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Université Blaise Pascal

Département de Mathématiques et Informatique

Année 2010-2011

Licence 1 - S1 - U.E. Mathématiques A ou B

Examen du 10 janvier 2011
Durée : 3 heures. Les exercices sont indépendants. Les calculatrices, les documents et les
téléphones portables sont interdits. Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction dans la
correction.
Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs u1 , ..., un d'un espace vectoriel
E sera noté Vect(u1 , ..., un ). Mn (R) désigne l'espace des matrices carrées réelles d'ordre n et
Mn,p (R) désigne l'espace des matrices a n lignes et p colonnes. En n, si M est une matrice
de Mn (R), on note tM sa matrice transposée.
Notation :

Dans l'espace vectoriel R4 on considère u1 = (0, 1, 2, −3) et u2 = (−1, 0, 1, −2),
F = Vect(u1 , u2 ) et G l'ensemble des solutions (x, y, z, t) ∈ R4 du système
Exercice 1.

(
x+y+z−t
= 0,
x + 2y + 3z − 4t = 0.

(1)

1. Montrer que la famille {u1 , u2 } est libre. Donner la dimension de F .
2. Montrer que u02 = (7, 4, 1, 2) est une combinaison linéaire de u1 et u2 , et que {u1 , u02 } est
une base de F .
3. Résoudre le système (1) en fonction de z et t. En déduire que G = Vect(v1 , v2 ) où
v1 = (1, −2, 1, 0), v2 = (−2, 3, 0, 1).

4. Montrer que {v1 , v2 } est une base de G et que la famille {v1 , v20 } l'est aussi, où v20 =
(−2, 1, 4, 3).
5. Soit U la matrice obtenue en plaçant en lignes les coordoonées des vecteurs u1 , u02 , v1 et
v20 :


0
1 2 −3
7
4 1 2

U =
 1 −2 1 0  .
−2 1 4 3

Calculer D = U · tU et donner son inverse D−1 .
6. En déduire que U est inversible avec U −1 = tU D−1 et que {u1 , u02 , v1 , v20 } est une base de
R4 .
7. Prouver que F ⊕ G = R4 .
8. Déduire de la question 6 les coordonnées a, b, c et d du vecteur (1, 1, 1, 1) dans la base
{u1 , u02 , v1 , v20 }, c'est-à-dire les réels a, b, c et d tels que
(1, 1, 1, 1) = au1 + bu02 + cv1 + dv20 .

1

Exercice 2.

Soit E le sous-ensemble de M3 (R) dé ni par :


d c a
n
o


c
0
−b
E = M (a, b, c, d) =
; a, b, c, d ∈ R .
a b 0

1. Véri er que E est un sous-espace vectoriel de M3 (R).
2. Soit M (a, b, c, d) ∈ E . Calculer det(M (a, b, c, d)) puis donner une condition nécessaire et
su sante portant sur a, b, c et d pour que la matrice M (a, b, c, d) soit inversible.
3. Donner une base de E . Quelle est la dimension de E ?
Exercice 3.

Soit f1 = (1, 0, 1), f2 = (1, 1, 1) et f3 = (0, 0, 1) trois vecteurs de R3 .
1. Montrer que F = {f1 , f2 , f3 } est une base de R3 .
2. Donner la matrice de passage P = (pij )1≤i,j≤3 de la base canonique {e1 , e2 , e3 } de R3 à
la base F , c'est-à-dire celle donnée par fj = p1j e1 + p2j e2 + p3j e3 pour j = 1, 2, 3 ; puis
calculer son inverse P −1 .



0 1 0
Soit la matrice A = 1 0 −1 .
0 1 0
3. La matrice A est-elle inversible ?


4. Véri er que P −1 AP = B


0 1 1
B = 0 0 −1 .
0 0 0

avec

5. Calculer B 2 , B 3 . Montrer que pour tout n ≥ 3, An = 0.
6. Soit T l'ensemble des matrices T de M3,1 (R) telles que le système AX = T d'inconnue
X ∈ M3,1 (R) a au moins une solution. Montrer que T est un espace vectoriel et donner
sa dimension.
Exercice 4.

On dé nit une suite (un )n≥0 en posant



u0 = 2

 un+1 = 1 +

1
pour tout n ≥ 0.
un

On dé nit vn = u2n et wn = u2n+1 pour tout n ≥ 0.
1. Montrer que un > 0 pour tout n ≥ 0.
2. Montrer que la fonction
g : x 7→ 1 +

1

1
x
et que g(x) ≤ 2 pour tout x ∈ R+∗ .
1+

est croissante sur R+∗
3. Établir, pour tout entier n ≥ 0, une relation entre vn+1 et vn puis entre wn+1 et wn .
4. En déduire que la suite (vn )n≥0 est décroissante et que la suite (wn )n≥0 est croissante.
2

5.
6.
7.
8.
9.

Montrer que la suite (vn )n≥0 admet une limite nie non nulle `0 .
Montrer que la suite (wn )n≥0 est majorée.
En déduire que la suite (wn )n≥0 admet une limite nie non nulle `1 .
Calculer `0 et `1 .
Montrer que la suite (un )n≥0 converge et calculer sa limite.

3


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