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Nom original: Mécanique 53.pdfTitre: CINÉMATIQUEAuteur: Renard

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CINÉMATIQUE
1. INTRODUCTION
Dans le cours de mécanique de 4ème année nous avons étudié le MRU et le MRUV.
Nous avons trouvé les équations et les graphes correspondant à chaque mouvement.
Tous les mouvements étudiés se faisaient selon une trajectoire rectiligne mais dans la réalité, les
mouvements peuvent se faire dans le plan ou l’espace. Donc, la vitesse qui était représentée par
une flèche plus ou moins grande selon la valeur de cette vitesse pourra aussi varier en direction.
Nous devons introduire la grandeur mathématique : vecteur.
La vitesse et l’accélération pouvant varier en intensité et en direction seront des vecteurs.
2. VECTEUR VITESSE INSTANTANÉE D’UN MOBILE
La vitesse instantanée est la vitesse réelle du mobile à une date précise.

Par définition, le vecteur vitesse instantanée Vi à une date t précise est :


x

Vi
(en m/s) avec x le vecteur déplacement
t
et t tendant vers zéro
La vitesse instantanée Vi peut être constante ou varier dans le temps, c’est une grandeur
vectorielle :
origine : le mobile étudié
direction : tangente à la trajectoire
sens : celui du mouvement
x xF xI
0.
intensité : Vi
( m/s ) avec t
t
t
3. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME
3.1. Condition
La condition pour avoir un MRU est : Vi C te
cela signifie que :
la direction est constante
la trajectoire est une droite
le sens est constant
le mouvement est uniforme.
l' intensité est constante
3.2. Equation
 

X V t X0

X : position, en m, du mobile à l’instant t.

V : vitesse du mobile en m/s.

X 0 : position du mobile à l’instant initial.
3.3. Graphes
Vitesse en fonction du temps
La vitesse est positive c-à-d que le mobile La vitesse est négative c-à-d que le mobile
se déplace dans le sens de l’axe des X.
se déplace en sens contraire de l’axe des X.
V (m/s)

V (m/s)
0

0
t (s)
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t (s)

Position en fonction du temps
La pente de la droite représente la vitesse La pente de la droite représente la vitesse
qui est positive.
qui est négative.
X0 représente la position du mobile à
X0 représente la position du mobile à
l’instant initial c-à-d au moment où on
l’instant initial c-à-d au moment où on
déclenche le chronomètre.
déclenche le chronomètre.
x (m)

x (m)
x0

x0

0

0
t (s)

t (s)

La surface sous la courbe représente le déplacement.
4. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMÉMENT VARIE
4.1. Condition
La condition pour avoir un MRUA est : a C te
cela signifie que :
la direction est constante
la trajectoire est une droite
le sens est constant
le mouvement est uniforme
l' intensité est constante
4.2. Equations
L’équation horaire du mouvement sera
L’équation horaire de la vitesse sera
 

 1 


X
a t ² V0 t X 0
Vi a t V0
2

X : position, en m, du mobile à l’instant t

V
: vitesse, en m/s, du mobile à l’instant t

a : accélération tangentielle, en m/s², du mobile à l’instant t

V0 : vitesse du mobile du mobile à l’instant t0

X 0 : position du mobile à l’instant initial.
4.3. Graphes
Accélération en fonction du temps
L’accélération est positive c-à-d que le
L’accélération est négative c-à-d que le
mobile va de plus en plus vite.
mobile va de moins en moins vite.
Il accélère.
il freine.
a (m/s²)

a (m/s²)

0

t (s)

0

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t (s)

vitesse en fonction du temps
V0 représente la vitesse à l’instant initial
V0 représente la vitesse à l’instant initial
c-à-d au moment où l’on déclenche le
c-à-d au moment où l’on déclenche le
chronomètre.
Chronomètre.
La pente de la droite représente
La pente de la droite représente
l’accélération.
l’accélération.
Vi (m/s)

Vi (m/s)
V0

V0

0

0
t (s)

t (s)

position en fonction du temps
La courbe est une portion de parabole
de concavité positive (vers le haut).
Ce qui traduit une augmentation de
vitesse.

La courbe est une portion de parabole
de concavité négative (vers le bas).
Ce qui traduit une diminution de
vitesse.

x (m)

x (m)

x0

x0

0

0
t (s)

t (s)

5. TRAJECTOIRE PARABOLIQUE

A la sortie du fût d’un canon, un obus a une vitesse de V0 . Le fût du canon fait un angle
l’horizontale. On négligera les frottements de l’air sur l’obus.
A. Trouver les équations horaires du mouvement.
Y
B. Calculer les coordonnées de la portée, de la flèche.
C. Déterminer l’équation de la trajectoire.
D. Trouver les coordonnées de l’obus à chaque instant t.
E. Trouver la vitesse de l’obus à chaque instant t.

avec

V0

X
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Equations horaires de la position
1
X V0 t cos
Y - g t 2 V0 t sin
2
Equations horaires de la vitesse
Vx V0 cos
Vy
g t V0 sin
Equation de la trajectoire
g
Y
X 2 X tan
2
2
2 V0 cos
Coordonnées de la portée (XP, YP)

2 V02 cos
g

sin

,0

Coordonnées de la flèche (XF, YF)

V02 cos
g

sin

V 2 sin 2
, 0
2 g

6. LE MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME MCU
6.1. Conditions
La trajectoire est un cercle.
La direction du vecteur vitesse varie et est tangente à la trajectoire.
L’intensité du vecteur vitesse est constante.
6.2. Equation de la vitesse
Comme l’intensité du vecteur vitesse est constante, le mobile mettra toujours le même temps
pour effectuer un tour complet.
On appelle période de révolution T, le temps nécessaire pour que le mobile effectue un tour.
R et la vitesse instantanée sera :
L’espace parcouru en une période sera : 2
2
V
R.
T
Comme 2 T ne dépend que de la période de révolution et que ce rapport s’exprime en
radian par seconde, nous appellerons ce rapport vitesse angulaire .
Donc, la vitesse instantanée sera :
V
R

2
2
f
T
f : fréquence en hertz Hz
nombre de tours par seconde.
La vitesse angulaire est la portion d’angle balayé par unité de temps. Cette grandeur est
constante pour un mouvement donné alors que la vitesse instantanée augmente lorsqu’on
s’éloigne du centre.

