit´e de •]

2. ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ Kn , λ.(x + y) = λ.x + λ.y [distributivit´e `a gauche]

3. ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ Kn , (λ + µ).x = λ.x + µ.x [distributivit´e `a droite]

4. ∀x ∈ Kn , 1.x = x

(Kn , +, •) est un espace vectoriel sur K, en abr´eg´e un K-ev.
Notations : OK n → 0

λ.x → λx

x + (−y) → x − y

Remarque :
∀λ ∈ K, λ.0 = 0 ∈ Kn
∀x ∈ Kn , 0.x = 0 ∈ Kn
∀x ∈ Kn , −x = (−x1 , −x2 , ..., −xn ) = (−1).x

5.3

K[X]

Addition usuelle dans K[X] :
+∞
+∞
X
X
bn X n .
an X n et Q :=
Soient P =
n=0

n=0

20

P +Q=

+∞
X

n=0

(an − bn )X n

Multiplication externe :
+∞
X
λan X n
Soit λ ∈ K, λ.P =
n=0

(K[X], +, •) est un K-ev.
+∞
X
0X n .
0K[X] polynˆ
ome nul =
n=0

−P =

5.4

+∞
X

(−an )X n .

n=0

L’ensemble des suites `
a valeurs dans K

Cet ensemble est not´e KN = {(un )n∈N , un ∈ K, ∀n ∈ N}.
Soit u ∈ KN , u = (un )n∈N = (u0 , u1 , u2 , ...) α-uplet
Addition dans KN :
Soient u = (un )n∈N , v = (vn )n∈N ∈ KN
u + v := (un + vn )n∈N
Multiplication externe :
Soit λ ∈ K.
λ.u = (λun )n∈N
(KN , +, •) est un K-ev.
OKN = (0)n∈N = (0, 0, ...)
−u = (−un )n∈N

5.5

L’ensemble des applications de T `
a valeurs dans K

Soit T un ensemble non vide (T sera souvent un intervalle de R). L’ensemble des applications de T dans K
est not´e KT ou F(T, K).
f : T −→ K
Un ´el´ement f de KT est une application
t 7−→ f (t)
Addition dans KT :
f + g : T −→ K
Soient f, g ∈ KT ,
t 7−→ f (t) + g(t)
Multiplication externe dans KT :
Soient λ ∈ K, f ∈ KT .
λ.f : T −→ K
t 7−→ (λ.f )(t) = λf (t)

Remarque : KN est le cas particulier de KT avec T = N.
0KT : T −→ K
application nulle est le vecteur nul de KT .
t 7−→ 0
(KT , +, •) est un K-ev.
−f : T −→ K
d’o`
u f + (−f ) = 0KT
t 7−→ −f (t)

21

Chapitre 6

Sous-espaces vectoriels
6.1


efinitions-exemples


efinition : Soit F une partie de E.
On dit que F est un sous-espace vectoriel de E, en abr´eg´e sev de E, si
1. 0F (vecteur nul de F ) ∈ F
2. ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ F, (λ.x) + y ∈ F

Remarque :
2. est ´equivalente `
a

1. ∀x, y ∈ F, x + y ∈ F

2. ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F, λ.x ∈ F

Exemple :
1. {0E } et E sont des sev de E.
2. F := {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0}
Montrons que F est un sev de R3 .
– 0 = (0, 0, 0) ∈ F car 0 + 0 + 0 = 0
– Soient x, y ∈ F, λ ∈ R.
λx + y = (λx1 , λx2 , λx3 ) + (y1 , y2 , y3 ) = (λx1 + y1 , λx2 + y2 , λx3 + y3 )
On a (λx1 + y1 ) + (λx2 + y2 ) + (λx3 + y3 ) = λ(x1 + x2 + x3 ) + (y1 + y2 + y3 ) = λ0 + 0 = 0
G = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 + x2 = 0}
x2

G

1

−1

x1

Droite vectorielle sev de R2
Plus g´en´eralement, si λ1 , ..., λn ∈ K : {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Kn : λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λn xn = 0} est un sev
de Kn .
22

3. Soit n ∈ N∗ . Alors :
Kn [X] := {P ∈ K[X] : deg(P ) ≤ n} est un sev de K[X] :
– 0 ∈ Kn [X] car deg(0) = −∞ ≤ n.
– Soient λ ∈ K, P, Q ∈ Kn [X] :
deg(λP + Q) ≤ max(deg(λP ), deg(Q))
≤ max(deg(P ), deg(Q)) ≤ n
d’o`
u λP + Q ∈ Kn [X].
4. E = RN R-ev des suites r´eelles.
F := {u = (un )n∈N : lim un existe dans R}
n→+∞

F est un sev de E.

