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CHAPITRE

9
ACTIVITÉS

Coordonnées.
Équations
de droites
(page 185)

Activité 1
1 Dans le triangle AEH, (OC) est la droite des milieux

donc OC = 1 HE = 1 OK et C est le milieu de [OK]. De
2
2
même, O est le milieu de [AH].

2 A(3 ; 0) ; H(– 3 ; 0) ; C(0 ; 2) ; K(0 ; 4) ; E(– 3 ; 4).
3 a) 0 = m + p et 1 = p, donc m = – 1 et f (x) = – x + 1.
b) f (– 3) = 4 donc E appartient à la droite (IJ) et les points
I, J, E sont alignés.

2 AC2 = AE2 + EC2 = 9 + 4 = 13 ;
CB2 = CG2 + BG2 = 16 + 36 = 52
AB2 = AE2 + EB2 = 1 + 64 = 65.
AB2 = AC2 + CB2 donc le triangle ABC est rectangle en C.
Donc C est un point du cercle.

3

y
E
–4
A
E

C

–2

2
1
O
D

1
–1

G
4

x

B

Activité 2
1 Il semble que C soit un point du cercle et que le triangle
ABC est rectangle en C.

PROBLÈME OUVERT
Notons f1, f2, f3 les fonctions affines représentées respectivement par d1, d2, d3.
f1(– 2) = 1 ; f1(0) = 5 ; f2(2) = 3 ; f3(3) = – 2 ; f3(7) = 2.
f1(– 2) – f1(0) = 2, donc f (x) = 2x + 5 ; f (x) = 3 x ;
1
2
2
–2 – 0
f3(3) – f3(7) = – 2 – 2 = 1.
–4
3–7
f3(x) = x + p. Or f3(7) = 2 donc 2 = 7 + p soit p = – 5 et
f3(x) = x – 5.

94

L’abscisse du point commun à d1 et d2 est solution de
2x + 5 = 3 x,
2
1
soit x = – 5 et x = – 10.
2
L’ordonnée est f1(– 10) = – 20 + 5 = – 15.
Ce point de cooordonnées (– 10 ; – 15) est-il un point de d3 ?
f3(– 10) = – 10 – 5 = – 15, donc les trois droites sont
concourantes.

Application (page 189)

EXERCICES

Le milieu de [AB] a pour coordonnées – 1 + 3 = 1
2
et 2 + 4 = 3, donc C est le milieu de [AB].
2
2. Milieu de [AB] : – 2 + 5 = – 3,5 ; 3 – 1 = 1, donc C n’est
2
2
pas le milieu de [AB].

1

1. E a pour coordonnées – 5 + 1 = – 2 et 3 – 4 = – 1 .
2
2
2
2. xE = xD + xB et yE = yD + yB , soit – 2 = xD – 4 donc xD = 0 ;
2
2
2
1
y

1
– = D
; yD = 0, donc D = 0.
2
2

2





3 Le milieu de [PR] a pour coordonnées 3 ; – 1 et
2
2
celui de [QS] a pour coordonnées 3 ; – 1 .
2
2
Donc les diagonales du quadrilatère PQRS se coupent en
leur milieu. Ce quadrilatère est donc un parallélogramme.





xE = xA + xC soit – 2 = – 1 + xC et xC = – 3.
2
2
yE = yA + yC soit – 2 = 2 + yC ; yC = – 6.
2
2
x
+
x
3
+
xD et x = – 7.
D soit – 2 =
xE = B
D
2
2
yE = yB + yD soit – 2 = 4 + yD ; yD = – 8.
2
2

4

5 1. D a pour coordonnées (3 ; 2) ; le milieu de [AB] a
pour coordonnées (3 ; 2).
2. a) D est le milieu de [AB].
b) OBCA est donc un parallélogramme.

6

IP² = (5 – 1)2 + (5 – 2)2 = 16 + 9 = 25
donc IP = 425 = 5 et P est un point du cercle.

11 a) xA ≠ xB donc l’équation de [AB] est de la forme

y = mx + p. m = – 2 – 1 = – 3 et A ∈ (AB) donc
1+3
4
y = – 3 x + p, soit p = 1 – 9 = – 5 , soit y = – 3 x – 5 .
4
4
4
4
4
b) yB = yA donc (AB) a pour équation y = 4.
c) xA = xB donc (AB) a pour équation x = 2.
d) p = 3 et m = 3 , soit y = – 3 x + 3.
–2
2
e) (AB) a pour équation y = – 6 x + 1 .
5
10

12 1. m = 7 –3 = – 2. y = – 2x + p. A ∈ (AB) donc

–1 – 1
3 = – 2 + p soit p = 5. (AB) a pour équation y = – 2x + 5.
2. Si x = 2, y = – 4 + 5 = 1 donc l’ordonnée de C est 1.
3. Si y = – 2, – 2 = – 2x + 5, soit – 2x = – 7 ; x = 7 .
2
L’abscisse de D est 7 .
2

13 d2 a pour équation y = 5 ; d5 a pour équation x = – 2.
d1 a pour équation y = 1 x + 5 ; d4 a pour équation y = 1 x
2
2
et d3 a pour équation y = – 3 x + 5 .
4
2

14 a) O ∈ d, A est le point de coordonnées (3 ; 1).









b) On prend les points A 0 ; 1 et B – 3 ; 5 .
2
2
c) On prend A(1 ; – 2) et B(– 3 ; – 5).
d) On prend A(2 ; 1) et B(6 ; 0).

15 Le coefficient directeur de (MN) est – 4 et l’ordonnée

5
à l’origine 4 donc y = – 4 x + 4. C’est la droite c).
5
Pour tracer : a) On prend les points (0 ; 5) et (5 ; 1).
b) On prend les points (0 ; 4) et (– 3 ; 0).
d) On prend (0 ; 5) et (1 ; 1).