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6.3. Calcul de l’accélération
Par définition, le vecteur accélération sera :




V Vf Vi
a
avec t
0
t
t


La construction nous montre que les vecteurs vitesses Vf et Vi ont des directions
différentes. On déplace les vecteurs vitesses pour que leur origine soit confondue.

O

A
D
Calcul de V
C
Le théorème de Chasles nous montre que :

OA AC CO 0

OA AC OC 0

V AC OC OA
On choisit un point D tel que AD = DC

On choisit un vecteur unitaire u AC dirigé de A vers C
Le triangle OAC est isocèle en O et le triangle OAD est rectangle en D.
Donc, nous pouvons écrire :

AC 2 AD u AC

2 V sin
u AC
2
par la suite, nous devrons faire tendre t vers 0 c-à-d que va tendre vers 0
Donc, on peut assimiler le sinus à son angle en radian

AC V
u AC
Conclusion,


V V
u AC


V
V
u AC
t
t

finalement, lorsque t tend vers 0, le vecteur unitaire u AC va tendre vers un vecteur dirigé

selon un rayon et vers le centre du cercle. Ce vecteur unitaire sera appelé vecteur normal u n
.
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a

Par définition,

a

V

t

t


u N avec t

est la vitesse angulaire

0

et comme V

R


R un

2

ou

a

V2 
un
R

7. VECTEUR ACCÉLÉRATION INSTANTANÉE D’UN MOBILE.
Le vecteur accélération instantanée est la variation du vecteur vitesse instantanée dans le temps.



Vi VF Vi
a i, t
en m/s².
t
t
L’accélération est un vecteur dont :
l’origine est le mobile étudié
la direction dépend du type de mouvements
le sens est celui du mouvement s’il y a accélération
contraire au mouvement s’il y a décélération
l’intensité est positive s’il y a accélération
négative s’il y a décélération

V2 
V 
uN
ut
R
t
Le vecteur accélération instantanée possède une direction par rapport à la trajectoire :
La composante tangentielle : V
du vecteur accélération instantanée, appelée accélération
t
tangentielle, est responsable de la variation d’intensité du vecteur
vitesse instantanée et est tangente à la trajectoire.

a i, t

2
La composante normale : V

du vecteur accélération instantanée, appelée accélération
R
centripète ou accélération normale, est responsable de la variation de
direction du vecteur vitesse instantanée et est perpendiculaire à la
trajectoire.

8. EXERCICES
8.1. Un dollar d’argent est jeté vers le bas à un angle de 60° au-dessous de l’horizontale d’un
pont, à 50 m au-dessus du fleuve. Sa vitesse initiale est de 30 m/s.
A quel point et avec quelle vitesse frappe-t-il l’eau ?
8.2. Une balle de base-ball est lancée à 1,3 m au-dessus du terrain. Le coup l’envoie à 30° audessus de l’horizontale avec une vitesse de 45 m/s. La clôture du terrain est à une distance
de 100 m et elle à une hauteur de 11,3 m déterminer si la balle touche la clôture.
8.3. Une voiture miniature se déplace sur le plancher. Sa position est donnée simultanément par
les deux fonctions
x(t) = (2,0 cm/s2)t2 — (8,0 cm) et
y(t) = (4,0 cm/s2)t2 + (2,0 cm/s)t - 8,8 cm.
Déterminer le module de l’accélération de la voiture.
Déterminer le module de la vitesse instantanée à l’instant 5 s.

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8.4. Un motard de la police routière est stationné sur le côté d’une autoroute, lisant un magazine, quand
une femme passe dans une Ferrari rouge 308 GTS faisant 90 km/h. Après quelques essais pour
démarrer sa moto, il se lance à sa poursuite après 2s. Sachant que sa vitesse maximale est 110 km/h
que doit être son accélération pour rejoindre la femme 2 km plus loin ?

8.5. Une fille, courant en ligne droite à la vitesse constante de 2 m/s, lance une balle à la
verticale avec une vitesse de 4,9 m/s.
De quelle distance se déplace-t-elle, avant que la balle retombe dans sa main ? On néglige
la résistance de l’air
8.6. Lors d’un accident de voiture en Angleterre en 1960, une Jaguar a laissé, sur la chaussée,
les marques de freinage les plus longues, 290 m. Comme nous verrons ultérieurement, la
force de frottement entre les pneus et la chaussée varie avec la vitesse, produisant une
décélération qui augmente lorsque la vitesse diminue. Supposant une accélération moyenne
de -3,9 m/s2, quelle était la vitesse initiale de la voiture?
8.7.
Les schémas montrent deux positions occupées par
une voiture à 5 secondes d’intervalle. Son compteur
de vitesse indique dans la position 1 : 90 km/h et
dans la position 2 : 45 km/h.
Placer les vecteurs vitesses et trouver
graphiquement l’accélération moyenne dans les
deux cas.

8.8. Calculer la vitesse instantanée et la vitesse angulaire d’une personne se situant :
à l’équateur.
à 50° de latitude.
Rayon terrestre 6380 km.
8.9. Phobos est un satellite de Mars. Il décrit autour de la planète une orbite circulaire
de 9380 km de rayon en 7h40min.
Calculez sa vitesse, sa vitesse angulaire, son accélération.
8.10. Un tube d’essai de 10 cm de longueur est maintenu à 30° par rapport à la verticale dans une
centrifugeuse. Son ouverture se trouve à 5,0 cm de l’axe de rotation de la machine. Quelle
est l’accélération centripète d’une cellule au fond du tube lorsque la machine tourne à
40 000 tours par minute?