– 0 = (0)n∈N ∈ F car lim 0 = 0.
n→+∞

– Soient λ ∈ R, u = (un )n∈N , v = (vn )n∈N ∈ F tel que :
lim un = a ∈ R et lim vn = b ∈ R
n→+∞

n→+∞

Alors (cf cours d’analyse) :
lim (λun + vn ) = λa + b ∈ R
n→+∞

d’o`
u λu + v = (λun + vn )n∈N ∈ F
5. E = RR = F(R, R).
Soit F := {f ∈ RR : f (0) = 0}.
F est un sev de RR .
0 : R −→ R
∈ F car 0(0)=0.
t 7−→ 0
– Soient λ ∈ R, f, g ∈ F , c’est `
a dire f (0) = g(0) = 0.
(λ.f + g)(0) = λf (0) + g(0) = 0
d’o`
u λf + g ∈ F .


Remarque : Soit F un sev de E.
On peut alors d´efinir une addition dans F :
+ : F × F −→ F
(x, y) 7−→ x + y
| {z }
addition dans E
Une multiplication externe dans F :
• : K × F −→ F
λ, x 7−→ |{z}
λ.x
multiplication dans E

Ainsi (F, +, •) est lui mˆeme un K-ev.

6.2

Intersection et somme de sous-espaces vectoriels

Th´
eor`
eme : Soient F, G 2 sev de E(E K-ev).
1. F ∩ G est un sev de E.

2. On d´efinit la somme F + G par :
F + G := {y + z, y ∈ F et z ∈ G}
Alors F + G est un sev de E.
On note F ⊕ G lorsque F ∩ G = {0E } et on appelle alors F ⊕ G la somme directe de F et G.
3. E = F ⊕ G ⇔ ∀x ∈ E, ∃!(y, z) ∈ F × G, x = y + z
Exemple : E = R3 , F := {x ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0} et G := {x ∈ R3 : x2 = 0}
23

F + G?
Soitx ∈ R3 , x = (x1 , x2 , −x1 − x2 ) + (0, 0, x1 + x2 + x3 )
|
{z
}
{z
}
|
∈F

∈G

= (0, x2 , −x2 ) + (x1 , 0, x2 + x3 )
| {z }
|
{z
}
∈F

∈G

Il n’y a pas d’unicit´e de la d´ecomposition.

F ∩ G = {x ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = x2 = 0}
= {x ∈ R3 : −x1 = x3 et x2 = 0}
= {(x1 , 0, −x1 ), x1 ∈ R} 6= {0}
Donc E = F + G mais pas en somme directe.

6.3

Sous-espace vectoriel engendr´
e par une famille finie de vecteurs


efinition : Soit E un K-ev.
Soit S = (v1 , v2 , ..., vp ) une famille de p vecteurs de E.
Alors il existe un plus petit (pour l’inclusion) sev de E contenant S.
Il est not´e Vect(S)=Vect(v1 , v2 , ..., vp ) et est caract´eris´e par :
( p
)
X
Vect(S) =
λi v i , λi ∈ K
i=1

p
X

λi vi = λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λp vp est appel´e une combinaison lin´eaire avec les vecteurs v1 , v2 , ..., vp affect´es

i=1

des coefficients λ1 , λ2 , ..., λp .
Soit F sev de E, contenant S.
p
X
Alors ∀(λ1 , ..., λp ) ∈ Kp ,
λi . v i ∈ F
|{z}
i=1

∈F

Autrement dit, F est stable par combinaison lin´
eaire.
D’o`
u si F sev qui contient S alors F contient les combinaisons lin´eaires de vecteurs de S, donc Vect(S) ⊂ F .
Donc Vect(S) est bien le plus petit sev de E contenant S.
Exemple :
1. Soit E un K-ev et x ∈ E\{0}.

notation
z}|{
S := (x). Alors Vect(x) = {λ.x, λ ∈ K} = Kx est la droite vectorielle engendr´ee par x.
x

24

Kx

2. E = R3 , v1 := (1, −1, 0), v2 := (1, 0, −1).
Vect(v1 , v2 ) = {λ1 v1 + λ2 v2 , λ1 , λ2 ∈ R}
= {λ1 (1, −1, 0) + λ2 (1, 0, −, ); λ1 , λ2 ∈ R}
= {(λ1 + λ2 , −λ1 , −λ2 ), λ1 , λ2 ∈ R} Repr´esentation param´etrique
= {x ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0} Repr´esentation cart´esienne
Soit x ∈ R3 , tel que x1 + x2 + x3 = 0.
Alors x = (−x2 − x3 , x2 , x3 ).

