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Espaces vectoriels et alg`ebres

11. Espaces vectoriels et applications lin´
eaires
` 6:
11.1. Exercices 1 a
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
` 16 :
11.2. Exercices 1 a
´aires, noyaux, images
Applications line
` 29 :
11.3. Exercices 1 a
´ ne
´ratrices, bases, dimension
Familles libres, ge
` 4:
11.4. Exercices 1 a
´aires, hyperplans
Formes line

Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 22 mai 2000

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Espaces vectoriels et alg`ebres

11.1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Exercice 11.1.1
Soit E l’espace vectoriel de toutes les fonctions de [0, 1] dans IR.
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de E ?
1. A = {f ∈ E, 2f (0) = f (1)}.
2. B = {f ∈ E, f (1) = f (0) + 1}.
3. C = {f ∈ E, f ≥ 0}.
4. D = {f ∈ E, f (x) ≡ f (1 − x)}.
5. F = {f ∈ E, f polynˆomiale de degr´e 4}.
6. G = {f ∈ E, f polynˆomiale de degr´e ≤ 4}.
Exercice 11.1.2
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E ⇔ F ⊂ G ou G ⊂ F .
Exercice 11.1.3
A, B, C sont des sous-espaces vectoriels de E tels que : A ∩ B ⊂ C, C ⊂ A + B et B ⊂ C.
Montrer que B = C.
Exercice 11.1.4
Montrer que dans l’espace vectoriel E de toutes les fonctions f de IR dans IR, les ensembles
P et I form´es respectivement des fonctions paires et impaires forment deux sous-espaces
vectoriels suppl´ementaires.
Exercice 11.1.5
Soient A, B, C, D quatre sous-espaces vectoriels de E tels que E = A ⊕ B = C ⊕ D.
On suppose que A ⊂ C et B ⊂ D. Montrer que A = C et B = D.
Exercice 11.1.6
Soit E un IK-espace vectoriel.
1. Soient E1 et E2 deux sous-espaces de E tels que E = E1 + E2 .
Soit F2 un suppl´ementaire de E1 ∩ E2 dans E2 . Montrer que E = E1 ⊕ F2 .
2. Soient E1 , E2 , . . . , En des sous-espaces de E tels que E = E1 + E2 + · · · + En .
Montrer qu’il existe des sous-espaces F1 , F2 , . . . , Fn de E tels que pour tout indice j on
ait l’inclusion Fj ⊂ Ej et tels que E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fn .

Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 22 mai 2000

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Espaces vectoriels et alg`ebres

´aires, noyaux, images
11.2. Applications line
Exercice 11.2.1
Soient f et g deux endomorphismes de E qui commutent.
Montrer que Ker f et Im f sont stables par g.
Exercice 11.2.2
Soient p et q deux projecteurs de E.
Montrer que p ◦ q est un projecteur de E si et seulement si p ◦ q = q ◦ p = 0.
Exercice 11.2.3
Soient p et q deux projecteurs de E.
Montrer que p et q ont mˆeme noyau si et seulement si p = p ◦ q et q = q ◦ p.
Exercice 11.2.4
Soit p un projecteur non nul de E.
Montrer que Id + λp est injectif si et seulement si λ 6= −1.
Exercice 11.2.5
Soit E un C−espace
l
vectoriel, et f un endomorphisme de E tel que f ◦ f = −Id.
Soient V = {x ∈ E, f (x) = ix} et W = {x ∈ E, f (x) = −ix}.
Montrer que V et W sont deux sous-espaces vectoriels supl´ementaires dans E.
Exercice 11.2.6
Soit f un endomorphisme de E, et deux scalaires distints α et β.
Montrer que Ker (f 2 − (α + β)f + αβId) = Ker (f − αId) ⊕ Ker (f − βId).
Exercice 11.2.7
Soient E, F, G trois espaces vectoriels sur IK, f ∈ L(E, G) et g ∈ L(F, G).
Montrer que Im f ⊂ Im g ⇔ ∃ h ∈ L(E, F ), tel que f = g ◦ h.
Exercice 11.2.8
Soient E, F, G trois espaces vectoriels sur IK, f ∈ L(E, G) et g ∈ L(E, F ).
Montrer que Ker g ⊂ Ker f ⇔ ∃ h ∈ L(F, G), tel que f = h ◦ g.