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LES LOIS DE NEWTON
1. INTRODUCTION
Newton (1642 – 1727) était un mathématicien, physicien, astronome anglais. Il étudia
l’astronomie et, en 1665, il découvrit la loi de gravitation universelle. En cette même année, il
put calculer la force qui retient la Lune sur son orbite. Ces travaux sur l’astronomie furent
publiés en 1687 sous le titre : Principes mathématiques de philosophie naturelle.
Il abandonna l’astronomie pour se consacrer aux mathématiques et à l’optique.
En 1669, il montra que la lumière blanche est constituée des 7 couleurs de l’arc-en-ciel.
En 1671, il fabriqua et utilisa le premier télescope à réflexion ; Il établit le fondement du calcul
différentiel et intégral qu’il publia sous le titre de : Méthode des fluxions.
En 1704, il publie son traité d’optique
2. PREMIÈRE LOI DE NEWTON OU PRINCIPE DE GALILÉE OU LOI D’INERTIE
A. Enoncé de la loi
En 1687, Newton énonça sa première loi :
Un mobile de masse m soumis à un ensemble de forces dont la résultante est nulle, est en
mouvement rectiligne uniforme ou au repos.
B. Confrontation avec la théorie d’Aristote
Cette loi était opposée à la vision aristotélicienne pour laquelle tout mouvement d’un objet
lourd, autre que la chute libre, nécessite l’action d’une force. Si on supprime cette force, le
mouvement cesse spontanément.
Comme nous vivons sur une planète où la gravitation et les frottements masquent la réalité, la
conception d’Aristote semble être en accord avec la réalité car nous devons toujours pousser
les objets pour les maintenir en mouvement.
C. Expérience de Galilée
L’expérience qui a conduit Galilée puis Newton à la loi d’inertie utilisait deux plans inclinés
placés bout à bout. Ils laissèrent rouler une balle, en partant du repos, vers le bas sur le
premier plan. Elle arrive au fond et remonte le second plan, à une vitesse de plus en plus
faible jusqu’à son arrêt momentané puis elle redescend. Quelle que soit l’inclinaison du
second plan, la balle s’arrête à un niveau légèrement plus bas que celui de son point de départ
sur le premier plan. En polissant la balle et les plans inclinés, Galilée puis Newton observèrent
que la différence de niveaux diminuait. Ils conclurent que cette perte était due au frottement
entre les plans et la balle.

Ensuite ils réduisirent progressivement la pente du deuxième plan, la balle allait de plus en
plus loin avant de s’arrêter. Ils en conclurent que si le second plan était parfaitement lisse et
horizontal, la balle roulerait indéfiniment, sans jamais s’arrêter dans un mouvement rectiligne
uniforme.

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D. Exemples
Une nouvelle équivalence est établie entre le repos et le mouvement uniforme. Si l’un de ces
états est établi, il persiste toujours en l’absence de force, et pour modifier l’un de ces états,
une force est nécessaire.
Exemple : Une pièce de monnaie est au repos dans votre main, bien que vous vous déplaciez
dans une voiture à 50 km/h. Une personne au sol verrait la voiture, vous-même et
la pièce en mouvement. La loi d’inertie reste valable pour vous dans la voiture et
l’observateur au sol. En effet, la vitesse de la pièce par rapport à vous est nulle et
la vitesse de la pièce par rapport à l’observateur est 50 km/h. Ces conclusions
restent vraies tant qu’aucune force extérieure ne vienne modifier le mouvement.
Exemple : Les astronautes d’Apollo en 1969 ont arrêté leurs moteurs et continué leur voyage
vers la Lune sans aucune force motrice.
3. DEUXIÈME LOI DE NEWTON OU PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
L’état de mouvement d’un objet change si on applique une force, c’est ce que stipule la première
loi. Mais quel est ce changement ?
La réponse est dans la deuxième loi de Newton qui porte sur les grandeurs : force, masse,
vitesse, temps.
A. Enoncé du principe
Si, à un instant quelconque, un point matériel est soumis à un ensemble de forces

quelconques, alors il sera animé d’un mouvement dont l’accélération est un vecteur a :
- de même direction et même sens que la résultante des forces
- d’intensité proportionnelle à l’intensité de la force F


F m a
B. Conséquence : inertie de la masse
Si deux mobiles, initialement au repos, sont soumis à la même force, celui dont la
masse est la plus grande acquiert l’accélération la plus faible. Son aptitude à
s’opposer au mouvement est la plus grande : c’est le principe d’inertie.
4. TROISIÈME LOI DE NEWTON OU PRINCIPE D’ACTION ET RÉACTION
A. Expérience : un ballon pressé contre un mur
Vous pourriez prétendre que vous seul déformez le ballon, sans aucune aide du mur. Mais le
ballon est aplati des deux côtés. Un observateur voyant ce ballon aplati ne pourra jamais dire
si c’est la main qui s’est déplacée ou si c’est le mur qui l’a poussé contre la main immobile
B. Expérience : interaction à distance
On attache deux aimants comme indiqués sur le dessin
N