3. E = R[X] Soit n ∈ N∗ .

Rn [X] = {P ∈ K[X] : deg(P ) ≤ n}
n
X
ak X k , a0 , ..., an ∈ R}
={
k=0

= Vect(1, X, ..., X n )

4. E = RR
Soit F := {f ∈ RR : f 2 fois d´erivables sur R et f ′′ + f = 0}.
On a sin, cos ∈ F et plus g´enaralement pour tout λ, µ ∈ R :
λ sin +µ cos : R −→ R
t 7−→ λ sin(t) + µ cos(t)
D’o`
u Vect(sin, cos) ⊂ F .
Soit f ∈ F On pose g := f − f (0) cos −f ′ (0) sin
g : R −→ R
t 7−→ f (t) − f (0) cos(t) − f ′ (0) sin(t)

et h := g 2 + (g ′ )2 .

h est d´erivable sur R, h′ = 2gg ′ + 2g ′ g ′′ = 2g ′ (g + g ′′ )
Or g ′′ = f ′′ − f (0) cos′′ −f ′ (0) sin′′ = −f + f (0) cos +f ′ (0) sin = −g.
Alors h′ = 2g ′ (g + g ′′ ) = 0.
Donc h est constante. h = h(0) = g(0)2 + (g ′ (0))2
g(0) = f (0) − f (0) cos(0) = 0
g ′ (0) = f ′ (0) − f ′ (0)sin′ (0) = 0
Donc h = 0 sur R, d’o`
u g = 0.
D’o`
u f = f (0) cos +f ′ (0) sin
Donc F = Vect(cos, sin).

25

Chapitre 7

Familles g´
en´
eratrices et libres
7.1

Familles g´
en´
eratrices


efinition : Soit E un K-ev et soit S = (v1 , v2 , ..., vn ) une famille de p vecteurs de E.
On dit que S est g´
en´
eratrice si E = Vect(S) , autrement dit si tout vecteur de F est combinaison lin´eaire
de vecteurs de la famille S.
Exemple :
1. K = {λ, λ ∈ R} = {λ.1, λ ∈ R} = Vect(1) = K1.
Donc (1) est une famille g´en´eratrice de K.
K2 = {(λ1 , λ2 ), λ1 , λ2 ∈ K} = {λ1 (1, 0) + λ2 (0, 1), λ1 , λ2 ∈ K}
= Vect((1, 0), (0, 1))
Donc ((1, 0), (0, 1)) est une famille g´en´eratrice de K2 .
Plus g´en´eralement, pour n ∈ N∗ , (e1 , e2 , ..., en ) de K2 .
1 ≤ i ≤ n est une famille g´en´eratrice (f g) de Kn :
ei = ( 0, 0, ..., 1 , 0, ..., 0)
| {z }
i`
eme position

En effet, tout x = (x1 , x2 , ...xn ) ∈ Kn se d´ecompose sous la forme :
x = x1 (1, 0, ..., 0) + xn (0, 1, 0, ..., 0) + ... + xn (0, 0, ..., 0, 1)
n
X
x i ei .
= x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en =
i=1

Pour n = 3, x = (x1 , x2 , x3 ) = x1 (1, 0, 0) + x2 (0, 1, 0) + x3 (0, 0, 1)
Donc Kn = Vect(e1 , e2 , ..., en )
2. Soit n ∈ N∗ . Alors (1, X, ..., X n ) est une famille g´en´eratrice de Kn [X].
3. E = RN le R-ev des suites r´eelles.
Soit F := {u = (un )n∈N : ∀n ∈ N, un+1 = aun } o`
u a ∈ R∗ fix´e, c’est `a dire F est l’ensemble des suites
g´eom´etriques de raison a.
Soit u ∈ F alors par r´ecurrence sur n ∈ N, un = u0 an .
R´eciproquement, u = (λan )n∈N , pour λ ∈ R, v´erifie un=1 = λan+1 = a(λan ) = aun d’o`
u u ∈ F.
Donc F = {(λan )n∈N = λ(an )n∈N , λ ∈ R}
= Vect((an )n∈N )

(an )n∈N est une famille g´en´eratrice de F .

7.2

Familles libres


efinition : Soit E un K-ev.

26

Soit L = (u1 , ..., un ) une famille de n vecteurs de E.
On dit que L est libre (ou que les vecteurs de L sont lin´
eairement ind´
ependants si :
n
X
λi u1 = 0 ⇒ ∀i ∈ {1, ..., n}, λi = 0
∀(λ1 , ..., λn ) ∈ Kn ,
i=1

On dit que L est li´
ee (ou que les vecteurs de L sont lin´
eairement d´
ependants si L n’est pas libre, c’est
a dire :
`
n
X
λi v i = 0
∃(λ1 , ..., λn ) ∈ Kn \ {(0, 0, ..., 0)} tel que
i=1

