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MPSI2

2012/2013

Devoir surveillé n04
Durée:

3h. Les calculatrices

sont interdites.

Exercices
. 1
D'etemuner
.
1 Iimi d f()
E xercrce
r,
a
te e
x
Exercice

=

f :]-

(x
.
ln 1 + x)
est prolongeable par continuité en 0 en une application g à préciser. Prouver que g est

2. On considère l'application

1) Monter que f
de classe C1 sur] - 1,

3 .. On considère l'application

met une droite asymptote D en
Exercice

1, O[U]O, +oo[~~,

+00[.

2) Montrer que g admet un développement
Exercice

2tan(x)
- tan(2x)
1
(
())
orsque x ~ O.
x 1- cos 3x

+00

limité à l'ordre 2 en

f

H-

X

°

que l'on précisera.
2

:]0, +oo[~

~, x

x

I---t

-

X

x+l

+ 2 e-~ ; montrer que Cf ad-

et préciser la position locale de Cf par rapport à D.

fn : [0, +oo[~~,

4. Si nE N*, on considère l'application

1) Si n E N*, montrer que l'équation fn(x) =
que l'on notera Un; vérifier que Un E]O, 1[.

°

X I---t X

+

e7lX

-

2.

admet sur ~+ une solution et une seule

2) Montrer que la suite (un) est monotone (on pourra étudierle

signe de fn+1(

Un)).

3) Prouver que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.
4) Montrer que

Un

rv

ln~2) lorsque

5) Donner le DL2(n HExercice

n~

+00.

.

Un, +00).

5. Si n est un entier ~ 2, on considère le polynôme Pn(X)

= (X - l )" - Xn

+ l.

1) On suppose que Pn admet une racine multiple a.
a. Montrer que an-1 = 1 et (a - l)n-1 = l.
b. En déduire que a = ei~ ou e-i~, et que n == 1 [6].
2) a. Si n == 1 [6], vérifier que Pn admet deux racines au moins doubles.
b. Décomposer P7 en produit de facteurs irréductibles sur ~[X].

Problème 1
(Pn)nEN" est la suite de polynômes définie par Pl (X) = -X et la relation de récurrence

Pn+1(X)

=

(X2

+ l)P~(X)

On considère l'application

- (2n

+ l)XPn(X).

1

f : ~ ~ ~, i s-» ..Jt2+1

1

=

(t2 + 1)-2.

t +1
1) a. Calculer P2 et P3.
b. Prouver que le terme de plus haut degré de Pn est (-I)nn!Xn.
c. Etudier la parité des polynômes Pn.

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MPSI2

2012/2013

2) a. Justifier rapidement que f est de classe C'" sur lR.
b. Montrer que pour tout nE N*, on a: Vt E lR, f(n)(t) = Pn(t)(t2 + l)-n-~.
c. Vérifier que: Vt E lR, (1 + t2)f'(t) + tf(t) = O.
En déduire, si n 2: 2, que Pn+1(t) + (2n + l)tPn(t) + n2(t2 + l)Pn-l(t)
=0
2
et P~(t) = -n Pn-l(t).
d. Prouver que (X2 + l)P;':(X) - (2n - l)XP~(x) + n2 Pn(X) = Q..
3) a. 9 : [a; +oo[-+lR est une application dérivable vérifiant g(x) -+ g(a) lorsque x -+ +00.
Montrer qu'il existe C E]a; +oo[ tel que g'(c) = 0
(on pourra considérer l'application h : [arctan(a); ~ [-+ lR, t M g(tan(t))).
b. Montrer que pour tout n E N*, Pn a n racines réelles.
4) Soitn un entier 2: 2; on considère En = {A E lR[X]/ (X2 + l)A"(X)
- (2n - l)XA'(X)

+ n2 A(X) = O}.

a. Vérifier que: V(Q, /3) E
V(A, B) E (En)2, QA + f3B E En.
b. Si A est un élément non nul de En, montrer que deg(A)= n.
c. Prouver que En = {).Pn; À E R}.

lR2,

Problème 2
On dit qu'un élément de lR[X] de degré p E N* est simplement scindé sur lR s'il possède p racines
réelles deux à deux distinctes.
Dans toute la suite, n désigne un entier 2: 2 et P E lR[X] un polynôme de degré n. TIexiste donc
(ao, ... , an) E lRn+l où an =1 0 tel que P = ao + a1X + ...+ anXn.
1) a. Montrer que si P est simplement scindé sur lR, alors P' est également simplement scindé sur R
Préciser la position des racines de P' par rapport à celles de P.
b. La réciproque est-elle vraie?
2) On suppose toujours que P est simplement scindé sur R Montrer que pour tout k E [0, n - 1], le
polynôme p(k) est simplement scindé sur lR.
3) On souhaite maintenant montrer que si P est simplement scindé sur lR alors aucun coefficient nul
de P ne peut être encadré par deux coefficients non nuls strictement positifs. Supposons qu'il existe
k E [0, n - 2] tel que ak+1 = 0, ak > 0 et ak+2 > O.On note Q = pCk).
a. Montrer que Q(x) - Q(O) r-v Ck~2)! ak+2x2 lorsque x -+ O.
b. En déduire que Q admet un minimum local en O. Que vaut Q'(O)?
c. On suppose que Q admet une racine strictement positive. On note c la plus petite racine >0 de Q.
Montrer que Q' possède une racine strictement comprise entre 0 et c.
d. Mettre en évidence une contradiction avec l'hypothèse: P est simplement scindé sur lR
(on pourra utiliser la question 1)).

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