7

AB2 = (– 1,8 – 1,8)2 + (1,3 + 3,5)2 = (– 3,6)2 + (4,8)2
= 36 donc AB = 6.

8

1. MA2 = (– 3 – 2)2 + (0 + 3)2 = 25 + 9 = 34.
MB = (5 – 2)2 + (2 + 3)2 = 9 + 25 = 34.
MA = MB donc M appartient à la médiatrice de [AB].

16

y

y

A

3

2

9

J

x

MN² = (– 1 – 2)2 + (13)2 = 12.
2
NP = (– 1 + 1)2 + (– 13 – 13)2 = 12.
MP2 = (– 1 – 2)2 + (– 13)2 = 12.
MN = NP = MP = 213. Le triangle MNP est équilatéral.

–1 O

10 Mélange entre les deux figures.
1re figure : AB2 = 36 + 9 = 45 ; BC2 = 9 + 36 = 45,
donc AB = BC. Le triangle est isocèle.
2e figure : BC = 8 et AB2 = 16 + 49 = 65.
AB = 465 ≠ 8, donc le triangle n’est pas isocèle.

J

J
O

I

4
I

y

O

–2

4

–2

x

B

y
x

IC
1
2

J
O
D

x
I

2
3

Chapitre 9 ● Coordonnées. Équations de droites

95

17 d1 a pour coefficient directeur 3 et d2 a pour coefficient

7
2 . Or 3 ≠ 2 donc les droites ne sont pas parallèles.
5
7 5

18 a) Δ a une équation de la forme y = 2x + p. Or A ∈ Δ
donc 2 = – 6 + p et p = 8. Δ a donc pour équation y = 2x + 8.
b) Δ a une équation de la forme y = 3x + p et – 2 = 3 + p
donc p = – 5. Δ a pour équation y = 3x – 5.
c) On trouve que Δ a pour équation y = x + 2.
3
d) On trouve que Δ a pour équation y = – 2x – 1.

19 a) (AB) a pour coefficient directeur 1 + 2 = – 3

0–4
4
donc la droite Δ passant par C et parallèle à (AB) a une
équation de la forme y = – 3 x + p. Or C(2 ; 3) est un point
4
de Δ donc 3 = – 3 + p, soit p = 9 et y = – 3 x + 9 .
2
2
4
2
2
1
b) On trouve y = x + .
3
3
c) On trouve y = – 3x.
d) (AB) a pour coefficient directeur – 2 , donc la droite Δ
3
passant par C a pour équation y = – 2 x – 2.
3
2
e) (AB) a pour coefficient directeur donc Δ a une équation
5
de la forme y = 2 x + p.
5
C(– 2 ; 4) ∈ Δ donc 4 = – 4 + p et p = 24 et y = 2 x + 24 .
5
5
5
5
yB – yA
20 a) m =
= 0 – 4 = 1.
xB – xA – 3 – 5 2
y –y
m’ = B C = 0 – 1 = 1 donc A, B, C sont alignés.
xB – xC – 3 + 1 2
b) Coefficient de (AB) : 7 ; coefficient de (AC) : 5 , 7 ≠ 5
3
2 3 2
donc les points ne sont pas alignés.
c) Coefficient de (AB) : 1 ; coefficient de (AC) : 1 donc les
3
3
points A, B, C sont alignés.

21 La droite (OA) a pour coefficient directeur 5 et (OB)
3
a pour coefficient directeur 8 .
5
8 ≠ 5 donc la droite (AB) ne passe pas par l’origine du repère.
5 3
22 1.

B
C

2
J
D

O





24 2. a) (AB) a pour coefficient directeur m = 7 – 2 = 1

5–0
et (CD) a pour coefficient directeur m’ = 3 – 7 = – 1 .
9+3
3
m ≠ m’ donc les droites sont sécantes.

b) (AB) a pour équation y = x + 2 et (CD) a pour équation
y = – 1 x + 6.
3
3. M(x ; y) est sur (AB) et (CD) donc – 1 x + 6 = x + 2 et
3
x = 3. Puisque y = x + 2, alors y = 5.
Les coordonnées de M sont (3 ; 5).

25 1. d passe par J(0 ; 1) et B(– 1 ; 3).
d’ passe par C (0 ; 5) et D(2 ; 7).
y
D

6
C

d

d’

B

3
J
x

–1 O

I

2

2. a) d a pour coefficient directeur – 2 et d’ a pour coefficient
1, – 2 ≠ 1 donc les droites sont sécantes.

26 1. d a pour coefficient directeur – 1 et d’ a pour coef-

6
I

3

x

A

2. a) C a pour coordonées (3 ; 2).
b) (DJ) a pour coefficient directeur 1 et DC a pour coeffi3
cient directeur 2 = 1 , donc les points D, C, J sont alignés.
6 3

96

b) On note A(2 ; 2) et B(– 2 ; 5). La droite (AB) a pour
coefficient directeur 3 = – 3 donc (AB) a une équation
–4
4
3
de la forme y = – + p. Or A ∈ (AB) donc 2 = – 3 + p et
4
2
p = 7 . (AB) a pour équation y = – 3 x + 7 .
2
4
2
M a pour coordonnées (0 ; y) donc y = 7 et N(x ; 0) donc
2
0 = – 3 x + 7 , soit 3 x = 7 , donc N a pour coordonnées 14 ; 0 .
4
2
4
2
3

b) y = – 2x + 1 et y = x + 5, d’où x + 5 = – 2x + 1, soit
3x = – 4 et x = – 4 .
3
Puisque y = x + 5, alors y = – 4 + 5 = 11 .
3
3

y
4

23 a) C a pour coordonnée (x ; 0). On note A(3 ; 2) et
B(0 ; 4).
(AB) a pour coefficient directeur – 2 et (BC) a pour coeffi3
4
2
4
cient directeur – donc – = – . x = 6 et C a pour coor3
x
données (6 ; 0). x