Proposition : L = (u1 , ..., un ) est li´ee si et seulement si l’un des vecteurs de L s’exprime comme combinaison
lin´eaire des autres.
Remarque :
1. Si une famille contient le vecteur nul alors elle est li´ee.
2. Si l’on ajoute des vecteurs `
a une famille g´en´eratrice, la famille ainsi compl´et´e reste g´en´eratrice.
3. Si l’on retire des vecteurs `
a une famille libre, la famille ainsi obtenue reste libre.
Exemple :
1. E = Kn , n ∈ N∗
(e1 , e2 , ..., en ) est libre.
Pour n = 3, ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) est libre dans K3 .
Soient α, β, γ ∈ K tel que α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) = (α, β, γ) = (0, 0, 0) donc α = β = γ = 0.
Donc la famille est libre.
2. E = R3 , v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (1, 1, 1)
Soient α, β, γ ∈ R tel que αv1 + βv2 + γv3 = 0.
= α(1, 0, 0) + β(1, 1, 0) + γ(1, 1, 1)
= (α + β + γ, β + γ, γ) = (0, 0, 0) ⇔ α = β = γ = 0
Donc (v1 , v2 , v3 ) est libre.
3. E = RR
(1, cos 2 , sin 2 ) est li´ee car 1 = cos 2 + sin 2 .
(1, cos, sin) est libre. En effet :
1 : R −→ R
et α, β, γ tel que α1 + β cos +γ sin = 0.
t 7−→ 1
Alors ∀t ∈ R, α + β cos(t) + γ sin(t) = 0.
Soient

t=0:α+β =0
t = π2 : α + γ = 0
t=π :α−β =0
D’o`
u α = β = γ = 0.

27

Chapitre 8

Bases et dimension
8.1


efinitions


efinition : Un K-ev est dit de dimension finie s’il poss`ede une famille g´en´eratrice finie. Sinon il est dit
de dimension infinie.
Exemple :
1. Kn , n ∈ N∗ est de dimension finie.
Kn [X] est de dimension finie.
2. K[X], KN (suites), KR (fonctions R 7→ K) sont de dimension infinie.

efinition : Une famille d’un K-ev E est une base de E si elle est `a la fois libre et g´
en´
eratrice.
Exemple :
1. ei = (0, ..., 1, ..., 0) i ≤ i ≤ n
Alors (e1 , ..., en ) est une base de Kn appel´ee la base canonique de Kn .
2. (1, X, ..., X n ) est une base de Kn [X].
3. E = RR = F (R, R)
F := {f ∈ RR : f 2 fois d´erivables sur R et f ′′ = 0}
Alors F est un R-ev dont une base est (1, IdR ), o`
u
F sev de RR : clair(exercice)
Soit f ∈ R :
f ′′ = 0 ⇔ f ′ = a ∈ R(constante)
⇔ f ′ = aId′ ⇔ (f − aId)′ = 0
⇔ f − aId = b constante
Donc f ∈ F ⇔ ∃a, b ∈ Rf = aId + b1
D’o`
u F = Vect(Id, 1)

1 : R −→ R
IdR : R −→ R
et
.
t 7−→ 1
t 7−→ t

Soient λ, µ ∈ R tel que λId + µ1 = 0 alors ∀t ∈ R, λt + µ = 0
t = 0 : µ = 0 λt + µ = 0
t = 1 : λ + µ = 0 donc λ = µ = 0.
Donc (Id, 1) est une base de F .

8.2

Th´
eor`
emes fondamentaux

Th´
eor`
eme de la base incompl`
ete : Soit E un K-ev engendr´e par une famille finie S : E = Vect(S) (c’est
a dire E est de dimension finie).
`
Soit L = (u1 , ..., up ) une famille libre de E qui n’est pas g´en´eratrice.
Alors ∃v1 , ..., vq ∈ S, tel que (u1 , ..., up , v1 , ..., vq ) base de E.

28

Lemme 1 : Soient L une famille libre de E et x ∈ E.
Alors L ∪ (x) li´ee si et seulement si x ∈ Vect(L) .
Lemme 2 : Soient Bp une famille de E `
a p vecteurs et Cn une famille de E `a n vecteurs.
On suppose que Bp ⊂ Vect(Cn ) et p > n .
Donc Bp est li´ee.
Th´
eor`
eme de la dimension : Soit E un K-ev de dimension finie tel que E 6= {0}.

1. E poss`ede une base B0 . On note n = card(B0 ).

2. Toutes les bases de E ont mˆemes cardinal n.
On appelle n la dimension de E et on note dim(E) = n.
3. Toute famille libre L de E a au plus n vecteurs, c’est `a dire card(L) 6= n. De plus
card(G) = n ⇔ G base de E .
4. Toute famille g´en´eratrice G de E a au moins n vecteurs, c’est `a dire card(G) ≥ n .
De plus card(G) = n ⇔ G base de E .
Remarque : Soit E un K-ev de dimension n.
Alors toute famille libre `
a n vecteurs est une base .
De mˆeme toute famille g´en´eratrice `
a n vecteurs est une base .
Utile en pratique !
Exemple :
dim(Kn ) = n car (e1 , ..., en ) base (canonique) de Kn .
E = R3 : Soient u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)
On a (u1 , u2 , u3 ) libre et dim(R3 ) = 3.
Donc (u1 , u2 , u3 ) est une base de E = R3 .

