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Correction de la Feuille d’exercices N 5
Applications Inverses et Relations d’équivalence
( Janvier 2013)
Exercise 1 i) Graphe de la fonction f (x).

Graphiquement la fonction f est bijective. En e¤ et,
pour montrer la surjectivité il su¢ t de voir que toute droite parallèle
à l’axe des abscisses coupe le graphe de f . Ceci se traduit analytiquement par :
pour montrer l’injectivité, il su¢ t de voir que l’intersection de chacune de ses parallèles avec le graphe de f est unique.
Montrons maintenant analytiquement que f est bijective.
Surjectivité :
1=3

1=3

Soit y 2 R . Soit x = (y + 5) : Alors x 2 R, et f (x) = (y + 5)
5 = y: Ainsi y 2 Im f = f (R) : Et comme f : R ! R est bien dé…nie,
Im f = f (R) et f est donc surjective.
Injectivité :
Soit x1 ; x2 2 R tel que f (x1 ) = f (x2 ) ; alors x31
conséquent x1 = x2 et f est injective.

1

5 = x32

5: Par

3

1

Maintenant montrons que f
f

donc f

1

1

1=3

(y) = (y + 5)

: Soit y 2 R . On a

(y) = x , f (x) = y
1=3
, x = (y + 5)
1=3

(y) = (y + 5)

:

ii) Graphe de f:

Montrons que f est bijective.
f est surjective. A voir que Im f = f (Rn f1g) = Rn f1g :
Supposons que y 2 Im f . Cela signi…e que y = f (x), pour un certain
x 2 Rnf1g; en d’autres termes, y = (x + 1)=(x 1):
Cherchons la forme de x.
En multipliant y par x 1, on obtient (x+1) = yx y. Ce qui implique
x yx = y 1. En…n x = (y + 1)=(y 1): Donc Im f = Rn f1g :

f est surjective. Soit x1 ; x2 2 R tel que f (x1 ) = f (x2 ) ; alors
(x1 + 1)
(x2 + 1)
=
:
(x1 1)
(x2 1)
Ainsi,
x1 x2 + x2

x1

1 = x2 x1 + x1

D’où x1 = x2 et f est injective.
2

x2

1:

Expression de f

1

:

Soit y 2 Rn f1g : Alors il existe un unique x 2 Rn f1g tel que f (x) = y: On a :
f (x) = y (x + 1)

(x

1) = y

,
,

(x+1)
(x 1) = y
(y+1)
x = (y
1) :

Par conséquent,
f

1

(y) = x =

(y + 1)
:
(y 1)

iii) Graphe de f:

Il est clair que f est bijective.
On montre facilement que l’inverse f
f
Solution 2

1

(k) =

k
2

1

(k+1)
2

: N ! Z est dé…nie par :
si k est pair
:
si k est impair

1. R est une relation d’équivalence. En e¤ et,

Si a 2 A; alors f (a) = f (a) et aRa. Donc R est ré‡exive.

Si a; b 2 A avec aRb; alors f (a) = f (b) : Par conséquent f (b) = f (a) et
bRa: Donc R est symétrique.

Si a; b; c 2 A avec aRb; bRc; alors f (a) = f (b) et f (b) = f (c) : Par
conséquent f (a) = f (c) et aRc: Donc R est transitive.
2. Si R est injective, alors aRb si, et seulement si, f (a) = f (b) : Ceci, à son
tour, se produit si et seulement si a = b.
Par conséquent, la classe d’équivalence de a est fag.
3


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