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Exercice 11.2.9
Soit f un endomorphisme de E, commutant avec tous les endomorphismes de E.
Montrer que f est de la forme λId, avec λ ∈ IK.
Exercice 11.2.10
Soit u une application lin´eaire de E dans F . Montrer que si u est injective alors pour tous
sous-espaces vectoriels F et G en somme directe, u(F ) et u(G) sont en somme directe.
Est-ce que la r´eciproque est vraie?
Exercice 11.2.11
Soit f un endomorphisme de E.Montrer que E = Ker f ⊕Im f si et seulement si la restriction
de f a` Im f est un automorphisme de Im f .
Exercice 11.2.12
Soient E, F, G trois espaces vectoriels, et g une application lin´eaire de F dans G.
On d´efinit ϕ de L(E, F ) vers L(E, G) en posant ϕ(f ) = g ◦ f .
Montrer que ϕ est une application lin´eaire.
On suppose que g est injective. Que peut-on dire de ϕ ?
Exercice 11.2.13
Soit E un C−espace
l
vectoriel, et soit f un endomorphisme de E tel que f 3 = Id.
Montrer que E = E1 ⊕ Ej ⊕ Ej 2 , avec la notation Eλ = Ker (f − λId).
Exercice 11.2.14
Soit u un endomorphisme de E, et P, Q deux polynˆomes premiers entre eux.
Montrer que Ker (P Q)(u) = Ker P (u) ⊕ Ker Q(u).
Exercice 11.2.15
Soient E, F, G trois espaces vectoriels et f, g deux applications lin´eaires.
On dit que

f
g
E → F → G

est une suite exacte si Im f = Ker g.

1. Qu’en d´eduire pour g ◦ f ?
2. Que signifie le fait que

g
{0} → F → G

est une suite exacte ?

3. Que signifie le fait que

f
E → F → {0}

est une suite exacte ?

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Espaces vectoriels et alg`ebres

Exercice 11.2.16
On se donne les six espaces vectoriels E, F, G, E 0 , F 0 , G 0 .
On se donne les applications lin´eaires f, g, f 0 , g 0 , r, s, t, suivant le sch´ema ci-dessous :
{0} →

f


g


E
F
G → {0}
↓ r
↓ s
↓ t
{0} → E 0 → F 0 → G 0 → {0}
f0
g0
On suppose que les lignes horizontales forment des suites exactes (cf exercice pr´ec´edent.)
On suppose de mˆeme que s ◦ f = f 0 ◦ r et t ◦ g = g 0 ◦ s.
1. Montrer que si r et t sont injectives, alors s est injective.
2. Montrer que si r et t sont surjectives, alors s est surjective.

Exercice 11.2.17
Soit E un espace vectoriel sur IK.


D´eterminer les couples (f, g) d’endomorphismes de E tels que :

f ◦g =f
g◦f =g

Exercice 11.2.18
Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g.
1. Montrer que E = Ker f ⊕ Im g.
2. Montrer que f (Im g) = Im f .

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´ ne
´ratrices, bases, dimension
11.3. Familles libres, ge
Exercice 11.3.1
Montrer que les familles suivantes sont li´ees :
1. Dans IR3 , a = (9, −3, 7), b = (1, 8, 8), c = (5, −5, 1).
2. Dans IR4 , a = (2, −1, 5, 7), b = (3, 1, 5, −2), c = (1, 1, 1, −4).
3. Dans IR4 , a = (2, 14, −34, 7), b = (1, 4, −5, 2), c = (1, 2, 3, 1).
Exercice 11.3.2
Peut-on d´eterminer x et y dans IR tels que le vecteur u = (−2, x, y, 3) appartienne au sousespace vectoriel de IR4 engendr´e par a = (1, −1, 1, 2) et b = (−1, 2, 3, 1)?
Mˆeme question avec u = (x, 1, y, 1), a = (1, 2, 3, 4), et b = (1, −2, 3, −4).
Exercice 11.3.3
Montrer que dans IK[X], la famille constitu´ee par un polynˆome P de degr´e n, ainsi que ses
polynˆomes d´eriv´es P 0 , P 00 , . . . , P (n) est libre.
Exercice 11.3.4
Dans l’espace vectoriel de toutes les applicationsde IR dans IR, montrer que la famille form´ee
des applications (1, exp x, . . . , exp nx) est libre.
Exercice 11.3.5
Montrer que la famille form´ee des applications (cos kx)0≤k≤n et (sin kx)1≤k≤n est libre.
Exercice 11.3.6
Soit u1 , u2 , . . . , un une famille de n vecteurs de E.
On d´efinit les vecteurs vk = u1 + · · · + uk , pour k compris entre 1 et n.
Montrer que (u) est une famille libre (resp. une famille g´en´eratrice de E) si et seulement si
il en est de mˆeme de (v).
Exercice 11.3.7
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives n et p.
Montrer que la dimension de l’espace vectoriel produit E × F est n + p.