8.3

Cons´
equences du th´
eor`
eme de la dimension

Th´
eor`
eme : Soient E un K-ev de dimension finie n ∈ N et F un sev de E.
Alors dim(F ) ≤ dim(E) et dim(F ) = dim(E) ⇔ F = E .
Convention : dim({0}) = 0.
Th´
eor`
eme : Soit E un K -ev de dimension finie.
Soient F, G 2 sev de E. Alors dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G) .
Corollaire : Soit E un K-ev de dimension finie.
Soient F, G 2 sev de E. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes :
1. E = F ⊕ G

2. E = F + G et dim(E) = dim(F ) + dim(G).
3. F ∩ G = {0} et dim(E) = dim(F ) + dim(G).
Exemple :
1. Soit F sev de R2 .
– F = {0}
– dim(F ) = 1 alors F poss`ede une base de type (x), x ∈ F \{0}
Donc F = Rx = droite vectorielle engendr´ee pour x.
– dim(F ) = 2 c’est `
a dire F = R2 , car dim(R2 ) = 2

29

2. Soient F := {x ∈ R4 : x1 − x2 = x3 − x4 = 0} et G := {x ∈ R4 : x1 + x2 = x3 + x4 = 0}.
F, G sont deux sev.
((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)) famille libre de F
((1, −1, 0, 0), (0, 0, −1, 1)) famille libre de G
d’o`
u dim(F ) et dim(G) ≥ 2.
On a F ∩ G = {0}.
Alors :
4 = dim(R4 ) ≤ dim(F ) + dim(G)
| {z } | {z }
≥2

≥2

= dim(F + G) ≤ 4

Donc dim(F ) = dim(G) = 2 et dim(R4 ) = dim(F ) + dim(G)
d’o`
u R4 = F ⊕ G.
3. E = R3
((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)) famille libre de R3 , donc une base de R3 .
Remarque : Soit E un K-ev muni d’une base B = (u1 , u2 , ..., un )
n
X
xi ui
Alors ∀x ∈ E, ∃!(x1 , ..., xn ) ∈ Kn tel que x =
i=1

Les xi sont appell´es les coordonn´ees de x dans la base B .
En effet l’existence des xi vient de B famille g´en´eratrice de E.
L’unicit´e est une cons´equence de B famille libre car :
n
n
n
X
X
X
(xi − yi )ui = 0 ⇒ ∀i ∈ {1, ..., n}, xi = yi .
yi u i ⇒
xi ui =
x=
i=1

8.4

i=1

i=1

Applications

Suites r´
ecurrentes sur 2 termes :
Soient a, b ∈ K, b 6= 0 .
On d´efinit F = Fa,b := {(un )n∈N ∈ KN : ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun }
Proposition : F est un sev de KN , de dimension 2.
Soient α, β les solutions (si elles existent) de l’´equation x2 = ax + b appel´ee l’´equation cart´esienne de F ;
Alors :
1. Si α 6= β alors ((αn )n∈N , (β n )n∈N ) base de F .

2. Si α = β alors ((αn )n∈N , (nβ n )n∈N ) base de F .

30

Chapitre 9


etermination pratique de la
dimension d’un espace vectoriel
9.1

Rang d’une famille de vecteurs


efinition : Soit (u1 , ..., up ) une famille de p vecteurs de E.
Le rang de (u1 , ..., up ) est d´efini par :
rg(u1 , ..., up ) = dim(Vect(u1 , ..., up ))
Th´
eor`
eme :
1. rg(u1 , ..., up ) 6= p

2. rg(u1 , ..., up ) = p ⇔ (u1 , ..., up ) est libre.

9.2

Calcul du rang d’une famille finie

Proposition :Soit (u1 , u2 , ..., up ) une famille de E.
Alors ∀λ2 , ..., λp ∈ K, rg(u1 , u2 , ..., up ) = rg(u1 , u2 + λu1 , ..., up + λp u1 )
Question : D´eterminer rg(u1 , ..., up ).

ethode d’´
elimination de Gauss :
1re´
etape : On suppose que la premi`ere coordonn´ee dans la base B de l’un des vecteurs ui , par exemple
u1,1 6= 0.
Sinon on passe `
a la coordonn´ee suivante :
i ≥ 2 : ui −→ u′i := ui + λi u1 de sorte que u′i,1 = 0
ui,1
⇔ λi = −
u1,1
Alors rg(u1 , u2 , ..., up ) = rg(u1 , u′2 , ..., u′p ).
2e´
etape : On recommence avec les vecteurs u′i et la deuxi`eme cordonn´ee ou une suivante ;
Par exemple u′2,2 6= 0.
i ≥ 3 : u′i −→ u′′i = u′i + λ′i u′2 de sorte que u′i,2 = 0.
Alors rg(u1 , u2 , ..., up ) = mg(u1 , u′2 , u′′3 , ..., u′p,p ).
On r´eit`ere le processus jusqu’`a ´epuisement des vecteurs ou des coordonn´ees.
Proposition : rg(u1 , ..., up ) est le nombre de vecteurs non nuls `a la fin du processus d’it´erations.
Remarque : K[X] le K-ev des polynˆ
omes `a une indetermin´ee est de dimension infinie.