3
ficient directeur 3 .
4
Donc d a pour équation y = – 1 x + 1 et d’ a pour équation
3
y = 4 x + 3.
3
2. y = – 1 x + 1 et y = 3 x + 3, soit – 1 x + 1 = 3 x + 3 ;
3
4
3
4
– 13 x = 2 et x = – 24 . y = – 1 × – 24 + 1 = 21 .
12
13
3
13
13





27 d1 a pour coeffcient directeur – 3 et d2 a pour coef-

2
ficient directeur – 2. Elles sont sécantes.
2. d1 a pour équation y = – 3 x – 3 et d2 a pour équation
2
y = – 2x + 7.

Apprendre à chercher (page 197)

EXERCICES
32 1. a)

b) D’où – 3 x – 3 = – 2x + 7 ;
2
1 x = 10 ;
2
x = 20 et y = – 33.
Leur point d’intersection est (20 ; – 33).

34

y

y

d1

B

4

F

d2
A

2

A

J

–3 C1

O

C2

2

b) AB = 916 + 9 = 5 donc le rayon est 5 et B a pour
coordonnées (1 ; 4).
La distance de B à l’axe des abscisses est inférieure au
rayon, donc C existe.
c) Il semble qu’il y ait deux points C1 et C2.
2. a) BA2 = 25 ;
BC2 = (x – 1)2 + 16.
b) 25 = (x – 1)2 + 16,
soit (x – 1)2 = 9.

y
7

A

J

–6
B

O

x
I

4

1. a) Pour d1 on choisit (0 ; 6)(– 2 ; 8).
Pour d2, on choisit (– 1 ; 2)(4 ; 4).
b) y = – 1 x + 6 et y = 2 x + 12 , soit – 1 x + 6 = 2 x + 12
2
5
5
2
5
5
9
18
1
donc – x = –
soit x = 4 et y = – × 4 + 6 = 4.
10
5
2
M a pour coordonnées (4 ; 4).
2. a) A(0 ; 6) ; B(– 6 ; 0).

c) (x – 1 – 3)(x – 1 + 3) = 0 soit x = 4 ou x = – 2.
Soit C1(4 ; 0) et C2(– 2 ; 0).

33 1.

M

4

x
I

E

b) E milieu de [AM] a pour coordonnées (2 ; 5).
xF + xB
= xE donc xF = 6 + 4 soit xF = 10.
2
yF + yB
= yE donc yF = 10 – 0 soit yF = 10.
2
c) (OM) a pour coefficient directeur 1 et (OF) également,
donc O, M, F sont trois points alignés.

B

35 1. K a pour coordonnées (1 ; 1) ; A’(3 ; 1) et B’(1 ; – 2).

3

y
–3
–6

J
O

C

2

x

5

I

J
1

K
1

O
D

3

A

x

–3





2. a) Le milieu de [AC] a pour coordonnée – 1 ; 2 et celui
2
de [BD] – 1 ; 2 .
2
Donc les diagonales ont le même milieu.
AC2 = 121 + 4 = 125 ;
BD2 = 25 + 100 = 125
donc AC = BD.



I

A’



c) Il en résulte que ABCD est un rectangle.

–2

B

B’

2. a) (A’B) a pour coefficient directeur m = – 2 – 1 = 1.
0–3

2
– 0 = 1.
b) (AB’) a pour coefficient directeur m’ =
1–3
c) m = m’ donc les droites sont parallèles.
Chapitre 9 ● Coordonnées. Équations de droites

97

EXERCICES

Utiliser GeoGebra (page 198)

36 1. a) Il semble que les trois droites soient parallèles
si M est un point de la diagonale [AC], sinon elles sont
concourantes.

H a pour coordonnée (24 ; 16). Les coordonnées vérifient
l’équation de (EG). En effet, 1 × 24 + 4 = 16, donc E, G, H
2
sont alignés et les trois droites sont concourantes.

2. M(8 ; 4).

b) M(9 ; 2).

(OB) a pour équation y = 2 x. D a pour coordonnée (8 ; 0)
3
et F(12 ; 4), donc la droite (DF) a pour coefficient directeur
4 = 1, donc (DF) a pour équation y = x – 8. De même E(8 ; 8)
4
et G(0 ; 4), donc (EG) a pour équation y = 1 x + 4.
2
H(x ; y) est l’intersection de (OB) et (DF) donc y = 2 x et
3
y = x – 8 = 2 x ; 1 x = 8 et x = 24 ; y = 24 – 8 = 16.
3
3

EXERCICES

Entraînement (page 199)

REPÈRES ET COORDONNÉES
37 B(– 4 ; 4) ; C(0 ; 4) ; D(2 ; 0) ; E(2 ; 2) ; F(0 ; 2).
38 La hauteur h = c13 . Or c = 4 donc h = 233 et B a

2
pour coordonnées (2 ; 213).

39 Si H(2 ; 0), alors OA2 = OH2 + HA2 soit 16 = 4 + AH²,
donc AH² = 12 et AH > 0, donc AH = 233.
L’ordonnée de A est 213.

DISTANCES-AIRES-PÉRIMÈTRES
40 AB2 = (4 + 4)2 + (– 2 + 1)2 = 64 + 1 = 65.
AC2 = (– 2 + 4)2 + (2 + 1)² = 4 + 9 = 13.
BC2 = (– 2 – 4)2 + (2 + 2)2 = 36 + 16 = 52,
donc BC2 + AC2 = AB2 et le triangle est rectangle en C.

