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Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et d’Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : Algébre I
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Correction de la série n 2

Les opérations sur les ensembles
(Ecrite par Mme Hammou Amouria assistante de TD)
Exercise 1 Soient A = [0; 2] et B = [ 1; 1] :
1. Calculons A n B :
AnB

= fx 2 R
= fx 2 R
= ]1; 2] :

(x 2 A) ^ (x 2
= B)g :
(x 2 [0; 2]) ^ (x 2
= [ 1; 1])g :

2. Calculons B n A :
B n A = fx 2 R (x 2 B) ^ (x 2
= A)g :
= fx 2 R (x 2 [ 1; 1]) ^ (x 2
= [0; 2])g :
= [ 1; 0[ :
3. Calculons Ac :
Ac

= fx 2 R x 2
= Ag :
= fx 2 R x 2
= [0; 2]g :
= ] 1; 0[ [ ]2; +1[ :

4. Calculons B c :
Bc

= fx 2 R x 2
= Bg :
= fx 2 R x 2
= [ 1; 1]g :
= ] 1; 1[ [ ]1; +1[ :

5. Calculons Ac \ B c :
Ac \ B c

= fx 2 R x 2 Ac ^ x 2 B c g :
= fx 2 R x 2 ] 1; 0[ [ ]2; +1[ ^ x 2 ] 1; 1[ [ ]1; +1[g :
= ] 1; 1[ [ ]2; +1[ :
1

6. Calculons A [ B :
A[B

= fx 2 R x 2 A _ x 2 Bg :
= fx 2 R x 2 [0; 2] _ x 2 [ 1; 1]g :
= [ 1; 2] :

c

7. Calculons (A [ B) :
c

(A [ B)

= fx 2 R x 2
= A [ Bg :
= fx 2 R x 2 ] 1; 1[ [ ]2; +1[g :

Exercise 2 Soient
n
o
3
A = (2n + 1) ; n 2 Z et B = f2n + 1; n 2 Zg

1. Montrons que A

B :

Soit x 2 A, on a :
x

Donc A

2
=)
=)
=)
=)

3

A =) 9n 2 Z : x = (2n + 1)
9n 2 Z : x = 8n3 + 12n2 + 6n + 1
9n 2 Z : x = 2(4n3 + 6n2 + 3n) + 1
9m 2 Z : x = 2m + 1
x2B

B:

2. Remplaçons Z par R:
n
o
3
Dans ce cas, A = (2x + 1) ; x 2 R et B = f2x + 1; x 2 Rg : Donc A et
B peuvent représentés par les graphes suivants :

2

y

1000

500

0
-5

-2.5

0

2.5

5
x

-500

A

y
10

5

0
-5

-2.5

0

2.5

5
x

-5

B
Concusion A * B:

3

Exercise 3 Soient
A = fx 2 Z : 6 divise xg , B = fx 2 Z : 21 divise xg et C = fx 2 Z : 42 divise xg
Montrons que A \ B = C :
On a :
x

2
,
,
,
,
,

A\B ,x2A^x2B
(6 divise x) ^ (21 divise x)
(2 divise x ^ 3 divise x ^ 3 divise x ^ 7 divise x)
(2 3 7) divise x
42 divise x
x2C

Donc : A \ B = C:

Exercise 4 Soient
A = (x; y) 2 R2 : x

y = 0 ; B = (x; y) 2 R2 : x + y = 0

et C = (x; y) 2 R2 : x2

Montrons que A [ B = C :
On a :
(x; y)

2 C , x2 y 2 = 0 avec (x; y) 2 R2
, (x y)(x + y) = 0 avec (x; y) 2 R2
, x y = 0 _ x + y = 0 avec (x; y) 2 R2
, (x; y) 2 A _ (x; y) 2 B
, (x; y) 2 A [ B

Donc : A [ B = C

Exercise 5 Soient A; B; C des sous ensembles d’un ensemble non vide X:
1. Montrons que A \ B = ; ssi B

X A:

Il su¢ t de montrer que :

A \ B = ; =) B X A
B X A =) A \ B = ;
i) Montrons la formule (1) par absurde :
Supposons que A \ B = ; ^ B * X A:
4

(1)
(2)

y2 = 0

On a B * X A :
B

*
=)
=)
=)

X A =) 9x 2 X; x 2 B ^ x 2
=X A
9x 2 X; x 2 B ^ x 2 A
9x 2 X; x 2 A \ B
A \ B 6= ;