31

Quatri`
eme partie

Applications lin´
eaires et Matrices

32

Chapitre 10

Applications lin´
eaires
10.1


efinitions, propri´
et´
es, exemples


efinition : Une application u : E −→ F (E, F 2 K-ev) est dite lin´eaire si :
∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ F, u(λx + y) = λu(x) + u(y)
Notation : L(E, F ) d´esigne l’ensemble des applications lin´eaires de E dans F .
Propri´
et´
es : Soit u ∈ L(E, F ).
1. u(0E ) = 0F
2. ∀λ ∈ K, ∀(x, y) ∈ E 2 , u(λx + y) = λu(x) + u(y)
R´eciproquement, si u : E → F v´erifie cette propri´et´e alors u ∈ L(E, F ).
n
n
X
X
λi u(xi )
λi x i ) =
3. ∀(x1 , ..., xn ) ∈ E n , ∀(λ1 , ..., λn ) ∈ Kn , u(
i=1

i=1

Autrement dit, l’image d’une combinaison lin´eaire de vecteurs de E est ´egale `a la combinaison lin´eaire des
images avec les mˆemes coefficients.
Exemple :
1. L’application nulle

2.

0 : E −→ F
est lin´eaire.
x 7−→ 0F

u : K −→ F
avec y ∈ F , fix´e.
t 7−→ ty
u ∈ L(K, F )
Soient λ ∈ K, s, t ∈ K.
u(λs + t) = (λs + t)y0
= λ(sy0 ) + ty0 = λu(s) + u(t)

3. u : R → R est lin´eaire si et seulement si ∃a ∈ R, ∀x ∈ R, u(x) = ax
Si u ∈ L(R, R), alors pour x ∈ R :
u(x) = u(x1) = xu(1) = ax o`
u a := u(1).
R´eciproquement, cf exemple 2).

4.

u : R3 −→ R
est lin´eaire.
x 7−→ x1 + x2 + x3

Soient λ ∈ R, x, y ∈ R3 .
u(λx + y) = u(λx1 + y1 , λx2 + y2 , λx3 + y3 ) = (λx1 + y1 ) + (λx2 + y2 ) + (λx3 + y3 ) = λ(x1 + x2 + x3 ) +
(y1 + y2 + y3 ) = λu(x) + u(y)

33

Plus g´en´eralement, pour tout a1 , a2 , a3 ∈ R, alors :
u : R3 −→ R
x 7−→ a1 x1 + a2 x2 + a3 x3
En fait pour n, p ∈ N∗ , alors :
u ∈ L(Rn , Rp ) si et seulement si ∃(aij ) 1≤i<p ∈ Rpn tel que :
1≤<n


n
X
aij xj 
u(x) = 
j=1

1≤i<p

= (a11 x1 + ... + a1n xn , a21 x1 + ... + a2n xn , ap1 x1 + ... + apn xn ).

5. Soit k ∈ N, alors
6.

En effet, ∀λ ∈ K,

u : K[X] −→ K[X]
est lin´eaire.
P 7−→ P (k)

7.
Proposition : Soient u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F, G) o`
u E, F, G 3 K-ev.
1. v ◦ u ∈ L(E, G)

2. Si u est bijective alors u−1 ∈ L(F, E)
(L(E, F ), +, •) est un K-ev.

10.2

Noyau et image d’une application lin´
eaire


efinition : Soit u ∈ L(E, F ).
1. Le noyau de u, not´e Ker(u) ; est d´efini par :
Ker(u) = {x ∈ E : u(x) = 0F } (= u−1 ({0F }))
C’est un sev de E.
2. L’image de u, not´ee Im(u), est d´efinie par :
Im(u) = {u(x), x ∈ E} (= u(E) image directe de E par u)
C’est un sev de F .
Proposition : Soit u ∈ L(E, F ).
1. u est injective si et seulement si Ker(u) = {0E }.
2. u est surjective si et seulement si Im(u) = F .

34

Contre-exemple :

u : R −→ R
x 7−→ x2

« Ker(u) »= {x ∈ R, u(x) = 0} = {0}.
Mais u n’est pas injective, donc cette relation ne marche que pour les applications lin´eaires.
Proposition : Soient E, F 2 K-ev et soit (e1 , ..., en ) une famille de E, n ∈ N∗ .
1. On suppose que u est injective. Alors :
(e1 , ..., en )libre ⇔ (u(e1 ), ..., u(en )) libre.