N

Si on coupe le lien, les deux aimants vont s’éloigner l’un de l’autre. L’action de l’aimant A
sur l’aimant B provoque la mise en mouvement de l’aimant B. Cette action est caractérisée
par une force FA B .
La réaction de l’aimant B sur l’aimant A provoque la mise en mouvement de l’aimant A.
Cette réaction est caractérisée par une force FB A .
Il y a une interaction entre les deux aimants.
C. Expérience : interaction de contact
Imaginez que vous êtes sur une barque A initialement au repos reposant sur une eau calme. Si
vous exercez une force sur une barque B initialement au repos, vous constaterez que les deux
barques se déplaceront selon une même direction mais en sens contraire. Vous exercez une
force sur la barque B et la barque B exercera une force sur la barque A.
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D. Enonce principe d’action et de réaction
Dans ces exemples, il y a une interaction entre deux objets qui implique une paire de forces de
même intensité mais de sens opposés. Quand un objet paraît dévier de la loi d’inertie, nous
devons rechercher l’objet qui interagit avec lui.
Lorsqu’un corps A exerce sur un corps B une action mécanique caractérisée par une
force FA B , le corps B exerce sur A une réaction caractérisée par une force FB A .
Que les corps soient au repos ou en mouvement, ces forces sont directement opposées.
5. SYSTEMES DE REFERENCE INERTIELS
Un système de référence inertiel ou galiléen est un système de référence tel que la loi d’inertie est
applicable. Dans ce système, la loi fondamentale de la dynamique est applicable.
Contre exemple : Prenons le cas d’un verre d’eau placé sur la tablette dans un wagon.
Presque tout le temps, on peut appliquer la loi d’inertie au verre d’eau
En effet, le verre d’eau est soumis à deux forces : le poids du verre d’eau et
la force de réaction de la table sur le verre.
Mais, dans certaines conditions, le train freine, accélère, tourne le verre peut
glisser sur la tablette et même se renverser. Or, on n’observe aucune source
de forces : aucun objet n’agit sur le verre.
Donc, le wagon n’est pas un bon référentiel.
Exemple : Pour une personne au repos sur le quai, le verre d’eau à tendance à rester immobile
par rapport au quai. Dans le référentiel ″quai″ le verre respecte la loi d’inertie.
Conclusion : Un système en accélération par rapport à un système de référence inertiel n’est pas
un système de référence inertiel.
Exemple : Si le train est en MRU, le verre reste immobile sur la tablette et la personne sur le quai
verra le verre en MRU. La loi d’inertie est respectée.
Conclusion : Un système en MRU par rapport à un système de référence inertiel est un système
de référence inertiel.
La Terre est-elle un référentiel d’inertie ?
La Terre tourne sur elle-même en 24 h. Donc, notre laboratoire, accroché à la Terre, tourne et il
ne devrait pas être un système de référence inertiel.
Or, comme nous l’avons vu, la loi d’inertie est applicable à notre laboratoire car la rotation est
très lente et les effets de la rotation sont pratiquement indécelables.
Notre laboratoire, accroché à la Terre, sera considéré comme un système de référence inertiel.
6. EXERCICES
6.1. Un corps A de masse 1,66 kg peut glisser sur une longue table horizontale. Comme l’indique
la figure, il est réuni par des fils fins à deux autres corps, l’un B de masse 0,490 kg et l’autre
B’ de masse 0, 3 kg. On suppose que les masses des fils et des poulies sont négligeables,
ainsi que les frottements. Le système, abandonné à lui-même, prend un MRUA.
Calculer l’accélération du mouvement.
Calculer les tensions dans les fils.
Calculer le temps mis par le corps A, partant du repos en O, pour atteindre le point S situé à
une distance 2,189 m de A. Calculer la vitesse instantanée en S.
a = 0,775 m/s²
T = 4,52 N
T’ = 3,23 N
t = 2,4 s
V = 1,86 m/s
A
s

0

B
B’
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6.2. Une boule de neige de 100 g vient frapper horizontalement un mur à la vitesse de 2 m/s.
Elle s’écrase et reste accrochée au mur. Le choc a duré 0,1 s. On suppose que l’accélération
de la boule pendant le choc est constante.
a. Quelle est la valeur de la force que le mur a exercée sur la boule pendant le choc ?
Quelle est son orientation ?
b. Quelle est la valeur de la force que la boule a exercée sur le mur pendant le choc ?
Quelle est son orientation ?
6.3. Un ascenseur de 3200 kg démarre vers le haut avec une accélération de 1,5 m/s².
Calculez la valeur de la résultante des forces qu’il subit. Quelle est son orientation ?
Calculez la tension dans le câble qui le tire.
6.4. Au cours de gymnastique un garçon de 90 kg se laisser tomber jambes tendues d’une poutre
située à 1 m de sol. Il oublie de plier les jambes au moment de l’impact. Le tapis sur lequel il
se reçoit s’enfonce de 4 cm. En supposant qu’elle est constante, calculez l’accélération du
garçon entre le moment où il touche le tapis et le moment où il est arrêté.
Quelle est la valeur de la force exercée par le tapis lors de l’impact ?
Quelle est l’orientation de cette force ?
6.5. Un ressort élastique, dont on négligera la masse, a une longueur de 20 cm et une constante
de raideur de 0,01 m/N. On y suspend une bille de 100 g et on fixe l’extrémité supérieure au
point A d’un axe vertical AZ autour duquel on fait tourner l’ensemble. Sachant que l’axe du
ressort décrit un cône de demi angle au sommet égal à = 60°, calculer la longueur du
ressort et le nombre de tours par seconde.
L = 22 cm

6.6. Un fil, suspendu en O au plafond d’un wagon, supporte en A une boule ponctuelle, de masse
500 g. Le wagon, au repos sur une voie horizontale, démarre selon un MRUA et acquiert la
vitesse de 36 km/h en 50 s. Déterminer l’angle formé par le fil OA et la verticale
6.7. Quelle est la vitesse d’un cycliste qui, pour décrire une circonférence de rayon 15 m, doit
incliner le plan de symétrie de sa machine de 10° par rapport à la verticale ? On suppose que
la résultante des forces de frottement de la roue sur le sol et la force de réaction du sol sur le
vélo est dirigée selon le plan de la machine.
10°

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6.8. Un mobile M, de masse 1 kg, peut glisser sans frottements le long de la ligne de plus grande
pente d’un plan incliné faisant un angle par rapport au plan horizontal. A l’instant t = 0 s,
le mobile est au repos au point 0, origine de l’axe, et on lui applique une force de traction
qui fait le gravir. A l’instant t = 2 s, le fil casse. Le graphe donne la vitesse en fonction du
temps.
A. Déduire la nature du mouvement et le sens de déplacement du mobile suivant la valeur
du temps.
B. Calculer la valeur de l’accélération suivant la valeur du temps.
C. Quelle distance a-t-il parcourue quand le fil casse ?
D. Calculer la valeur de la force de traction (penser à écrire la loi de Newton avant et après
la rupture du fil).
X