41 AB² = 250 ; AC² = 160 ; BC² = 410. Il est rectangle en
A mais non isocèle.
42 Corrigé dans le manuel
43 OA2 = 28 ; OB2 = 28 et AB2 = 28, donc OAB est
équilatéral.

44

y
O

(AM) a pour coefficient directeur 2 – 0 = – 2 et
9 – 12
3
(AC) 8 = – 2 donc M ∈ [AC].
– 12
3
(OB) a pour coefficient directeur 2 ; (DF) a pour coefficient
3
directeur 2 – 0 = 2 .
12 – 9 3
Et (EG) a pour coefficient directeur 2 – 8 = – 6 = 2 .
0 – 9 –9 3
Les trois droites sont donc parallèles.

x

1. On constate qu’à chaque fois, le logiciel affiche un
parallélogramme, dont le centre est marqué, comme dans
la figure.
+
xI = xA xC
2 ;
2. On lit dans l’algorithme,
+
y
yI = A yC
2
c’est-à-dire que I est le milieu du segment [AC].



3.

冦x



xD = 2 × xI – xB
x + xB = 2xI
implique que D
=
2
×
y

y
y
+ yB = 2yI
D
I
B
D



+ xB
2
soit
donc I est également le milieu de [BD].
+ yB
y
D
yI =
2
4. Le but de cet algorithme est de calculer les coordonnées
du quatrième sommet d’un parallélogramme, de le tracer et
de placer son centre.
xI = xD

45 1. AB2 = 16 + 64 = 80. AC² = 100 + 25 = 125.
BC2 = 36 + 9 = 45 donc AC2 = AB2 + BC2 et le triangle ABC
est rectangle en B.
2. a) Périmètre (ABC) = AB + AC + BC = 480 + 5125 + 445
= 415 + 515 + 315 = 1215.
1
Aire (ABC) = BA × BC = 1 × 415 × 315 = 30.
2
2

46 BE2 = 64 + 16 = 80 ; BE = 415 et le rayon du cercle
est 215. Son centre F a pour coordonnées (1 ; – 2).
FC2 = 4 + 16 = 20, donc FC = 215.
De même FD2 = 4 + 16 = 20 et FD = 215.
Ainsi D et C sont des points du cercle de diamètre [BE].

47 Corrigé dans le manuel
98

48 1. affirmation vraie car AM2 = 36 + 64 = 100 ;
AM = 10 donc M appartient au cercle de centre A et de
rayon 10.
2. Affirmation fausse car AM = 10 ; MB = 11 et
AB² = 36 + 9 = 45 ; AB = 315.

49 1. L’affirmation est vraie car :
AB2 = 20 ; AC2 = BC2 = 10 donc AB2 = AC2 + BC2.
Le triangle ABC est isocèle et rectangle en C.
y
C

O
–1

B

D
5

3 4
I

x

A

(Δ)

y

(Ꮿ)
2
J
O

C

K
4
B

I
A



xB + xD
2

2

soit – 4 = – 4 + xD donc xD = 0.
y + yD
soit – 1 = 1 + yD donc yD = – 2. D(0 ; – 2).
–1 = B
2
2

53 1. AC2 = BC2 implique que AC = BC puisque AC et
BC sont des nombres strictement positifs.
2. AC2 = (xC – xA)2 + (yC – yA)2 et BC2 = (xC – xB)2 + (yC – yB)2.
3. Les expressions à saisir, par ordre d’apparition, sont :
S ← (x_C – x_A)2 + (y_C – y_A)2
H ← (x_C – x_B)2 + (y_C – y_B)2
Si H = S alors afficher « ABC est isocèle en C ».
Sinon afficher « ABC n’est pas isocèle en C ».

54 Corrigé dans le manuel.

2. L’affirmation est vraie car :
AB = 215. Donc le rayon AB = 15.
2
3. L’affirmation est vraie car :
si D est le milieu de [AB], D a pour coordonnées(5 ; 0).
CD2 = 1 + 4 = 5 ; OD2 = 25 ; OC2 = 20 donc OD2 = OC2 + CD2
et le triangle OCD est rectangle en C, donc (OC) est tangente
au cercle.

50 1.

52 Le milieu E de [AC] a pour coordonnée 冢– 2 ; – 1 冣.
E est aussi le milieu de [BD] donc – 2 =

3. AC2 = 400 + 1 089 = 1 489 ; BC2 = 196 + 1 296 = 1 492
donc l’affirmation est fausse.

2
J

c) ABCD est un parallélogramme. Les diagonales ont le
même milieu (1 ; 4).

x



2. K a pour coordonnées 5 ; 2 .
2
3. a) K ∈ (Δ) donc il est équidistant de A et B, soit
KA = KB et B ∈ Ꮿ.
b) CK2 = 25 et AK2 = 9 + 4 = 25 , donc CK = KA et
4
4
4
(CK) ⊥ (OC).
Donc Ꮿ est tangent en C à (OC).

DISTANCES ET QUADRILATÈRES
51 a) ABCD est un parallélogramme car [AC] et [BD]
ont même milieu E(2 ; 2).
b) ABCD est un carré car [AC] et [BD] ont même milieu
E(1 ; 0).
AB = AD = 410 et DB = AC = 2410.

55 Le milieu de [OD] a pour coordonnées (1 ; – 1) et
celui de [BC] a pour coordonnées (1 ; – 1).
De plus OB = 410 et OC = 410 donc OBDC est un
parallélogramme ayant deux côtés consécutifs égaux. C’est
donc un losange.