2. On suppose que (e1 , ..., en ) est une famille g´en´eratrice de E. Alors :
u surjective ⇔ (u(e1 ), ..., u(en )) est g´en´eratrice dans F .
3. On suppose que (e1 , ..., en ) est une base de E. Alors :
u bijective ⇔ (u(e1 ), ..., u(en )) base de F .

Th´
eor`
eme : Soient E, F 2 K-ev tel que dim(E) < +∞ et soit u ∈ L(E, F ) bijective.
Alors dim(F ) = dim(E) .
Remarque : Si u ∈ L(E, F ) bijective et dim(E) = +∞ alors dim(F ) = +∞.
On raisonne par l’absurde avec u−1 ∈ L(F, E) bijective et dim(F ) < +∞ en appliquant le r´esultat pr´ec´edent.
Th´
eor`
eme (dimension du noyau) : Soit E un K-ev de dimension finie, F un K-ev et u ∈ L(E, F ).
Alors dim(E) = dim(Ker(u)) + dim(Im(u))
Th´
eor`
eme : Soient E, F 2 K-ev de mˆ
eme dimension finie.
Soit u ∈ L(E, F ). Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes :
u injective ⇔ u surjective ⇔ u bijective
Remarque :Des exemples 2) et 3) on d´eduit que R[X] et RN sont des R-ev de dimension finie.

10.3

Homoth´
eties, projections, sym´
etries

10.3.1

Homoth´
eties


efinition : L’application

h : E −→ E
est l’homoth´etie de rapport λ, avec λ ∈ K, h ∈ L(E, E).
x 7−→ λx

λx

x

Homoth´etie de rapport λ(λ > 1)

35

10.3.2

Projections

Soient E un K-ev et F, G 2 sev tel que E = F ⊕ G .

efinition : La projection pF sur F parall`
element `
a G est l’application d´efinie par :
pF : E −→ E
x 7−→ xF o`
u x = xF + xG
|{z} |{z}
∈F

∈G

G

x

xG

F
xF = pF (x)
Projection de x sur F parall`element `
aG

Proposition :
1. pF ∈ L(E, E), Im(pF ) = {x ∈ E : p(x) = x} = F et Ker(pF ) = G.

2. Soit p ∈ L(E, E) tel que p ◦ p = p.
Alors E = Im(p) ⊕ Ker(p) et p est la projection sur Im(p) parall`element `a Ker(p).

10.3.3

Sym´
etries


efinition : La sym´
etrie sF sur F par rapport `
a F parall`
element `
a G est l’application d´efinie par :
sF : E −→ E
x 7−→ xF − xG o`
u x = xF + xG
|{z} |{z}
∈F

∈G

G

x

xG

F

−xG
sF (x) = xF − xG
Sym´etrie de x sur F par rapport `
a F parall`element `
aG

Proposition :
36

1. sF ∈ L(E, E), sF ◦ sF = IdE .
F = Ker(sF − IdE ) = {x ∈ E : sF (x) = x}
G = Ker(sF + IdE ) = {x ∈ E : sF (x) = −x}
2. Soit s ∈ L(E, E) tel que s ◦ s = IdE .

Alors E = Ker(s − IdE ) ⊕ Ker(s + IdE et s est la sym´etrie par rapport `a Ker(s − IdE ) parall`element `a
Ker(s + IdE ).

37

Chapitre 11

Matrices
11.1


efinitions, op´
erations


efinition : Soient m, n ∈ N∗ .
Une matrice de type (m, n) est un tableau `a coefficient dans K `a m lignes et n colonnes .
On note Mm,n (K) l’ensemble des matrices de type (m, n), et Mn (K) l’ensemble des matrices carr´
es de
type (n, n).
A ∈ Mm,n (K), A = [aij ] 1≤i≤m
1≤j≤n





a11 a12 · · · a1n


a2n 
 a21 a22
A=
..
.. 

 ..
 .
.
. 
am1 am2
amn
Op´
erations sur les matrices :
Soient A, B ∈ Mm,n (K).
A + B = [aij + bij ] 1≤i≤m
1≤j≤n

λ.A = [λaij ] 1≤i≤m
1≤j≤n

Proposition :
(Mm,n (K), +, •) est un K-ev de dimension mn.
Produit matriciel : Soient m, n, p ∈ N∗ .
Soient A = [aij ] 1≤i≤m ∈ Mm,p (K) et B = [bij ] 1≤i≤p ∈ Mp,n (K).
1≤j≤p

1≤j≤n

C = A × B = AB = [cij ] 1≤i≤m ∈ Mm,n (K).
1≤j≤n

cij :

p
X

aik bkj « produit »de la ligne i de A par la colonne j de B.

k=1

Proposition :
× est distributive par rapport `
a +.
∀A, B ∈ Mm,p (K), ∀c ∈ Mp,n (K)
(A + B)C = AC + BC
∀A ∈ Mm,p (K), ∀B, C ∈ Mp,n (K)
A(B + C) = AB + BC
Remarque : On peut multiplier les matrices carr´ees de Mn (K).