M
0

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MÉCANIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE
1. DÉFINITION
Un solide est indéformable si la distance entre ses points ne varie pas lors de son mouvement.
2. MOUVEMENT DE TRANSLATION
Un solide est en mouvement de translation si, à chaque instant, tous les points du solide ont les
mêmes vecteurs vitesses.
L’étude du mouvement de translation d’un solide se réduit à l’étude d’un seul point « le centre de
gravité ». Les autres points du solide s’obtiennent à partir d’un vecteur de translation.
Un solide en mouvement de translation sera à l’équilibre si :
 
F 0
Le solide sera animé d’un mouvement rectiligne uniforme ou au repos.
3. APPLICATIONS
3.1. Construction de tours

La force exercée par le vent augmente avec la hauteur et doit être prise en considération
dans la construction de grattes ciel. La construction subit une force horizontale qui doit être
équilibrée par une force de réaction horizontale créée par le sol.
3.2. Traitement de dislocations
Dans le traitement de la dislocation congénitale
des hanches, le dynamomètre à ressort indique
la force appliquée à chaque jambe et un
système à vis permet de modifier la tension. La
monture double en Y maintient les jambes
écartées et assure la condition d’équilibre.

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3.3. Structures métalliques

Un cadre construit avec trois barres est indéformable.
Les barres ne peuvent pas être étirées ou compressées
pour permettre au cadre de se déformer. Par contre, un
cadre rectangulaire est déformable.
Dans la construction de certains ponts, on utilise une
structure en triangle pour rigidifier l’ensemble
3.4. Construction de cathédrales
Un bloc est entièrement en état de
compression tant que la force reste
dans le tiers central. Les structures en
maçonnerie ont une tension faible et
sont conçues de façon que la force
reste dans le tiers central.

L’arche canalise la force vers la culée. De cette
façon, chaque bloc est comprimé dans deux
directions, ce qui est judicieux car la pierre
résiste bien à la compression.

4. LES FORCES DE FROTTEMENT
4.1. Observations
Poussons une armoire remplie de livres afin de la faire glisser. Les frottements empêchent
l’armoire de glisser et il faut être deux personnes pour la faire glisser.
Au lieu de pousser à deux, une seule personne aurait pu y arriver en plaçant l’armoire sur
des patins en téflon.
les freins qui équipent un vélo sont munis de patins qui produisent des frottements d’autant
plus grands qu’ils sont fortement pressés contre la jante. Lorsque les patins sont usés, les
freins sont moins efficaces.
Conclusions : Les forces de frottement dépendent
des forces qui pressent l’une contre l’autre les surfaces en contact.
de la nature et de l’état des surfaces.
4.2. Expériences
Accrochons un dynamomètre à une brique posée sur une table horizontale. Tirons sur le
dynamomètre avec une force F pas trop grande. La brique reste immobile.
Donc, la force F et la force de frottement Ff s’équilibrent.
Mécanique 5-3 Page 14 sur 26

R

F
Ff

G
Si nous tirons de plus en plus fort, tant que la brique est immobile alors la force de traction
F et la force de frottement Ff sont égales en intensité. Nous pouvons conclure que la force
de frottement augmente comme la force de traction.
Si nous continuons à tirer sur la brique, pour une certaine valeur de la force de traction, la
brique se met à glisser. Donc, il existe une valeur limite à la force de frottement.
Lorsque la brique glisse et si nous la maintenons en MRU en appliquant une force de
traction, nous constatons :
la force de traction est plus petite que précédemment
la force de frottement Ff et la force de traction s’équilibrent.
4.3. Conclusions
Force de frottement statique Ffs agit tant que la brique est immobile.
La valeur de cette force est proportionnelle à réaction R normale à la surface de contact et
dépend du coefficient de frottement statique µs.
Ffs μ s R
Le coefficient de frottement statique dépend de la nature et de l’état des surfaces en contact.
Force de frottement cinétique Ffc agit quand la brique este en mouvement.
La valeur de cette force est proportionnelle à la réaction R normale à la surface de contact
et dépend du coefficient de frottement cinétique µc.
Ffc μ c R
Le coefficient de frottement cinétique dépend de la nature et de l’état des surfaces en
contact mais en moindre proportion à la vitesse de glissement et de l’aire des surfaces en
contact.
5. EXERCICE D’APPLICATION.
Une boîte de masse m, lancée à une vitesse V glisse sur un plan horizontal et finit par s’arrêter.
Déterminer la distance d’arrêt.
Solution :
La boîte est soumise à 3 forces.
N

Ffc
G

Mécanique 5-3 Page 15 sur 26

Après avoir choisi un système d’axes, nous pouvons écrire :
  

G N F fc m a
projetons sur les axes
axe des X
axe des Y
N G 0
Ffc m a
c

N

m a

c

m g

m a

g a
En utilisant les formules du MRUV
1
x
a t 2 V0 t
2
0 a t V0
Donc on trouve X
V02
x
2 a
V02
a
2 x
Finalement
V02
g
c
2 x
2
V0
x
2 c g
c

6. EXERCICES
6.1. Un solide de masse 300 g est suspendu en un point A par l’intermédiaire d’un fil. Il est
accroché à un ressort de raideur 80 N/m dont l’autre extrémité est fixée en B. A l’équilibre, le
ressort s’allonge de 5 cm et son axe est horizontal.
Trouver la tension qu’exerce le fil sur le solide. g=10 m/s²

B

m

6.2. Après avoir tondu sa pelouse, un homme rentre sa tondeuse de 40 kg, moteur arrêté. Il marche
à une vitesse constante et pousse la machine avec une force de 100 N dirigée parallèlement à
la poignée qui est inclinée de 50° par rapport au sol.
Quelle est la force de frottement exercée par le sol sur la tondeuse ?
Que vaut le coefficient de frottement ?