56 1. a) K a pour coordonnées 冢 1 ; 3 冣.

2 2
xD + xB
1
soit 1 = xD – 4 et xD = 5 ;
b) =
2
2
3 = yD + yB , soit 3 = y + 4 et y = – 1.
D
D
2
2
2
2. a) AB = 4 + 49 = 53.
AC2 = 25 + 81 = 106.
BC2 = 49 + 4 = 53.
Donc AB = BC et AC2 = AB2 + BC2.
Le triangle ABC est donc rectangle isocèle en B.
b) ABCD est un carré.

57 1. a) A(0 ; 3) ; B(4 ; 0) ; C(7 ; 4) ; D(3 ; 7) ; E(– 1 ; 0) ;
F(– 4 ; 1) ; G(– 3 ; 4).
AC2 = 49 + 1 = 50. BC2 = 9 + 16 = 25. AB2 = 16 + 9 = 25.
Donc AC2 = AB² + BC2 et BC = AB.
Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en B.
Le milieu de [AC] a pour coordonnées 7 ; 7 et le milieu
2 2
7
7
de [BD] a pour coordonnées ; donc le parallélogramme
2 2
ABCD est un carré.









b) On démontre de même que AEFG est un carré.
2. a) O1 a pour coordonnées 7 ; 7 et O2(– 2 ; 2).
2 2
98
121
2
2
2
OO1 = ; OO2 = 8 ; O1O2 =
+ 9 = 130 .
4
4
4
4
O1O2 + OO22 = 98 + 32 = 130 = O1O22.
4
4
4
b) Le triangle O1OO2 est rectangle.





Chapitre 9 ● Coordonnées. Équations de droites

99

58 B(4 ; 4) ; D(2 ; 2) ; E(2 ; 0) ; F(1 ; 3).

b) (MN) a pour équation y = 3x + 6.

2. EF² = 10 ; FB² = 10 ; EB2 = 20 donc le triangle EFB est
rectangle isocèle car EF = FB et EB2 = FB2 + EF2.

DROITES, PARALLÉLISME
ET ALIGNEMENT

60
y

b)

d

4

J
O
–1

y
4

d

2
J
O

x

c)

1

I

x

3

y
d

2

3
J
O

–3

I

x

directeurs : – 2 ; 3 ; 3 .
5 4 2
2. a) d1, d2, d3 ont la même ordonnée à l’origine : 4.
b) d1 a pour équation y = – 2 x + 4 ;
5
d2 : y = 3 x + 4 ;
4
d3 : y = 3 x + 4.
2

62 Corrigé dans le manuel.
63 1. a)
(d)

4
• d3 a pour coefficient directeur – 1 donc une équation de la
forme y = – x + p. A(1 ; 5) ∈ d3 donc 5 = – 1 + p et p = 6,
donc y = – x + 6.
• Notons C l’intersection de d1 et d2. y = 5 x et y = 1 x + 2,
4
2
soit 5 x – 1 x = 2 ; x = 8 et y = 5 × 8 = 10 .
4
2
3
4 3 3
8
Ainsi C a pour coordonnées ; 10 .
3 3
• C est-il un point de d3 ? En remplaçant x par 8 :
3
y = – 8 + 6 = 10 ,
3
3
donc C ∈ d3 et les trois droites sont concourantes.

b) (BB’) a pour coefficient directeur – 2 .
9
Son équation est y = – 2 x + 2. (AA’) a pour équation x = 3.
9
2. G a pour abscisse 3 et pour ordonnée :
y = – 2 × 3 + 2 = – 2 + 2 = 4.
9
3
3

67 Corrigé dans le manuel.
3

A

I 2

3

d2 : y = 2 x – 7 ; d3 = 2 ; d4 : y = x – 7 .
3
3
3 2
d1 et d2 sont parallèles, d3 et d4 coupent toutes les autres
droites.
4 M’

69 a) (d) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 5) et l’axe des abscisses au point (3 ; 0).
b) (d) coupe l’axe des abscisses en 7 ; 0 et l’axe des
3
ordonnées en 0 ; – 7 .
5



100



66 1. a) A’(3 ; 3) ; B’(0 ; 2).

droite.

J
O

65 • d2 a pour équation y = 5 x.

68 a) 2x – 3y = 1 s’écrit y = 2 x – 1 . On note d1 cette

M 6

N
–2

équation : y = – 3 x + 3.
4
2. F(x ; y) appartient aux deux droites donc y = – 2x + 2 et
y = – 3 x + 3.
4
Soit – 2x + 2 = – 3 x + 3 ; – 5 x = 1 donc x = – 4 et y = 18 .
4
4
5
5
3. Il reste à démontrer que F, C, D sont alignés.
(CD) a pour équation y = – 1 x + 10 . Si x = – 4 ,
3
3
5
4
50
54
18
y=
+
=
=
donc F, C, D sont alignés.
15 15 15
5



61 1. d1, d2, d3 ont respectivement pour coefficients

3

3. b) d // (MN) donc d a une équation de la forme :
y = 3x + p. Or M’ ∈ d donc 0 = 12 + p et p = – 12.
Il en résulte que d a pour équation y = 3x – 12.

64 1. (EI) a pour équation : y = – 2x + 2. (AB) a pour

59 P1 : d = d’. P2 : d et d’ sont sécantes.
P3 : d et d’ sont parallèles.

a)

2. b) M’ a pour coordonnées (4 ; 0).