Contradiction avec notre supposition donc A \ B = ; =) B
X A:
ii) Montrons la formule (2) :
Par absurde supposons que B
On a :
A\B

X A ^ A \ B 6= ;:

6
=
; =) 9x 2 X : x 2 A \ B
=) 9x 2 X : x 2 A ^ x 2 B
=) 9x 2 X : x 2
= X A^x2B
=) B * X A

Contradiction avec notre supposition donc B
Alors A \ B = ; ssi B

X A =) A\B = ;:

X A:

2. Montrons que A = B ssi X A = X B :
Il su¢ t de montrer que :
A = B =) X A = X B
X A = X B =) A = B

(1)
(2)

i) Montrons la formule (1) par absurde :
Supposons que A = B ^ X A 6= X B:
On a X A 6= X B =) A 6= B

Contradiction avec notre supposition donc A = B =) X A =
X B:
ii) Montrons la formule (2) par absurde :
Supposons que X A = X B ^ A 6= B:
On a :A 6= B =) X A 6= X B

Contradiction avec notre supposition donc X A = X B =) A =
B:
Et donc A = B ssi X A = X B:

5

3. Montrons que (A [ B) \ B = B :
Soit x 2 (A [ B) \ B; on a:
x

2
()
()
()

(A [ B) \ B () x 2 (A [ B) ^ x 2 B
(x 2 A _ x 2 B) ^ x 2 B
(x 2 A ^ x 2 B) _ (x 2 B ^ x 2 B)
x2B

Donc : (A [ B) \ B = B:
4. Montrons que (A \ B) [ B = B :
Soit x 2 (A \ B) [ B, on a :
x

2
()
()
()

(A \ B) [ B () x 2 (A \ B) _ x 2 B
(x 2 A ^ x 2 B) _ x 2 B
(x 2 A _ x 2 B) ^ (x 2 B _ x 2 B)
x2B

Donc : (A \ B) [ B = B:
5. Montrons que (A [ B)

(A \ B) = (A B) [ (B A) :

Soit x 2 (A B) [ (B A), on a :

x

2
,
,
,

(A B) [ (B A) , (x 2 A ^ x 2
= B) _ (x 2 B ^ x 2
= A)
(x 2 A _ x 2 B) ^ (x 2 A _ x 2
= A) ^ (x 2
= B _ x 2 B) ^ (x 2
= B_x2
= A)
x 2 (A [ B) ^ x 2
= (A \ B)
x 2 (A [ B) (A \ B) :

Donc : (A [ B)

(A \ B) = (A B) [ (B A)

6. Montrons que A (B [ C) = (A B) \ (A C) :
Soit x 2 A (B [ C), on a :
x

2
,
,
,

A (B [ C) , x 2 A ^ x 2
= (B [ C)
x 2 A ^ (x 2
= B^x2
= C)
(x 2 A ^ x 2
= B) ^ (x 2 A ^ x 2
= C)
x 2 (A B) \ (A C)

Donc :A (B [ C) = (A B) \ (A C):
7. Montrons que (A \ B)

C = (A C) \ (B C) :

6

Soit x 2 (A \ B)
x

2
()
()
()
()

Donc : (A \ B)

C, on a :
(A \ B) C () x 2 (A \ B) ^ x 2
=C
(x 2 A ^ x 2 B) ^ x 2
=C
(x 2 A ^ x 2
= C) ^ (x 2 B ^ x 2
= C)
x 2 (A C) ^ x 2 (B C)
x 2 (A C) \ (B C):
C = (A C) \ (B C):

8. Montrons que (A [ B) 4 (A \ B) = A 4 B :
Soit (A [ B) 4 (A \ B), on a :

x

2
()
()

(A [ B) 4 (A \ B) () x 2 (A [ B) [ (A \ B)
x 2 (A [ B) (A \ B)
A4B

(A [ B) \ (A \ B)

Donc : (A [ B) 4 (A \ B) = A 4 B:
Exercise 6 Soient les intervalles de R : An = 0; n1 ; Bn = 0; n1 ; et Cn =
0; n1 :
1. Cherchons [1
n=1 An :
On a :

[1
n=1 An = [0; 1[ [ 0;

1
1
[ 0;
[ :::: = [0; 1[ :
2
3

2. Cherchons [1
n=1 Bn :
On a :

[1
n=1 Bn = [0; 1] [ 0;

