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Nom original: ancd.pdf
Titre: Université Blaise Pascal : L1S1, mathématiques, module A ou B : examen final, session 1, janvier 2011
Auteur: ©Université Blaise Pascal, département de mathématiques et informatique

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Département de mathématiques et informatique
11MATF-S1 – Module S1 A ou B maths
Mardi 17 janvier 2012, 13h30.

Examen final – 1re session
Documents et calculatrices interdits.
Durée : 3 heures.
Ce devoir comporte 3 pages.
La qualité de la rédaction, la clarté des justifications sont des éléments pris en compte
dans l’évaluation de la copie.
Exercice 1 – On considère la matrice


20 24 −24


A = 10 12 −12 .


25 30 −30
On note I la matrice identité d’ordre 3.
a) Justifier, avec un minimum de calculs, que la matrice A n’est pas inversible.
b)

i) Soit λ ∈ R. Montrer que


0 
1 −2



5 6 − λ
−6
 .

det(A − λI) = −10λ det 

2

λ 

5
6
−6 −
5
ii) En déduire que det(A − λI) = −λ2 (λ − 2).
iii) Pour quelles valeurs de λ la matrice A − λI n’est-elle pas inversible ?

c) On pose


−6 6 4


P =  5 0 2 .


0 5 5
i) Par la méthode de Gauss, montrer que P est inversible et que son
inverse est


 −1 −1 6/5 


P −1 = −5/2 −3 16/5 .


5/2 3
−3
Page 1 sur 3

ii) Calculer P −1 AP .

n
iii) Pour tout entier n ≥ 1, démontrer l’égalité P −1 AP = P −1 An P .
iv) Déduire des questions précédentes la valeur de An pour tout entier
n ≥ 1.
d) On note V0 le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs u1 =
(−6, 5, 0), u2 = (6, 0, 5) et u3 = (0, 5, 5). On considère

 
 

x


x




 

3
y  = 2 y 
.
(x,
y,
z)

R
:
A
V2 = 







 
 




z
z
i) Montrer que la famille {u1 , u2 , u3 } est liée et en déduire que V0 =
Vect{u1 , u2 }.
ii) Montrer que V2 est un sous-espace vectoriel de R3 .
iii) Donner une base de V0 . Quelle est la dimension de V0 ?
iv) Montrer que V2 est l’ensemble des solutions du système


3x + 4y
−4z = 0




5x + 5y
−6z = 0




 25x + 30y −32z = 0.
v) Donner une base de V2 .
vi) Montrer que les sous-espace vectoriels V0 et V2 sont supplémentaires dans R3 .
vii) Trouver des réels a, b et c tels que
n
o
V0 = (x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0 .
Exercice 2 – Soit u0 = −3 et v0 = 2. On définit deux suites (un )n≥0 et (vn )n≥0 en posant
1
un = (un−1 + vn−1 )
2
1
vn = (un−1 + 2vn−1 )
3
pour tout n ≥ 1.
a)

i) Pour tout n ≥ 1, exprimer vn − un en fonction de vn−1 − un−1 . En déduire que vn ≥ un pour tout n ≥ 0.
ii) Déduire de la question précédente que la suite (un )n≥0 est croissante.
iii) Montrer que la suite (vn )n≥0 est décroissante.
iv) Montrer que un ≤ v0 et vn ≥ u0 pour tout n ≥ 0.
Page 2 sur 3

v) Justifier que les suites (un )n≥0 et (vn )n≥0 convergent.
vi) Montrer que les suites (un )n≥0 et (vn )n≥0 ont même limite.
b) On définit deux suites (wn )n≥0 et (xn )n≥0 en posant
wn = un − vn

3
et xn = un + vn
2

pour tout n ≥ 0.
i) Montrer que


1


 wn = wn−1
6



 xn = xn−1
pour tout n ≥ 1.
ii) En déduire le terme général de la suite (wn )n≥0 et celui de (xn )n≥0 .
iii) En déduire le terme général de la suite (un )n≥0 et celui de (vn )n≥0 .
iv) Déterminer les limites des suites (un )n≥0 et (vn )n≥0 .
Exercice 3 – Soit x ∈ [0, 2π[ un nombre réel.
x
x
et cos .
2
2
b) Déterminer le module et l’argument (lorsqu’il existe) des nombres complexes
1 + cos x + i sin x et 1 − cos x − i sin x.
a) Exprimer 1 + cos x et sin x en fonction de sin

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