Mécanique 5-3 Page 16 sur 26

6.3. Une boite de 200 g est immobile sur un plan incliné de 1 m de long et de 20 cm de haut. Le
coefficient de frottement statique vaut 0,5. Si on applique une force de 1,5 N orientée vers le
haut parallèlement au plan, la boite se mettra-t-elle en mouvement ?

6.4. Une sphère de masse 2 kg et de rayon 15 cm est attachée en un point B de sa
surface à l’une des extrémités d’un fil de longueur 30 cm dont l’autre
extrémité est fixée en un point A d’un mur vertical lisse. La sphère est en
équilibre et s’appuie en C contre le mur.
Déterminer les caractéristiques des forces agissant sur la sphère.
g = 9,8 N/kg
6.5. Considérant le dispositif, déterminer
l’indication du dynamomètre de la corde de
droite et l’angle .

6.6. Une corde sans poids est tendue presque horizontalement
le long d’une poulie légère. Le dynamomètre est alors
taré à zéro. Un corps de poids 100 N est accroché au
milieu de la partie horizontale, qui descend alors de
10 cm. Que devient l’indication du dynamomètre?

6.7. Quelle est la force F qu’il faut appliquer au livre de 500g pour le maintenir contre le mur ?
Coefficient de frottement statique : 0,6.

Mécanique 5-3 Page 17 sur 26

6. MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT À UN AXE
6.1. Observations
Une porte est un solide en rotation autour d’un axe. Pour faire bouger la porte, il faut lui
appliquer une force faisant un angle avec le plan de la porte mais ne coupant pas l’axe de
rotation.
La mise en mouvement sera d’autant plus facile que le point d’application de la force est
loin de l’axe.
6.2. Moment d’une force par rapport à un axe
A
B
C
O
Nous disposons d’une barre tournant autour
d’un axe O passant par son milieu. La barre
est horizontale à l’équilibre.
Plaçons un corps pesant K à l’une des
extrémités.
K

On essaie de rétablir l’équilibre rompu en plaçant des poids
  
G1, G 2 , G 3 , … aux endroits A, B, C … . On constate que :
P1 OA P2 OB P3 OC .....
6.3. Moment d’une force par rapport à un axe
On appelle moment d’une force F par rapport à un axe de rotation O le produit de la force
par la distance qui la sépare de l’axe de rotation.
M 0 (F) F D F d cos
D
F

d
0

7. EQUILIBRE D’UN SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE
Un solide mobile autour d’un axe est en équilibre si la somme algébrique des moments des
forces qui s’appliquent au solide est nulle.
M0 (F) 0
Le moment possède un signe (+ ou -) selon la rotation de la force.
8. APPLICATIONS
8.1. Le voilier
Le vent soufflant vers la droite sur la voile
produit un moment de force qui doit être
équilibré par un moment de force de sens
contraire produit par les marins.

Mécanique 5-3 Page 18 sur 26

9. EQUILIBRE D’UN SOLIDE
Un solide libre de ses mouvements sera en équilibre ssi :


M 0 (F) 0
 
F 0
10. EXERCICES
10.1. Trouvez le centre de gravité de l’ensemble Terre lune
masse de la Lune : 7,34 10 22 kg
distance Terre Lune : 384.400 km

masse de la Terre : 5,97 10 24 kg

10.2. Quelle est le porte à faux maximal que peut présenter une planche homogène de 6 m de
long, sur l’extrémité de laquelle est posée une charge de poids égal à celui de la planche ?

10.3. La poutre AB de longueur 2,4 m est en partie tronconique. On veut déterminer son centre
de gravité par la méthode suivante: on place sous l’extrémité A un couteau horizontal. Pour
que la poutre soit en équilibre, il faut exercer à son extrémité B une force verticale de 500
N. On intervertit A et B; la force à exercer en A vaut alors 100 N.
En déduire le poids et le centre de la poutre
Fb

A

B
10.4. Le petit pont a un poids de 20,0 kN, qui agit en son centre, Calculer les forces de réaction
aux points A et B

10.5. Deux campeurs portent leurs bagages (90 kg) sur une perche légère, horizontale et rigide
dont ils portent les extrémités sur leur épaule séparées de 2 m. Si Victoria éprouve une
force de compression de 530 N, à quel point de la perche se trouve suspendue la charge et
quelle est la force qui s’exerce sur Victor?

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10.6. Une sphère de laiton de 10 kg est posée dans une cannelure d’angle 90°. En supposant qu’il
n’y a aucun frottement et que le poids de la sphère s’applique en son centre, déterminez les
deux forces de réaction

10.7. Une plaque homogène, ayant la forme d’un triangle équilatéral, est mobile autour d’un axe
horizontal, perpendiculaire au plan de la plaque et passant par 0, point de concours des
médianes. On applique aux points B et C des forces de 4 N et 6 N. Calculer l’intensité de la
force qu’il faut exercer en A pour maintenir la plaque en équilibre
A

B

C

Mécanique 5-3 Page 20 sur 26

GRAVITATION
1. MODÈLE DE KEPLER (1571 à 1630)
Kepler, fasciné par les mathématiques, était obsédé par le problème de trouver un schéma
numérique correspondant au système planétaire car il est plus facile de transmettre une formule
mathématique que des tables de nombres.
Il consacra sa vie à analyser les tables de positions des planètes que Tycho Brahe lui avait
laissées et en tira trois lois :
Première loi de Kepler : Les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le soleil est l’un
des foyers
Toutes les orbites sont plus ou moins dans un même plan sauf
l’orbite de Pluton dont l’orbite fait un angle de 17° avec le plan des
autres planètes.
Deuxième loi de Kepler : Les planètes balaient des aires égales en des temps égaux.
Cela implique que la vitesse est plus grande lorsque la planète est
proche du soleil
R 1V1 R 2 V2

Troisième loi de Kepler : T période de rotation de la planète autour du soleil
R distance moyenne entre la planète et le soleil
alors :
R3
2

C te ( dépend du système planétaire )

T
Cette constante est la même pour toutes les planètes du système
solaire et vaut :
3,353 1018 m3/s²