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Exercice 11.3.8
Soient α et β deux scalaires disctincts. Soit n un entier positif.
Montrer que les Pk = (X − α)k (X − β)n−k , o`
u 0 ≤ k ≤ n, forment une base de IKn [X].
Exercice 11.3.9
Montrer que si A et B sont deux polynˆomes premiers entre eux dans IK[X], alors les polynˆomes
Pk = Ak B n−k (avec 0 ≤ k ≤ n) forment une famille libre.
Exercice 11.3.10
Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 1.
Soit f un endomorphisme de E tel que f n = 0 et f n−1 6= 0.
Soit x un vecteur de E tel que f n−1 (x) 6= 0.
Montrer que la famille x, f (x), . . . , f n−1 (x) constitue une base de E.
Exercice 11.3.11
Soient f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G), E ´etant de dimension finie.
Montrer que dim(Im f ∩ Ker g) = dim Im f − dim Im (g ◦ f ).
Exercice 11.3.12
Soit f un endomorphisme de E laissant stable toute droite vectorielle.
Montrer que f est de la forme λId, avec λ ∈ IK.
Exercice 11.3.13
Soient f et g deux endomorphismes de E (de dimension finie).
On suppose que E = Im f + Im g = Ker f + Ker g.
Montrer que ces deux sommes sont directes.
Montrer que ce r´esultat n’est plus valable si on ne suppose pas dim E < ∞.
Exercice 11.3.14
Montrer que l’application ϕ d´efinie par ϕ(P ) = P + P 0 est un automorphisme de IK[X].
En est-il de mˆeme avec l’application P 7→ λP − XP 0 , o`
u λ ∈ IR?
Exercice 11.3.15
(
4

Dans IR , montrer que l’ensemble des vecteurs u = (x, y, z, t) tels que

x + 3y − 2z − 5t = 0
x + 2y + z − t = 0

est un sous-espace vectoriel.
En donner la dimension et une base.

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Exercice 11.3.16
Soient a, b, c trois r´els quelconques.
Montrer que les trois applications sin(x + a), sin(x + b) et sin(x + c) sont li´ees.
Exercice 11.3.17
Dans IR4 , d´eterminer une base du sous-espace vectoriel engendr´e par :
1. a = (1, 2, 2, 1), b = (5, 6, 6, 5), c = (−1, −3, 4, 0), d = (0, 4, −3, −1).
2. a = (2, −5, 3, 10), b = (1, −1, 1, 3), c = (3, 3, 1, 1).
3. a = (1, 2, 5, −1), b = (3, 6, 5, −6), c = (2, 4, 0, −2).
4. a = (2, 0, 4, 2), b = (1, 2, −2, −3), c = (3, 1, 3, 4), d = (2, 4, 9, 5).
Exercice 11.3.18
Dans IR5 , d´eterminer une base du sous-espace vectoriel engendr´e par :
a = (1, 2, −4, 3, 1), b = (2, 5, −3, 4, 8), c = (6, 17, −7, 10, 22), d = (1, 3, −3, 2, 0).
Exercice 11.3.19
Dans Cl 4 , d´eterminer une base du sous-espace vectoriel engendr´e par :
a = (1, i, 1 + i, −i), b = (−i, 0, 2 − i, 1 + i), c = (0, −1, 0, 1), d = (3i, −2 − i, 3i − 5, −i).
Exercice 11.3.20
Compl´eter la famille a = (1, 4, −1, 0), b = (6, 10, 1, 0), c = (2, 2, 1, 1) en une base de IR4 .
Exercice 11.3.21
Soit E l’espace vectoriel de toutes les applications de IR dans IR.
Pour tout indice k, on note fk l’application x → fk (x) = |x − k|.
Montrer que la famille (f1 , f2 , . . . , fn ) est libre.
Exercice 11.3.22
Soient E, F, G trois espaces vectoriels de dimension finie.
Soit f dans L(E, F ) et g dans L(F, G).
1. Montrer que dim Ker g ◦ f ≤ dim Ker g + dim Ker f .
2. Prouver que dim Im f ∩ Ker g = rang f − rang g ◦ f .
3. Montrer que rang f + rang g − dim F ≤ rang g ◦ f ≤ inf(rang f, rang g).

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Exercice 11.3.23
Soit f un endomorphisme de E (avec dim E = n < ∞).
Montrer l’´equivalence : Im f = Ker f ⇔ (f 2 = 0, n est pair et rang(f ) = n2 ).
Exercice 11.3.24
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n.
1. Soient f et g dans L(E), tels que f ◦ g = 0. Montrer que rang f + rang g ≤ n.
2. Soit f ∈ L(E). Montrer qu’il existe g dans L(E) tel que f ◦g = 0 et rang f +rang g = n.
3. Soit f dans L(E), avec f 6= 0 et rang f < n.
Montrer qu’il existe g dans L(E) tel que f ◦ g = 0, g ◦ f 6= 0 et rang f + rang g = n.
Exercice 11.3.25
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n.
Soit u un endomorphisme de E, tel que u2 = 0 (c’est-`a-dire tel que Im u ⊂ Ker u.)
1. On suppose qu’il existe v dans L(E) tel que v ◦ u + u ◦ v = Id.
Montrer que la restriction de v `a Ker u est injective et que Ker u = Im u.
2. On suppose r´eciproquement que Ker u = Im u. Montrer que pour tout x de E il existe
un couple unique (y, z) de vecteurs de F tels que x = y + u(z).
Soit v l’application qui `a x associe le vecteur z dans l’´ecriture pr´ec´edente.
Montrer que v est un endomorphisme de E et que v ◦ u + u ◦ v = Id.
Exercice 11.3.26
Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit f un endomorphisme de E tel que f 3 = Id.
1. Montrer que Im (f − Id) ⊂ Ker (f 2 + f + Id) et E = Im (f − Id) ⊕ Ker (f − Id).
2. Soit x un vecteur non nul de Im (f − Id).
Montrer que f (x) appartient `a Im (f − Id) et que x et f (x) sont libres.
3. En d´eduire que dim Im (f − Id) est paire et qu’il est possible de construire une base de
Im (f − Id) de la forme (u1 , · · · , ur , f (u1 ), · · · , f (ur )).
Exercice 11.3.27
Soient E et F deux espaces vectoriels, E ´etant de dimension finie.
1. Soient f et g dans L(E, F ).
Montrer que |rang f − rang g| ≤ rang (f + g) ≤ rang f + rang g.
2. Soient f et g dans L(E), tels que f ◦ g = 0 et f + g ∈ GL(E).
Montrer que rang f + rang g = dim E.