11.2

Repr´
esentation des applications lin´
eaires

Soit E un K-ev de dimension n ∈ N∗ , muni d’une base BE = (e1 , ..., en ).
38

Soit F un K-ev de dimension m ∈ N∗ , muni d’une base BF = (f1 , ..., fm ).
n
m
X
X
x j ej ) =
aij fi car u(x) = u(
Soit u ∈ L(E, F ). u est d´
etermin´
ee par la donn´ee des u(ej) =
i=1

n
X

j=1

xj u(ej ).

j=1


efinition : La matrice de u par rapport aux bases BE et BF est d´efinie par :

A = Mat(u|BE , BF ) = [aij ] 1≤i≤m
1≤j≤n

u(e1 )
f1
a11
.  .
= ..  ..
fm
am1


···

···

u(en )

a1n
.. 
. 
amn

Proposition : On a y = u(x) ⇔ Y = AX o`
u A = Mat(u|BE , BF ).
Compatibilit´
e avec les op´
erations :
Soient u, v ∈ L(E, F ) et λ ∈ K.
Mat(u + v|BE , BF ) = Mat(u|BE , BF ) + Mat(v|BE , BF )
Mat(λu|BE , BF ) = λMat(u|BE , BF )
v : L(E, F ) −→ Mm,n (K)
est lin´eaire.
u 7−→ Mat(u|BE , BF )
Elle est bijective.
Soit G un K-ev de dimension l ∈ N∗ , muni d’une base BG = (g1 , ..., gl ).

Autrement dit :

Proposition : Soient u ∈ L(E, F ), v ∈ L(F, G). Alors
Mat(v ◦ u|BE , BG ) = Mat(v|BF , BG ) × Mat(u|BE , BF )
∈ Ml,n (K)
∈ Ml, m (K)× ∈ M m ,n (K)

11.3

Matrices carr´
ees

Proposition : L’ensemble Mn (K) des matrices carr´ees de taille n ∈ N est une alg`
ebre sur K de dimension
n2 unitaire mais non commutative si n ≥ 2, c’est `a dire :
1. (mn (K), +, •) est un K-ev de dimension n2 .

2. × v´erifie :
– × est associative, ∀A, B, C ∈ M1 (K)A(BC) = (AB)C
– × est non commutative si n ≥ 2.
– × est distributive.


1 0 ··· 0


0 1 . . . ... 


– In :=  .
 est l’´el´ement neutre pour ×.
. .. .. 
 . . . 0
0 ··· 0 1
C’est `a dire ∀A ∈ Mn (K)AIn = In A = A.
In est appel´ee la matrice unit´e de Mn (
(K).
1 si i = j
In = [Sij ]1≤i,j≤n
Sij :=
0 si i =
6 j
AIn = [cij ]1≤i,j≤n o`
ucij =

n
X

k=1

D’o`
u AIn = A
De mˆeme In A = A (exercice)

=1

aik Skjk=j

z}|{
= aij Sjj = aij

39

Proposition :
Soient A, B ∈ Mn (K) tel que AB = BA .
n
X

n
Cnk Ak B n−k
1. ∀n ∈ N , (A + B) =
k=0

2. ∀n ∈ N∗ , An − B n = (A − B)

n−1
X

Ak B n−1−k

k=0

Remarque : R´eciproquement si 1) ou 2) est v´erifi´e par A, B ∈ Mn (K) pour n = 2 alors AB = BA.
En effet, si 1) est v´erifi´e :
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2
= (A + B)(A + B) = (A + B)A + (A + B)B
= A2 + BA + AB + B 2 d’o`
u AB = BA
Matrices inversibles :

efinition : Une matrice A de Mn (K) est dite inversible s’il existe B ∈ Mn (K) tel que AB = BA = In .
Dans ce cas B est unique et est appel´ee l’inverse de A not´ee A−1 .
On note GLn (K) l’ensemble des matrices inversibles de Mn (K).
Th´
eor`
eme : Soit A ∈ Mn (K).
1.

A ∈ GLn (K) ⇔ u bijective
Ker(A) := {X ∈ Mn,1 (K) : AX = 0} = {0} ⇔ u injective

Im(A) := {AX, X ∈ Mn,1 (K)} = Mn,1 (K) ⇔ u surjective
∃B ∈ Mn (K), AB = In ou BA = In .

2. Sont ´equivalentes :
– A∈
/ GLn (K).
– ∃B ∈ Mn (K), B 6= 0 tel que AB = 0 ou BA = 0.

3. ∀A, B ∈ GLn (K), AB ∈ GLn (K) et (AB)−1 = B −1 A−1

Proposition : Soit A ∈ M2 (K), A =

ac
bd

!

40

Utile en pratique (inversible : r´
esoudre AX = 0.


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