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Td 06 Geometrie analytique .pdf



Nom original: Td 06 - Geometrie analytique -.pdf

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Jean-Fran¸cois Hachelouf

1

´
´
T.D. : GEOM
ETRIE
ANALYTIQUE.
Exercice 1
~ est un vecteur directeur.
Former une ´equation cart´esienne de la droite passant par le point A et dont V
Construire la droite obtenue.
~ (2, 3).
A(−2, 2) V

~ (0, 1).
A(0, −5) V

~ (0, 1).
A(−2, 3) V

~ (0, 2).
A(−3, 0) V

A(4, 0)

~ (2, 0).
V

~ (−1, 1).
A(4, −5) V

Exercice 2
Former une ´equation cart´esienne de la droite passant par les points A et B. Construire la droite
obtenue.
A(1, 2) B(−2, 3).

A(−3, 2) B(5, 2).

A(−1, −2) B(−3, 6).

A(0, 0) B(0, 1).

A(3, 0) B(0, 4).

A(−4, 5) B(2, 1).

Exercice 3
Former une ´equation cart´esienne de la droite ∆ passant par le point A(1, −2) et parall`ele `a la droite
d d’´equation x + 2y + 5 = 0. Construire la droite ∆.
Exercice 4
Montrer que les droites d, d0 , d00 , d’´equations respectives :
3x − 2y − 14 = 0 ; 5x − 4y − 26 = 0 ; x − 7y − 30 = 0
sont concourantes.
Exercice 5
Calculer les coordonn´ees des sommets du triangle form´e par les trois droites d, d0 , d00 , d’´equations
respectives :
x + 2y + 1 = 0 ; 2x − y = 3 ; −4x + 5y − 7 = 0.
Former alors les ´equations des m´edianes de ce triangle et d´eterminer les coordonn´ees de son centre de
gravit´e.
Exercice 6
Soit les points A(−2, 2), B(6, 7) et C(−1, −3).
1. Former une ´equation cart´esienne de la parall`ele ∆1 `a (AB) men´ee par C.
2. Former une ´equation cart´esienne de la parall`ele ∆2 `a (AC) men´ee par B.
3. Trouver les coordonn´ees du point D, intersection des droites pr´ec´edentes.

Jean-Fran¸cois Hachelouf

2

Exercice 7
Peut-on d´eterminer m de mani`ere que les droites d’´equations :
3x − 4y + 15 = 0 ; 5x + 2y − 1 = 0 ; mx − (2m − 1)y + 9m − 13 = 0
soient concourantes ?
Exercice 8
1. Construire, dans le mˆeme rep`ere, les droites D1 , D2 , D3 d´equations respectives :
y = −2x + 6 ; y = 2x + 2 ; 3x − 2y + 6 = 0.
2. Calculer les coordonn´ees des points A, B, C, intersections respectives de D2 et D3 ; D3 et D1 ;
D1 et D2 . V´erifier graphiquement les r´esultats obtenus.
3. On m`ene par C la parall`ele `
a (AB). Former une ´equation de cette droite.
Calculer les coordonn´ees de son intersection D avec l’axe des abscisses.
4. Former une ´equation de la droite (AD) et montrer que les droites (AD) et (BC) sont parall`eles.
Exercice 9
Dans un plan rapport´e `
a un rep`ere (O;~i, ~j), on consid`ere l’ensemble E des droites d’´equations :
(m − 3)x − (m − 2)y + m − 1 = 0

m ∈ IR.

1. Existe-t-il une droite de l’ensemble E passant par l’origine des axes ?
2. Existe-t-il une droite de l’ensemble E parall`ele `a l’axe des abscisses ? parall`ele `a l’axe des
ordonn´ees ?
3. Existe-t-il une droite de l’ensemble E parall`ele `a la droite d’´equation y − x = 0 ?
4. Existe-t-il une droite de l’ensemble E parall`ele `a la droite d’´equation x + 3y + 4 = 0 ?
5. Existe-t-il une droite de l’ensemble E passant par le point de coordon´ees (2, −1) ?
6. Construire les droites ´eventuellement obtenues dans les questions pr´ec´edentes.
7. Existe-t-il une droite de l’ensemble E passant par le point A donn´e, de coordonn´ees (x0 , y0 ) ?
Discuter suivant la position du point A dans le plan. En conclure que l’ensemble E est constitu´e
de droites passant par un point fixe I.
8. R´eciproquement, est-ce que toute droite passantpar I est une droite de E ?
Exercice 10
Mˆemes questions que ci-dessus pour l’ensemble E des droites d’´equations :
(m + 1)x + (m − 2)y − 5m + 4 = 0.
Exercice 11
Dans un plan rapport´e `
a un rep`ere (O;~i, ~j), on consid`ere l’ensemble E des droites d’´equations :
2(m − 1)x + y = 2

m ∈ IR.

Jean-Fran¸cois Hachelouf

3

1. (a) Existe-t-il une droite de l’ensemble E parall`ele `a l’axe des abscisses ? parall`ele `a l’axe des
ordonn´ees ?
(b) Existe-t-il une droite de l’ensemble E parall`ele `a la droite d’´equation 2x − y + 4 = 0 ?
(c) Existe-t-il une droite de l’ensemble E passant par l’origine des axes ?
(d) Existe-t-il une droite de l’ensemble E passant par le point A de coordon´ees (2, 1) ?
(e) Construire les droites ´eventuellement obtenues dans les questions pr´ec´edentes.
(f) Existe-t-il une droite de l’ensemble E passant par le point A donn´e, de coordonn´ees (x0 , y0 )
?
Discuter suivant la position du point A dans le plan. En conclure que l’ensemble E est
constitu´e de droites passant par un point fixe I.
(g) R´eciproquement, est-ce que toute droite passant par I est une droite de E ?
2. on consid`ere l’ensemble E 0 des droites d’´equations :
(m + 2)x + (m − 1)y − 3 = 0

m ∈ IR.

Montrer que toutes les droites de l’ensemble E 0 passent par un point fixe J. R´eciproque.
3. Quelles sont les coordonn´ees du point d’intersection P d’une droite de l’ensemble E et de la
droite de l’ensemble E 0 correspondant `a la mˆeme valeur du param`etre m ?
4. Trouver, entre les coordonn´ees de P , une relation ind´ependante de m.
En d´eduire l’ensemble des points P lorsque m varie.
Exercice 12
Dans un plan rapport´e `
a un rep`ere (O;~i, ~j), on consid`ere les ensemble E1 et E2 des droites d’´equations :
(E1 ) : (m2 −3m+3)x+2(m−2)y = 4(m−1)2

m ∈ IR

et (E2 ) : m2 x+2(2m−3)y = 2(3m2 −2m+3).

1. D´eterminer et construire les droites des ensembles E1 et E2 parall`eles aux axes.
2. D´emontrer que les droites des ensembles E1 et E2 passent par l’un ou l’autre des deux points
fixes A et B que l’on d´eterminera.
3. Exprimer, en fonction de m, les coordonn´ees du point d’intersection I, lorsqu’il existe, d’une
droite de l’ensemble E1 et de la droite de l’ensemble E2 correspondant `a la mˆeme valeur du
param`etre m ?
4. Quelle est l’´equation cart´esienne de l’ensemble (H) des points I lorsque m varie ?


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