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Exercice 11.3.28
Soit f un endomorphisme de E.
1. Montrer l’´equivalence : Im f + Ker f = E ⇔ Im f = Im f 2 .
2. Montrer l’´equivalence : Im f ∩ Ker f = {0} ⇔ Ker f = Ker f 2 .
3. On suppose que E est de dimension finie.
Montrer : Im f = Im f 2 ⇔ Ker f = Ker f 2 ⇔ E = Im f ⊕ Ker f .
Exercice 11.3.29
Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit f un endomorphisme de E.
On veut montrer que f est la diff´erence de deux automorphismes de E.
1. Traiter le cas o`
u f est un automorphisme de E.
2. Consid´erer le cas o`
u f est non nulle, non inversible et E = Im f ⊕ Ker f .
(uiliser l’exercice pr´ec´edent)
3. Traiter enfin le cas g´en´eral.
(Montrer qu’il existe ϕ dans GL(E) tel que g = f ◦ ϕ v´erifie E = Im g ⊕ Ker g.)
Exercice 11.3.30
On d´efinit les trois sous-espaces suivants de E = IK3 [X] :


F = {P ∈ E, P (0) = P (1) = P (2) = 0}






G = {P ∈ E, P (1) = P (2) = P (3) = 0}
H = {P ∈ E, P (X) = P (−X)}

• Montrer que F ⊕ G = {P ∈ E, P (1) = P (2) = 0}.
• Montrer que E = F ⊕ G ⊕ H.
Exercice 11.3.31
Soient E et F deux IK-espaces vectoriels, E ´etant de dimension finie.
Soient f et g deux applications lin´eaires de E dans F .
1. Comparer Im (f + g) et Im f + Im g.
En d´eduire que rang (f + g) ≤ rang (f ) + rang (g).
(

2. Montrer que rang (f + g) = rg(f ) + rang (g) ⇐⇒

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Im f ∩ Im g = { 0 }
E = Ker f + Ker g

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Exercice 11.3.32
Soit E un IK-espace vectoriel de dimension finie n.
Soient F et G deux sous-espaces de E, tels que dim(F ) = dim(G) = r.
Montrer qu’il existe un sous-espace H de E tel que E = F ⊕ H = G ⊕ H.
Indication : utiliser une r´ecurrence descendante sur l’entier r.
Exercice 11.3.33
Soit E un IK-espace vectoriel de dimension finie.
1. Soient F1 , F2 , . . . , Fn des sous-espaces de E. Rappeler l’´equivalence :
n
X

Fj est directe ⇔ dim

j=1

n
X

Fj =

j=1

n
X

dim Fj .

j=1

2. Soient p1 , . . . , pn des projecteurs de E, tels que

n
X

pj = IdE .

j=1

Montrer que E = Im p1 ⊕ Im p2 ⊕ · · · ⊕ Im pn .
3. Prouver que pour tous indices distincts i et j, on a : pi ◦ pj = 0.
Exercice 11.3.34
Soit E un IK-espace vectoriel de dimension finie n.
Soit f un endomorphisme de E.


1. On suppose que pour tout u de E, il existe un entier m tel que f m (u) = 0 .


Montrer qu’il existe un entier p tel que pour tout u de E, f p (u) = 0 .
2. Montrer que ce r´esultat est faux si on ne suppose plus que E est de dimension finie.
Exercice 11.3.35
On se donne une subdivision x0 = a < x1 < . . . xn−1 < xn = b du segment [a, b].
Soit F l’ensemble des applications f : [a, b] → IR qui sont affines sur chaque [xk , xk+1 ].
Montrer que F est un espace vectoriel. En donner la dimension et une base.