2. LOI DE LA GRAVITATION
Newton se demandait pourquoi la Lune pouvait rester autour de la Terre sans s’écraser ou
s’éloigner de celle-ci.
En effet, la Lune étant un corps matériel, elle devait subir la force d’attraction de la Terre.
L’idée de Newton était originale pour l’époque et consistait à penser que la force d’attraction de
la Terre s’exerçait à longue distance. Par contre, cette force diminuait avec l’altitude.
Pour un corps comme la Lune, l’accélération de la pesanteur ne pouvait valoir g 0 9,81 m/s² .
Une étude du système Terre – Lune lui permit d’énoncer sa loi de gravitation.
Enoncé de la loi de gravitation universelle
La force d’attraction entre deux corps de masse m1 et m 2 distants de R est une force dont :
- l’origine est l’une des masses
- la direction est la droite joignant les deux masses
- le sens vers l’une des masses
Mécanique 5-3 Page 21 sur 26

- l’intensité
F

m1m 2

R2
constante de Gavendish indépendante du lieu et de la nature des corps
6,67 10 11 Nm 2 / kg 2
R : distance entre les deux masses
La force de gravitation entre deux corps est proportionnelle au produit des masses et inversement
proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
Démonstration de la loi de gravitation
Newton se proposa de calculer la force créée par la Terre et subie par la Lune Il commença par
calculer l’accélération subie par la Lune.
Cette accélération est dirigée vers le centre de la Terre

2
R
a
et V
R
T
T : période de rotation de la Lune autour de la Terre
a
27 jours 7 heures 43 min 7 secondes
R : distance entre le centre de la Terre et
R
le centre de la Lune.384.000 km
Donc, par calculs, il trouve l’accélération de
la Lune a = 2,7 10-3 m/s²
Comme il pensait que l’accélération de la pesanteur diminuait
avec l’altitude, il compara les rapport suivants :
g0
R
3633
60.2
a
RT
Donc, il en conclut que :

g0
a

R2
R T2

donc

a

g0

R 2t

R2


Grâce à l’équation fondamentale de la dynamique : F ma , il put calculer la force qui s’exerçait
sur la Lune
mL 2
F
R Tg0
R2
R T2 g 0 était une constante qui dépendait uniquement de la Terre. On la nota K(Terre).

mL
K( terre)
R2
En vertu du principe d’action et de réaction, la Lune devait exercer une force similaire sur la
Terre. Ces forces devaient être égales en grandeur.
mL
mT
K ( terre)
K (lune )
2
R
R2
K ( terre) K (lune )
mT
mL
mT
Donc, K( terre)
La force d’attraction entre les planètes était donc :
mL mT
F
R2
F

Mécanique 5-3 Page 22 sur 26

3. DONNEES SUR LE SYSTEME PLANETAIRE
Planète
Mercure
Vénus
Terre
Lune
Mars
Jupiter
Saturne
Uranus
Neptune
Pluton

Accélération Période (années Distance moy.
(m/s²)
terrestres)
( 104 km)
3,7
0,24
5850
8,8
0,62
10.800
9,8
1
15.000
1,6
3,7
1,88
22.950
26
11,9
78.150
12
29,5
143.250
11
84
286.705
12
164,77
448.840
2
247,68
590.955

Périhélie
104 km
4.598,6
10.747
14.710

Aphélie
104 km
6.981,7
10.894
15.210

20,665
74.088
134.490
272.970
444.530
443.630

24.923
81.592
150.230
300.440
453.150
738.280

4. DETERMINATION DE LA MASSE DE LA TERRE
On place un objet au niveau du sol.
Calculer la masse de la Terre sachant que le rayon terrestre vaut 6378 km et l’accélération de la
pesanteur vaut 9,81 m/s²
L’objet est soumis à son poids : G = m g 0
m mT
Ce même objet est soumis à la force de gravitation F
R T2
Ces deux forces sont identiques donc :
m mT
m g0
R T2
R T2

mT

g0

mT

6 10 24 kg

5. DETERMINATION DE LA MASSE DU SOLEIL
Nous supposerons que la Terre est animée d’un mouvement circulaire uniforme autour du soleil
et que le rayon est de 150.000.000 km.
La Terre subit une force centripète donnée par :
F mT 2R

2
T
La Terre subit la force de gravitation donnée par :
mT ms
F
R2
Ces deux forces sont égales en grandeur
mT ms
mT 2R
R2
3
2 R
ms
ms

2 10 30 kg

Mécanique 5-3 Page 23 sur 26

6. MOUVEMENT ORBITAL D’UN SATELLITE
Newton avait noté que tout projectile lancé horizontalement est, en fait, un satellite de la Terre.
Une pierre, lancée à partir d’un grand immeuble, décrit une orbite restreinte qui percute la
surface de la Terre non loin de son point de lancement. Galilée soutenait que cette trajectoire
devrait être parabolique, mais ceci supposait un monde plat. Sur une Terre sphérique, une balle
lancée horizontalement décrit théoriquement (en négligeant les frottements) un arc d’ellipse dont
l’un des foyers est le centre de la planète. Toute la masse de la planète agit sur le projectile
comme si elle était concentrée en son centre, et le projectile essaie de décrire une orbite autour
de ce point. En pratique, la surface de la Terre fait obstacle et ce mouvement est interrompu à
l’endroit où l’orbite coupe la surface de la Terre; ce qui fait que le projectile tombe au sol.
Si la balle est lancée avec une plus grande vitesse, l’ellipse devient plus aplatie et le projectile va
plus loin. En augmentant encore la vitesse, l’ellipse devient plus grande et plus ronde et le point
d’impact est plus loin. Finalement, à une vitesse de lancement précise, la balle plane au-dessus
du sol à la même altitude de la surface de la Terre et décrit un tour complet, sans jamais le
heurter. Comme une petite Lune, elle tourne autour du globe sur une orbite circulaire et elle ne
tombe que si elle rencontre un obstacle (résistance de l’air, collision avec une montagne ou un
bâtiment etc.). Si on augmente encore la vitesse de lancement, l’ellipse devient de plus en plus
grande. A une certaine vitesse, l’ellipse se transforme en une parabole puis en une hyperbole
ouverte; la balle ne revient alors jamais à son point de départ.
Le satellite subit une force centripète donnée par :
V2
F ms
R
Il subira la force de gravitation donnée par :
ms mT
F
R2
Ces forces sont égales en grandeur :
msmT