70 Les points sont 冢0 ; 1 冣 et 冢 2 ; 0冣.

2
5
2. 5x – 11 – 2 = 0, soit 5x = 15 d’où x = 3 .
2
2
2

71 1. a) On note a le coefficient directeur de la droite
(AB), alors a =

yA – yB
.
xA – xB

b) On note c le coefficient directeur de la droite (AC), alors
y –y
c = A C.
xA – xC
2. Les trois points sont alignés lorsque a = c.
3. a reçoit xA – xB
b reçoit yA – yB
c reçoit xA – xC
d reçoit yA – yC
Si ad = bc alors …
4. Tableau d’avancement :
xA yA xB yB

a

b

xC yC

c

d

« ad = bc »

0

0

–3

1

–1 –5

«0 = 3» :
Faux

2

0

5

7

2. a) y = 3 x + 9 .
7
7
b) y = 2x – 5 .
2
2
c) y = x + 5 .
3
3
1
d) y = – x + 1 .
3
4

PRENDRE TOUTES LES INITIATIVES
75 C a pour coordonnées (4 ; 3) et D(0 ; 2).
La droite (CD) a pour coefficient directeur 1 et pour équation
4
y = 1 x + 2.
4
Donc K a pour coordonnées y = 0 et x tel que 0 = 1 x + 2,
4
soit x = – 8.
Donc O est le milieu de [KB].
y
6

A

Alors s’affiche : « A, B et C ne sont pas alignés ».
3
D

AVEC LES TICE

J
K

72 1. d) Il semble que l’on obtienne deux points M.
2. a) M a pour coordonnées (x ; 4).
Donc MA2 = (xA – xM)2 + (yA – yM)2 = (2 + x)2 + 16.

c) (x + 2)2 – 84 = 0 équivaut à :
(x + 2 + 2421)(x + 2 – 2421) = 0,
soit x = – 2 – 2421 ou x = 2421– 2.
e) Ces résultats sont conformes à l’expérimentation qui
donne pour les abscisses des valeurs approchées arrondies
au centième.

73 1. d) On obtient deux points M de coordonnées
respectives (0 ; 4) et (6 ; 4).
2. a) MA2 = (x + 2)2 + 16 ;
MB² = (x – 8)2 + 16.
b) Lorsque AMB est rectangle en M équivaut à dire que
MA2 + MB2 = AB2, soit (x + 2)2 + (x – 8)2 + 32 = 100 (1).
c) En développant (1), on obtient :
x2 + 4x + 4 + x2 – 16x + 64 + 32 = 100,
soit 2x2 – 12x = 0 ou 2x(x – 6) = 0.
Donc x = 0 ou x = 6. Les points M ont donc pour coordonnées (0 ; 4) et (6 ; 0).
Ce résultat est conforme à l’expérimentation.

74 1. b) – 3x + 4y = 13 ; 4y = 3x + 13 soit y = 3 x + 13
4

O I

B
8

4

x

76 • D a pour coordonnées (5 ; 1) et E(8 ; 3), donc (DE) a

b) Dire que MAB est isocèle en A équivaut à dire que
MA2 = AB2, soit (2 + x)2 + 16 = 100, soit (x + 2)2 = 84.

ou encore y = 0,75x + 3,25.

C

4

pour coefficient directeur : 2 .
3
• La droite (CD) a pour coefficient directeur – 2 et pour
5
équation y = – 2 x + 3.
5
Donc l’abscisse x de G est solution de 0 = – 2 x + 3, soit
5
x = 15 et G a pour coordonnées 15 ; 0 .
2
2
La droite (AE) a pour coefficient directeur 1. Son équation
est de la forme y = x + p.
Or A ∈ (AE) donc 0 = 5 + p et p = – 5, soit y = x – 5.
Donc K d’abscisse 0 a pour coordonnée y = – 5, soit
K(0 ; – 5). Donc la droite (KG) a pour coefficient directeur
–5
= 2 donc (DE) // (KG).
3
– 15
2





77 On doit démontrer que :
AC² + BD² – 2CB × AD = CD2 + BA2.
AC2 = 2x2 ; DB2 = (x + 1)2 + x2 ; 2 CB × AD = 2x(x + 1) ;
CD2 = x2 + 1 ; AB2 = x2.
AC2 + BD2 = 2CB × AD – CD2 – BA2
= 2x2 + x2 + (x + 1)2 – 2x(x + 1) – x2 – 1 – x2.
En développant on obtient :
2x2 + x2 + x2 + 2x + 1 – 2x2 – 2x – x2 – 1 – x2 = 0,
d’où le résultat.
Chapitre 9 ● Coordonnées. Équations de droites

101

Approfondissement (page 204)

EXERCICES

78 1. BC2 = 50 ; AB2 = 10 ; AC2 = 36 + 4 = 40 donc
2

2

2

AC = AB + AC et le triangle ABC est rectangle en A.
y
4F
N
B
M
2
J

–3
–2

O
–1

A

E

x
I

3

–3

C

• De même (DA’) a pour coefficient directeur : – 2 et (LA’)
9
2
2
y
y
a pour coefficient – donc – = – soit y = et L 3 ; 2 .
9
3
3
3
3
2
• La droite (AB) a pour équation y = – x + 2 et (A’B’) a
3
pour équation y = – 4 x + 8.
3
Donc M intersection de (AB) et (A’B’) a pour coordonnées
(9 ; – 4). (ML) a pour coefficient directeur – 7 et (MK) a
9
aussi – 7 comme coefficient directeur. Donc les points M,
9
L, K sont alignés.