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´aires, hyperplans
11.4. Formes line
Exercice 11.4.1
Soit f : E → IK une forme lin´eaire.
Montrer que f est identiquement nulle ou surjective.
Exercice 11.4.2
Soient f et g deux formes lin´eaires sur E.
Montrer que f et g ont le mˆeme noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.
Exercice 11.4.3
Dans IRn , montrer que H = {u = (x1 , x2 , · · · , xn ),

n
X

xk = 0} est un sous-espace vectoriel.

k=1

En donner la dimension et une base.
Exercice 11.4.4
Soit E un IK−espace vectoriel de dimension 3. Soit g ∈ L(E), tel que g 2 = 0.
Montrer qu’il existe a dans E et f dans E ∗ tel que : ∀ u ∈ E, g(u) = f (u)a.
Exercice 11.4.5
Soient f1 , f2 , . . . , fp une famille de p formes lin´eaires ind´ependantes sur IKn .
Soit f une forme lin´eaire sur IKn .
1. Montrer que f est combinaison lin´eaire de f1 , f2 , . . . , fp si et seulement si le noyau de f
contient l’intersection des noyaux des fk .
2. Montrer que ce r´esultat reste vrai si f1 , f2 , . . . , fp sont li´ees.

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Espaces vectoriels et alg`ebres

Corrig´
e des exercices
´ de l’exercice 11.1.6
Corrige
1. Tout x de E peut s’´ecrire x = x1 + x2 , avec x1 dans E1 et x2 dans E2 .
Puisque E2 = (E1 ∩ E2 ) ⊕ F2 , on peut ´ecrire x2 = y + x02 , avec y ∈ E1 ∩ E2 et x02 ∈ F2 .
En particulier, y est un ´el´ement de E1 .
On en d´eduit que x = x1 + (y + x02 ) = (x1 + y) + x02 est un ´el´ement de E1 + F2 .
On a donc prouv´e l’´egalit´e E = E1 + F2 .
Il reste `a v´erifier que la somme E1 + F2 est directe.
Or si un vecteur x est dans E1 ∩ F2 , alors il est dans E1 ∩ E2 .
Il est donc `a la fois dans E1 ∩ E2 et dans F2 qui sont en somme directe.
On en d´eduit que x est nul. Conclusion : on a E = E1 ⊕ F2 .
2. On proc`ede par r´ecurrence sur l’entier n ≥ 2. D’apr`es (a), la propri´et´e est vraie si n = 2
(F1 = E1 , et F2 est un suppl´ementaire de E1 ∩ E2 dans E2 .)
On suppose que la propri´et´e est vraie pour n − 1 sous-espaces, avec n ≥ 3, et on se
donne les n sous-espaces E1 , E2 , . . . , En−1 , En de E.
Posons E 0 = E1 + E2 + · · · + En−1 . Avec cette notation, E = E 0 + En .
D’apr`es la question (a), il existe un sous-espace Fn de En (par exemple un suppl´ementaire
de E 0 ∩ En dans En ) tel que E = E 0 ⊕ Fn .
L’hypoth`ese de r´ecurrence, appliqu´ee aux n − 1 sous-espaces E1 , . . . , En−1 de E 0 , montre
qu’il existe F1 , . . . , Fn−1 , sous-espaces de E1 , . . . , En−1 , tels que E 0 = F1 ⊕ . . . ⊕ Fn−1 .
Avec ces notations, on a alors E = E 0 ⊕ Fn = F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fn−1 ⊕ Fn , ce qui prouve
la propri´et´e au rang n et ach`eve la r´ecurrence.

´ de l’exercice 11.2.17
Corrige
Soit (f, g) un tel couple d’endomorphismes de E (il en existe, par exemple f = g = 0.)
On constate que f 2 = (f ◦ g) ◦ f = f ◦ (g ◦ f ) = f ◦ g = f et de mˆeme g 2 = g (les applications
f et g jouent le mˆeme rˆole) : f et g sont donc des projections vectorielles.
Mais f ◦ g = f ⇒ Ker g ⊂ Ker f , et par sym´etrie Ker f ⊂ Ker g.
Supposons r´eciproquement que f et g soient deux projecteurs de mˆeme noyau H.


• Si x est un ´el´ement de Ker f = Ker g, alors (f ◦ g)(x) = 0 = f (x).
• Si x est ´el´ement de Im g = Inv g, alors (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x).
Ainsi les applications lin´eaires f ◦ g et g sont ´egales sur Ker g et sur Im g : elles le sont donc
sur Ker g ⊕ Im g = E. On en d´eduit que f ◦ g = f , et par sym´etrie g ◦ f = g.
Conclusion : les solutions sont les couples (f, g) de projecteurs ayant le mˆeme noyau.

Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 22 mai 2000

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Espaces vectoriels et alg`ebres

´ de l’exercice 11.2.18
Corrige
1. Supposons qu’un vecteur x s’´ecrive x = y + z, avec y dans Ker f et z = g(t) dans Im g :
x = y + z = y + g(t) ⇒ f (x) = f ◦ g(t) ⇒ g ◦ f (x) = g ◦ f ◦ g(t) = g(t) = z.
On a donc n´ecessairement z = g ◦ f (x) et y = x − z = x − g ◦ f (x).
R´eciproquement ces vecteurs y, z v´erifient ´evidemment y + z = x, le vecteur z = g(f (x))
est bien dans Im g, et f (y) = f (x) − f ◦ g ◦ f (x) = 0 c’est-`a-dire y ∈ Ker f .
Ainsi la d´ecomposition x = y + z existe et est unique : on a E = Ker f ⊕ Im g.
2. On a toujours f (Im g) ⊂ Im f . R´eciproquement soit x0 = f (x) un ´el´ement de Im f .
On sait que x s’´ecrit x = y + z, avec y dans Ker f et z dans Im g.
On en d´eduit x0 = f (x) = f (y) + f (z) = f (z) : x0 est donc ´el´ement de f (Im g).
Conclusion : f (Im g) = Im f .

´ de l’exercice 11.3.21
Corrige
Supposons par l’absurde que la famille (f1 , f2 , . . . , fn ) soit li´ee.
Il existe donc n r´eels λ1 , λ2 , . . . , λn non tous nuls tels que

n
X

λk fk = 0 (1).

k=1

Soit r l’indice k maximum tel que λk soit non nul.
L’´egalit´e (1) s’´ecrit : ∀x ∈ IR,

r−1
X

λk |x − k| + λr |x − r| = 0.

k=1

On se place sur ]r − 1, r[ puis ]r, +∞[. On obtient, en notant a =

r−1
X

λk et b =

k=1

(

r−1
X

kλk :

k=1

∀x ∈]r − 1, r[, ax − b + λr (r − x) = (a − λr )x − b + rλr = 0
∀x ∈]r, +∞[, ax − b + λr (x − r) = (a + λr )x − b − rλr = 0

Mais chacune de ces deux ´egalit´es (une fonction affine nulle sur un intervalle d’int´erieur non
vide) n’est possible que si les coefficients de ces fonctions affines sont nuls. Cela implique en
particulier a − λr = 0 et a + λr = 0 et donc λr = 0, ce qui est absurde.
Conclusion : Pour tout entier naturel n, la famille (f1 , f2 , . . . , fn ) est libre.

Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 22 mai 2000

Page 14

Espaces vectoriels et alg`ebres

´ de l’exercice 11.3.30
Corrige
• Si P appartient `a F ∩ G, il s’annule en les quatre points distincts 0, 1, 2, 3 alors qu’il est
de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3 : il est donc nul. Ainsi F et G sont en somme directe.
Si on note K = {P ∈ E, P (1) = P (2) = 0}, on a bien sˆ
ur F ⊂ K et G ⊂ K.
On en d´eduit F ⊕ G ⊂ K.
F est l’ensemble des polynˆomes P = αX(X − 1)(X − 2), avec α ∈ IK : dim F = 1.
G est l’ensemble des polynˆomes P = β(X − 1)(X − 2)(X − 3), avec β ∈ IK : dim G = 1.
K est l’ensemble des polynˆomes P = (aX + b)(X − 1)(X − 2), avec (a, b) ∈ IK2 : dim K = 2.
Donc dim(F ⊕ G) = dim F + dim G = dim K, avec F ⊕ G ⊂ K : on en d´eduit F ⊕ G = K.
• H est l’ensemble des polynˆomes pairs P = a + bX 2 , avec (a, b) ∈ IR2 : c’est un plan.

P (1) = a + b = 0
Si P est dans (F ⊕ G) ∩ H, alors
donc a = b = 0.
P (2) = a + 4b = 0
Ainsi H et F ⊕ G sont en somme directe.
Or dim(F ⊕ G ⊕ H) = dim(F ⊕ G) + dim H = 2 + 2 = 4 = dim E.
On en d´eduit que F ⊕ G ⊕ H = E.
´ de l’exercice 11.3.31
Corrige
1. Tout ´el´ement y de Im (f + g) s’´ecrit y = (f + g)(x) et est donc la somme de f (x) (qui
appartient `a Im (f )) et de g(x) (qui appartient `a Im (g)).
Ainsi y appartient `a Im (f ) + Im (g), ce qui prouve l’inclusion Im (f + g) ⊂ Im f + Im g.
On en d´eduit dim Im (f + g) ≤ dim(Im f + Im g), puis :
dim Im (f + g) ≤ dim Im f + dim Im g − dim(Im f ∩ Im g) ≤ dim Im f + dim Im g.
Autrement dit rang (f + g) ≤ rang f + rang g.
2. Supposons qu’on ait rang (f + g) = rang f + rang g.
Alors l’inclusion et les in´egalit´es pr´ec´edentes sont en fait des ´egalit´es.
On a donc Im (f +g) = Im f +Im g et dim(Im f ∩Im g) = 0 c’est-`a-dire Im f ∩Im g = {0}.
Il reste `a montrer que E = Ker f + Ker g. Soit x un ´el´ement de E.
L’´el´ement f (x) est dans Im f , donc dans Im f + Im g = Im (f + g).
Ainsi il existe un ´el´ement y de E tel que f (x) = (f + g)(y), c’est-`a-dire f (x − y) = g(y).