ms
R
R2
mT

R
Tout satellite, quelle que soit sa masse, décrit une orbite circulaire de rayon R, s’il est lancé avec
une vitesse donnée par l’équation.
Le fait, que la vitesse V0 soit indépendante de la masse du satellite, implique que tous les objets à
l’intérieur du vaisseau ont la même vitesse V0. ils suivront la même orbite que le vaisseau.
L’astronaute et les objets flottent, l’intérieur, parcourant l’orbite à la même vitesse V0. Comme la
seule force est la gravité, ces objets sont en chute libre vers la Terre avec une accélération.
La fusée de lancement monte initialement dans la direction verticale puis la trajectoire s’incurve
progressivement. Si la charge se sépare et se déplace à la vitesse V0, elle devient un satellite qui
décrit une orbite circulaire. Si la Vitesse est inférieure à V0, le satellite «descend» sur une orbite
elliptique. Si la vitesse est supérieure à V0 mais inférieure à 2 V0, le satellite « monte» vers une
orbite elliptique plus grande. Si la vitesse est égale à 2 V0 la charge se libère par trajectoire
parabolique et s’éloigne indéfiniment de la Terre.
Une des orbites les plus souhaitables, spécialement pour les télécommunications, est l’orbite
géostationnaire ou géosynchrone. Le satellite est lancé sur une orbite dans le plan de l’équateur
et fait un tour exactement en un jour, donc synchronisé avec la rotation de la Terre. Vu de
n’importe quel endroit du globe, il paraît immobile dans le ciel et donc continuellement en vue
Mécanique 5-3 Page 24 sur 26

des stations de télécommunications au sol. Le premier satellite géosynchrone, Syncom 11, a été
lancé en juillet 1963. Depuis lors, plus de 100 satellites civils et militaires géosynchrones ont été
lancés et plusieurs autres sont lancés chaque année

7. CHAMP GRAVITATIONNEL
Une pomme, qui se détache de la branche d’un arbre, tombe vers le sol sous l’influence de la
gravité. Mais comment la pomme reçoit-elle le message? Comment connaît-elle la direction vers
le bas et avec quelle intensité est- elle attirée?
À chaque particule de matière, est associé un champ d’influence, qui l’entoure. C’est ce champ
qui transporte l’interaction entre deux fragments de matière distants
Un champ de force existe dans une région de l’espace si un objet approprié, placé en tout point
de cette région, subit une force. Ainsi, nous pouvons imaginer un champ de force gravitationnel
entourant tout objet de masse M. Supposons que nous suspendions une petite masse-test m sur
un dynamomètre et que nous faisions des mesures en le déplaçant d’un point à l’autre à travers
l’espace entourant l’objet de masse M en question. À chaque point, nous pourrions lire la force
F0 (qui est, le poids de la masse-test), enregistrer son module et sa direction et, de ce fait, dresser
une carte du champ de force vectoriel de l’objet de masse M.
Un inconvénient de ce schéma est que toutes les valeurs du champ ainsi mesurées dépendent de
la taille de la masse-test. Il est beaucoup plus utile de concevoir une nouvelle quantité de champs
dépendant seulement de l’objet qui le crée, et non de la sonde. Ainsi, nous définissons l’intensité
du champ de gravitation g par:
mT


Mécanique 5-3 Page 25 sur 26

8. EXERCICES D’APPLICATION
8.1. Une sphère homogène en fonte, de centre 0, de rayon 1 m a pour masse volumique
7800kgm-3
a. Calculer la norme du champ gravitationnel créé par cette sphère en un point A situé à la
distance de 2 m de son centre.
b. Calculer l’intensité de la force de gravitation qui s’exerce sur un corps ponctuel de
masse 10g placé en A
c. Donner les caractéristiques de la force exercée par le corps ponctuel sur la sphère.

a 5,448 10 7 m / s²
F 5,448 10-9 N
8.2. La Terre est supposée sphérique, de rayon 6378 km. La répartition des masses est à
symétrie sphérique. On considère un satellite artificiel de la Terre décrivant une trajectoire
circulaire de centre O, de rayon 7000 km.
Exprimer le champ gravitationnel à la distance r du centre de la Terre
Déterminer l’accélération du satellite
Calculer la période de rotation du satellite.
3,99 1014
a 8,14 m/s²
T 5828 s

8.3. Soit d = 384.000 km la distance qui sépare les centres respectifs de la Terre et de la Lune,
assimilées à des sphères homogènes de masses m L 7.34 10 22 kg et m T 6 10 24 kg
A. Comparer les champs gravitationnels créés par la Terre et la Lune à une distance
de 10.000 km de la Terre.
B. Quelle est l’influence du champ gravitationnel lunaire sur le mouvement d’un satellite
artificiel de la Terre?
a

a T 4m / s²
a L 3,5 10 5 m / s²
8.4. Un satellite artificiel décrit une orbite circulaire de même centre que la Terre. Sa vitesse
angulaire est de 8,055 10-4 rad s-1. La masse de la Terre vaut 6 10 24 kg
Calculer :
- l’altitude à laquelle évolue le satellite
- sa vitesse linéaire
- l’intensité du champ gravitationnel à l’altitude considérée.
h 8.512.334 m
V 6857 m/s
a 5,52 m/s²
8.5. Le satellite Explorer 3 avait une trajectoire circulaire. Il évoluait à 180 km au-dessus de la
Terre. La masse de la Terre vaut 6 10 24 kg et le rayon Terrestre vaut 6378 km
Calculer sa période de révolution et sa vitesse.
V = 7811,8 m/s
T = 5274,7 s

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