G





2. a) E a pour coordonnées 1 ; – 1 .
2 2
b) BC = 512 donc le rayon est 5 12.
2
512
3. a) EM2 = 25 + 25 = 50 donc EM =
, M ∈ Ꮿ.
2
4
4
4
512
EN2 = 4 + 9 = 13 donc EN = 413 >
.
2
b) EM2 = 50 ; MN2 = 1 + 1 = 2 ; EN2 = 4 + 9 = 13.
4
4 4 4
EN2 = EM2 + MN2 donc (MN) ⊥ (EM) et (MN) est tangente
à Ꮿ.
4. a) EF2 = EG2 = 50 . Donc les ordonnées y de F et G véri4
2
2
1
1
fient + y +
= 50 , soit y + 1 = 49 .
4
2
4
2
4
1
7
1
7
b) Ainsi y + = ou y + = – , soit yF = 3 et yG = – 4.
2 2
2
2







L

(d)
M

y

F
A

7

K
C

5



E

2
2. K(x ; 2) et L(3 ; y).
• (DB’) a pour coefficient directeur – 14 et (KB’) a pour
3
coefficient – 6 , donc – 14 = – 6 et x = 9 .
x
3
x
7
9
Ainsi K ; 2 .
7
y



B’ 8

B

J
O

79 1. b) C(3 ; 2) ; D冢 3 ; 1冣 .



80 1. a)

x
I

2

4

8

10

b) Cherchons les coordonnées de M : M(8 ; y).
Coefficient directeur de (AM) :
y – 7 = y – 7.
8–4
4
Coefficient directeur de (BC) :
5–1 = 4 = 1.
10 – 2 8
2
Or (AM) // (BC) donc y – 7 = 1 et y = 9 donc M a pour
2
4
coordonnées (8 ; 9).
2. E(6 ; 3) ; F(6 ; 8).

B 2

K

J
O

D
I

C
L
A

6
A’



x

M

102

3. a) La droite (BM) a pour équation y = 4 x – 5 et
3
3
(AC) : y = – x + 25 . Donc les coordonnées (x ; y) de K
3
3
vérifient y = 4 x – 5 et 4 x – 5 = – x + 25 , soit 5x = 30 ,
3
3
3
3
3
3
3
3
19
19
soit x = 6 et y = , donc K 6 ;
.
3
3
De même, (AB) a pour équation y = 3x – 5 et la droite (MC)
a pour équation y = – 2x + 25.
Donc l’abscisse de L vérifie l’équation 3x – 5 = – 2x + 25,
soit 5x = 30 et x = 6. L’ordonnée de L est y = 13. Ainsi L a
pour coordonnées (6 ; 13).



b) Les points E, F, K, L ont tous pour abscisse 6, ils sont
donc alignés.

81 1. a) Le coefficient directeur de (AB) est :

yA – yB
xA – xB
= 3 – 4 = 1 = 0,1.
–2 – 7 9
Le coefficient directeur de (CD) est :
y –y
m2 = C D
xC – xD
= – 1 – 6 = 7 = 1.
–3 – 4 7
Par conséquent m1 ≠ m2, les droites (AB) et (CD) ne sont
pas parallèles.
m1 =

b) Le coefficient directeur de (AD) est :
y –y
m3 = A D
xA – xD
= 3 – 6 = 3 = 1.
–2 – 4 6 2
Le coefficient directeur de (BC) est :
y –y
m4 = B C
xB – xC
= 4 + 1 = 5 = 1.
7+3
10 2
Par conséquent m3 = m4, les droites (AD) et (BC) sont
parallèles.
c) ABCD est un trapèze dont les côtés parallèles sont [AD]
et [BC].
2. Le coefficient directeur de (AB) est :
y –y
m1 = A B
xA – xB
= 4 – 3 = – 1.
–2 – 1
3
Le coefficient directeur de (CD) est :
y –y
m2 = C D
xC – xD
= 0 – 3 = – 3 = – 1.
2+7
9
3
Par conséquent m1 = m2, les droites (AB) et (CD) sont
parallèles.
Le coefficient directeur de (AD) est :
y –y
m3 = A D
xA – xD
= 4 – 3 = 1.
–2 + 7 5
Le coefficient directeur de (BC) est :
y –y
m4 = B C
xB – xC
= 3 – 0 = – 3 = – 3.
1–2
1
Par conséquent m3 ≠ m4, les droites (AD) et (BC) ne sont
pas parallèles.
ABCD est est un trapèze dont les côtés parallèles sont [AB]
et [CD].
3. Selon les calculs précédents, on constate que seules deux
vérifications successives de parallélisme sont suffisantes.

La méthode utilisée est celle du théorème 4, mais son
application n’est possible que lorsque les droites ont des
équations de la forme y = mx + p, donc lorsque deux points
quelconques parmi les quatre n’ont pas la même abscisse.
4.
Variables :
x_A ; y_A ; x_B ; y_B ; x_C ; y_C ; x_D ;
y_D ; m1 ; m2 ; m3 ; m4
Traitement :
Afficher « Attention ! Les abscisses des
quatre points doivent être différentes
deux à deux ! »
Saisir x_A ; y_A
Saisir x_B ; y_B
Saisir x_C ; y_C
Saisir x_D ; y_D
m1=(y_A-y_B)/(x_A-x_B)
m2=(y_C-y_D)/(x_C-x_D)
m3=(y_A-y_D)/(x_A-x_D)
m4=(y_B-y_C)/(x_B-x_C)
Si m1 = m2 Alors Afficher « ABCD est un
trapèze »
Sinon Si m3 = m4 Alors « ABCD est un
trapèze »
Sinon « ABCD n’est pas un trapèze »
FinSi
FinSi

82 2. a) KA2 = (– 3 – x)2 + (0 – y)2 = (x + 3)2 + y2.
KB2 = (6 – x)2 + (3 – y)2. KC2 = (1 – x)2 + (8 – y)2.
b) KA2 = KB2 équivaut à x2 + 6x + 9 + y2 = 36 – 12x + x2 +
9 – 6y + y2 soit 18x + 6y = 36.
KB2 = KC2 équivaut à 36 – 12x + x2 + 9 – 6y + y2 =
1 – 2x + x2 + 64 – 16y + y2 soit – 10x + 10y = 20.
3. a) 18x + 6y = 36 équivaut à 3x + y = 6 et – 10x + 10y = 20
équivaut à – x + y = 2.
3x + y = 6
y=x+2
b) Le système
équivaut à
x – y = –2
4x = 4
et donc K (1 ; 3).





