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Nom original: DL.pdfTitre: DM n°3 PSI 2012-2013Auteur: DE NALE Jacky

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PSI du Lyc´ee Bab Sahara
Ann´ee scolaire 2012/2013.

DL

Exercice 1.
Partie A. : Dans cette partie, on ´etablit quelques r´esultats pr´eliminaires qui pourront ˆetre utilis´es dans les
deux parties suivantes.
!
n
X
X
1
− ln(n). Etudier la nature de la s´erie
(un+1 − un ). en d´eduire
1. Pour n ≥ 1, on pose : un =
k
k=1
que la suite (un )n converge. On note γ sa limite.
2. Pour x ´el´ement de ]0, +∞[, on consid`ere l’application hx de ]0, +∞[ vers R d´efinie par :
hx (t) =

ln(t)
tx

a. D´eterminer le tableau de variation de hx .
Z n
Z n+1
ln(n)
ln(n)
ln(t)
ln(t)
dt ≤
et ∀n ≥ 4,

dt.
b. Justifier les in´egalit´es : ∀n ≥ 3,
t
n
n
t
n−1
n
X
ln(n)
est convergente mais qu’elle n’est pas absolument convergente.
c. Prouver que la s´erie
(−1)n
n
On pose : S =

+∞
X

(−1)n

n=2

ln(n)
n

Les deux parties qui suivent sont ind´ependantes l’une de l’autre.
Partie B. On se propose dans cette partie de calculer S.
Pour n ≥ 3, on pose
n
n
X
X
(ln(n))2
ln(k)
ln(k)
, tn =
, an = tn −
Sn =
(−1)k
k
k
2
k=1

k=1

1. Utiliser les in´egalit´es ´etablies en question 2.b de la partie A pour d´emontrer que :
a. la suite (an )n≥3 est d´ecroissante
b. La suite (an )n converge.
2. Montrer que ∀n ≥ 3, S2n = tn − t2n +
a2n et un .

n
X
1
k

!
ln(2). en d´eduire une expression de S2n o`
u figurent an ,

k=1

3. Calculer lim S2n (on exprimera cette limite en fonction de γ et de ln(2)). d´eterminer S.
n→+∞

Partie C.
On note F l’application de ]1, +∞[ vers R d´efinie par F (x) =

+∞
X
1
.
nx
n=1

(−1)n−1
.
nx
Dans cette partie on ´etudieX
d’abord le comportement de F (x) lorsque x tend vers 1 par valeurs sup´erieures,
ensuite la s´erie de fonction
φn , puis on retrouve la valeur de S.

Pour n ≥ 1, on consid`ere l’application φn de ]0, +∞[ vers R d´efinie par φn (x) =

1

1. Pour n ≥ 1, on consid`ere les applications vn et wn de [1, +∞[ vers R d´efinies par
Z n+1
1
1
1
1
et
w
(x)
=

dt
vn (x) = x −
n
x
x
n
(n + 1)
n
tx
n
a.

i. Calculer vn0 (x).
ii. Montrer que la s´erie de fonctions

b.

X

vn est normalement convergente sur [1, +∞[.

i. Prouver que pour n ≥ 1, wn est continue sur [1, +∞[.
ii. Montrer que ∀x ≥ 1, ∀n ≥ 1, 0 ≤ wn (x) ≤ vn (x).
+∞
X

iii. On consid`ere la fonction W d´efinie par W =

wn .

n=1

D´emontrer que W est d´efinie et continue sur [1, +∞[.
c.

2.

1
.
i. Montrer que ∀x > 1, W (x) = F (x) +
1−x


1
ii. Calculer lim+ F (x) +
(on exprimera le r´esultat en fonction de γ).
1−x
x→1
X
a. Montrer que la s´erie de fonctions
φn converge simplement sur ]0, +∞[.
X
φ0n converge uniform´ement sur
b. Soit a un ´el´ement de ]0, +∞[. D´emontrer que la s´erie de fonctions
[a, +∞[.
c. On consid`ere la fonction φ d´efinie par φ =

+∞
X

φn . Montrer que φ est d´efinie et de classe C 1 sur

n=0

]0, +∞[. Exprimer φ0 (1) sous forme de somme d’une s´erie.
3.

a. Etablir que : ∀x > 1, φ(x) = (1 − 21−x )F (x).
b. D´eterminer un d´eveloppement limit´e de 1 − 21−x `a l’ordre 2 au voisinage de 1, puis un d´eveloppement
limit´e de φ(x) `
a l’ordre 1 au voisinage de 1. En d´eduire la valeur de S

Exercice 2
Dans tout le probl`eme, a et b d´esignent deux r´eels positifs tels que : 0 < a < b.
Pour tout n ∈ N∗ , on d´efinit la fonction un de R∗+ dans R par :

x
x
∀x > 0 , un (x) = − ln 1 +
.
n
n
Pr´
eliminaire.
D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonction ζ qui `a x ∈ R associe ζ(x) =

+∞
X
1
.
nx
n=1

1.1. V´erifier que ∀n ∈ N∗ , ∀x > 0 , un (x) > 0.
1.2. Montrer que la s´erie de fonctions de terme g´en´eral un converge simplement sur ]0, +∞[.
Dans toute la suite du probl`eme,

+∞
X

un est not´ee S et γ d´esigne la valeur de S(1).

n=1


+∞
X
1
1
dS
(x) =

.
2. Prouver que S est d´erivable sur ]0, +∞[ et que : ∀x > 0 ,
dx
n n+x
n=1
3. Soit p ∈ N∗ . Montrer que lorsque p tend vers l’infini :

2

p
X
1
= ln p + γ + o(1).
n
n=1

4.1. Prouver que :
p
X
n=1

p
X
1
+ ln(1 + x) − ln(p + 1 + x).
un (x + 1) − un (x) =
n
n=1

4.2. En d´eduire que :
∀x > 0 , S(x + 1) = S(x) + γ + ln(1 + x).
Soit ϕ la fonction d´efinie de R∗+ dans R telle que :
∀x > 0 , ϕ(x) =


1
exp −γx + S(x) .
x

5.1. Montrer que ∀x > 0 , ϕ(x + 1) = x ϕ(x).
5.2. V´erifier que ϕ est d´erivable sur ]0, +∞[.


Calculer
(x) pour x > 0. Que vaut
(1) ?
dx
dx
6. Pour n > 1, soit ϕn la fonction de R∗+ dans R telle que :
∀x > 0 , ϕn (x) =

nx n!
.
x(x + 1) . . . (x + n)


Montrer que ∀x > 0 , ln ϕn (x) tend vers S(x) − xγ − ln x quand n tend vers +∞.
p
Y
exp
On note πp =
1+
n=1

x
n
x
n


(p entier naturel > 0).

7.1. Prouver la convergence de la suite (πp )p>1 vers une limite L(x).
7.2. En d´eduire que : ∀x > 0 , ϕ(x) =

L(x)
exp(−xγ).
x

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