Mais l’´egalit´e Im f ∩ Im g = {0} implique f (x − y) = g(y) = 0 .
L’´egalit´e x = (x − y) + y est donc l’´ecriture de x comme somme d’un ´el´ement de Ker f
et d’un ´el´ement de Ker g : on a prouv´e que E = Ker f + Ker g.


R´eciproquement, on suppose que Im f ∩ Im g = { 0 } et E = Ker f + Ker g.
Pour montrer que rg(f + g) = rang (f ) + rang (g), il suffit d’apr`es la question pr´ec´edente
de v´erifier qu’on a l’´egalit´e Im (f ) + Im (g) ⊂ Im (f + g).
Soient y = f (x) un ´el´ement de Im f et y 0 = g(x0 ) un ´el´ement de Im g.
On peut ´ecrire x = u + v et x0 = u0 + v 0 , avec u, u0 dans Ker f et v, v 0 dans Ker g.
On en d´eduit que y = f (x) = f (v) = f (u0 + v), et y 0 = g(x0 ) = g(u0 ) = g(u0 + v).
Ainsi y + y 0 = (f + g)(u0 + v) est un ´el´ement de Im (f + g), ce qu’il fallait d´emontrer.

Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 22 mai 2000

Page 15

Espaces vectoriels et alg`ebres

´ de l’exercice 11.3.32
Corrige


Si r = n, le r´esultat est ´evident en prenant H = { 0 }.
Supposons donc que r est strictement inf´erieur `a n et que la propri´et´e est d´emontr´ee pour
les sous-espaces de dimension r + 1 de E.
Rappelons que la r´eunion de deux sous-espaces A et B de E n’est un sous-espace de E que
si A ⊂ B ou B ⊂ A. Cette r´eunion ne peut donc ˆetre ´egale `a E que si A = B = E, ce qui
n’est visiblement pas le cas ici pour les sous-espaces F et G.
On peut donc choisir un vecteur x (n´ecessairement non nul) n’appartenant pas `a F ∪ G.
Les sous-espaces F 0 = F ⊕ IKx et G0 = G ⊕ IKx sont tous deux de dimension r + 1 : ils ont
donc un suppl´ementaire commun H 0 dans E.
Ainsi E = F ⊕ IKx ⊕ H 0 = G ⊕ IKx ⊕ H 0 , ce qui prouve que le sous-espace H = IKx ⊕ H 0 est
un suppl´ementaire commun `a F et `a G.
On a ainsi d´emontr´e la propri´et´e par une r´ecurrence descendante sur l’entier r.
´ de l’exercice 11.3.33
Corrige
1. On d´efinit l’application ϕ de P = F1 × F2 × · · · × Fn vers S = F1 + F2 + · · · + Fn par :
ϕ(x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 + x2 + · · · + xn . Cette application est lin´eaire et surjective.
Par d´efinition, la somme S est directe si et seulement si ϕ est un isomorphisme, ce qui
´equivaut `a dim P = dim S c’est-`a-dire `a
2. L’´egalit´e IdE =

n
X

n
X

dim Fj = dim

j=1

n
X

Fj .

j=1

pj prouve que tout x de E s’´ecrit x = p1 (x) + · · · + pn (x) et est donc

j=1

un ´el´ement de Im p1 + · · · + Im pn . On en d´eduit E = Im p1 + Im p2 + · · · + Im pn .
On rappelle que la trace d’une projection vectorielle est ´egale `a son rang.
L’´egalit´e IdE =

n
X

pj implique donc : n = tr IdE =

j=1

Ainsi dim(

n
X

Im pj ) = dim E = n =

j=1

n
X

rang pj =

j=1

n
X

tr pj =

j=1
n
X

n
X

rang pj .

j=1

dim Im pj .

j=1

En utilisant (a), ce r´esultat prouve que E = Im p1 ⊕ Im p2 ⊕ · · · ⊕ Im pn .
3. Fixons un indice j dans {1, . . . , n}.
Pour tout vecteur y, on a l’´egalit´e y =

n
X
i=1

pi (y) = pj (y) +

X

pi (y).

i6=j

Ceci est vrai en particulier pour tout vecteur y = pj (x), ce qui conduit `a :
∀x ∈ E, pj (x) = p2j (x) +

X

pi ◦ pj (x), c’est-`a-dire : ∀x ∈ E,

i6=j

X



pi ◦ pj (x) = 0 .

i6=j

Compte tenu de ce que la somme des Im pi est directe, et de ce que chaque pi ◦ pj (x)


est un ´el´ement de Im pi , il vient : ∀x ∈ E, ∀i 6= j, pi ◦ pj (x) = 0 .
Autrement dit, pour tous indices i et j distincts, on a pi ◦ pj = 0.

Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 22 mai 2000

Page 16

Espaces vectoriels et alg`ebres

´ de l’exercice 11.3.34
Corrige
1. Soit (e) = e1 , e2 , . . . , en une base de E.


Pour tout indice j compris entre 1 et n, il existe un entier mj tel que f mj (ej ) = 0 .