83 1. B(6 ; 6) ; N(0 ; 4) D(2 ; 4).
2. a) (MN) a pour équation y = – 2x + 4 et (BD) a pour
équation y = 1 x + 3.
2
b) H intersection des deux droites a pour coordonnées
2 ; 16 .
5 5
2
3. HB2 = 14 = 196 ; HM2 = 64 ; MB2 = 52.
5
5
5
260
2
2
2
= 52 = MB , donc le triangle MHB est
HB + HM =
5
rectangle en M.





冢 冣

84 1. DA2 = 1 + 9 = 10 ; DB2 = 1 + 9 = 10.
Donc DA = BD. De plus D est un point de la médiatrice
de [BC] donc DA = DB = DC, et D est le centre du cercle
circonscrit au triangle ABC : son rayon r = 410.
Chapitre 9 ● Coordonnées. Équations de droites

103

2. AB = 215 ; AC = 412 ; BC = 6 ; s = 1 BC × AO = 12.
2
AB × BC × CA = 48410. 4rs = 48410, d’où l’égalité.
y
A

4

2. Vrai, pour tout x, il existe y = – 1 x + 3 .
4
4
3. Vrai, pour tout y, il existe x = – 4y + 3.

88

2
J

–2
B

87 1. Faux, par exemple M(1 ; 0) ∉ d.

y
B

D

O

J

4 x
C

I

A

O

I

M
Son coefficient directeur est 212 – 32 = 9 et l’équation est
100
2
y = 9 x + 32.
5
y

x

O I

C

D

1. a) C a pour coordonnées (– 1 ; 1).
Les coordonnées de C vérifient l’équation de (d).
En effet, si x = – 1, alors y = – 2 – 1 = – 1.
3 3
b) M a pour ordonnée 0 donc 0 = 2 x – 1 , soit x = 1 .
3
3
2
1
Ainsi M a pour coordonnées ; 0 .
2
N a pour abscisse 0 donc son ordonnée est – 1 .
3
N a pour coordonnées 0 ; – 1 .
3
0–1
2. La droite (BM) a pour coefficient m =
= – 2.
3
1 +1
2
–1 +1
=– 2.
La droite (DN) a pour coefficient directeur m’ = 3
0–1
3
Les droites (BM) et (DN) ayant même coefficient directeur
sont parallèles.





A
2. b) La température est identique lorsque :
9 x + 32 = x, soit 4 x = – 32 et x = – 40.
5
5
3. Si y = 100, alors 9 x + 32 = 100, soit 9 x = 68.
5
5
x = 68 × 5 soit x ≈ 37,6 °C. D’où pas d'inquiétude.
9
4. 451 = 9 x + 32, soit 9 x = 419 et x = 419 × 5 . x ≈ 232,8 °C.
5
5
9

86 Le quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se
coupent en leur milieu O, BD et (AC) sont perpendiculaires,
AB = BC = 452 = 2413, donc ABCD est un losange.
d y
1

B

6

89 (2x – y + 1)2 – (x + 2y + 5)2 = 0 équivaut à :
(2x – y + 1 + x + 2y + 5)(2x – y + 1 – x – 2y – 5) = 0 soit
(3x + y + 6)(x – 3y – 4) = 0.
Soit y = – 3x – 6 ou y = 1 x – 4 .
3
3
On obtient donc deux droites d1 et d2.
y
J

d2
–4

C

J
O

4

I

A

–2

O

I

4

x

x
d2

d3

–6

D –6

104





d1
d4

x

N

85 1. b) (0 ; 32) et (100 ; 212) sont deux points de la droite.

J

(d)

90 ON2 = OM2 + MN2 = 64 + 36 = 100 donc ON = 10 et
N(0 ; 10).

冦 MN

OM² = x² + y² = 64
2
= x2 + (y – 10)2 = 36
x² + y² = 64
donc 2
x + y2 – 20y = – 64
or x2 + y2 = 64 donc – 20y = – 128 soit y = 6,4.
Donc x2 = 64 – (6,4)2 soit x = 4,8 donc M(4,8 ; 6,4).
P est le symétrique de M par rapport au point de coordonnées
(0 ; 5) donc ses coordonnées sont P(– 4,8 ; 3,6).

M(x ; y)



90 On choisit un repère (A ; I, J) orthonormé tel que
B(2 ; 0) ; D(0 ; 2) ; E(3 ; 0) ; F(3 ; 1) ; G(2 ; 1) ; C(2 ; 2).
La droite (AG) a pour équation y = 1 x, la droite (DF)
2
y = – 1 x + 2.
3

Les coordonnées de leur point commun K vérifient :
y = 1 x et y = – 1 x + 2 soit 1 x = – 1 x + 2 donc 5 x = 2, soit
2
3
2
3
6
x = 12 et y = 6 .
5
5
K a donc pour coordonnées 12 ; 6 .
5 5
Il reste à prouver que C, K, E sont alignés.
Coefficient directeur de (CK) :
6 –2
– 4
5
= 5 = – 2.
12 – 2
2
5
5
Coefficient directeur de (CE) :
0 – 2 = – 2, donc C, K, E sont alignés.
3–2





Chapitre 9 ● Coordonnées. Équations de droites

105


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