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LSM.1.001 examen dec 08 .pdf


Nom original: LSM.1.001-examen_dec_08.pdf
Titre: On considère un plateau muni d’un référentiel auquel est associée une base cartésienne (voir figure)
Auteur: T.Gourieux

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NANCY UNIVERSITE

SUJET D’EXAMEN

FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
DIPLOM
Epreuve de

Examen
Date

L1 SM

Mécanique du Point
Décembre 2008
Décembre 2008

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Durée du sujet
2h
Rédacteurs: T. Gourieux, F. Favier, E. Aubert

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Documents autorisés
Documents non autorisés
Calculatrices autorisées
Calculatrices non autorisées




___________________________________ |_______________________________________
Question de cours
Soit un point matériel M dont le mouvement peut être décrit dans un référentiel absolu
R(O,xyz) et dans un référentiel relatif R’(O’,x’y’z’).
Donner les expressions définissant les vitesses absolue, relative et d’entrainement de M ainsi
que la relation liant ces vitesses.
Donner les expressions définissant les accélérations absolue, relative, d’entrainement et de
Coriolis de M ainsi que la relation liant ces accélérations.

Exercice I
On considère une table horizontale assimilable à un référentiel galiléen
r r r
est associée une base cartésienne orthonormée i , j ,( k ) .

{

{ O; x , y ,( z ) } auquel

}

Un petit cube de masse m, assimilable à un point matériel M repéré dans le plan de la table
par ses coordonnées cartésiennes ( x , y ) , se déplace sur cette table sous l’influence d’une
r
r
force de poussée constante : F = F i , avec F > 0 .
Le frottement du cube sur le plan n’est pas nul : il est modélisé par une force qui s’oppose au
r
r
mouvement, proportionnelle au vecteur vitesse du cube : f = −k v , où k est une constante
positive.

I-1 - Discuter brièvement de l’influence du poids du cube dans ce problème.
I-2 - Ecrire et résoudre les équations du mouvement sachant qu’au temps t = 0 le cube est parti
r
r
du point O avec une vitesse initiale v0 = v0 j , avec v0 > 0 .
I-3 - Montrer qu’au bout d’un temps suffisamment long le cube finit par adopter un mouvement
rectiligne uniforme dont vous préciserez les caractéristiques (direction et vitesse).

r
I-4 - Faire un dessin schématique de la trajectoire où seront représentés les vecteurs forces F et
r
f à un instant donné.

Exercice II
On considère la courbe plane (spirale d’Archimède) définie par ses équations paramétriques
cartésiennes :
⎧ x(t ) = v0 t cos ωt

⎩ y (t ) = v0 t sin ωt

où v0 et ω sont deux constantes positives

II-1i- Faire un schéma représentant un point M(t) ayant les coordonnées cartésiennes x(t), y(t) ; faire
figurer sur ce schéma les coordonnées polaires ( r ,θ ) repérant ce point M.
ii- Exprimer les équations paramétriques de la courbe dans le système de coordonnées polaires

( r ,θ ) . (i.e. donner les expressions r (t ) et θ (t ) en fonction des données du problème et du temps
t)

II-2r r
r
i-Calculer l’expression du vecteur τ du trièdre de Serret-Frenet dans la base ( u r , uθ ) en
fonction de v0 , ω et du temps t .
r r
r
ii- Démontrer que le vecteur n du trièdre de Serret-Frenet s’écrit dans la base ( u r , uθ ) :
r r
r − t ω u r + uθ
n=
1 + t 2ω 2
r
iii- En déduire l’expression du vecteur b du trièdre de Serret-Frenet dans la base orthonormée
r r r
( u r , uθ , u z ) .
iv- Calculer les expressions des composantes tangentielle et normale du vecteur accélération
ainsi que le rayon de courbure R de la trajectoire.

r r r
II-3 - Faire un dessin de la trajectoire et représenter sur ce dessin les vecteurs ( τ , n , b ) ainsi que
les vecteurs vitesse et accélération.
r
Bonus : la courbe étant plane, montrer qu’alors on peut très facilement obtenir l’expression de n
r r
r
dans la base ( u r , uθ ) à partir de celle de τ .


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