Soit p = max {m1 , m2 , . . . , mn }. Pour tout j de {1, . . . , n}, on a f p (ej ) = 0 .
Par lin´earit´e, on en d´eduit que f p est l’application nulle, ce qu’il fallait d´emontrer.
2. On se place dans E = IK[X] et on consid`ere l’application “d´erivation” f : A 7→ A0 .
Pour tout polynˆome A, il existe un indice m tel que f m (A) = 0 (choisir m > deg A).
Mais f p (la “d´erivation p-i`eme”) n’est l’application nulle pour aucune valeur de p.
Le r´esultat de la question pr´ec´edente n’est donc plus vrai en dimension infinie.
´ de l’exercice 11.3.35
Corrige
F est de fa¸con ´evidente un sous-espace vectoriel de l’ensemble E de toutes les applications
de [a, b] dans IR : la fonction nulle est un ´el´ement de F , et si f, g sont affines sur chaque
[xk , xk+1 ] il en est de mˆeme de λf + µg.
Consid´erons l’application ϕ de E dans IRn+1 d´efinie par ϕ(f ) = (f (x0 ), f (x1 ), . . . , f (xn )).
Il est clair que ϕ est lin´eaire. D’autre part c’est une bijection de F sur IRn+1 : en effet le fait
de se donner les images (f (x0 ), f (x1 ), . . . , f (xn )) d´efinit une unique application f affine sur
chaque sous-segment [xk , xk+1 ] de [a, b].
L’application ϕ est donc un isomorphisme de F sur IRn+1 ce qui prouve que dim F = n + 1.
Les images r´eciproques des vecteurs de la base canonique de IRn+1 forment donc une base de
F . Ce sont les applications f0 , f1 , . . . , fn d´efinies par les ´egalit´es fi (xj ) = δij .
Autrement dit chaque fonction fi vaut 1 en xi et 0 sur les autres xj , et on la compl`ete de
fa¸con affine sur chaque intervalle [xk , xk+1 ].
Pour ˆetre complet, disons que la base duale de la base (f0 , f1 , . . . , fn ) de F est constitu´ee des
formes lin´eaires fj∗ d´efinies sur F par fj∗ (f ) = f (xj ).
Chaque ´el´ement f de F se d´ecompose en : f = f (x0 )f0 + f (x1 )f1 + · · · + f (xn )fn .
´ de l’exercice 11.4.5
Corrige
1. N´ecessairement 1 ≤ p ≤ n, car le dual de IKn est de dimension n.
On compl`ete f1 , f2 , . . . , fp en une base (ε∗ ) = f1 , f2 , . . . , fp , fp+1 , . . . , fn de (IKn )∗ .
On sait que (ε∗ ) est de mani`ere unique la base duale d’une base (ε) de IKn .
Pour tout x de IKn , x =

n
X

x k εk =

k=1

n
X

fk (x) εk .

k=1

Ker fk est form´e des vecteurs x dont la k-i`eme composante xk est nulle.
L’intersection des Ker fk est donc ´egale `a Vect {εp+1 , . . . , εn }.
On a f =

n
X

f (εk )fk . Donc f ∈ Vect {f1 , . . . , fp } ⇔ f (εp+1 ) = · · · = f (εn ) = 0.

k=1

ce qui ´equivaut `a dire que Ker f contient εp+1 , . . . , εn ou encore le sous-espace qu’ils
engendrent c’est-`a-dire l’intersection des Ker fk .
Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 22 mai 2000

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Espaces vectoriels et alg`ebres

2. On suppose maintenant que f1 , f2 , . . . , fp sont li´ees.
Ecartons le cas trivial o`
u les fk sont toutes nulles, car alors le r´esultat est encore vrai :
en effet f est combinaison lin´eaire des fk ⇔ f = 0 ⇔ Ker f = IKn , or les noyaux
Ker fk (et donc leur intersection) sont ´egaux `a IKn .
Soit r le rang de la famille f1 , . . . , fp . Quitte `a renum´eroter, on peut bien supposer que
f1 , . . . , fr sont libres et donc que fr+1 , . . . , fp en sont des combinaisons lin´eaires.
D’apr`es la premi`ere partie de l’exercice, on voit que les noyaux de fr+1 , . . . , fp contiennent l’intersection des noyaux de f1 , f2 , . . . , fp .
On en d´eduit que

p
\

r
\

Ker fk =

k=1

Ker fk .

k=1

Dans ces conditions :
f

est combinaison lin´eaire de f1 , . . . , fr , . . . , fp
⇔ f est combinaison lin´eaire de f1 , . . . , fr
⇔ Ker f contient
⇔ Ker f contient

r
\
k=1
p
\

Ker fk (en utilisant le 1.))
Ker fk

k=1

Conclusion : le r´esultat de (1.) est encore valable si la famille f1 , f2 , . . . , fp est li´ee.

Jean-Michel.Ferrard @ ac-lyon.fr, 22 mai 2000

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