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MPSI 2 : DL 03

pour le 12 d´ecembre 2003

1

Probl`
eme 1

L’objet du probl`eme est de calculer explicitement la limite de la suite des moyennes
arithm´etiques-g´eom´
etriques pour certaines valeurs initiales.
π
On consid`ere dans cet exercice un r´eel x ∈]0, [.
2
Q 1 On d´efinit la suite (un ) par :

(

u0 = cos(x)

x
∀n ∈ N, un+1 = un cos n+1
2
x
a. Montrer que la suite de terme g´en´eral vn = un sin n est g´eom´etrique.
2
b. En d´eduire pour tout entier n, l’expression de un en fonction de x et de n.
c. Montrer que la suite (un ) est convergente et donner sa limite.
On consid`ere d´esormais les deux suites (an ) et (bn ) d´efinies par :


 a0 = 1
b = 1
0
et
cos x
an + b n
p
∀n ∈ N, an+1 =
∀n ∈ N, b
=
an+1 bn
n+1
2
Q2
a. Donner l’expression de b1 comme quotient de deux cosinus.
b. Montrer que ∀n ∈ N, an > 0 et bn > 0.
Q3
´
a. Etablir
que ∀n ∈ N,
bn+1 − an+1 =



an+1
b n − an


2 bn + an+1

b. Montrer que ∀n ∈ N, an < bn .
c. En d´eduire les variations des suites (an ) et (bn ).
d. Montrer que ∀n ∈ N,
0 < b n − an ≤


1 1
−1
n
2 cos(x)

(1)

(2)

e. Montrer que les suites (an ) et (bn ) sont convergentes et ont mˆeme limite, not´ee L.
Q4
a. V´erifier que pour tout entier n ∈ N, on a :
an =

x
2n et b = un
n
cos2 (x)
cos2 (x)

un cos

b. En d´eduire la valeur de L.
1

(3)