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Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : AlgébreI
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 2
(05 N ovembre 2012)

Opérations sur les ensembles
Exercise 1 Soit A = [0; 2] et B = [ 1; 1]
c
Trouver AnB ; BnA ; Ac ; B c ; Ac \ B c ; A [ B ; (A [ B) :
n
o
3
Exercise 2 Soit A = (2x + 1) : n 2 Z et B = f2x + 1 : n 2 Zg :
a/ Montrer que A B:
b/ Maintenant remplacans Z par R; quelle est la relation entre A et B?
Exercise 3 Soit A = fx 2 Z : 6 divise xg ; B = fx 2 Z : 21 divise xg et C =
fx 2 Z : 42 divise xg :
Montrer que A \ B = C:
Exercise 4 Soit A = (x; y) 2 R2 : x
C = (x; y) 2 R2 : x2 y 2 = 0 :
Montrer que A [ B = C:

y = 0 ; B = (x; y) 2 R2 : x + y = 0 et

Exercise 5 Soit A; B; C des sous ensembles d’un ensemble X, montrer que :
1. A \ B = ? ssi B

XnA;

2. A = B ssi XnA = XnB;
3. (A [ B) \ B = B;
4. (A \ B) [ B = B;
5. (A [ B) n (A \ B) = (AnB) [ (BnA) ;
6. An (B [ C) = (AnB) \ (AnC) ;
7. (A \ B) nC = (AnC) \ (BnC) ;
8. (A [ B) 4 (A \ B) = A4B:
Exercise 6 Soit les intervalles de R : An = 0; n1 ; Bn = 0; n1 ; et Cn =
0; n1 :
1
1
1
1
1
1
S
S
S
T
T
T
Trouver
An ;
Bn ;
Cn ;
An ;
Bn ;
Cn :
n=1

n=1

n=1

n=1

1

n=1

n=1

Exercise 7 Si Ax = [ x; x] ; trouver

S

Ax ;

x2R+

T

Ax :

x2R+

Exercise 8 Trouver une écriture simple des deux ensembles suivants :
1
S
T
A=
[j; j + 1] et B =
(Rn ]j; j + 1[) :
j=0

j2Z

Exercise 9 Dé…nissons une nouvelle addition sur R de la manière suivante :
x]y = x + y + 1
Si x; y 2 R ; a-t-on x]x 2 R ?
Exercise 10 Soit A = (x; y) 2 R2 : y 6= 0
a/ Donner une description géométrique de A:
b/ dé…nissons une nouvelle opération d’addition sur A de la manière suivante
(x; y) (z; w) = (xw + zy; wy) :

(1)

L’objet obtenu en sommant deux éléments de A est- il un élément de A?
c/ Trouver un élément (a; b) dans A telque :
(a; b) (x; y) = (x; y) ; 8 (x; y) 2 A:
d/ Si on considère le couple (x; y) comme étant l’action de diviser x par y
(c-à-d. x=y) ; à quoi correspond l’opération (1)?

2


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