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Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : Algébre I
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 3
( 12 N ovembre 2012)

Les Applications
Exercise 1 Compléter l’expréssion suivante :
une reletion f : A ! B n’est pas une application si ...
Exercise 2 Determiner les applications parmi les relations suivantes et justi…er
vos réponses.
a) f dé…nie sur R par f = (x; y) : x2 + y 2 = 4 :
b) f : R ! R dé…nie par : f (x) =

1
x+1 :

c) f : R2 ! R dé…nie par : f (x; y) = x + y:
d) Le domaine de f est l’ensemble des intervalles fermés de nombres réels de
la forme [a; b], où a; b 2 R, a b, et f est dé…nie par f ([a; b]) = a:
e) f : N

N ! R dé…nie par f (n; m) = m:

f ) f : R ! R dé…nie par : f (x) =

0 :
x :

x
x

8
< x+1
x 1
g) f : Q ! R dé…nie par : f (x) =
:
2

0
:
0
: x 2 2Z
: x 2 3Z :
: sinon

h) Le domaine de f est l’ensemble de tous les cercles dans le plan R2 et, si c
est un tel cercle, on dé…nit f par f (c) =la circonférence de c.
Exercise 3 Soit f : P (R) ! Z dé…nie par
f (A) =

min (A \ N) si A \ N 6= ;
1
si A \ N = ;

Montrer que f est bien dé…nie comme application.
Exercise 4 Soit A un sous ensemble d’un ensemble donné X. Dé…nissons la
fonction caractéristique de A par
A

(x) =

1 si x 2 A
0 si x 2 XnA
1

a)

A

est elle une application?

b) Déteminer son domaine et son rang (image).
Exercise 5 Soit X un sous ensemble borné de R considérons la relation
g : P (X) n f;g ! R : g (A) = sup A
g est-elle une application bien dé…nie? Justi…er votre réponse.
Exercise 6 Soit l’application f : Rn
Montrer que Im f = Rn 12 :

3
2

! R : f (x) =

(x 5)
(2x 3)

Exercise 7 Soit f : Z ! N = f (x) = jxj :
f est-elle une application? Si oui déterminer son image.
Exercise 8 Soit f : R2 ! R = f (x; y) = x:
f est-elle une application? Si oui déterminer Im f:
Exercise 9 Supposons que f : A ! B est une application.
La relation f(x; y) = (x; y) 2 f g ; est-elle nécessairement une application de
B dans A? Justi…er votre réponse.
Exercise 10 (a) Soit f : R ! R dé…nie par f (x) = x2 . Montrer que f est
surjective.
(b) Montrer que f , dé…nie çi dessus, applique R sur fx 2 R : x

0g.

(c) Considérer la fonction g : Z ! N dé…nie par g (x) = x2 . g est-elle surjective?
(d) Comme f et g dé…nissent la même action "prendre le carré de x", où réside
donc leur di¤ érence?
Exercise 11 La fonction valeur absolue f : R ! R dé…nie par f (x) = jxj
est-elle injective? Expliquer.
Exercise 12 Critiquer la dé…nition suivante de la surjection. "Une fonction
f : X ! Y est surjective s’il existe un x 2 R tel que pour tout y 2 R on a
f (x) = y":
Exercise 13 Etudier l’injectivité et la surjectivité pour chaqu’une des applications suivantes.
(a) f : R ! R dé…nie par f (x) =

1
x2 +1 .

(b) f : R ! R dé…nie par f (x) = sin x.
(c) f : Z

Z ! Z dé…nie par f (n; m) = nm.
2

(d) f : R2 R2 ! R dé…nie par f ((x; y) ; (u; v)) = xu+yv. (Reconnaissez-vous
cette fonction?)
q
2
2
(e) f : R2 R2 ! R dé…nie par f ((x; y) ; (u; v)) =
(x u) + (y v) :
(Reconnaissez-vous cette fonction?)
(f ) Soit A et B deux ensembles non vides et soit b 2 B. Dé…nissons f : A !
A B par f (a) = (a; b).
(g) Soit X un ensemble non vide, et P(X) l’ensemble des parties de X (dis
aussi ensemble puissance de X). Dé…nissons f : P (X) ! P (X) par
f (A) = X A:
(h) Soit B un sous-ensemble propre et …xe d’un ensemble non vide X. Dé…nissons f : P (X) ! P (X) par f (A) = A \ B:
(i) f : R ! R dé…nie par
f (x) =

2 x si x < 1
1=x
ailleurs

Exercise 14 Considérons la fonction caractéristique
(a) Sous quelles conditions

A

A

dé…nie dans l’exercice4.

applique surjectivement X sur l’ensemble f0; 1g?

(b) Trouver les conditions sur l’ensemble A et l’ensemble X pour que
injective. Justi…er votre réponse.

A

soit

Exercise 15 Dans les exemples suivants, determiner la fonction f qui soit une
application. Dans ce cas étudier son injectivité, sa surjectivité et sa bijectivité.
(i) f : Z
(ii) f : Z

Z!Z

Z dé…nie par f (x; y) = (y; x).

Z ! Z dé…nie par f (x; y) = x2 + y 2 :

(iii) Soit y 2 R. Dé…nissons f : R ! R par f (x) = y x: (votre réponse
dépend-elle de y?).
(iv) Dé…nissons f : P (Z) ! Z par f (S) = max S:
Exercise 16 Soit f : R ! ] 1; 1[ dé…nie par
f (x) =

x
:
1 + jxj

Montrer que f est une application bijective.

3


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