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Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : Algébre I
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 4
( 03 Decembre 2012)

Relations d’équivalence et classes d’équivalence
Exercise 1 Soit R une relation sur un ensemble E. Compléter chacune des
dé…nitions suivantes :
a) R n’est pas ré‡exive si . . .
b) R n’est pas symétrique si . . .
c) R n’est pas transitive si . . .
Exercise 2 Lesquelles des relations suivantes sont des relations d’équivalence?
Déterminer les propriétés de la relation d’équivalence que les autres n’ont pas.
a) Pour a; b 2 Z : aRb , a divise b:
b) Pour A; B 2 P(Z) (ensemble puissance de Z:) : ARB , A \ B = ;:
c) Pour a; b 2 R : aRb , ab = 0:
d) Pour a; b 2 R : aRb , ab 6= 0:
e) Pour a; b 2 R : aRb , ja

bj < 5:

Exercise 3 Pour x; y 2 R; dé…nissons la relation suivante :
xRy , x

y 2 Z:

Montrer que R est une relation d’équivalence sur R.
Exercise 4 Pour (a; b) ; (c; d) 2 R2 ; dé…nissons la relation suivante :
(a; b) R (c; d) , 2a

b = 2c

d:

Montrer que R est une relation d’équivalence sur R2 .
Exercise 5 Dé…nissons une application f : R ! R par f (x) = x2 + 1: Pour
a; b 2 R; dé…nissons la relation : aRb , f (a) = f (b) :
a) Montrer que R est une relation d’équivalence sur R.
1

b) Lister tous les éléments de l’ensemble fx 2 R=xR3g :
Exercise 6 Pour (a; b) ; (c; d) 2 R2 ; dé…nissons la relation suivante :
(a; b) R (c; d) , a2 + b2 = c2 + d2 :
a) Montrer que R est une relation d’équivalence sur R2 .
b) Lister tous les éléments de l’ensemble (x; y) 2 R2 = (x; y) R (0; 0) :
c) Lister cinq éléments distincts de l’ensemble (x; y) 2 R2 = (x; y) R (1; 0) :
Exercise 7 Rappelons que pour a; b 2 Z : a b (mod 8) signi…e que a
divisible par 8:
a) Trouver tous les entiers x tels que 0

x < 8 et 2x

b est

6(mod 8).

b) Utiliser l’algorithme de division pour montrer que pour tout entier m, il
existe un entier r tel que m r(mod 8) et 0 r < 8:
c) Utiliser l’algorithme de division (comme dans a)) pour déterminer les entiers
r1 et r2 tels que 0
r1 < 8, 0
r2 < 8; 1038
r1 (mod 8) et -1038
r2 (mod 8):
Exercise 8 Pour quel entier positif n > 1; avons nous :
(a) 30

6(mod n);

(b) 30

7(mod n):

Exercise 9 Soit m et n des entiers positifs tels que m divise n. Montrer que
pour tous les entiers a et b, si a b(mod n) alors a b(mod m):
Exercise 10 a) Prouver ou désaprouver : Pour tout entier positif n et pour
tous les entiers a et b, si a b(mod n) alors a2 b2 (mod n):
b) Prouver ou désaprouver : Pour tout entier positif n et pour tous les entiers
a et b, si a2 b2 (mod n) alors a b(mod n):
Exercise 11 Soit R la relation d’équivalence dé…nie dans l’exercice6.
a) Déterminer la classr d’équivalence [(3; 4)] = (x; y) 2 R2 =

:

b) Donner le graphe de [(3; 4)].
c) Montrer les propositions suivantes :
p
a) [(0; 2)] = 1; 3 ; b) [(0; 2)] 6= [(1; 1)] ;
d) [(1; 1)] \ [(2; 1)] = ;; e) (1; 0) 2
= [(1; 1)] :

c) (2; 0) 2 [(0; 2)] ;

d) Montrer que pour tout (a; b) 2 R2 ; il existe c 2 R tel que c
[(c; 0)] :
2

0 et [(a; b)] =

e) Montrer que pour pour tous nombres réels non négatifs c et d, [(c; 0)] =
[(d; 0)] , c = d:
Exercise 12 Résoudre dans Z9 les équations suivantes :
a) [3156] = [x] ;
b) [ 3156] = [x] ;
d) [7 + x] = [3] ; e) [7x] = [1] :
Exercise 13 Pour un entier positif n, posons
Z(n) = f[a] 2 Zn = 1 = p gcd (a; n)g :
Donc, par exemple, Z(10) = f[1] ; [3] ; [7] ; [9]g :
a) Montrer que l’ensemble Z(n) est bien dé…ni; c’est à dire, montrer que pour
tous les nombres entiers a1 et a2 , si [a1 ] = [a2 ] dans Zn et si [a1 ] 2 Z(n)
alors [a1 ] 2 Z(n) .
b) Montrer que pour tous les nombres entiers a et b, si [a] ; [b] 2 Z(n) alors
[ab] 2 Z(n) .
Exercise 14 Soit la relation f : Z8 Z8 ! Z6 dé…nie par : f ([a] ; [b]) = [ab] :
f est t- elle bien dé…nie comme application?
Exercise 15 Soit m et n des nombres entiers positifs tels que m divise n. Montrer que f : Zn ! Zm dé…nit par f ([a]n ) = [a]m est bien dé…nie.
Exercise 16 Soit m et n des nombres entiers positifs relativement premiers.
Dé…nissons f : Zmn ! Zm Zn par f ([a]mn ) = ([a]m ; [a]n ) :
a) Montrer que f est bien dé…nie.
b) Montrer que si k est un nombre entier divisible par m et n, alors k est
divisible par mn.
c) Montrer que f est injective (La partie (a) sera utile.)
d) Utilisez (c) de conclure que f est surjective.

3


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