1
1
[ 0;
[ ::: = [0; 1] :
2
3

3. Cherchons [1
n=1 Cn :
On a :

[1
n=1 Cn = ]0; 1[ [ 0;

1
1
[ 0;
[ ::: = ]0; 1[ :
2
3

4. Cherchons \1
n=1 An :
On a :

\1
n=1 An = [0; 1[ \ 0;
7

1
1
\ 0;
\ :::: = f0g :
2
3

5. Cherchons \1
n=1 Bn :
On a :

\1
n=1 Bn = [0; 1] \ 0;

1
1
\ 0;
\ ::: = f0g :
2
3

6. Cherchons \1
n=1 Cn :
On a :

\1
n=1 Cn = ]0; 1[ \ 0;

1
1
\ 0;
\ ::: = ;:
2
3

Exercise 7 Soit l’ensemble : Ax = [ x; x] :
1. Cherchons [x2R+ Ax :
On a :

[x2R+ Ax = f0g [ [ 1; 1] [ [ 2; 2] [ ::: = ] 1; +1[ :
2. Cherchons \x2R+ Ax :
On a :

\x2R+ Ax = f0g \ [ 1; 1] \ [ 2; 2] \ ::: = f0g :

Exercise 8 Cherchons une écriture simple des deux ensembles suivents:
1. Pour A = [1
j=0 [j; j + 1] :
On a :

A = [1
j=0 [j; j + 1]
= [0; 1] [ [1; 2] [ ::: = [0; +1[ :
2. Pour B = \j2Z (R

]j; j + 1[) :

On a :

B

=
=
=
=
=
=

\j2Z (R ]j; j + 1[)
::: \ (R ] 2; 1[) \ (R ] 1; 0[) \ (R ]0; 1[) \ (R ]1; 2[) \ (R ]2; 3[) \ :::
::: \ (] 1; 2] [ [ 1; +1[) \ (] 1; 1] [ [0; +1[) \ (] 1; 0] [ [1; +1[) \ (] 1; 1] [ [2; +1[) \
::: f 3g [ f 2g [ f 1g [ f0g [ f1g [ f2g [ f3g [ :::
[j2Z fjg
Z:
8

Exercise 9 Dé…nissons une nouvelle addition sur R de la manière suivante:
x#y = x + y + 1
A-t-on x#y 2 R si x; y 2 R ?
Soient x; y 2 R alors x + y 2 R : Pour que x#y 2 R il faut que
x 6= y 1. Mais si, on prend par example, x = 2 2 R ; y = 1 2 R , on
trouve x#y = 2 + 1 + 1 = 0 2
=R :
Donc on n’a pas toujours x#y 2 R si x; y 2 R :
Exercise 10 Soit A = (x; y) 2 R2 : y 6= 0
1. Description géométrique de A :

5

y

2.5

0
-5

-2.5

0

2.5

5
x

-2.5

-5

Touts les points du plan sauf les points situé sur l’axe des x (en bleu sur
la …gure):
2. Dé…nissons une nouvelle opération d’addition sur A de la manière suivante
(x; y) (z; w) = (xw + zy; wy)
Est ce que: 8(x; y); (z; w) 2 A =) (x; y) (z; w) 2 A?
Soient (x; y); (z; w) 2 A: On a :
(x; y) 2 A
(z; w) 2 A

y 6= 0
w 6= 0
=) wy 6= 0
=)

9

(1)

Donc (x; y) (z; w) = (xw + zy; wy ) 2 A:
|{z}
6=0

3. Cherchons (a; b) 2 A tel que (a; b) (x; y) = (x; y); 8(x; y) 2 A :
On a :

(a; b) (x; y)

=
=)

(x; y) =) (ay + xb; yb) = (x; y)
ay + xb = x
yb = y

=)

ay = 0
(car y 6= 0)
b=1

=)

a=0
b=1

et comme (0; 1) 2 A alors (a; b) = (0; 1):
4. Si on considère le couple (x; y) comme étant l’action de diviser
x par y (c-à-d x y) à quoi correspond l’opération (1):
On a (x; y) 2 A alors, x y:
Et (z; w) 2 A alors, z w:

Alors, (x; y) (z; w) = (xw + zy; wy) 2 A par suite xw + zy wy =
x y + z w:
Donc :

correspond a l’addition des deux fractions.

10


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